高三数学10月阶段性检测试题 理

太原五中2016—2017学年度第一学期阶段性检测

高 三 数 学(理)

一．选择题（每题5分）

1.已知集合{}

062≤--=x x x A ，{}

02>-=x x B ，则=)(B A C R （ ） A ．{}32>≤x x x 或 B ．{}32>-≤x x x 或 C ．{}32≥

32≥-

+=-，则实数λ的值为( )

A ． 1

B ．2

C ．﹣1

D ．﹣2 3．下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞)上单调递增的是( )

A ．y ＝x

B ．y ＝cos x

C ．y ＝3x

D ．y ＝ln|x| 4. 设函数f(x)＝ln x －12

ax 2

－x ，若x ＝1是f(x)的极值点，则a 的值为( )

A ． 0

B ．1

C ． 2

D ．3 5.

已知

()(),ln 1x f x e x g x x x =-=++，命题():,0p x R f x ?∈>，命题

()0:0,q x ?∈+∞，使得()00g x =，则下列说法正确的是（ ）

A ．p 是真命题，()00:,0p x R f x ??∈<

B ．p 是假命题，()00:,0p x R f x ??∈≤

C ．q 是真命题，()():0,,0q x g x ??∈+∞≠

D ．q 是假命题，()():0,,0q x g x ??∈+∞≠

6．如图所示，已知AB 是圆O 的直径，点C ，D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →

＝b ，则AD →

＝( )

A.a －12b

B.12a －b

C.a ＋1

2b

D.1

2

a ＋b

7.已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ω?ω?π=+>><<的图象与x 轴的一个交点

(,0)12

π

-

到其相邻的一条对称轴的距离为

4π.若3

()122

f π=，则函数()f x 在[0,]2π上的值域为（ ）

A.[1,2]-

B.[3,3]-

C.3

[,3]2

-

D.3[1,]2-

8．若sin α＝1－3tan 10°sin α，则锐角α的值为( )

A ．40°

B ．50°

C ．60°

D ．70° 9．函数()cos f x x π=与()2log 1g x x =-的图象所有交点的横坐标之和为（ ） A ．0 B ．2 C ．4 D ．6 10.设平行于y 轴的直线分别与函数y 1＝log 2x 及y 2＝log 2x ＋2的图象交于B ，C 两点，点A(m ，n)位于函数y 2的图象上．若△ABC 为正三角形，则m·2n

＝( )

A ．8 3

B ．12

C ．12 3

D ．15

11．已知函数)(x f ＝2sin xcos x －2sin 2

x ＋1(x ∈R )，若在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，a ＝3，A 为锐角，且)8

(π

+

A f 3

2

=

，则△ABC 面积的最大值为( ) A.

4

)23(3+ B.34 C.24 D.3＋2

3

12.若曲线2

1x y C =：与曲线x

ae y C =：2存在公切线,则a 的 （ ） A ．最大值为

28e B ．最大值为24e C ．最小值为28e D ．最小值为24

e

二、填空题（每题5分）

13. 已知||4a =，||2b =，且a 与b 夹角为120°，则(2)()a b a b +?+=_______. 14.在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若2a =，2b =， 45=B ，则角A 的

大小为

15.已知函数f(x)＝12x －14sin x －34

cos x 的图象在A(x 0，f(x 0))处的切线斜率为1，则tan x 0

＝_____.

16.已知关于x 的方程x 2﹣alnx ﹣ax=0有唯一解，则实数a 的取值范围为

三、解答题

17.（12分）如图，在梯形ABCD 中，已知//AD BC ，

1AD =，210BD =，4

CAD π

∠=

，

tan 2ADC ∠=-.

求：（1）CD 的长；（2）BCD ?的面积.

18. （12分）已知()f x a b =?，其中(2cos ,3sin 2)a x x =-，(cos ,1)b x =，x R ∈. （1）求()x f 的单调递减区间；

（2）在ABC ?中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，()1f A =-，7a =

，且向量

(3,sin )m B =与(2,sin )n C =共线，求边长b 和c 的值.

19. （12分）如图，290,,3

OC km AOB OCD π

θ=∠=

∠=,点O 处为一雷达站，测控范围为一个圆形区域（含边界），雷达开机时测控半径随时间变化函数为3r t tkm =，且半径增大到81km 时不再变化．一架无人侦察机从C 点处开始沿CD 方向飞行,其飞行速度为15/min km ．

(Ⅰ) 当无人侦察机在CD 上飞行分钟至点E 时，试用t 和θ表示无人侦察机到O 点的距离

OE ；

（Ⅱ）若无人侦察机在C 点处雷达就开始开机，且4

π

θ=，则雷达是否能测控到无人侦察机？

请说明理由.

20. （12分）已知函数()ln f x x a x =-，1(), (R).a

g x a x

+=-∈ （Ⅰ）若1a =，求函数()f x 的极值；

（Ⅱ）设函数()()()h x f x g x =-，求函数()h x 的单调区间；

21.函数1()(2)(1)2ln ,().(,)x

f x a x x

g x xe

a e -=---=∈R 为自然对数的底数

（1）若函数1()(0,),2

f x a 在上无零点求的最小值；

（2）若对任意给定的(](]00,,0,(1,2)i x e e x i ∈=在上总存在两个不同的，使得

0()()i f x g x =成立的a 的取值范围

22. （10分）请在下列两题中任选一题作答

（甲）在直角坐标系x y O 中，圆C 的参数方程1cos sin x y ?

?

=+??=?（?为参数）．以O 为极点，x

轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ?

?

+

= ??

?，

射线:OM 3

π

θ=与圆C 的交点为O 、P ，与直线l 的交点为Q ，求线段Q P 的长．

（乙）已知函数()|21|||2f x x x =+--. （Ⅰ）解不等式()0f x ≥；

（Ⅱ）若任意实数x ，使得()||f x x a ≤+，求实数a 的取值范围.

参考答案

一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A C

D

A

C

D

C

B

C

B

A

B

二、填空题

13：8 14：30? 15：3- 16：

1(,0]e ??

-∞???

?? 17. 解答：(1)

255

tan 2,sin ,cos 55

ADC ADC ADC ∠=-∴∠=

∠=- 2522510

sin sin()()252510

ACD CAD ADC ∴∠=∠+∠=

?-+?= 在△ACD 中,由正弦定理得sin sin AD ACD CD CAD ∠=∠即5CD = (2) ∵AD ∥BC ,∴∠ADC +∠BCD =180?

，

∴sin ∠BCD =sin ∠ADC =

255,cos ∠BCD =?cos ∠ADC =5

5

. 在△BCD 中,由余弦定理得2

2

2

2cos BD CD BC BC CD BCD =+-∠，

即2

4052BC BC =+-解得75BC BC ==-或（舍去）

18. (1)由题意知2

()2cos 3sin 21cos 23sin 212cos(2)3

f x x x x x x π

=-=+-=++

令2223

k x

k π

πππ≤≤+,得6

3

k x k π

π

ππ-

≤≤+

∴f (x )的单调递减区间[,]63

k k k z π

π

ππ-

+∈

(2) ()12cos(2)1,cos(2)133

f x A A π

π

=++

=-∴+=- 又

72,2,,73

3

333

A A A a π

π

πππ

π<+

<

∴+=∴==

由余弦定理得2

2

2

2

2cos ()3a b c bc A b c bc =+-=+-

因为向量(3,sin )(2,sin )m B n C ==与共线，所以2sin 3sin B C =，由正弦定理得

23b c =.∴3,2b c ==。

19.解（1）在△OCE 中，

22215,90,2cos CE t OC OE OC CE OC CE θ===+-由余弦定理得

281002252700cos t t θ+-

281002252700cos OE t t θ∴=+-

（2）令2223

()2251350281009f t OE r t t t =-=-+-，

令381r t t ==，解得t=9.∴0?t ?9 ∴'

2

2

25()274501350227()187********

f t t t t =-+-=--

+-< ∴()f t 在[0,9]上是减函数。23

(9)22591350298100990f =?-?+-?>

∴当09t ≤≤时, ()0f t >，即OE r > ∴雷达不能测控到无人侦察机。

20.解（Ⅰ)函数()f x 的定义域是(0,+∞)， 当1a =时, '

11

()ln ,()1x f x x x f x x x

---=-

=

x (0,1) 1

(1,+∞) f ′(x ) ? 0

+

f (x )

极小

∴()f x 在1x =处取得极小值1； (Ⅱ) 1()ln a

h x x a x x

+=+

-， '22

1()[(1)]

()1a a x a x a h x x x x +--+=--=

①当10a +>时,即1a >-时,在(1,)a ++∞上, '

()0h x >，在(0,1)a +上, '

()0

h x <

∴()h x 在(0,1)a +递减,在(1,)a ++∞递增； ②当10a +≤,即1a ≤-时,在(0,)+∞上'

()0h x >， ∴()h x 在(0,+∞)上递增。 21.解：

22.（甲）解答： （1）圆C 的参数方程为1cos sin x y ??

=+??

=?，（?参数).消去参数可得：22

(1)1x y -+=.

把cos ,sin x y ρθρθ==代入化简得：2cos ρθ=，即为此圆的极坐标方程。 （2）如图所示,由直线l 的极坐标方程是2sin 333πρθ??

+= ??

?,射线:OM 3

π

θ= 可得普通方程：直线l ：333y x +

=,射线:3,(0)OM y x x =>.

联立3333y x y x

?+=??=??,解得32332x y ?

=??

??=??,即333(,)22Q . 联立2

2

(1)13x y y x ?-+=??=??

,解得00x y =??=?或1232

x y ?

=

????=??.

∴1

3(,

22

P .

∴2231333()()22222

PQ =

-+-= （乙）解答：

(Ⅰ)函数13,21()21231,021,0x x f x x x x x x x ?

--<-??

?

=+--=--≤

-≥???

，

当1

2

x <-时，由30x --≥，可得3x ≤-. 当1

02

x -

≤<时，由310x -≥，求得x φ∈. 当0x ≥时，由10x -≥，求得1x ≥. 综上可得,不等式的解集为{

}31x x x ≤-≥或. (Ⅱ) ()f x x a ≤+,即1122

a

x x +

-≤+①，由题意可得，不等式①有解。 由于12x x +

-表示数轴上的x 对应点到1

2

-对应点的距离减去它到原点的距离,故111[,]222x x +

-∈-，故有1

1,22

a +≥-，求得3a ≥-.

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