2020年版北京市初三数学分类汇编-新定义

2020年初三上学期期末、新定义

1西城．对于给定的△ABC，我们给出如下定义：

若点M是边BC上的一个定点，且以M为圆心的半圆上的所有点都在△ABC的内部或边上，则称这样的半圆为BC边上的点M关于△ABC的内半圆，并将半径最大的内半圆称为点M关于△ABC的最大内半圆.

若点M是边BC上的一个动点（M不与B，C重合），则在所有的点M关于△ABC的最大内半圆中，将半径最大的内半圆称为BC关于△ABC的内半圆.

（1）在Rt△ABC中，∠BAC = 90°，AB = AC = 2，

①如图1，点D在边BC上，且CD=1，直接写出点D关于△ABC的最大内半圆的半径长；

②如图2，画出BC关于△ABC的内半圆，并直接写出它的半径长；

2东城． 如图，在平面直角坐标系xOy 中，过⊙T 外一点P 引它的两条切线，切点分别为M ，N ，若

?<∠≤?18060MPN ，则称P 为⊙T 的环绕点．

(1)当⊙O 半径为1时，

①在)2,0(),1,1(),0,1(321P P P 中，⊙O 的环绕点是___________;

②直线y =2x +b 与x 轴交于点A ，y 轴交于点B ，若线段AB 上存在⊙O 的环绕点，求b 的取值范围；

（2）⊙T 的半径为1，圆心为（0，t ），以

)0(33,>m m m ）（为圆心，m 3

3

为半径的所有圆构成图形H ，若在图形H 上存在⊙T 的环绕点，直接写出t 的

3朝阳．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0，2)，点B在x轴上，以AB为直径作⊙C，点P在y轴上，且在点A上方，过点P作⊙C的切线PQ，Q为切点，如果点Q在第一象限，则称Q为点P的离点.例如，图1中的Q为点P的一个离点.

(1)已知点P(0，3)，Q为P的离点.

①如图2，若B(0，0)，则圆心C的坐标为，线段PQ的长为；

②若B(2，0)，求线段PQ的长；

(2)已知1≤P A≤2,直线l：3

y kx k

=++（k≠0）.

①当k=1时，若直线l上存在P的离点Q，则点Q纵坐标t的最大值为；

②记直线l：3

y kx k

=++（k≠0）在11

x

-≤≤的部分为图形G，如果图形G上存在P的离点，直接写出k的取值范围.

图2

图1

4石景山．在ABC △中，D 是边BC 上一点，以点A 为圆心，AD 长为半径作弧，如果与边BC

有交点E （不与点D 重合），那么称?DE

为ABC △的A -外截弧． 例如，右图中?DE

是ABC △的一条A -外截弧．

在平面直角坐标系xOy 中，已知ABC △存在A -外截弧，其中点A 的坐标为(5,0)， 点B 与坐标原点O 重合．

（1）在点1(0,2)C ，2(5,3)C -，3(6,4)C ，4(4,2)C 中，满足条件的点C 是 ； （2）若点C 在直线2y x =-上， ①求点C 的纵坐标的取值范围；

②直接写出ABC △的A -外截弧所在圆的半径r 的取值范围．

5丰台．平面直角坐标系xOy 中有点P 和某一函数图象M ，过点P 作x 轴的垂线，交图象M 于点Q ，设点

P ，Q 的纵坐标分别为P y ，Q y ．如果P Q y y ＞，那么称点P 为图象M 的上位点；如果P Q y y =，那么称点P 为图象M 的图上点；如果P Q y y ＜，那么称点P 为图象M 的下位点．

（1）已知抛物线22y x =-.

① 在点A (-1，0)，B (0，-2)，C (2，3)中，是抛物线的上位点的是 ；

② 如果点D 是直线y x =的图上点，且为抛物线的上位点，求点D 的横坐标D x 的取值范围； （2）将直线3y x =+在直线3y =下方的部分沿直线3y =翻折，直线3y x =+的其余部分保持不变，

得到一个新的图象，记作图象G ．⊙H 的圆心H 在x 轴上，半径为1．如果在图象G 和⊙H 上分别存在点E 和点F ，使得线段EF 上同时存在图象G 的上位点，图上点和下位点，求圆心H 的横坐标H x 的取值范围．

E

D

C

B

A

6顺义区．在平面直角坐标系xOy 中，若点P 和点P 1关于x 轴对称，点P 1和点P 2关于直线l 对称，则

称点P 2是点P 关于x 轴，直线l 的二次对称点． （1）如图1，点A (0，-1)．

①若点B 是点A 关于x 轴，直线l 1：x =2的二次对称点，则点B 的坐标为 ； ②点C (-4，1)是点A 关于x 轴，直线l 2：x =a 的二次对称点，则a 的值为 ； ③点D (-1，0)是点A 关于x 轴，直线l 3的二次对称点，则直线l 3的表达式为 ；

（2）如图2，?O 的半径为2．若?O 上存在点M ，使得点M ′是点M 关于x 轴，直线l 4：x = b 的二次对称点，

且点M ′在射线x y 3=

(x ≥0)上，b 的取值范围是；

（3）E (0,t )是y 轴上的动点，?E 的半径为2，若?E 上存在点N ，使得点N ′是点N 关于x 轴，直线l 5:x y 3

3=

的二次对称点，且点N ′在x 轴上，求t 的取值范围．

7大兴区. 在平面直角坐标系xOy中，已知P（a,b）,R（c,d）两点，且a≠c，b≠d，若过点P作

x轴的平行线，过点R作y轴的平行线，两平行线交于一点S,连接PR，则称△PRS为点P,R，S的“坐标轴三角形”.若过点R作x轴的平行线，过点P作y轴的平行线，两平行线交于一点S',连接PR，则称△RP S'为点R,P，S'的“坐标轴三角形”.右图为点P，R,S的“坐标轴三角形”的示意图.

（1）已知点A（0，4），点B（3，0）,若△ABC是点A,B,C的“坐标轴三

角形”，则点C的坐标为 ;

(2)已知点D（2，1），点E（e，4），若点D,E,F的“坐标轴三角形”的面积为3，求e的值.

，点M（m,4）.若在?O上存在一点N，使得点N ，M, G的“坐标轴三角形”为（3）若?O的半径为3√2

2

等腰三角形，求m的取值范围.

8平谷区．在平面直角坐标系xOy中，有任意三角形，当这个三角形的一条边上的中线等于这条边的一

半时，称这个三角形叫“和谐三角形”，这条边叫“和谐边”，这条中线的长度叫“和谐距离”．

（1）已知A（2,0），B（0,4），C（1,2），D（4,1），这个点中，能与点O组成“和谐三角形”的点是，“和谐距离”是；

（2）连接BD，点M，N是BD上任意两个动点（点M，N不重合），点E是平面内任意一点，△EMN是以MN为“和谐边”的“和谐三角形”，求点E的横坐标t的取值范围；

（3）已知⊙O的半径为2，点P是⊙O上的一动点，点Q是平面内任意一点，△OPQ是“和谐三角形”，且“和谐距离”是2，请描述出点Q所在位置．

9昌平区．对于平面直角坐标系xOy中，已知点A（-2，0）和点B（3，0），线段AB和线段AB外的一点P，给出如下定义：若45°≤∠APB≤90°时，则称点P为线段AB的可视点，且当P A＝PB时，称点P 为线段AB的正可视点．

（1）∠如图1，在点P1（3，6），P2（-2，-5），P3（2，2）中，线段AB的可视点是；

∠若点P在y轴正半轴上，写出一个满足条件的点P的坐标：__________．

（2）在直线y＝x+b上存在线段AB的可视点，求b的取值范围；

（3）在直线y＝-x+m上存在线段AB的正可视点，直接写出m的取值范围．

图1 备用图

10通州

11门头沟．对于平面直角坐标系xOy 中的图形M ，N ，给出如下定义：如果点P 为图形M 上任意一点，

点Q 为图形N 上任意一点，那么称线段PQ 长度的最小值为图形M ，N 的“近距离”，记作 d （M ，N ）．若图形M ，N 的“近距离”小于或等于1，则称图形M ，N 互为“可及图形”．

（1）当⊙O 的半径为2时，

①如果点A （0，1），B （3，4），那么d （A ，⊙O ）=________,d （B ，⊙O ）= _________； ②如果直线与⊙O 互为“可及图形”，求b 的取值范围；

（2）⊙G 的圆心G 在轴上，半径为1，直线与x 轴交于点C ，与y 轴交于点D ，如果⊙G

和∠CDO 互为“可及图形”，直接写出圆心G 的横坐标m 的取值范围．

备用图

y x b =+x 5y x =-+

12房山区如图28-1，已知线段AB 与点P ，若在线段AB 上存在．．

点Q ，满足PQ AB ￡，则称点P 为线段AB 的“限距点”.

图28- （1） 如图28-2，在平面直角坐标系xOy 中，若点

)01-(，A ，)01(，B .

① 在)20(，C ，)2--2(，D ，)3-1(，

E 中，是线段AB 的“限

距点”的是________；

② 点P 是直线1+=x y 上一点，若点P 是线段AB 的

“限距点”，请求出点P 横坐标P x 的取值范围.

（2） 在平面直角坐标系xOy 中，点)1(，

t A ，)1-(，t B ，直线32+3

3

=x y 与x 轴交于点M ，与y 轴交于点N . 若线段MN 上存在线段AB 的“限距点”，请求出t 的取值范围.

13密云区．在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为r（r＞0）．给出如下定义：若平面上一点P到圆

心O的距离d，满足13

22

r d r

≤≤，则称点P为⊙O的“随心点”．

（1）当⊙O的半径r=2时，A（3，0），B（0，4），C（

3

2

-，2），D（

1

2

，

1

2

-）中，⊙O的“随心点”

是；

（2）若点E（4，3）是⊙O的“随心点”，求⊙O的半径r的取值范围；

（3）当⊙O的半径r=2时，直线y=-x+b（b≠0）与x轴交于点M，与y轴交于点N，若线段MN上存在⊙O的“随心点”，直接写出b的取值范围．

备用图

14海淀.

在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （a ，b ）和实数(0)k k >，给出如下定义：当0ka b +>时，

将以点P 为圆心，ka b +为半径的圆，称为点P 的k 倍相关圆．

例如，在如图1中，点P (1,1)的1倍相关圆为以点P 为圆心，2为半径的圆．

（1）在点P 1(2,1)，P 2(1,3-)中，存在1倍相关圆的点是_____，该点的1倍相关圆半径为_______． （2）如图2，若M 是x 轴正半轴上的动点，点N 在第一象限内，且满足∠MON ＝30°，判断直

线ON 与点M 的1

2

倍相关圆的位置关系，并证明．

（3）如图3，已知点A 的(0,3)，B (1,m )，反比例函数6

y x

=

的图象经过点B ，直线l 与直线AB 关 于y 轴对称．

①若点C 在直线l 上，则点C 的3倍相关圆的半径为 ．

②点D 在直线AB 上，点D 的3

1

倍相关圆的半径为R ，若点D 在运动过程中，以点D 为圆

心，hR 为半径的圆与反比例函数6

y x

=

的图象最多有两个公共点，直接写出h 的最大值.

图 1

图 2

图 3

1.西城．解：（1）①

2

． ② BC 关于△ABC 的内半圆，如图1， BC 关于△ABC 的内半圆半径为1．

（2）过点E 作EF ⊥OE

，与直线y x 交于点F ，设点M 是OE 上的动点， i ）当点P 在线段OF 上运动时（P 不与O 重合），OE 关于△OEP 的内半圆是以M 为圆心，分别与OP ，PE 相切的半圆，如图2． ∴ 当

34≤R ≤1时，t 的取值范围是3

2

≤t ≤3．

2东城.解：（1）①23，P P .…………………………2分

②半径为1的⊙O 的所有环绕点在以O 为圆心，半径分别为1和2的两个圆之间（如下图阴影部分

所示，含大圆，不含小圆）.

ⅰ)当点B 在y 轴正半轴上时，如图1，图2所示.

考虑以下两种特殊情况：线段AB 与半径为2的⊙O 相切时，52=OB ； 当点B 经过半径为1的⊙O 时，1=OB .

因为线段AB 上存在⊙O 的环绕点，所以可得b 的取值范围为 521≤

同理可得b 的取值范围为 152-<≤-b .

综上，b 的取值范围为521≤

（3）42≤<

-t .………………………7分

3朝阳．解：（1）①（0，1）；3.

②如图，过C 作CM ⊥y 轴于点M ，连接CP ，CQ .

∵A （0，2），B （2，0）， ∴C （1，1）. ∴M （0，1）. 在Rt △ACM 中，由勾股定理可得CA =2. ∴CQ =2. ∵P （0，3），M （0，1）， ∴PM=2.

在Rt △PCM 中，由勾股定理可得PC =5.

在Rt △PCQ 中，由勾股定理可得PQ =22-PC CQ =3.

（2）①6.

②2122-＜≤-

k 或2122k ≤＜+.

4石景山．解：（1）2C ，3C ； ………………………… 2分

21y

x

A

O

B

2

1

y

x

A O B

（2）①∵点在直线2y x =-上， 设点的坐标为．

当时，过点作轴于点，如图．

∴CDB △∽ADC △． ∴．

∴．

解得，． ∴(4,2)C 或13

(,)22

C'-．

又∵直线2y x =-与y 轴交于点(0,2)-，

结合图形，可得点的纵坐标的取值范围是或2C y >． ………………………… 5分 ②． ………………………… 7分 5丰台.解：（1）①A ，C . ………………………………………………………………2分 ②∵点D 是直线y x =的图上点，∴点D 在y x =上.

又∵点D 是22y x =-的上位点，

∴点D 在y x =与22y x =-的交点R ，S 之间运动.

∵22,.

y x y x ?=-?=? ∴111,1.x y =-??=-? 22

2,2.x y =??=? …………3分

∴点R (1-，1-)，S (2，2).

∴2D x -1＜＜. ……………………………………………………………5分

（2）32H

x ->或3+2H x -＜. ………………………………………………7分

(全卷所有题目其他解法参照上述解法相应步骤给分)

C C (,2)m m -90BCA ∠=°C C

D x ⊥D 2CD BD AD =?2

(2)(5)m m m -=?-14m =212m =

C 3

22

C y -<<-

55r <≤x

y

'

B D

C C A –1123456

–1–2–3

1

23

图2

0)

图4

0)

图

3

0)

0)

6顺义．解：（1）① 点B 的坐标为 （4，1） ；………………………………… 1分

② a 的值为

-2 ； ………………………………… 2分 ③直线l 3的表达式为 y =- x ； …………………………… 3分 （2）如图2，设?O 与x 轴的两个交点为1M （-2，0），3M （2，0）， 与射线x y 3=

(x ≥

0)的交点为4M ，则4M 的坐标为（1）．

4M 关于x 轴的对称点为2M ．

当点M 在1M 的位置时，b =-1， 当点M 在2M 的位置时，b =1， 当点M 在3M 的位置时，b =1，

当点M 在劣弧12M M 上时（如图3），-1

≤b ≤1，

当点M 在劣弧23M M 上时（如图4），b 的值比1大，当到劣弧23M M 的中点时，达到最大值（如图5），

综上，b 的取值范围是-1≤b 5分

（3）∵x 轴和直线x y 3=

关于直线x y 3

3

=

对称， 直线x y 3=

和直线y =关于x 轴对称，

∠?E 只要与直线x y 3=和y =

∴t 的取值范围是：-4≤t ≤4. ……………………………………… 7分

7大兴.（1）（3，4）…………………………………………………………………….2分 （2） ∵点D （2，1），点E （e ，4）， 点D ，E ，F 的“坐标三角形”的面积为3， ∴3322

1

=?-=

?e S DEF 22=-e

∴4=e 或0=e ，.……………………………4分

（3）由点N ，M ， G 的“坐标轴三角形”为等腰三角形可得直线MN 为 b x y +=或b x y +-=

①当直线MN 为b x y +=时，由于点M 的坐标为（m ，4）,

可得m =4－b

由图可知，当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第四象限时，b 取得最小值. 此时直线MN 记为M 1 N 1，其中N 1

T 1为直线M 1 N 1与y 轴的交点. ∵△O N 1T 1为等腰直角三角形，

O 1N ∴OT 1=2

2223)223(??

?

??+=3

∴b 的最小值为-3，

∴m 的最大值为m =4－b =7………………………………………………5分

当直线MN 平移至与⊙O 相切，且切点在第二象限时，b 取得最大值. 此时直线MN 记为M 2 N 2，其中N 2为切点，T 2为直线M 2 N 2与y 轴的交点. ∵△2ON 2T 为等腰直角三角形，

2ON ∴2OT =2

2223)223(??

? ??+=3

∴b 的最大值为3，

∴m 的最小值为m =4－b =1，

∴m 的取值范围是71≤≤m ，…………………………………………6分 ②当直线MN 为b x y +-=时. 同理可得，4-=b m ， 当3=b 时，1-=m 当3-=b 时，-7=m

∴m 的取值范围是-17-≤≤m .………………………………………7分 综上所述，m 的取值范围是71≤≤m 或17--≤≤m .

8平谷解：（1）A ,B 5 ·············································································· 3 （2）19

22

t -

≤≤； ·

············································································ 5 （3）点Q 在以点O 为圆心，4为半径的圆上；

或在以点O 为圆心，3 (7)

9昌平．（1）∠线段AB 的可视点是2P ，3P ． ……………………………………………………………… 1分 ∠点P 的坐标：P （0，3）（答案不唯一，纵坐标p y 6≤p y ≤6）． ………………2分

（2）

如图，直线与⊙1O 相切时，BD 是⊙1O 直径

∴BD =25. ∵BE =23， ∴DE =22. ∴EF =

?

45cos DE

=4.

∴F （0，7） 同理可得，

直线与⊙3O 相切时，G (0，-8)

∠b 的取值范围是：－8≤b ≤7． …………………5分

（3）m 的取值范围：2222

5

-≤≤--

m 或322

5

3+≤

≤m ………………………………………7分 10通州

11门头沟．（本小题满分7分）

解：（1）① 1，3；…………………………………………………………………………2分

② ∵由题意可知直线与⊙O 互为“可及图形”，⊙O 的半径为2， ∴3OE OF ==．……………………………………………………………3分 ∴32OM ON ==

∴ 3232b -≤≤．………………………………………………………5分

y x b =+x

y

–7

–6

–5

–4

–3

–2

–11

2

3

4

5

6

7

8–5

–4–3–2–11

23

45F

E

N

M

O

（2）22m -≤≤，522522m -≤≤+…………………………………………7分

说明：

12房山.（1）① C ， E ； …………2分

②由题意直线1+=x y 上满足线段AB 的“限距点”的范围 如图28-1所示.

点P 在线段MN 上（包括端点）…………3分

易求 2-1-=M x …………4分

1=N x …………5分

∴点P 横坐标P x 的取值范围为： 图28-1

1≤≤2-1-P x （2）

如图28-2，-8=t

x

y –7

–6

–5

–4

–3

–2

–11

2

3

45

6

7

8–5–4–3–2–11

2345C D O

G G G G