广义积分的收敛判别法.
第二节 广义积分的收敛判别法
上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分?
+∞a
dx
x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有
ε
b b dx x f
证明：对+∞→b lim
0)(=?
+∞
b
dx x f 使用柯西收敛原理立即得此结论．
同样对瑕积分?b a
dx x f )((b 为瑕点), 我们有
定理9.2（瑕积分的Cauchy 收敛原理）设函数f (x )在[a ,b )上有定义，在其任何闭子区间[a , b –ε]上常义可积，则瑕积分?b
a dx x f )(收敛的
充要条件是: , 0>?δ, 只要0<δηη<
εηη
b b dx x f
定义9.5如果广义积分?+∞
a dx x f |)(|收敛，我们称广义积分?
+∞a
dx
x f )(绝对收敛（也称f (x )在[a ,+)∞上绝对可积]; 如?+∞
a dx x f )(收敛而非绝
对收敛，则称?
+∞a
dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上条件可积．
由于a A A ≥?/,，均有
|)(|/
?A A dx x f ≤
?/
|)(|A A
dx x f
因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a
dx x f )(绝对收敛，
则广义积分?+∞
a
dx x f )(必收敛．
它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质．
下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法：
定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有
),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数）
则当?+∞
a dx x )(?收敛时,
?+∞
a
dx x f )(也收敛;
当?
+∞a
dx x f )(发散时,
?+∞
a
dx x )(?也发散．
证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立．
对瑕积分有类似的结论判别法
定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使
∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则
1） 如?b
a
dx x g )(收敛，则?b
a
dx a f )(也收敛。
2）如?b a
dx x f )(发散，则?b
a
dx x g )(也发散．
比较判别法在实际应用时，我们常常用下列极限形式．
定理9.6 如果f (x ), g (x )是[a ,+)∞上的非负函数, 且,)()
(lim l x g x f x =+∞
→
则 (1) 如果+∞<≤l 0, 且?+∞
a
dx x g )(收敛, 则积分?+∞
a dx x f )(也收敛．
(2) 如果+∞≤ a dx x g )(发散，则积分?+∞ a dx x f )(也发散． 证明：如果,0)() (lim ≠=∞ →l x g x f x 则对于)0(0>->εεl , 存在A, 当A x ≥时, εε+<<-≤l x g x f l ) () (0 即)()()()()(x g l x f x g l εε+<<-成立. 显然 ?+∞ a dx x f )(与 ?+∞ a dx x g )(同时收敛或同时发散，在l =0或 l =∞时，可类似地讨论. 使用同样的方法，我们有 定理9.7 对以b 为唯一瑕点的两个瑕积分?b a dx x f )(与?b a dx x g )( 如果 f (x ), g (x ) 是非负函数，且,)() (lim l x g x f b x =- → 则 （1） 当+∞<≤l 0, 且?b a dx x g )(收敛时，则?b a dx x f )(也收敛． （2） 当+∞≤ dx x g )(发散时，则?b a dx x f )(也发散． 对无限区间上的广义积分中，取? ∞ +a p dx x 1 作比较标准，则得到下列Cauchy 判别法：设f (x )是[a ,+)∞的函数，在其任意闭区间上可积,那么: 定理9.8 若0≤f (x )≤p x c ， p >1,那么积分?+∞a dx x f )(收敛，如 f (x )≥p x c ，p ≤1,则积分?+∞a dx x f )(发散． 其极限形式为 定理9.9 如+∞ →x lim l x f x p =)( (+∞<≤l 0, p >1), 则积分?+∞ a dx x f )(收 敛． 如∞→b lim l x f x p =)(, 而+∞≤ a dx x f )( 发散. 例9.8 判断下列广义积分的收敛性。 (1) ?∞ +????? ?+-+1 11)11ln(dx x x (2) ?∞ ++1 1dx x x n m (m >0, n >0) 解：（1）因为0x x +- +≤11 )11ln( = +-≤x x 11 1 21)1(1x x x ≤+ 由? ∞+1 21 dx x 收敛推出?∞+????? ?+-+111)11ln(dx x x 收敛． （2）因为+∞ →x lim ,11=+-n m m n x x x 所以当n －m >1时，积分?∞ ++11dx x x n m 收敛. 当n －m ≤1时，积分?∞++11dx x x n m 发散． 对于瑕积分，使用?-b a p dx a x ) (1 作为比较标准，我们有下列柯西判别法． 定理9.10 设x=a 是f (x )在[a ,b )上的唯一奇点，在其任意闭区间上可积,那么 （1） 如0≤f (x )≤p a x c )(- (c>0), p<1, 则?b a dx x f )(收敛． （2） 如f (x )≥p a x c ) (- (c>0), p ≥1, 则?b a dx x f )(发散． 瑕积分的Cauchy 判断法的极限形式为 定理9.11 设k x f a x p a x =-+ →)()(lim 如0≤k <∞, p<1, 则?b a dx x f )(收敛 如0 a dx x f )(发散． 例9.9 判别下列瑕积分的敛散性。 (1) ?--1 222)1)(1(x k x dx (k 2<1) (2) ? 20 cos sin π x x dx q p (p ,q>0) 解：（1）1是被积函数的唯一瑕点 因为 - →1 lim x ) 1)(1()1(2 2 2 2 1 x k x dx x --- = +∞<-) 1(212 k 由2 1 = p 知瑕积分收敛． （2）0与2 π 都是被积函数的瑕点． 先讨论,cos sin 40 ? π x x dx q p 由+→0lim x 1cos sin 1=x x x q p p 知: 当p<1时, 瑕积分? 4 cos sin π x x dx q p 收敛; 当p ≥1时,瑕积分? 40 cos sin π x x dx q p 发散． 再讨论 ?2 4 cos sin π πx x dx q p 因-→ 2 lim πx 1cos sin 1 )2(=-x x x q p p π 所以当 q <1时, 瑕积分?2 4 cos sin π πx x dx q p 收敛， 当q ≥1时，瑕积分?2 4 cos sin π πx x dx q p 发散． 综上所述，当p<1且q<1时, 瑕积分?20cos sin π x x dx q p 收敛; 其他情况发散． 例9.10 求证: 若瑕积分?1 )(dx x f 收敛，且当+→0x 时函数f (x )单调趋 向于+∞，则+ →0 lim x x f (x )=0. 证明：不妨设]1,0(∈?x , f (x )≥0, 且f (x )在(0, 1)上单调减少。 已知?1 0)(dx x f 收敛，由柯西收敛准则，有 , 0>?δ(δ<1), δ< , )(2 ε x x dt t f 从而 0<)(2x f x ≤ε )( 或 0 即+ →0 lim x x f (x )=0. 例9.11 求证瑕积分?-1 0)]cos 1([1dx x x λ (λ>0), 当λ<3 1 时收敛 当λ3 1 ≥ 时发散. 证明:∵+ →0lim x λλ )]cos 1([3x x x -=+ →0lim x λ λλ ?? ? ??-2 33cos 1x x x x =+ →0 lim x λλ 2cos 112=?? ? ??-x x 所以当3λ<1时，即λ<31时，瑕积分收敛．当3λ≥1，即λ≥3 1 时，瑕积分发散． 前面讨论的是非负函数的反常积分的收敛性，为了能对一般函数的反常积分的敛散性进行讨论，我们先给出下面的重要结果． 定理9.12（积分第二中值定理）设g (x )在[a ,b ]上可积，f (x )在[a ,b ]上单调，则存在ξ∈[a ,b ] 使 ?b a dx x g x f )()(=??+ξ ξa a dx x f b g dx x f a g )()()()( 为了证明定理9.12，我们先讨论下列特殊情况． 引理9.1设f (x )在[a , b ]上单调下降并且非负，函数g (x )在[a ,b ]上可积，则存在c ∈[a ,b ]，使 ?b a dx x g x f )()(=f (a )?c a dx x g )( 证明：作辅助函数)(x ψ= f (a ), )(?x a dt t g 对[a ,b ]的任一分法 P: a =x 0 我们有 ?b a dx x g x f )()(=dx x g x f n i x x i i )()(1 1 ∑?=- 由此得到 |?b a dx x g x f )()(－dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--| =|dx x g x f x f i n i x x i i )()]()([111 -=-∑?-| ≤dx x g x f x f i n i x x i i |)(||)()(|11 1 -=-∑?- ≤)(1 f L n i i ∑=ω△x i 这里L 是|g (x )|在[a ,b ]的上界, )(f w i 是)(x f 在[]i i x x ,1-上的振幅，从这个估计式可知, 当P 0→时,应当有 dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑ ?=--→?b a dx x g x f )()( 我们来证明 ≤∈)(min ] ,[x b a x ψdx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--)(max ] ,[x b a x ψ∈≤ 为此，引入记号 G(x )= ?x a dt t g )( 并作如下变换 dx x g x f n i x x i i i )()(111 ∑ ?=-- =)]()([)(111-=--∑i i n i i x G x G x f =-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(11 1-=-∑i n i i x G x f =-∑=-)()(1 1i n i i x G x f )()(1 i n i i x G x f ∑-= =-∑=-)()(11i n i i x G x f )()(1 1 i n i i x G x f ∑-= （0)()(0==a G x G ） =+-∑=-)(])()([1 1i n i i i x G x f x f )()(n n x G x f 因为0)()(1≥--i i x f x f , )(n x f 0≥, 所以 dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑ ?=-- =+-∑=-)(])()([1 1i n i i i x G x f x f )()(n n x G x f ≥{)(])()([1 1n n i i i x f x f x f +-∑=-})(min ] ,[x G b a x ∈ =)(min )(] ,[x G a f b a x ∈ 同样可证 dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑ ?=--≤)(max )(] ,[x G a f b a x ∈ 我们证明了不等式 )(min )(] ,[x G a f b a x ∈≤dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--≤) (max )(] ,[x G a f b a x ∈ 即 )(min ] ,[x b a x ψ∈≤dx x g x f n i x x i i i )()(1 11 ∑?=--≤)(max ] ,[x b a x ψ∈ 现令|p|0→, 取极限，就得到 )(min ] ,[x b a x ψ∈≤?b a dx x g x f )()(≤)(max ] ,[x b a x ψ∈ 因此，存在c ∈[a ,b ]，使得 )(c ψ=?b a dx x g x f )()( （因为)(x ψ在［ b a ,］上是连续函数） 也就是?b a dx x g x f )()(=?c a dx x g a f )()( 证毕 下面我们证明定理9.12 证明：如f (x )是单调下降的，则f (x )－f (b )单调下降且非负，由引理12.2.1知，存在c ∈[a ,b ), 使 ?-b a dx x g b f x f )()]()([=?-c a dx x g b f x f )()]()([ 即 ?b a dx x g x f )()(=, )()()()(??+b c c a dx x g b f dx x g a f 对f (x )单调上升的情形，可作类似讨论. 使用积分第二中值定理，我们得到下列一般函数的广义积分敛散性的判别法 定理9.13 若下列两个条件之一满足，则?+∞ a dx x g x f )()(收敛 （1）（Abel 判别法）? +∞a dx x f )(收敛，g (x )在[a ,∞]上单调有界; （2）（Dirichlet 判别法）设F(A)=?A a dx x f )(在[a ,∞]上有界，g (x )在 [a ,)∞上单调, 且+∞ →x lim g (x )=0. 证明：（1）0>?ε, 设|g (x )|≤M ，∈?x [a ,∞), 因? +∞ a dx x f )(收敛，由 Cauchy 收敛原理，a A ≥?0, 使01,A A A ≥?时, 有 M dx x f A A 2|)(|1 ε < ? 由积分第二中值定理，我们得到 |)()(|1 ?A A dx x g x f ≤+??|)(||)(|ξ A dx x f A g |)(||)(|1 1??A dx x f A g ξ ≤+??|)(|ξ A dx x f M |)(|1 ??A dx x f M ξ 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(. 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞ +a dx x f )(发散 时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 一个比拉阿比判别法更精细的正项级数判别法 摘要：本文用级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法，笔者称之为“对数判别法”。 关键词：比较判别法 级数判别法的极限形式 拉格朗日中值定理 对数判别法 目前较常用而又精细的正项级数判别法是拉阿比判别法，然而此判别法有时精确度仍然不够。以下本文就以级数∑ ∞ =3 ln 1 n p n n 做比较标准，得到一个比拉阿比判别法更为精细又应用方便的判别法——“对数判别法”。 我们先看级数∑ ∞ =3ln 1 n p n n 的敛散性：当1>p 时级数收敛；当1≤p 时级数发散。这个结论可用柯西积分判别法证明（具体证明请参见邓东皋、尹小玲编著《数学分析简明教程》），本文不再细述。 先考虑发散的情况。由比较判别法有：设数列}{n u 是正项数列，若n 足够大时，有 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++< + 成立，则∑∞ =1 n n u 发散。 为了应用方便我们来寻求像拉阿比判别法那样的“极限形式”： n n n n u u n n ln )1ln()1(1++<+n n n u n nu n n ln ln )1ln(1)1(1-+< -+?+， 由拉格朗日中值定理知，对任意n ，存在)1,(+∈n n n ξ，使得 n n n ξ1 ln )1ln(= -+, 故 n n n n u u n n ln ) 1ln()1(1++<+1]1)1([ln 1 <-+?+n n n u n nu n ξ， 要使n 足够大时有1]1)1([ ln 1 <-++n n n u n nu n ξ成立，只需 §2 广义积分的收敛性 主要知识点：广义积分及其敛散性概念； 非负函数广义积分收敛性的比较判别法、柯西判别法； 一般函数广义积分收敛性的Abel 、Dilichlet 判别法； 广义积分与级数的关系。 1、 讨论积分1 121 (1)[ln(1)]x e dx x α β +∞ --+? 的敛散性。 解：211 ,x x x α β →+∞时 “分子”“分母” 。 2、 证明积分 420 1sin dx x x +∞ +? 收敛 。 1 0,02k k k k k k k k k I v v v πδπδπδ δδ+-- '↓=+ +≤= ≤∑∑? ?解：取则，其中 ， 11 (1)(1)421 11()sin k k k k k k k k k k v k πδπδπδ πδ πδ+++-+-++ + '=≤ +?? 。4 3 1 ,k k v k δ=∑取则收敛； 114 433 () 0,k k k k M M v v k k πδδ+--'' ≤≤≤∑又可见 也收敛。 3、 证明积分 1 2 2 3 (1)(sin ) dx x x +∞ +? 收敛 。 解：注意到(1)2 2 3 3 (sin ) [sin()] ,n n n x x n I u π π π+=-==∑ ∑?故 ，由于 2 222 3 2 1 0,1sin n n u dx u n x π π≤≤ +∑?故 收敛。 4、 讨论积分 10 sin 1cos x dx k x π αα -+?的敛散性 。 解：⑴ －1< k <1时f(x)只可能以0,π为瑕点，且当x →∞时分别与1111 , ()x x α α π---同阶，故 当0α>时积分收敛。 ⑵ k = ±1时，f(x)的可能瑕点仍是0,π 。1 120 1 I I I π = +=+?? k = 1时，将cos x 在点π处展成Taylor 公式，可知1cos x +与2 ()x π-同阶。于是1I 仅当0α>时 收敛，2I 仅当0α<时收敛，从而原积分不收敛。 k = －1 时，将cos x 在点0处展成Taylor 公式，可知1－cos x 与2 x 同阶。于是1I 仅当0α<时 收敛，2I 仅当0α>时收敛，故原积分不收敛。 页脚内容278 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞+a dx x )(?和?∞+a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况. 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数.则 当?∞+a dx x )(?收敛时?∞+a dx x f )(也收敛； 当?∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散. 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε?< ?')(. 于是 ≤ ?'A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(. 于是 页脚内容279 ≥?'A A dx x )(?0)(1ε≥?'A A dx x f K ， 所以?∞+a dx x )(?也发散. （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0)()(lim =+∞→x x f x ?.则当?∞+a dx x f )(发散时，?∞+a dx x )(?也发散；但当?∞+a dx x f )(收敛时，?∞+a dx x )(?可能收敛，也可能发散. 例如21)(x x f =，)20(1)(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 收敛，而对于?∞+1)(dx x ?，则当21< =p x x p ?，则+∞=+∞→)()(lim x x f x ?.显然有 ?∞+1)(dx x f 发散，而对于?∞+1)(dx x ?，则当12 1≤ p 时收敛. ⒉ 证明Cauchy 判别法及其极限形式（定理8.2.3）. 证 定理8.2.3（Cauchy 判别法） 设在[,)a +∞?+∞(,)0上恒有f x ()≥0，K 是正常数. ⑴ 若f x K x p ()≤，且p >1，则?∞+a dx x f )(收敛； 目录 摘要........................................................................................... (2) 引言........................................................................................... . (3) 1无穷积分........................................................................................... .. (5) 1.1无穷积分的概念........................................................................................... .. (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分........................................................................................... .. (8) 2.1瑕积分的定义........................................................................................... . (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结........................................................................................... ......... .. (13) 参考文献........................................................................................... ... .. (14) 反常积分的收敛判别法 阿文 摘 要：掌握不同类型函数反常积分收敛性的多种判别方法，对于需要计算出其收敛值的，也可以方便的计算出其收敛的数值. 关键词：Cauchy 判别法； Abel 判别法； Dirichlet 判别法 引 言 一般情况下，只需确定一个反常积分函数的收敛性，而不一定需要求出其具体的收敛数值.因此，掌握不同类型函数的反常积分收敛判别法是极其必要的. 一 非负函数反常积分的收敛判别法 1.比较判别法 设在),[+∞a 上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数，则 （1） 当? +∞a dx x )(?收敛时?+∞a dx x f )(也收敛； （2） 当?+∞a dx x f )(发散时?+∞a dx x )(?也发散. 2.Cauchy 判别法 设在),[+∞a ),0(+∞?上恒有0)(≥x f ，K 是正常数， （1）若p x K x f ≤)(，且p>1,则dx x f a ?+∞)(收敛； （2）若p x x f K ≥)(，且p 1≤，则?+∞a dx x f )(发散. 二 一般函数反常积分的收敛判别法 1.Abel 判别法 dx x f a ? +∞)(收敛，)(x g 在),[+∞a 单调有界，则dx x g x f a )()(?+∞收敛； 2.Dirichlet 判别法 F(A)=dx x f A a ?)(在[),+∞a 上有界，)(x g 在[),+∞a 上单调且+∞→x lim 0)(=x g ，则dx x g x f a )()(?+∞ 收敛. 三 无界函数反常积分的收敛判别法 1.Cauchy 判别法 设在[),b a 上恒有0)(≥x f ，当x 属于b 的某个领域),[0b b η-时，存在正常数K ，使得 (1) ,) ()(p x b K x f -≤且p<1，则?b a dx x f )(收敛; (2) ,)()(p x b K x f -≥且p 1≥则?b a dx x f )(发散. 2.Abel 判别法 ?b a dx x f )(收敛，)(x g 在),[ b a 上单调有界，则?b a dx x g x f )()(收敛. 3.Dirichlet 判别法 ? -=ηηb a dx x f F )()(在],0(a b -上有界，)(x g 在),[b a 上单调且0)(lim =-→x g b x , 则?b a dx x g x f )()(收敛. 总 结 函数的类型不同，其相应的反常积分收敛判别法也就不同. 熟练掌握多种判别法可以对不同类型函数的敛散性做出正确的估计及计算.一般的，同一类函数也可用不同的方法来计算，既省时间，正确度又高. 参考文献 [1]陈纪修，於崇华，金路.数学分析(第二版)[M]，北京：高等教育出版社，2004.6. 数学与统计学院应用数学系 综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法 摘要： 各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。 关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法 1基本概念 1.1 数项级数及其敛散性 在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。 定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++ （1） 称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1 n n k k S u == ∑，称为（1）的前n 项部分和。 定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞ =），则称数项级数（1）收 敛，并称S 为（1）的和，记为1 n n S u ∞ == ∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。 根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质： (i) 收敛级数的柯西收敛准则 级数（1）收敛的充要条件是：0ε?>，0N ?>，n N ?>，p Z + ?>，有 12||.n n n p u u u ε++++++< (ii) 级数收敛的必要条件：若级数 1 n n u ∞ =∑收敛，则lim 0n n u →∞ =. (iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。 (iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。 (v) 运算性质： 若级数 1 n n u ∞ =∑与 1 n n v ∞ =∑都收敛，c d 是常数，则 1 ()n n n cu dv ∞ =+∑收敛，且满足 安.师专攀报(自泊科学蔽)1995年旅魂翔 2)若、‘1,。 广义积分的收敛判别 法 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分 ?+∞ a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛，则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 习 题 8.2 反常积分的收敛判别法 ⒈ ⑴ 证明比较判别法（定理8.2.2）； ⑵ 举例说明，当比较判别法的极限形式中l =0或+∞时，?∞ +a dx x )(?和 ? ∞ +a dx x f )(的敛散性可以产生各种不同的的情况。 解 （1）定理8.2.2（比较判别法） 设在[,)a +∞上恒有)()(0x K x f ?≤≤，其中K 是正常数。则 当?∞ +a dx x )(?收敛时? ∞+a dx x f )(也收敛； 当? ∞ +a dx x f )(发散时?∞ +a dx x )(?也发散。 证 当?∞ +a dx x )(?收敛时，应用反常积分的Cauchy 收敛原理， 0>?ε ，a A ≥?0，0,A A A ≥'?：K dx x A A ε ?< ?' )(。 于是 ≤ ?' A A dx x f )(ε??ε，a A ≥?0，0,A A A ≥'?： εK dx x f A A ≥?' )(。 于是 ≥?'A A dx x )(?0)(1 ε≥?' A A dx x f K ， 所以?∞ +a dx x )(?也发散。 （2）设在[,)a +∞上有0)(,0)(≥≥x x f ?，且0) ()(lim =+∞→x x f x ?。则当?∞ +a dx x f )(发 散时，?∞ +a dx x )(?也发散；但当?∞ +a dx x f )(收敛时，?∞ +a dx x )(?可能收敛，也可能发散。 例如21)(x x f = ，)20(1 )(<<=p x x p ?，则0)()(lim =+∞→x x f x ?。显然有 ?∞ +1 )(dx x f 收敛，而对于?∞ +1)(dx x ?，则当21< §2 无穷积分的性质与收敛判别法 教学目的与要求： 掌握条件收敛与绝对收敛的概念，收敛的无穷积分具有的四个性质；掌握收敛的Cauchy 准则、比较判别法及其三个推论、阿贝耳判别法、狄利克雷判别法等。 教学重点，难点： 无穷积分的收敛性比较判别法、柯西判别法、狄利克雷判别法等。 教学内容： 本节介绍了无穷积分的三个性质和四种判别收敛的方法 一 无穷积分的性质 由定义知道，无穷积分 ()dx x f a ? +∞ 收敛与否，取决于函数F （u ）=()dx x f u a ?在u →+∞时是否存在 极限。因此由函数极限的柯西准则导出无穷积分收敛的柯西准则。 定理11.1 无穷积分()dx x f a ? +∞ 收敛的充要条件是：任给ε＞0，存在G ≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便 有 ()()()2 1 2 1 u u u a a u f x dx f x dx f x dx ε-= ?≥a ，只要u 1、u 2＞G ，便有 ()()()221 1 21|()()|.u u u u a a f x dx f x dx f x dx F u F u ε=-=- 内蒙古财经大学本科学年论文反常积分敛散性的判定方法 作者陈志强 学院统计与数学学院专业数学与应用数学年级2012 级 学号122094102 指导教师魏运 导师职称教授 最终成绩75 分 目录 摘要??????????????????.. ?? . ?. ?????..1 关键词??????????????????.. ?? . ?. ????..1 引言 ----------------------------------------------------------------------------------------2 一、预备知识?????????? .. ?? . ?. ????? . 2 1.无穷限反常积分??????????..??.?.?????..2 2.瑕积分????????..??.?.????3 3.反常积分的性质???????? .. ?? . ?. ????3 二、反常积分的收敛判别法????????????.. ?? . ?. 4 1 无穷积分的收敛判别????????.. ?? . ? . ?????4 (1). 定义判别法 (2). 比较判别法 (3).柯西判别法??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 4??????? .. ?? . ?. ?????..?? 5 (4)阿贝尔判别法 . ???????..??.?.?????.6 (5).狄利克雷判别法???????..??.?.?????7 2 瑕积分的收敛判别???????..??.?.?????. .?8 (1). 定义判别法???????..??.?.?????..??8 (2). 定理判别法???????????..??.?.?????.9. (3). 比较判别法?????????????.. ?? . ?. ????9 (4).柯西判别法???????????..??.?.?????9 (5).阿贝尔判别法???????????..??.?.???.10 (6).狄利克雷判别法????????..??.?.?????10. 数学分析第十二章数项级数积分判别法 第八讲 数学分析第十二章数项级数 定理12.9（积分判别法） 积分判别法由于比式和根式判别法的比较对象是几何级数,局限性较大,所以还需要建立一些更有效的判别法. 设[1,)f +∞为上非负减函数,+1()d f x x 与反常积分∞ ?同时收敛或同时发散. 证由假设[1,)f 为+∞上非负减函数, f 在[1, A ]上可积,于是 对任何正数A ,那么正项级数()f n ∑ 数学分析第十二章数项级数-≤≤-=?1()()d (1),2,3,. n n f n f x x f n n 依次相加可得1 122 1()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?若反常积分收敛,有 111()(1)()d (1)()d . m m m n S f n f f x x f f x x +∞==≤+≤+∑?? 根据定理12.5, 级数()f n ∑收敛. 则由(12)式左边, 对任何正整数m , 数学分析第十二章数项级数反之, 若()f n ∑为收敛级数, 一正整数m (>1)有 -≤≤=∑?11()d (). (13)m m f x x S f n S 1 0()d , 1.A n f x x S S n A n ≤≤<≤≤+?因为f (x )为非负减函数, 法, 可以证明+1()()d f n f x x 与∞∑? 是同时发散的.112 21()()d (1)().(12)m m m m n n n f n f x x f n f n -===≤≤-=∑∑∑?则由(12)式右边，对任故对任何正数A ,都有111.2,()d .f x x +∞ ?根据定理反常积分收敛用同样方 第二节 广义积分的收敛判别法 上一节我们讨论了广义积分的计算, 在实际应用中，我们将发现大量的积分是不能直接计算的，有的积分虽然可以直接计算，但因为过程太复杂，也不为计算工作者采用，对这类问题计算工作者常采用数值计算方法或Monte-Carlo 方法求其近似值. 对广义积分而言，求其近似值有一个先决条件 — 积分收敛，否则其结果毫无意义。 因此，判断一个广义积分收敛与发散是非常重要的． 定理9.1（Cauchy 收敛原理）f (x )在[a , +∞ ）上的广义积分? +∞a dx x f )(收敛的充分必要条件是：0>?ε, 存在A>0, 使得b , b '>A 时，恒有 ε?ε , 0>?δ, 只要0<δηη< 收敛而非绝对收敛，则称?+∞ a dx x f )(条件收敛，也称f (x )在[a ,+)∞上 条件可积． 由于a A A ≥?/,，均有 |)(|/ ?A A dx x f ≤ ?/ |)(|A A dx x f 因此，由Cauchy 收敛原理，我们得到下列定理． 定理9.3如果广义积分?+∞a dx x f )(绝对收敛， 则广义积分?+∞ a dx x f )(必收敛． 它的逆命题不一定成立，后面我们将会看到这样的例子。 对其它形式的广义积分，类似地有绝对收敛及条件收敛的定义及性质． 下面我们先介绍当被积函数非负时，广义积分收敛的一些判别法． 比较判别法： 定理9.4（无限区间上的广义积分）设在[a ,+∞)上恒有 ),()(0x k x f ?≤≤（k 为正常数） 则当?+∞ a dx x )(?收敛时, ?+∞ a dx x f )(也收敛; 当? +∞ a dx x f )(发散时, ?+∞ a dx x )(?也发散． 证明：由Cauchy 收敛原理马上得结论成立． 对瑕积分有类似的结论判别法 定理9.5 设f (x ), g (x ) 均为[a ,b )上的非负函数，b 为两个函数的奇点，如存在一个正常数k, 使 ∈?≤≤x x kg x f ),()(0[a , b ), 则 第十一章反常积分 教学要点： 反常积分收敛和发散的概念及敛散性判别法。 教学内容： §1 反常积分的概念（4学时） 反常积分的引入，两类反常积分的定义反常积分的计算。 §2 无穷积分的性质与收敛判别（4学时） 无穷积分的性质，非负函数反常积分的比较判别法，Cauchy判别法，反常积分的Dirichlet判别法与Abel判别法。 §3 瑕积分的性质与收敛判别 瑕积分的性质，绝对收敛，条件收敛，比较法则。 教学要求： 掌握反常积分敛散性的定义，奇点，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念，并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、Cauchy判别法，以及一般函数反常积分的Abel、Dirichlet判别法判别基本的反常积分。 1．反常积分的收敛性及其收敛性的判别法是本章的重点. 2．两类反常积分的性质及其收敛性判别法有很多相似之处，应引导学生加以类比。 §1 反常积分概念 教学目标：掌握反常积分的定义与计算方法． 教学内容：无穷积分；瑕积分． 教学建议： 讲清反常积分是变限积分的极限． 教学过程： 一、 问题的提出 1、为什么要推广Riemann 积分 定积分()b a f x dx ?有两个明显的缺陷：其一，积分区间[a,b]必须是有限区间； 其二，若[,]f R a b ∈，则0M ?>，使得对于任意的[,]x a b ∈，|()|f x M ≤（即有界是可积的必要条件）。这两个缺陷限制了定积分的应用，因为在许多实际问题和理论问题中涉及到积分区间是无穷区间或被积函数出现无界的情形。 例1（第二宇宙速度问题）、在地球表面初值发射火箭，要是 火箭克服地球引力，无限远离地球，问初速度至少多大？ 解： 设地球半径为 ，火箭质量为 ，地面重力加速度为，有万有引 力定理，在距地心处火箭受到的引理为 于是火箭上升到距地心处需要做到功为 当 时，其极限就是火箭无限远离地球需要作的功 在由能量守恒定律，可求得处速度至少应使 例2、 从盛满水开始打开小孔，问需多长时间才能把桶里水全部放完？ 解： 由物理学知识知道，（在不计摩擦情况下），桶里水位高度为 时，水从小孔里流出的速度为 目录 摘要 (2) 引言 (3) 1无穷积分 (5) 1.1无穷积分的概念 (5) 1.2无穷积分敛散性的柯西准则 (5) 1.3无穷积分敛散性的比较判别法 (6) 1.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法 (7) 2瑕积分 (8) 2.1瑕积分的定义 (9) 2.2瑕积分的敛散性的比较判别法.................................................................... (10) 2.3.瑕积分敛散性的柯西判别法 (10) 2.4无穷积分的敛散性的狄利克雷与阿贝尔判别法.................... .. (12) 3瑕积分与无穷积分之间的关系............................................................ (13) 总结.................................................................................................... .. (13) 参考文献.............................................................................................. .. (14) 判断反常积分敛散性的方法 谢鹏数学与计算机科学学院 摘要：反常积分的收敛性是数学分析中的难点之一，本文介绍了反常积分敛散性的定义和一些重要的反常积分收敛和发散的例子，以及绝对收敛和条件收敛的概念等，让读者能够用反常积分的柯西收敛原理、非负函数反常积分的比较判别法、柯西判别法，以及一般函数反常积分的狄利克雷、阿贝尔判别法判别法判别基本的反常积分敛散性，以便更好的掌握反常积分收敛先判断的方法. 关键词：无穷积分；瑕积分；敛散性；判别方法 On Convergence of The Method of Judging Abnormal Integral Name of student, School: XiePeng，School of Mathematics & Computer Science 含参量反常积分一致收敛的判别法 王 明 星 （德州学院数学科学学院,山东德州 253023） 摘 要： 含参量反常积分是研究和表达函数特别是非初等函数的有力工具.本文通过对含参量反常积分一致收敛性的分析和研究,总结出了判别含参量反常积分一致收敛的几种简单而有效的方法和定理（柯西准则,M 判别法,确界法,狄利克雷判别法等）,从而方便了含参量反常积分一致收敛性的学习和掌握. 关键词： 含参量反常积分; 一致收敛; 判别法 含参量反常积分包括含参量无穷限反常积分和含参量无界函数反常积分,两种反常积分一致收敛性的判别法是相似的,所以我们下面仅仅讨论含参量无穷限反常积分一致收敛性的判别法. 1 含参量无穷限反常积分一致收敛的概念 1.1 含参量无穷限反常积分 设函数(,)f x y 定义在无界区域(){},,R x y a x b c y =|≤≤≤<+∞上,若对每一个固定的[],x a b ∈,反常积分 (,)c f x y dy +∞ ? 都收敛,则它的值是x 在[],a b 上取值的函数,当记这个函数为()I x 时,则有 ()(,)c I x f x y dy +∞=?,[],x a b ∈ 称(,)c f x y dy +∞? 为定义在[],a b 上的含参量无穷限反常积分. 1.2 含参量无穷限反常积分收敛 若含参量无穷限反常积分(,)c f x y dy +∞? 与函数()I x 对每一个固定的 [],x a b ∈,任给的正数ε,总存在某一实数N c >,使得M N >时,都有 (,)()M c f x y dy I x ε- 积分判别法 若在[1,∞)上f 减, 非负, 则∑f (n )收敛??∞1f 收敛. 此时?∞1f ≤∑f (n )≤?∞1f + f (1). 证 ?21f ≤f (1) = f (1), ?32f ≤f (2)≤?21f , … ,?+1n n f ≤f (n )≤?-n n f 1, 相加得?+11n f ≤∑-n k k f 1)(≤?n f 1+ f (1). 令n →∞得证. 注. 条件可改为x 充分大时f 减, 非负. 例1(p 级数)∑p n 1当且仅当p > 1时收敛. 证一. p > 0时用积分判别法; p ≤0时由必要条件. 证二 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散, p >1时用积分判别法. *证三 p ≤1时由n -p ≥n -1得发散. p > 1时按下列方法加括号: 括号内的项数依次为1, 2, 4, 8, 16, …, 则由1141447141,21223121--=<++=<+p p p p p p p p Λ, … 及比较判别法知加括号后的级数收敛, 故p 级数也收敛. △∑∑∞=∞ =32ln ln 1 ,ln 1n p n p n n n n n , … . 备考. 设f (x ) = (x ln p x )-1 (x ≥2), 则p ≥0时显然f 减. 而p < 0时对充分大的x , f 仍减[p < 0时f ' (x ) = - (x ln p x )-2 ln p -1x (ln x + p )< 0 (x > e -p ), 故可直接应用积分判别法得∑(n ln p n )-1当p > 1时收敛, p ≤1时发散. △∑)1(~ )1(23n n n +. △)1(~ 1n n n ∑-.△)1(~ )1(q q p p n n n ∑++.△∑sin n 1 (~n 1). △∑n n 1 (n n a =n 1→0, 或n n 1习题反常积分的收敛判别法
对数判别法
广义积分的收敛性
习题反常积分的收敛判别法
积分敛散性的判断
反常积分的收敛判别法
正项数收敛判别方法
广义积分敛散性判别法的应用
广义积分的收敛判别法知识分享
习题8.2反常积分的收敛判别法
无穷积分的性质与收敛判别法
反常积分的敛散性判定方法
08第八讲 积分判别法
广义积分的收敛判别法-广义积分收敛判别法
反常积分
积分敛散性的判断
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(完整版)《高数》积分判别法