三角函数与解三角形(解析版)
三角函数与解三角形 【考生存在问题报告】
(一)概念理解不透彻
概念理解不透彻主要表现在三角函数的定义、诱导公式;三角函数的复合变换和三角函数的性质(周期性、单调性、对称性)等.
【例1】(2020·安徽高三期末)若函数()x x f 2sin =的图象向右平移
6
11π
个单位得到的图象对应的函数为()x g ,则下列说法正确的是( )
A .()g x 的图象关于12
x π
=-
对称
B .()g x 在[]0π,上有2个零点
C .()g x 在区间5
36ππ??
??
?,上单调递减 D .()g x 在 02π??
-????,上的值域为 0?????
?
【解析】由题意1111()sin 2()sin(2)sin(2)633
g x x x x πππ
=-
=-=+, 1()sin()12632
g πππ-=-+=不是函数的最值,12x π
=-不是对称轴,A 错;
由()sin(2)03
g x x π=+=,2()3x k k Z ππ+=∈,26k x ππ=
-,其中5,36ππ
是[0,]π上的零点,B 正确; 由3222232k x k πππππ+≤+≤+得71212k x k ππ
ππ+≤≤+,k Z ∈,因此()g x 在7(,
)312
ππ是递减,在75(,)126
ππ
上递增,C 错;
[,0]2
x π
∈-
时,22[,]3
33x π
ππ+
∈-
,()[g x ∈-,D 错. 故选:B .
【评析】本题有两个考查重点,即三角函数图象变换和三角函数的性质.三角函数图象变换和三角函数的几何性质(对称轴方程,对称点坐标,单调区间等)是考生的易错点,比如,考生比较容易将平移以后的解析式写为()??
?
?
?
-
=6112sin πx x f ,或者将正弦函数的单调区间直接搬来等.在解决问题时,只有深刻地理解三角函数图象的平移变换和三角函数图象的性质,提高应用所学三角函数知识进行运算的能力,才能正确地判断三角函数图象经平移以后的图象的对称轴方程. (二)整体意识较薄弱
在三角函数专题中,常常出现三角求值问题.在求值过程中,整体意识薄弱,不能合理运用有关公式进行恒等变形,是导致失分的主要原因,主要包括:①找不准已知式与待求式之间的差别与联系,无法将角进行合理的拆分;②对角的结构特征分析不透,不能从整体的意识上去分析和思考问题等. 【例2】(2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末)若02
π
α<<
,02π
β-
<<,1cos 43πα?
?+= ??
?,
cos 42πβ??
-=
???cos 2βα??+ ???等于( )
A B .3
-
C .
9
D .9
-
【解析】02
π
α<<
Q ,34
4
4π
π
πα∴
<+
<
,则sin 43πα??+== ???,
02
π
β-
< 4 4 2 2 π π β π < - < ,所以,sin 423 πβ??-== ???, 因此,cos cos 2442βππβαα??? ? ????+ =+-- ? ? ???? ?? ????? 1cos cos sin sin 44244233ππβππβαα????? ???=+-++-== ? ? ? ????????? , 故选C . 【评析】面对这样的给值求值问题,学生整体的意识不强,不能正确地利用方程思想,解出角的函数值,进一步利用两角和的正弦公式求值,事实上,“从角的关系出发分析问题”与“从(同角)三角函数值的代数运算关系出发分析问题”,是我们在解决同类问题时最常用的两种途径. (三)恒等变形欠灵活 化归与转化思想是三角恒等变形的主导思想.在三角恒等变形中,学生存在的主要问题是对已知式中角的差异、函数名称的差异、式子结构的差异等分析不到位,识别、选择、应用三角公式解决问题的能力不强,致使三角恒等变形转化不准确,造成后续求解繁琐或错误. 【例3】【2016年课标卷Ⅲ理5】若3 tan 4 α= ,则2cos 2sin 2αα+= A .6425 B .4825 C . 1 D .1625 【解析】思路1: 对所求式子作等价变形:22 222cos 4sin cos 14tan cos 2sin 2cos sin tan 1 ααααααααα+++== ++,再将 3tan 4 α= 代入,可求得264cos 2sin 225αα+=.选A . 思路2 :将所求的式子等价变形为22cos 2sin 2cos 4sin cos ααααα+=+,由3 tan 04 α= >,可知sin cos 0αα>,可得3412sin cos 5525αα=?=,所以2161264 cos 2sin 24252525 αα+=+?=.选A . 思路3:由3tan 4α=,可知cos 0α≠,则22cos 2sin 2cos (14tan )αααα+=+,将3tan 4 α=,216 cos 25α= 代入,可得216364 cos 2sin 2(14)25425 αα+=+?=.选A . 【评析】在本题的解答中,学生存在的主要问题是不能快速地识别、选择、应用三角公式,如面对待求式 2cos 2sin 2αα+,不会巧妙地利用22sin cos 1αα+=,将待求式恒等变形为 214tan tan 1 α α++; 将待求式2cos 2sin 2αα+化为2cos 4sin cos ααα+之后,无法从3 tan 4 α= 求出它的值.三角恒等变形的实质是消除两个式子的差异,认真观察、比较已知条件与待求式子之间的联系,选择适当途径,将已知式与待求式化异为同,从而达到解题的目的. (四)形数结合不灵巧 形数结合不灵巧主要表现在:对三角函数的图象与性质(周期性、单调性与对称性)的掌握情况不理想;对三角概念及三角函数三种表征的理解与变换不透彻;对三角函数的数形结合思想的运用以及基于三角函数的逻辑推理能力不强,尤其是识图、用图能力及利用三角公式进行三角恒变形的能力不强. 【例4】(2016年课标卷Ⅰ文6)将函数π2sin(2)6y x =+的图象向右平移1 4 个周期后,所得图象对应的函数 为 A .π2sin(2)4y x =+ B .π 2sin(2)3y x =+ C .π2sin(2)4y x =- D .π 2sin(2)3 y x =- 【解析】思路1: 求出给定三角函数的最小正周期,依据函数图象平移的一般方法,把已知函数图象平移.因 为π2sin(2)6y x =+的最小正周期为πT =,所以π 2sin(2)6y x =+的图象向右平移π44T =个单位长度后,所 得图象对应的函数为ππ2sin[2()]46y x =-+,即π 2sin(2)3 y x =-,选D . 思路2 :根据给定三角函数的特殊点,确定平移后的三角函数的初始相位.在已知函数π 2sin(2)6 y x =+的 图象中找到一点π(,0)12- ,点π(,0)12-向右平移π44T =个单位长度后为点π (,0)6 .由于三角函数图象的平移不改变原来三角函数的振幅、周期,假设平移后的三角函数为2sin(2)y x ?=+,则π 2sin(2)06 y ?=?+=, 故可取π3?=-,即平移后的函数为π 2sin(2)3 y x =-,选D . 【评析】本题看似简单,但答题仍存在如下问题:①审题不细致,本题用给定函数的周期作为图象平移的条件,也就是将函数的图象向右平移 π4个单位长度,但学生却误认为是1 4 个单位长度,致使结果不正确;②概念不清晰,对三角函数三种表征的理解与变换不熟练,如平移后的函数解析式表示为 ππ2sin(2)46y x =- +,或表示为ππ 2sin[2()]46 y x =++.本题用给定函数的周期作为图象平移的条件,是将函数周期性的代数表示转化为函数周期性的几何表示,其实质就是将满足()()f x T f x +=的函数()y f x =,将其图象沿x 轴方向平移(0)kT k >个单位长度后,判断其图象与()y f x =的图象是哪种关系.函数 sin()y A x ω?=+的图象的平移和伸缩变换,以及根据图象确定,,A ω?问题是高考的热点,题型大多是选 择题或填空题,在这类问题中,考生要熟练掌握三角函数的图象与性质(周期性、单调性与对称性),建立三角函数的解析式表征与图象表征之间的关联. (五)定理应用欠思考 三角函数与解三角形这部分内容的突出特点是,公式多、定理多.学生对相关的概念、公式理解掌握不到位,导致解决相应的问题时,思维不顺畅,定理应用欠思考,如在应用诱导公式解三角函数问题时,常出现公式记忆不准确,不注意角的范围和象限等;在解决有关sin()y A x ω?=+的问题时,不能准确应用有关的三角函数性质,不注意所给的角或者参数的范围;在三角恒等变形中,选用公式不合理或转化不准确,造成后续求解繁琐或错误;在解决三角形问题时,忘记或不会应用三角形中的隐含条件,求边、角时忽略其范围,不能熟练掌握正、余定理的几种常见变形等,这些都是造成失分的主要原因. 【例5】(2020·黑龙江哈尔滨三中高三期末)在ABC ?中,角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c , 2 74sin cos 222 A B C +-=. (1)求角C ; (2)若ABC S ?= ,c =a ,b 的值. 【答案】(1)3 C π = ;(2)23a b =?? =?或3 2a b =?? =? 【解析】(1)由已知得,()()() 2 7 21cos 2cos 12 A B C -+--= , 所以()2 2cos 10C -=, 所以1cos 2C = ,3 C π=. (2)1sin 2ABC S ab C ?= = 6ab =.(1) 又由()()2 221cos c a b ab C =+-+得,5a b +=.(2) (1)与(2)联立得:23a b =?? =?或3 2 a b =?? =?. 【评析】该题考查的是有关解三角形的问题,涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理,在解题的过程中,需要时刻关注题的条件,以及条件中角的隐含的范围,从而正确求得结果. (六)知识交汇不顺畅 高考对本专题的考查常常将众多知识进行交汇.如在诱导公式和同角三角函数关系的考查中,常与三角函数式求值、化简,和差公式及倍角公式等综合进行,容易产生错误;在研究函数sin()y A x ω?=+问题时,不仅关注解析式及其图象,还关注周期性、对称性、单调性及最值等,综合度较大,要求较高,学生常因考虑不周而失分.不仅如此,高考对本专题的考查,还常将三角函数与指数函数、对数函数、幂函数等进行交汇,考查函数的相关问题,综合性强,学生不容易得分. 【例6】【2016年课标卷Ⅰ文12】若函数1 ()sin 2sin 3 f x x x a x =-+在(,)-∞+∞上单调递增,则a 的取值范 围是 A .[1,1]- B .1[1,]3- C .11 [,]33- D .1[1,]3 -- 【解析】思路1: 函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,等价于当(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '≥. 而2245 ()1cos2cos cos cos 333f x x a x x a x '=-+=-++,所以当(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '≥,等价于当 (1,1)t ∈-时,245 ()033 g t t at =-++≥.利用二次函数的性质,当且仅当(1)0g -≥且(1)0g ≥时,()0g t ≥, 可得11 33 a -≤≤.选C . 思路2: 函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,等价于当(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '≥.由题设可得 2245()1cos2cos cos cos 333f x x a x x a x '=-+=-++224335(cos )38163 x a a =--++, 当3||18a ≥,即8 ||3a ≥时,取2πx k =或(21)πx k =+,可知当(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '≥不恒成立; 当3||18a <,即8||3a <时,由于当3cos 8 x a =时,()0f x '≥,故当(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '≥等价于当cos 1x =± 时,()0f x '≥,可得11 33 a -≤≤.选C . 思路3:函数()f x 在(,)-∞+∞上单调递增,等价于当(,)x ∈-∞+∞时,()0f x '≥.由题设可得 2245 ()1cos2cos cos cos 333f x x a x x a x '=-+=-++. ①当π π2 x k =+时,cos 0x =,()0f x '≥; ②当cos 0x >时,()0f x '≥等价于214545(cos )cos cos 3333cos a x x x x ≥-=- .由于45 33t t -在(0,1]为增函数,4533t t -在(0,1]的最大值为13-,故13 a ≥-; ③当cos 0x <时,()0f x '≥等价于214545(cos )cos cos 3333cos a x x x x ≤-=- .由于45 33t t -在[1,0)-为增函数,45 33t t -在[1,0)-的最小值为13 ,故13a ≤, 综上可得11 33 a -≤≤.选C . 【评析】本题精心构造函数()f x ,使得()f x '的研究可以化为一个二次函数的研究.虽然问题情境非常熟悉,但涉及的是含参数的恒成立问题,所考查的知识内容多、要求高,不论采用何种思路,综合性都很强,而且运算量也不小,对学生在矩时间内完成该问题,是不小的考验.细节决定成败,细微之处见真功,只有我们扎扎实实搞好每一个章节的复习,让知识复习做到全覆盖,才能突破思维障碍,在高考中取得好成绩. 【命题专家现场支招】 (一)重温概念来龙去脉,理清知识网络 重温概念来龙去脉,理清知识网络,切实掌握三角函数的概念与性质.高考对三角函数的考查,尤其是选择题、填空题对三角函数的考查,往往以三角函数的定义、诱导公式、同角三角函数关系式、和差倍角公式等作为出发点,考查三角函数的求值问题;以三角函数的图象与性质为载体,考查三角函数的解析式、周期性、单调性、对称性、最值等.复习过程中,要关注三角函数的定义,以此为基础掌握同角公式、诱导公式、和差倍角公式;要关注正弦函数、余弦函数和正切函数的图象的重要性,它们都是重要的解题辅助工具;要关注思想方法的渗透,特别是化归与转化思想,它是三角恒等变形的主导思想. 【例7】(2020·江苏南通一中期末)已知角θ的终边经过点P (4,m ),且sinθ=3 5 ,则m 等于( ) A .﹣3 B .3 C . 163 D .±3 【解析】 3 sin 5 θ= = ,解得3m =.故选B. 【例8】(2020·江苏盐城中学高三期末)已知函数f (x )=1 2 2cos x . (Ⅰ)求f (x )的最小周期和最小值, (Ⅱ)将函数f (x )的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g (x )的图象.当x ∈,2ππ?? ? ??? 时,求g (x )的值域. 【答案】(Ⅰ)π, 2- ,(Ⅱ)12[,22 -. 【解析】(1)211()sin 2sin 2cos 2)22f x x x x x = -=-+ 1sin 22sin(2)23x x x π==-, 因此()f x 的最小正周期为π,最小值为. (2)由条件可知:g()sin()3 x x π =-- . 当[ ,]2x π π∈时,有2[,]363 x π ππ- ∈, 从而sin()3x π-的值域为1 [,1]2 , 那么sin()3 x π - 的值域为. 故g()x 在区间[ ,]2π π上的值域是12[22 -. 【评析】本题主要考查三角函数的有关知识,解题时要注意利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简,化简时要注意特殊角三角函数值记忆的准确性,及公式中符号的正负. (二)强化公式记忆,关注公式的“变”用 理清三角函数求值的常见类型,特别是给角求值、给值求值问题.给角求值的关键是正确地选用公式,以便把非特殊角的三角函数相消,从而化为特殊角的三角函数;给值求值的关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异,一般可以适当变换已知式,求得另外函数式的值,以备应用,同时也要注意变换待 求式,便于将已知式求得的函数值代入,从而达到解题的目的. 【例9】(2020四川高三期末)已知()sin f x x =, 2 π απ<<,02 π β<< ,2( )2 3 f α β-= ,1 ()2 29f β π α- + =-,求cos 2 αβ+的值. 【解析】(1)∵ 2 π απ<<,∴ 4 2 2 π α π < < ,∵02 π β<< ,∴04 2 π β - <- <, ∴ 4 2 π β απ<- <,4 2 2 π α π β- < -< , 又12 0,02923cos sin βααβ????-=--= ? ????? , ∴ ,02 2 2 2 π β α π απβ<- << -< , ∴2923sin cos βααβ????-== -== ? ????? ∴2 222222cos cos cos cos sin sin αβ βαβαβααβαβαβ??+????????????=---=--+-- ? ? ? ? ? ???? ????????????? 12939327??=-?+= ??? . 【例10】【2016课标卷Ⅰ文14】已知θ是第四象限角,且π3sin()45θ+=,则π tan()4θ-= . 【解析】思路1: 考虑到πππ()()442θθ+--=,令ππ,44αθβθ=+--,则π 2 βα=-,因为θ是第四象 限角,所以cos 0α>,故4cos 5 α= ,所以πcos 4tan tan()2sin 3αβαα=-=-=-. 思路2:考虑ππ ()44θθ+-=,运用两角和的正切公式.令π4αθ=+,则π4 θα=-,因为θ是第四象限角, 所以cos 0α>,故4cos 5 α=,从而sin 3tan cos 4ααα==,所以πtan tan()4θα=-tan 1 tan 1αα-= + 17 =-,故πtan 14tan()41tan 3θθθ--==-+. 思路3:π cos() πtan 1cos sin 44tan()π41tan sin cos 3sin()4 θθθθθθθθθ+---= =-=-=-+++. 思路4:展开π3sin()45θ+=求出sin θ,运用两角和的正切公式.因为π3 sin()45θ+=, 所以sin cos θθ+=, 7 sin cos 50 θθ=- ,因为θ是第四象限角,所以sin 0θ<,cos 0θ> ,解得sin θ= ,cos θ=,所 以1tan 7θ=-,故πtan 14 tan()41tan 3 θθθ--==-+. 思路5: 运用两角和的正弦公式求出sin θ,再运用两角和的正切公式.因为π3 sin()45 θ+=,θ是第四象限 角,所以π 4cos()4 5 θ+= ,从而ππ sin sin()44θθ=+- ππ))44θθ=+-+ 34()55=-= cos θ=,所以1tan 7θ=-,故πtan 14 tan()41tan 3 θθθ--==-+. 【评析】三角恒等变换是高考对三角函数考查的重点内容.在三角恒等变换中,一要熟悉公式正用、逆用,也要注意公式的变形,如21cos22cos αα+=,21cos22sin αα-=, 1tan π tan()1tan 4 ααα+=--, tan tan tan()[1tan ]αβαβαβ±=±m 等;二要注意拆角、拼角的方法和技巧,如()ααββ=+-, 2()()ααβαβ=++-,2()()βαβαβ=+--等;三要关注常用的解题思路,如“1”的代换、“正切为弦”、 “化异为同”等.三角恒等变换的核心是角的变化,注意角的变化,灵活地选用三角公式是正确进行三角恒等变换的关键. (三)重视函数三种表征的理解和应用,加强函数()sin()f x A x b ω?=++图象与性质的研究. 突破三角函数图象与性质问题的关键是识图、用图能力的形成以及利用三角公式进行三角恒等变换能力的培养.高考复习中,要重视对正弦型三角函数概念及正弦型三角函数三种表征的理解与转换;重视对三角函数的数形结合思想的应用;重视基于三角函数的逻辑推理能力及运算求解能力的培养. 【例11】【2016年课标卷Ⅰ理12】已知函数π()sin()(0,||)2f x x ω?ω?=+>≤,π4 x =-为()f x 的零点,π 4x = 为()y f x =图象的对称轴,且()f x 在π5π ( ,)1836 单调,则ω的最大值为 A .11 B .9 C .7 D .5 【解析】思路 1 由正弦型三角函数的单调性推出ω满足的关系.因为()f x 在π5π ( ,)1836 单调,所以区间π5π(,)1836 不能包含函数()f x 的最值点,即5πππ 3618ω-≤,化简得12ω≤. 因为π4x =-为()f x 的零点,π4x =为()y f x =图象的对称轴,所以12 π +π, 4 ππ+π+, 42 k k ω?ω??-=????=??因此可得 ππ()24k k ?= +∈Z .又π||2?≤,故π4?=或π 4 ?=-. 当 π 4 ?=时, 11 14() k k ω=-∈Z,而0 ω>且12 ω≤,可得ω的可能值为1 ,5,9; 当 π 4 ?=-时, 11 14() k k ω=--∈Z,而0 ω>且12 ω≤,可得ω的可能值为3,7,11. 验证 π ()sin(11) 4 f x x =-有一个最值点 3ππ5π (,) 441836 x=∈,不满足题设;验证 π ()sin(9) 4 f x x =+满足题设,故选B. 思路2:由正弦型三角函数的零点及对称轴分析ω与?满足的条件.因为 π 4 x=-为() f x的零点, π 4 x=为() y f x =图象的对称轴,所以 1 2 π +π, 4 ππ +π+, 42 k k ω? ω? ? -= ?? ? ?= ?? 因此可得 ππ () 24 k k ?=+∈Z,41() m m ω=+∈Z.又 π 0,|| 2 ω? >≤,故 π 4 ?=或 π 4 ?=-. 因为() f x在 π5π (,) 1836 单调,所以区间 π5π (,) 1836 不能包含函数() f x的最值点,即 5πππ 3618ω -≤,化简得12 ω≤.当 π 4 ?=时,ω的可能值为1,5,9;当 π 4 ?=-时,ω的可能值为3,7,11. 验证 π ()sin(11) 4 f x x =-有一个最值点 3ππ5π (,) 441836 x=∈,不满足题设;验证 π ()sin(9) 4 f x x =+满足题设,故选B. 思路3:画出()sin() f x x ω? =+的示意图如下: 根据函数示意图,因为因为() f x在 π5π (,) 1836 单调, 5πππ ,12 3618122 T ω ∴-=≤≤. 因为 π 4 x=-为() f x的零点, π 4 x=为() y f x =图象的对称轴, 所以12 π +π, 4ππ+π+, 42 k k ω?ω??-=????=??因此可得ππ()24k k ?=+∈Z , 41()m m ω=+∈Z .又π0,||2ω?>≤ ,故π4?=或π 4 ?=-. 当π4?=时,ω的可能值为1,5,9;当π 4 ?=-时,ω的可能值为3,7,11. 验证π()sin(11)4f x x =-有一个最值点3ππ5π(,)441836 x =∈,不满足题设;验证π ()sin(9)4f x x =+满足题设, 故选B . 【评析】在得到ω与?的范围后,考生容易把11ω=作为ω的最大值,这个错误的原因是在由零点与最值点推导ω与?的过程,产生了增根,因此需要验证.由三角函数值的关系诱导的等式关系,往往产生增根,这是三角函数的基本性质(周期性)导致的. (四)强化正、余弦定理的合理应用,理清量与量之间的关系. 在解决三角形问题时,要高度关注:①充分挖掘三角形中的隐含条件;②熟练掌握正、余定理及几种变形,合理选用公式;③利用正、余弦定理求边角时,尤其要关注其范围的确定. 【例12】(2020·广西高三期末)△ABC 的内角A ,B ,C 所对边分别为,,a b c ,已知△ABC 面积为 1 (sin sin sin )2 c a A b B c C +-. (1)求角C ; (2)若D 为AB 中点,且c =2,求CD 的最大值. 【答案】(1)3 C π = (2 【解析】(1)依题意得, ()11 sin sin sin sin 22 ab C c a A b B c C =+-, 由正弦定理得,()2 2 2 abc c a b c =+-,即2 22a b c ab +-=, 由余弦定理得,2221 cos 222 a b c ab C ab ab +-===, 又因为()0,C π∈,所以3 C π = . (2)∵222a b c ab +-=,2c =, ∴22424ab a b ab =+-≥-,即4ab ≤. ∵D 为AB 中点,所以() 12 CD CA CB =+u u u v u u u v u u u v , ∴() 2 22124CD CA CB CA CB = ++?u u u v u u u v u u u v u u u v u u u v () ()2211 4244b a ab ab =++=+ ()1 4834 ≤+= 当且仅当2a b ==时,等号成立.所以CD 【评析】(1)解三角形时,如果式子中含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式时,则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则考虑两个定理都有可能用到. (2)关于解三角形问题,一般要用到三角形的内角和定理,正弦、余弦定理及有关三角形的性质,常见的三角恒等变换方法和原则都适用,同时要注意“三统一”,即“统一角、统一函数、统一结构”. (五)重视知识的交融交汇,切实提高综合运用三角知识解决问题的能力. 从高考对三角函数考查的试题来看,每一个试题都考查多个的知识点,如以三角求值为载体,综合考查三角函数的定义、同角三角函数关系、诱导公式、三角恒等变换等基础知识和基本方法;以函数 sin()y A x ω?=+为依托,考查三角函数的三种表征,考查三角函数的周期性、单调性、对称性、最值等基 础知识和基本方法内容.高考复习中,要关注三角函数知识脉络,重视知识的交融交汇,既要重视三角函数间的知识交汇,也要重视三角函数与其他知识领域的交汇,如三角函数与平面向量、三角函数与平面几何、三角函数与指对数函数等知识的交融交汇等,让学生在原有的基础上有新的收获. 【例13】(2020·安徽高三期末)在ABC ?中,a ,b ,c 分别为角A ,B ,C 的对边,若ABC ?的面为S , 且()2 2a b c =+-,则sin 4C π? ? + = ?? ? ( ) A .1 B . 2 C D 【答案】D 【解析】由()2 2a b c =+-, 得222 1sin 22ab C a b c ab =+-+, ∵ 2222cos a b c ab C +-=, ∴ sin 2cos 2C ab C ab =+cos 1C C -= 即2sin 16C π? ?-= ???,则1sin 62C π??-= ?? ?, ∵ 0C π<<,∴ 56 6 6 C π π π-<- < , ∴ 6 6 C π π - = ,即3 C π = , 则sin sin sin cos cos sin 4343434C πππππππ????+=+=+= ? ?????321262 2+?+?= ,故选D . 【评析】此题考查解三角形的综合应用,余弦定理的公式有三个,能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键;根据三角形内角的隐含条件,结合诱导公式及正弦定理, 将问题转化为求解含 的表达式的最值问题是解题的第二个关键. 【例14】【2015年课标卷Ⅰ文17】 △ABC 中,D 是BC 上的点,AD 平分∠BAC ,2BD DC =. (1)求 sin sin B C ; (2)若60BAC ∠=o ,求B ∠. 【解析】(1)思路1:由正弦定理得sin sin AD BD B BAD =∠,sin sin AD CD C CAD = ∠,因为AD 平分∠BAC ,2BD DC =,所以 sin 1 sin 2 B C =. 思路2:如图,作DE AB ⊥,DF AC ⊥,垂足分别为,E F ,则sin DE B DB =,sin DF C DC =,由AD 平分∠BAC ,得DE DF =,又2BD DC =,所以 sin 1 sin 2 B C =. F E D C B A (2)思路1: 因为180()C BAC B ∠=-∠+∠o ,60BAC ∠=o ,所以sin sin()C BAC B ∠=∠+∠ 31sin 2B B = ∠+∠.由(1)知2sin sin B C ∠=∠,所以3 tan B ∠= 30B ∠=o . 思路2:由已知30DAC DAB ∠=∠=o ,3BC DC =,由正弦定理得sin sin 1 2C DAC AD CD CD ∠== , sin sin 3 C BAC AB BC ∠== ,因此3AB =,因此222cos BD AB AD AB AD BAD AD =+-?∠=,所以30B ∠=o . 思路3: 由正弦定理得AB 和AC 之间的关系,进而由余弦定理得BC 和AC 之间的关系. 由(1)和正弦定理得2AB AC =. 由余弦定理得222cos 3BC AB AC AB AD BAC = +-?∠,于是22224AC BC AC AB +==,即△ABC 是直角三角形,90ACB ∠=o ,所以30B ∠=o . 思路4: 取AB 的中点E ,连接CE ,则可证明△ACE 是等边三角形,△BCE 是等腰三角形.由(1)和正弦定理得2AB AC =,如图,取AB 的中点E ,连接CE ,则AE BE AC ==,因为60BAC ∠=o ,所以△ACE 是等边三角形, 从而BE CE =,60ACE ∠=o ,所以30B ∠=o . E D C B A 思路5: 如图,延长AC 至点E ,使AE AB =,连接BE ,由(1)由(1)和正弦定理得2AB AC =,因为60BAC ∠=o ,所以△ABE 是等边三角形,又因为C 是AE 的中点,所以30B ∠=o . E D C B A 【新题好题针对训练】 一、单选题 1.(2020·甘肃高三)已知函数sin(2)y x φ=+在6 x π =处取得最大值,则函数cos(2)y x φ=+的图象 A .关于点( ,0)3 π 对称 B .关于点( ,0)6 π 对称 C .关于直线6 x π =对称 D .关于直线3 x π = 对称 【答案】B 【解析】因为函数()sin 2y x φ=+在6 x π =处取得最大值, 所以 23 2 k π π φπ+=+ ,即26 k π φπ=+ . ()cos 2cos 22cos 266y x x k x ππφπ??? ?=+=++=+ ? ???? ?,令262x k πππ+=+可得对称中心为 ( ,0)26k ππ+,0k =时,可得一个对称中心为(,0)6 π,选项B 正确;令26x k π π+=可得对称轴为 212 k x ππ = -,选项C,D 均错误,所以选B. 2.(2020·青海高三期末)已知函数f(x)=2sin ωx φ+() (其中ω>0,|φ|<2 π )的相邻两条对称轴之间的距离 为2 π ,,则( ) A .1φ26πω==, B .1φ23πω==, C .2φ6 π ω==, D .2φ3 ,π ω== 【答案】D 【解析】因为函数f (x )=2sin (ωx +φ)(其中ω>0,|φ|2 π < )的相邻两条对称轴之间的距离为 2 π , 所以T =π,ω=2,因为f (0)=2=sin φ,|φ|2 π <,所以φ3 π = . 故选D . 综上,选D . 3.(2020·湖南长沙一中高三)若函数()sin()f x A x ω?=+(其中0A >,||)2 π ?<图象的一个对称中心为 ( 3 π ,0),其相邻一条对称轴方程为712 x π = ,该对称轴处所对应的函数值为1-,为了得到()cos2g x x =的图象,则只要将()f x 的图象( ) A .向右平移6 π 个单位长度 B .向左平移12 π 个单位长度 C .向左平移6 π 个单位长度 D .向右平移 12 π 个单位长度 【答案】B 【解析】根据已知函数()()sin f x A x ω?=+ (其中0A >,)2π ?< 的图象过点,03π?? ???,7,112π?? - ??? , 可得1A =, 1274123 πππω?=-, 解得:2ω=. 再根据五点法作图可得23 π ?π?+=, 可得:3 π ?= , 可得函数解析式为:()sin 2.3f x x π?? =+ ?? ? 故把()sin 23f x x π?? =+ ?? ?的图象向左平移12 π 个单位长度, 可得sin 2cos23 6y x x π π? ? =+ + = ?? ? 的图象,故选B . 4.(2020·河南高三期末)已知ABC ? 中,AB = sin A = ,tan C =,则BC =( ) A .B .8 C .D .4 【答案】B 【解析】因为tan 5C = ,所以sin 6 C = . 在ABC ?中,由正弦定理,可得sin sin AB BC C A = 63 =,解得8BC =. 故选:B 5.(2020·江西高三期末)在ABC V 中,角,,A B C 的对边分别是,,a b c ,ABC V 的面积为S ,b = )2 22S a c b = +-,则ABC V 的面积S 的最大值为( ) A .B .6+ C .6+ D .9+ 【答案】C 【解析】因为b = )2 2212 S a c b = +- ,得:()221212S a c =+- 又由余弦定理:2222cos b a c ac B =+-,即222cos 12a c ac B +-= 则222cos 12a c ac B +=+,所以 ) 2212(2cos 1212)cos 12126 S a c ac B ac B = +-=+-= 又因为三角形面积公式1sin cos 2S ac B B = =, sin B B =,得tan B = ,所以6B π=. 因为111 sin sin 224 S ac B ac B ac = ==, 又因为222cos 12a c ac B +-=,即2212a c += 又由基本不等式:22222,(2a c ac a c ac +≥+≥,即12(2ac ≥, 得12(2 ac ≤ =+. 所以11 12(2644 S ac = ≤?+=+ 当且仅当a c =时,S 的最大值为6+.故选:C. 二、填空题 6.(2020·广东高三期末)若tan(2)5αβ+=,tan()4αβ+=,则tan α=________. 【答案】 121 【解析】tan(2)tan()1 tan tan[(2)()]1tan(2)tan()21 αβαβααβαβαβαβ+-+=+-+= =+++. 故答案为: 121 7.(2020·辽宁高三期末)在ABC ?中,若()sin sin cos sin 0A B B C +-=,则角A 的值为______,当 sin 22sin 2B C +取得最大值时,tan 22tan 2B C +的值为 . 【答案】 4 π. 9 2-. 【解析】()sin sin cos sin 0A B B C +-=, 得()sin sin cos sin()0A B B A B +-+= ()sin sin cos sin cos cos sin 0A B B A B A B +--=, ()sin sin cos 0B A A -=,由sin 0B >, sin cos 0A A -=,tan 1A =, 0,4 A A π π<<∴= ; (2)由 3 ,22 42 A B C π π ==-, sin22sin22sin2cos2) B C C C C? +=-=- 其中 1 sin tan 2 ??? ===, 当sin22sin2 B C +取得最大值时, 22,22, 22 C k C k k Z ππ ?π?π -=+=++∈, sin()cos 2 tan2tan()2 2sin cos() 2 C π ? π? ? π? ? + =+===- - + , 31 tan2tan(2)tan()tan 22 B C ππ?? =-=-=-=-, 9 tan22tan2 2 B C +=-. 故答案为: (1) 4 π . (2). 9 2 -. 8.(2020·安徽高三月考)在ABC ?中,内角A B C ,,所对的边分别为a b c ,,,若2 sin sin cos sin A B C C =,则 22 2 a b c + =________,sin C的最大值为_________. 【答案】3 3 【解析】因为2 sin sin cos sin A B C C =,由正余弦定理可得, 2 222 2222 a b b a c c R R ab R +-?? ??= ? ?? ,整理可得, 222 3 b a c +=,即 22 2 a b c + =3; 因为 222 222,cos 2 a b c a b ab C ab +- +≥=, 所以 22222 222 32 cos 33 a b c c c C a b c +-- ≥== + , 由题意可得,0 2 C << π , 所以当2 cos 3 C = 时,C 角有最大值,sin C 有最大值, 所以sin C =即sin C == 故答案为9.(2020·辽宁高三期末)ABC ?的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若ABC ?的面积为222 4 a b c --, 则A =_______. 【答案】 34 π 【解析】在ABC V 中,1sin 2ABC S bc A =V ,而2224 ABC a S b c --=V , 由余弦定理得2222cos a b c bc A --=-,则2cos cos 42 ABC bc A bc A S -= =- V , 故 11 sin cos 22 bc A bc A =-,则sin cos A A =-。 由于(0,)A π∈,则34 A π =。 故答案为: 34 π. 三、解答题 10.(2020·云南昆明一中高三期末)在ABC V 中,内角,,A B C 所对的边分别为 ,,,cos 3 a b c A B C = =. (1)求tan C ; (2)若ABC V ,求b . 【答案】(1;(2)b . 【解析】(1)在△ABC 中,由cos A = ,结合同角三角函数关系式可得sin A = 由sin B C =得sin()A C C +=, sin cos cos sin A C A C C +=, C C C += C C =, 所以tan C = (2 )因为tan C =由同角三角函数关系式22sin cos 1 sin tan cos C C C C C ?+=? ?=? ? 可求得sin C = ,cos C =, 所以sin 1B C ==, 由正弦定理 sin sin b c B C =得sin c b C =, 因为△ABC ,即11 sin sin sin 22 bc A b b C A =?? 所以 21233 b ?= 解得26b =, 所以b =. 11.(2020·陕西高三月考)已知函数()sin()0,0,||2f x A x A πω?ω?? ? =+>>< ?? ? 的最大值是2,函数()f x 的图象的一条对称轴是3 x π =,且与该对称轴相邻的一个对称中心是7,012π?? ??? . (1)求()f x 的解析式; (2)已知DBC △是锐角三角形,向量,,,2124233B B m f f n f f B ππππ?????? ???? ??=+=++ ? ? ? ? ? ???????? ?????,且 3 ,sin 5 m n C ⊥= ,求cos D . 【答案】(1)()2sin 26f x x π?? =- ?? ? ; (2 )4 10 【解析】(1)设()f x 的最小正周期为T , 依题意得 71234T ππ-=,∴T π=,∴22π ωπ ==. ∵()f x 图象的一条对称轴是3x π=,∴ 2,32 k k Z ππ ?π+=+∈, 1.已知函数f(x)=sin(ωx)﹣2sin2+m(ω>0)的最小正周期为3π,当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0. (1)求函数f(x)的表达式; (2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A﹣C),求sinA的值. 解:(Ⅰ). 依题意:函数. 所以. , 所以f(x)的最小值为m.依题意,m=0. . (Ⅱ)∵,∴ .. 在Rt△ABC中,∵, ∴. ∵0<sinA<1,∴. 2.已知函数(其中ω>0),若f(x)的一条对称轴离最近的对称中心的距离为. (I)求y=f(x)的单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC中角A、B、C的对边分别是a,b,c满足(2b﹣a)cosC=c?cosA,则f(B)恰是f(x)的最大值,试判断△ABC的形状. 【解答】解:(Ⅰ)∵ , =, ∵f(x)的对称轴离最近的对称中心的距离为, ∴T=π,∴,∴ω=1,∴. ∵得:, ∴函数f(x)单调增区间为; (Ⅱ)∵(2b﹣a)cosC=c?cosA,由正弦定理, 得(2sinB﹣sinA)cosC=sinC?cosA2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA=sin(A+C), ∵sin(A+C)=sin(π﹣B)=sinB>0,2sinBcosC=sinB, ∴sinB(2cosC﹣1)=0,∴,∵0<C<π,∴,∴, ∴.∴, 根据正弦函数的图象可以看出,f(B)无最小值,有最大值y max=1, 此时,即,∴,∴△ABC为等边三角形. 3.已知函数f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1(ω>0),x∈R,且函数的最小正周期为π: (1)求函数f(x)的解析式; (2)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若f(B)=0,?=,且a+c=4,试求b的值. 【解答】解:(1)f(x)=sinωx+cos(ωx+)+cos(ωx﹣)﹣1 ==. ∵T=,∴ω=2. 则f(x)=2sin(2x)﹣1; (2)由f(B)==0,得. ∴或,k∈Z. ∵B是三角形内角,∴B=. 而=ac?cosB=,∴ac=3. 【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? , 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?, 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈,() 32 61g t t t =--+为减函数,且102g ??= ??? , 所以当03 x π <<时, ()1 1,02 t g t <<<,从而()'0f x <; 当 3 2 x π π << 时,()1 0,02 t g t << >,从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题. 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=, 1. 任意角的三角函数的定义:设α是任意一个角,P (,)x y 是α的终边上的任意一点(异 于原点),它与原点的距离 是0r =>,那么sin ,cos y x r r αα== , ()tan ,0y x x α=≠ 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点P 的位置无关。 2.三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + + - + - + - - - + + - sin α cos α tan α 3. 同角三角函数的基本关系式: (1)平方关系:2 222 1 sin cos 1,1tan cos αααα +=+= (2)商数关系:sin tan cos α αα = (用于切化弦) ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“1”的代换 4.三角函数的诱导公式 诱导公式(把角写成 απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) Ⅰ)?????=+=+=+x x k x x k x x k tan )2tan(cos )2cos(sin )2sin(πππ Ⅱ)?????-=-=--=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin( Ⅲ) ?? ???=+-=+-=+x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅳ)?????-=--=-=-x x x x x x tan )tan(cos )cos(sin )sin(πππ Ⅴ)???????=-=-ααπααπsin )2cos(cos )2sin( Ⅵ)??? ????-=+=+α απααπsin )2cos(cos )2sin( 5.特殊角的三角函数值 三角函数、解三角形 1.弧长公式:r l α= 扇形面积公式:22 121r lr S α== 2.同角三角函数的基本关系式: 平方关系:1cos sin 2 2 =+αα 商数关系:sin tan cos α αα = 3.三角函数的诱导公式: 诱导公式(把角写成απ ±2 k 形式,利用口诀:奇变偶不变,符号看象限) 公式一()()()?????=?+=?+=?+απααπααπαtan 2tan cos 2cos sin 2sin k k k 公式二()()()?????=+=+=+ααπααπααπtan tan cos -cos -sin sin 公式三()()()?? ? ??=-=-=-ααααααtan -tan cos cos -sin sin 公式四()()()?????=-=-=-ααπααπααπtan -tan cos -cos sin sin 公式五???????=??? ??-=??? ??-ααπααπsin 2cos cos 2sin 公式六???????=??? ??+=?? ? ??+ααπααπsin -2 cos cos 2sin 4.两角和与差的正弦、余弦、正切公式: βαβαβαcos sin cos sin )sin(+=+ βαβαβαcos sin cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+= + β αβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 5.二倍角公式: a a a cos sin 22sin = 1cos 2sin 21sin cos 2cos 2222-=-=-=a a a a a a a a 2tan 1tan 22tan -= 6.辅助角公式: sin cos a b αα+ )α?+( 其中sin tan b a ???= = = ). 比如: x x y cos 3sin += ) cos ) 3(13sin ) 3(11( )3(12 2 2 2 22x x ++ ++= )cos 23sin 21(2x x += )3 sin cos 3cos (sin 2ππx x +=)3sin(2π+=x 7.正弦定理: 2sin sin sin a b c R C ===A B (R 为△ABC 外接圆的半径) 8.余弦定理:2 2 2 2cos a b c bc =+-A ,2 2 2 2cos b a c ac =+-B ,2 2 2 2cos c a b ab C =+- 推论:222cos 2b c a bc +-A =,222cos 2a c b ac +-B =,222 cos 2a b c C ab +-=. 学思堂教育个性化教程教案 数学科教学设计 学生姓名教师姓名刘梦凯班主任日期时间段年级课时教学内容 教学目标 重点 难点 教学过程 命题点二解三角形 难度:高、中、低命题指数:☆☆☆☆☆ 1.(2015·安徽高考)在△ABC中,AB=6,∠A=75°,∠B=45°,则 AC=________. 2.(2015·广东高考改编)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b, c.若a=2,c=2 3,c os A= 3 2 且b<c,则b=________. 3.(2015·北京高考)在△ABC中,a=3,b=6,∠A= 2π 3 ,则∠B= ________. 4.(2015·福建高考)若△ABC中,A C=3,A=45°,C=75°,则 BC=________. 5.(2015·全国卷Ⅰ)已知a,b,c分别为△ABC内角A,B,C的对边, sin2B=2sin A sin C. (1)若a=b,求cos B;[来源:学科网ZXXK] (2)设B=90°,且a=2,求△ABC的面积. 教 学 效 果 分 析 教学过程 6.(2015·山东高考)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c. 已知cos B= 3 3 ,sin(A+B)= 6 9 ,ac=23,求sin A和c的值. 7.(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中,D是BC上的点,AD平分∠BAC,BD= 2DC. (1)求 sin B sin C ; (2)若∠BAC=60°,求∠B. 8.(2015·浙江高考)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b, c,已知tan ? ? ?? ? π 4 +A=2. (1)求 sin 2A sin 2A+cos2A 的值; (2)若B= π 4 ,a=3,求△ABC的面积.[来源:学科 教 学 效 果 分 析 数学《三角函数与解三角形》复习知识要点(1) 一、选择题 1.已知sin α,sin()10 αβ-=-,,αβ均为锐角,则β=( ) A . 512 π B . 3 π C . 4 π D . 6 π 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意,可得22 π π αβ- <-< ,利用三角函数的基本关系式,分别求得 cos ,cos()ααβ-的值,利用sin[(]sin )ααββ=--,化简运算,即可求解. 【详解】 由题意,可得α,β均为锐角,∴-2π <α-β<2 π. 又sin(α-β),∴cos(α-β). 又sin α= 5,∴cos α=5 , ∴sin β=sin[α-(α-β)]=sin αcos(α-β)-cos αsin(α-β) =5×10 -5×10??- ? ??? =2.∴β=4π. 【点睛】 本题主要考查了三角函数的化简、求值问题,其中熟记三角函数的基本关系式和三角恒等变换的公式,合理构造sin[(]sin )ααββ=--,及化简与运算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题. 2.将函数()()sin 0,π2f x x ?ω?ω? ?=+>< ?? ?的图象向右平移6π个单位长度后,所得图象关 于y 轴对称,且1π2f ω?? =- ??? ,则当ω取最小值时,函数()f x 的解析式为( ) A .()sin 26f x x π? ? =+ ?? ? B .()sin 2π6f x x ? ?=- ??? C .()sin 4π6f x x ? ?=+ ?? ? D .()sin 4π6f x x ? ?=- ?? ? 【答案】C 【解析】 专题一 三角函数与解三角形 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1、弧度制的定义与公式: 定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 弧度记作rad. 公式 角的弧度数公式 r =α 角度与弧度的换算 ①rad 180 1π=? ② 弧长公式 扇形面积公式 2、任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义 第一定义:设是任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),则 第二定义:设 是任意角,它的终边上的任意一点 P(x,y),则 . 考点1 三角函数定义的应用 例1 .已知角α的终边在直线043=+y x 上,则=++αααtan 4cos 5sin 5 . 变式:(1)已知角α的终边过点)30sin 6,8(? --m P ,且5 4 cos - =α,则m 的值为 . (2)在直角坐标系中,O 是原点,A (3,1),将点A 绕O 逆时针旋转90°到B 点,则B 点坐标为__________. (3)4tan 3cos 2sin 的值( ) A .小于0 B .大于0 C .等于0 D .不存在 考点2 扇形弧长、面积公式的应用 例 2.已知扇形的半径为10cm,圆心角为? 120,则扇形的弧长为 面积为 . 变式:已知在半径为10的圆O 中,弦AB 的长为10,则弦AB 所对的圆心角α的大小 为 ,α所在的扇形弧长 为 ,弧所在的弓形的面积S 为 . 二、同角三角函数的基本关系及诱导公式 1、1cos sin 2 2=+αα α αcos tan = 2、三角函数的诱导公式 例1.已知α是三角形的内角,且.5 cos sin =+αα (1)求αtan 的值; (2)把α α22sin cos 1 +用αtan 表示出来,并求其值. 变式:1、已知α是三角函数的内角,且3 1 tan -=α,求ααcos sin +的值. 2、已知.34tan -=α(1)求α αααcos 2sin 5cos 4sin +-的值;(2)求αααcos sin 2sin 2 +的值. 3.若cos α+2sin α=-5,则tan α=________. 课程标题三角函数与解三角形 求三角函数得定义域实质就就就是解三角不等式(组)、一般可用三角函数得图象或三角函数线确定三角不等式得解、列三角不等式,既要考虑分式得分母不能为零;偶次方根被开方数大于等于零;对数得真数大于零及底数大于零且不等于1,又要考虑三角函数本身得定义域; 求三角函数得值域得常用方法:1、化为求得值域; ,引入辅助角,化为求解方法同类型。 2、化为关于(或)得二次函数式; ,设,化为二次函数在上得最值求之; 周期问题一般将函数式化为(其中为三角函数,)、 ) ②y=tanx图象得对称中心(,0) (二)主要方法: 1、函数得单调增区间可由 解出,单调减区间可由解出; 周期 2、函数得单调减区间可由 解出,单调增区间呢。(自己导出)周期 3、函数得单调增区间可由 解出。(无增区间,重点掌握) 周期 课堂练习: 1.已知函数得定义域为,值域为,求常数得值 (化为求得值域)、 2、函数得单调递减区间就就是 3、函数得单调增区间为 2、函数,、 (Ⅰ)求函数得最小正周期;(Ⅱ)求函数在区间上得最小值与最大值、(化为求得值域)、 3、函数得一个单调增区间就就是 ???? 4、若函数,则就就是 最小正周期为得奇函数最小正周期为得奇函数 最小正周期为得偶函数最小正周期为得偶函数 5、函数得最大值 6、当函数得最大值为时,求得值、 7、函数得最大值就就是 8、已知函数,、 (1)求得最大值与最小值;(2)f(x)得最小正周期。 (3)若不等式在上恒成立,求实数得取值范围、 解三角形 正弦定理:, 余弦定理: 推论:正余弦定理得边角互换功能 ① ,, ②,, ③== ④ (4)面积公式:S=ab*sinC=bc*sinA=ca*sinB 课堂练习: 1、在中,角得对边分别为,已知,则( ) A、1 ?B.2 C、???D、 2、在△ABC中,AB=3,BC=,AC=4,则边AC上得高为( ) A、B、 C、D、 3、在ΔABC中,已知a=,b=,B=45°,求角A,角C得大小及边c得长度。 4、得内角A、B、C得对边分别为a、b、c,若a、b、c成等比数列,且,则() A、 B、 C、D、 【填空题】 5、在中,分别就就是、、所对得边。若,,,则__________ 6、在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c得取值范围就就是_______、 7、已知锐角得面积为,,则角得大小为( ) ?A、75°?B、60° ?C、45°D、30° 8、在△中,若,则等于、 9、在中,已知,则得大小为 ( ) ??? 【解答题】 10、在中,分别就就是三个内角得对边、若,,求得面积、 11、如图,就就是等边三角形,就就是等腰直角三角形,∠=,交于,、 ?(1)求∠得得值; (2)求、 12、在中,角A、B、C所对得边分别为a,b,c,且满足 必修四三角函数与解三角形综合测试题 (本试卷满分150分,考试时间120分) 第Ⅰ卷(选择题 共40分) 一.选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.若点P 在3 2π的终边上,且OP=2,则点P 的坐标( ) A .)3,1( B .)1,3(- C .)3,1(-- D .)3,1(- 2.已知=-=-ααααcos sin ,4 5cos sin 则( ) A .47 B .169- C .329- D .32 9 3.下列函数中,最小正周期为 2 π的是( ) A .)32sin(π-=x y B .)32tan(π-=x y C .)62cos(π+=x y D .)6 4tan(π+=x y 4.等于则)2cos(),,0(,31cos θππθθ+∈=( ) A .924- B .924 C .9 7- D .97 5.函数y =sin (π4 -2x )的单调增区间是 ( ) A.[kπ-3π8 ,kπ+π8 ](k ∈Z ) B.[kπ+π8 ,kπ+5π8 ](k ∈Z ) C.[kπ-π8 ,kπ+3π8 ](k ∈Z ) D.[kπ+3π8 ,kπ+7π8 ](k ∈Z ) 6.将函数x y 4sin =的图象向左平移12 π个单位,得到)4sin(?+=x y 的图象,则?等于( ) A .12π- B .3π- C .3 π D .12π 7.οοοο50tan 70tan 350tan 70tan -+的值等于( ) A .3 B .33 C .33- D .3- 8.在△ABC 中,sinA >sinB 是A >B 的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 9.ABC ?中,π= A ,BC =3,则ABC ?的周长为( ) 三角函数与解三角形专项练习 1.ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知2cos 2c A b a =-. (1)求角C ; (2)若D 是边BC 的中点,11cos 14 B =,21AD =,求AB C 的面积S . 2.如图,四边形OACB 中,,,a b c 为ABC ?的内角,,A B C 的对边,且满足sin sin tan 2cos cos A B C B C =--+ (1)证明:2b c a +=; (2)若22OA OB ==,且b c =,设()0AOB θθπ∠=<<,当θ变化时,求四边形OACB 面积的最大值. 3.一个玩具盘由一个直径为2米的半圆O 和一个矩形ABCD 构成,1AB =米,如图所示.小球从A 点出发以8v 的速度沿半圆O 轨道滚到某点E 处后,以3v 的速度沿与点E 切线垂直的方向弹射到落袋区BC 内,落点记为F .记AOE θ∠=, (1)用θ表示小球从A 到F 所用的时间()f θ; (2)当小球从A 到F 所用的时间最短时,求cos θ的值. 4.在ABC 中,,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边.在①(2)cos cos a c B b C -=;①3=2ABC BA BC S →→?△;①sin sin 33B B π? ?++= ??? 这三个条件中任选一个,作出解答. (1)求角B 的值; (2)若ABC 为锐角三角形,且1b =,求ABC 的面积的取值范围. 5.已知ABC 的面积为 (Ⅰ)b 和c 的值; (Ⅱ)sin()A B -的值. 条件①:6a =,1cos 3 =- C ;条件②:A C =,7cos 9B =-.注:如果选择条件①和条件②分别解答,按第一个解答计分. 6.在ABC 中,7cos 8 A =,3c =,且b c ≠,再从条件①、条件②中选择一个作为已知,求: (1)b 的值; 三角函数与解三角形 一、 y=Asin (ωx+φ)函数的图像与性质重难点突破 二、经验分享 【知识点1 用五点法作函数y=Asin (ωx+φ)的图象】 用“五点法”作sin()y A x ω?=+的简图,主要是通过变量代换,设z x ω?=+,由z 取3 0,,,,222 π πππ来求出相应的x ,通过列表,计算得出五点坐标,描点后得出图象. 【知识点2 由y=sinx 得图象通过变换得到y=Asin (ωx+φ)的图象】 1.振幅变换: sin y A x x R =∈,(A>0且A≠1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A>1)或缩短 (0≠,且的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的1 ω 倍(纵坐标不变).若0ω<则可用诱导公式将符号“提出”再作图.ω决定了函数的周期. 3.相位变换: 函数()sin y x x R ?=+∈,(其中0?≠)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当?>0时)或向右(当?<0时)平行移动?个单位长度而得到.(用平移法注意讲清方向:“左加右减”). 一般地,函数()sin()0,0y A x A x R ω?ω=+>>∈,的图象可以看作是用下面的方法得到的: (1) 先把y=sinx 的图象上所有的点向左(?>0)或右(?<0)平行移动?个单位; (2) 再把所得各点的横坐标缩短()1ω>或伸长()01ω<<到原来的 1 ω 倍(纵坐标不变); (3) 再把所得各点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0 高中数学必修五 第一章 解三角形知识点归纳 1、三角形三角关系:A+B+C=180°;C=180°—(A+B); 2、三角形三边关系:a+b>c; a-b 三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换 6.(2019浙江18)设函数()sin ,f x x x =∈R . (1)已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数,求θ的值; (2)求函数22[()][()]124 y f x f x ππ =+ ++ 的值域. 解析(1)因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数,所以,对任意实数x 都有 sin()sin()x x θθ+=-+, 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+, 故2sin cos 0x θ=, 所以cos 0θ=. 又[0,2π)θ∈,因此π2θ= 或3π2 . (2)2 2 22ππππsin sin 124124y f x f x x x ? ???????????=+++=+++ ? ? ? ???????????? ????? ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ??? ?-+-+ ? ? ??????=+=-- ? ??? π123x ? ?=+ ?? ?. 因此,函数的值域是[1- +. 27.(2018江苏)已知,αβ为锐角,4 tan 3 α= ,cos()5αβ+=-. (1)求cos2α的值; (2)求tan()αβ-的值. 【解析】(1)因为4tan 3α= ,sin tan cos ααα=,所以4 sin cos 3 αα=. 因为22sin cos 1αα+=,所以29 cos 25 α= , 因此,27cos22cos 125 αα=-=- . (2)因为,αβ为锐角,所以(0,π)αβ+∈. 又因为cos()αβ+=,所以sin()αβ+=, 因此tan()2αβ+=-. 因为4tan 3α=,所以22tan 24 tan 21tan 7 ααα==--, 因此,tan 2tan()2 tan()tan[2()]1+tan 2tan()11ααβαβααβααβ-+-=-+==-+. 28.(2018浙江)已知角α的顶点与原点O 重合,始边与x 轴的非负半轴重合,它的终边过 点3 4(,)55 P --. (1)求sin()απ+的值; (2)若角β满足5 sin()13 αβ+= ,求cos β的值. 【解析】(1)由角α的终边过点34(,)55P --得4 sin 5α=-, 所以4 sin()sin 5απα+=-=. (2)由角α的终边过点34(,)55P --得3 cos 5 α=-, 由5sin()13αβ+=得12 cos()13 αβ+=±. 由()βαβα=+-得cos cos()cos sin()sin βαβααβα=+++, 所以56cos 65β=-或16 cos 65 β=-. 29.(2017浙江)已知函数22 ()sin cos cos f x x x x x =--()x ∈R . (Ⅰ)求2( )3 f π 的值; (Ⅱ)求()f x 的最小正周期及单调递增区间. 【解析】(Ⅰ)由2sin 32π=,21 cos 32 π=-, 高中数学专题练习-三角函数及解三角形 1.【高考全国Ⅰ卷理数】函数f(x)=在的图像大致为 A.B. C.D. 【答案】D 【解析】由,得是奇函数,其图象关于原点对称,排除A.又,排除B,C,故选D. 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象,渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养,采取性质法或赋值法,利用数形结合思想解题.解答本题时,先判断函数的奇偶性,得是奇函数,排除A,再注意到选项的区别,利用特殊值得正确答案. 2.【高考全国Ⅰ卷理数】关于函数有下述四个结论: ①f(x)是偶函数②f(x)在区间(,)单调递增 ③f(x)在有4个零点④f(x)的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A.①②④B.②④ C.①④D.①③ 【答案】C 【解析】为偶函数,故①正确.当时,,它在区间单调递减,故②错误. 当时,,它有两个零点:;当时, ,它有一个零点:,故在有个零点:,故③错误.当时,;当时, ,又为偶函数,的最大值为,故④正确.综上所述,①④正确,故选C. 【名师点睛】本题也可画出函数的图象(如下图),由图象可得①④正确. 3.【高考全国Ⅱ卷理数】下列函数中,以为周期且在区间(,)单调递增的是A.f(x)=|cos2x| B.f(x)=|sin2x| C.f(x)=cos|x| D.f(x)=sin|x| 【答案】A 【解析】作出因为的图象如下图1,知其不是周期函数,排除D; 因为,周期为,排除C; 作出图象如图2,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递增,A正确; 作出的图象如图3,由图象知,其周期为,在区间(,)单调递减,排除B,故选A. 图1 图2 图3 【名师点睛】本题主要考查三角函数的图象与性质,渗透直观想象、逻辑推理等数学素养,画出各函数图象,即可作出选择.本题也可利用二级结论:①函数的周期是函数周期的一半; ②不是周期函数. 4.【高考全国Ⅱ卷理数】已知α∈(0,),2sin2α=cos2α+1,则sinα= A. B. C.D. 【答案】B 【解析】,, ,又,,又,,故选B. 【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查,中等难度,判断正余弦的正负,运算准确性是关键,题目不难,需细心,解决三角函数问题,研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键,切记不能凭感觉.解答本题时,先利用二倍角公式得到正余弦关系,再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案. 5.【高考全国Ⅲ卷理数】设函数=sin()(>0),已知在有且仅有5个零点,下述四个结论: ①在()有且仅有3个极大值点 ②在()有且仅有2个极小值点 1. 任意角的三角函数的定义: 设〉是任意一个角,p (x, y )是〉的终 边上的任意一点(异于原点),它与原点的距离是「“x 2r 2.o , 位置无关。 2. 三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) + L i + —— L + _ - + ------ ■ —— + - ■ sin : cos : tan : 3. 同角三角函数的基本关系式: 4. 三角函数的诱导公式 k 二.一 诱导公式(把角写成2 …形式,利用口诀:奇变偶不变,符 (2)商数关 系: tan-E 屮一、 cos 。(用于切化弦) (1)平方关 系: 2 2 2 sin 工 cos ■■ -1,1 tan : 1 cos 2: ※平方关系一般为隐含条件,直接运用。注意“ 1”的代换 si …y,cos 」 那么 r 三角函数值只与角的大小有关,而与终边上点 5. 特殊角的三角函数值 度 0s 30c A 45“ A 60“ 90 120c A 135“ 150s 180c 270° 360 弧 31 JI JI 2n 3兀 5兀 JI 3兀 2兀 度 6 4 3 2 3 4 6 2 si n 。 0 1 竝 迈 1 旦 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cosa 亦 1 1 念 力 1 2 _1 1 2 2 2 2 2 号看象限) sin (2k .亠 x ) = sin x cos (2k ■亠 x ) = cosx [)tan (2k ,亠 x )二 tanx sin ( -x ) - - sin x cos (-x ) =cosx H )tan (-x ) - - tanx m ) |sin (,亠 x ) = -sin x cos (m ) = - cosx tan (二 x ) IV ) Sin (兀 _x ) =sin x cos (兀—x ) = —cosx tan (兀一 sin (— -〉)= cos ..z sin (二:)=cos : V ) -?) = sin : 专题05 三角函数与解三角形大题部分 【训练目标】 1、掌握三角函数的定义,角的推广及三角函数的符号判断; 2、熟记同角三角函数的基本关系,诱导公式,两角和差公式,二倍角公式,降幂公式,辅助角公式,并能熟练的进行恒等变形; 3、掌握正弦函数和余弦函数的图像与性质,并能正确的迁移到正弦型函数和余弦型函数; 4、掌握三角函数的图像变换的规律,并能根据图像求函数解析式; 5、熟记正弦定理,余弦定理及三角形的面积公式; 6、能熟练,灵活的使用正弦定理与余弦定理来解三角形。 【温馨小提示】 此类问题在高考中属于必考题,难度中等,要想拿下,只能有一条路,多做多总结,熟能生巧。 【名校试题荟萃】 1、(浙江省诸暨中学2019届高三期中考试题文) 已知函数. (1).求 )(x f 的最小正周期和单调递增区间; (2).当 时,求函数)(x f 的最小值和最大值 【答案】(1)π, (2) 【解析】 (1) ,π=T , 单调递增区间为; (2) ∴当 时, ,∴ . 当时, ,∴ . 2、(河北省衡水中学2019届高三上学期三调考试数学文)试卷)已知 中,角 所对的边分别是 , 且,其中是的面积,. (1)求的值; (2)若,求的值. 【答案】 (1);(2). (2),所以,得①, 由(1)得,所以. 在中,由正弦定理,得,即②, 联立①②,解得,,则,所以. 3、(湖北省武汉市部分市级示范高中2019届高三十月联考文科数学试题)已知函数f(x)=sin(ωx+)- b(ω>0,0<<π的图象的两相邻对称轴之间的距离,若将f(x)的图象先向右平移个单位,再向上平移个单位,所得图象对应的函数为奇函数. (1)求f(x)的解析式并写出单增区间; (2)当x∈,f(x)+m-2<0恒成立,求m取值范围. 【答案】 (1),单调递增区间为; (2). 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.(优质试题浙江,18)已知角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的非负半轴重合,它的终边过点P. (1)求sin(α+π)的值; (2)若角β满足sin(α+β)=,求cos β的值. 2.(优质试题北京,理15)在△ABC中,a=7,b=8,cos B=-. (1)求A; (2)求AC边上的高. 3.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知△ABC的面积为. (1)求sin B sin C; (2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长. 4.已知函数f(x)=4tan x sin cos. (1)求f(x)的定义域与最小正周期; (2)讨论f(x)在区间上的单调性. 5.已知函数f(x)=a cos2a sin ωx-a(ω>0,a>0)在一个周期内的图象如图所示,其中点A为图象上的最高点,点B,C为图象与x轴的两个相邻交点,且△ABC是边长为4的正三角形. (1)求ω与a的值; (2)若f(x0)=,且x0∈,求f(x0+1)的值. 6.在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=,n=(sin x,cos x),x∈. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为,求x的值. 题型练3大题专项(一) 三角函数、解三角形综合问题 1.解(1)由角α的终边过点P, 得sin α=-,所以sin(α+π)=-sin α= (2)由角α的终边过点P,得cos α=-, 由sin(α+β)=,得cos(α+β)=± 由β=(α+β)-α,得cos β=cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α,所以cos β=-或cos β= 2.解(1)在△ABC中,∵cos B=-,∴B, ∴sin B= 由正弦定理,得, ∴sin A= ∵B,∴A,∴A= (2)在△ABC中,sin C=sin(A+B)=sin A cos B+sin B cos A= 如图所示,在△ABC中,过点B作BD⊥AC于点D. ∵sin C=,∴h=BC·sin C=7, ∴AC边上的高为 3.解(1)由题设得ac sin B=,即c sin B= 由正弦定理得sin C sin B= 故sin B sin C= (2)由题设及(1)得cos B cos C-sin B sin C=-, 即cos(B+C)=- 所以B+C=,故A= 由题设得bc sin A=,即bc=8. 由余弦定理得b2+c2-bc=9,即(b+c)2-3bc=9,得b+c= 故△ABC的周长为3+ 专题四 三角函数与解三角形 第十二讲 解三角形 答案部分 1.A 【解析】因为2 13 cos 2cos 121255 =-=?-=-C C ,所以由余弦定理, 得222 32cos 251251()325 =+-?=+-???-=AB AC BC AC BC C , 所以=AB A . 2.C 【解析】根据题意及三角形的面积公式知222 1sin 24 a b c ab C +-=, 所以222sin cos 2a b c C C ab +-= =,所以在ABC ?中,4 C π =.故选C . 3.A 【解析】由sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+, 得sin 2sin cos sin cos sin B B C A C B +=+, 即2sin cos sin cos B C A C =,所以2sin sin B A =,即2b a =,选A . 4.A 【解析】由余弦定理得213931AC AC AC =++?=,选A. 5.C 【解析】设△ABC 中角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,由题意可得 1sin 342a c π== ,则2 a c =.在△ABC 中,由余弦定理可得 222222295 322 b a c c c c c =+-= +-= ,则b =. 由余弦定理,可得22 22 2 2 59cos 2c c c b c a A bc +-+-===C . 6.B 【解析】 11 sin 22 AB BC B ??= ,∴sin 2B =,所以45B =或135B =. 当45B = 时,1AC = =, 此时1,AB AC BC ===90A =与“钝角三角形”矛盾; 当135B = 时,AC = =. 三角函数与解三角形 1.已知函数f (x )=sin x -23sin 2x 2. (1)求f (x )的最小正周期; (2)求f (x )在区间??????0,2π3上的最小值. 2.(2019·济南调研)在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c .已知a sin A =4b sin B ,ac =5(a 2-b 2-c 2). (1)求cos A 的值; (2)求sin(2B -A )的值. 3.已知函数f (x )=sin 2x -cos 2x +23sin x cos x (x ∈R ). (1)求f (x )的最小正周期; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,若f (A )=2,c =5,cos B =1 7,求△ABC 中线AD 的长. 4.(2018·湘中名校联考)已知函数f (x )=cos x (cos x +3sin x ). (1)求f (x )的最小值; (2)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别是a ,b ,c ,若f (C )=1,S △ABC =334,c =7,求△ABC 的周长. 5.已知△ABC 中内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,向量m =(2sin B ,-3),n =(cos 2B ,2cos 2B 2-1),B 为锐角且m ∥n . (1)求角B 的大小; (2)如果b =2,求S △ABC 的最大值. 6.(2019·信阳二模)已知a ,b ,c 分别是△ABC 内角A ,B ,C 的对边,且满足(a +b +c )(sin B +sin C -sin A )=b sin C . (1)求角A 的大小; (2)设a =3,S 为△ABC 的面积,求S +3cos B cos C 的最大值.三角函数解三角形综合
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