北京市朝阳区2020届高三上学期期中考试数学试题 (含答案)

北京市朝阳区2020届第一学期高三年级期中试卷

数 学

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分（选择题共40分）

一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.已知集合{

}

2

4A x Z x =∈<，{1,2}B =-，则A B =U ( ) A. {1}- B. {1,2}- C. {1,0,1,2}- D. {2,1,0,1,2}--

【答案】C 【解析】 【分析】

根据一元二次不等式的解法求得集合A ，根据并集定义求得结果.

【详解】{}

{}221,0,1A x Z x =∈-<<=-Q ，{}1,2B =- {}1,0,1,2A B ∴=-U 故选：C

【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，涉及到一元二次不等式的求解，属于基础题.

2.已知α∈,2ππ??

???

，且sin α＝35，则tan α＝( )

A.

3

4

B. 34

- C.

43 D. 43

-

【答案】B 【解析】

由sin α＝

35，α∈,2ππ??

???

得cos α4,5所以tan α＝

sin 3.cos 4σσ=- 故答案为：B 。

3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,1)上单调递增的是( ) A. 3y x =- B. sin()y x =- C. 2log y x = D. 22x

x

y -=-

【答案】D 【解析】 【分析】

3y x =-与()sin y x =-在()0,1上单调递减，可排除,A B ；2log y x =为偶函数，可排除

C ；根据奇偶性定义和单调性的性质可验证出

D 正确.

【详解】A 中，3

y x =在()0,1上单调递增 3

y x ∴=-在()0,1上单调递减，A 错误；

B 中，sin y x =在()0,1上单调递增 ()sin sin y x x ∴=-=-在()0,1上单调递减，B 错

误；

C 中，22log log x x -= 2log y x ∴=为偶函数，C 错误；

D 中，()

2222x x x x ---=-- 22x x

y -∴=-为奇函数

2x -在()0,1上单调递减，2x 在()0,1上单调递增 22x x

y -∴=-在()0,1上单调递增，

D 正确. 故选：D

【点睛】本题考查函数单调性和奇偶性的判断，属于基础题. 4.关于函数()sin cos f x x x =+有下述三个结论： ①函数()f x 的最小正周期为2π； ②函数()f x 的最大值为2； ③函数()f x 在区间,2ππ??

???

上单调递减. 其中，所有正确结论的序号是( )

A. ①②

B. ①③

C. ②③

D. ①②③

【答案】B 【解析】 【分析】

利用辅助角公式化简函数为()4f x x π?

?=

+ ??

?；根据正弦型函数最小正周期和最值的

求解可知①正确，②错误；利用x 的范围求得4

x π

+

的范围，对应正弦函数的单调性可得

()f x 单调性，知③正确.

【详解】()sin cos 4f x x x x π?

?=+=

+ ??

?

()

f x 最小正周期2T π=，①正确；()max f x

当,2x ππ??∈

???时，35,444x πππ??+∈ ???

，则()f x 在,2x ππ??

∈ ???时单调递减，③正确 故选：B

【点睛】本题考查正弦型函数最小正周期、值域和单调区间的求解问题；处理正弦型函数单调性问题的关键是能够采用整体对应的方式，利用角整体所处的范围与正弦函数图象相对应，从而得到结论.

5.已知α，β是两个不同的平面，直线m α?，下列命题中正确的是( ) A. 若αβ⊥，则//m β B. 若αβ⊥，则m β⊥ C. 若//m β，则//αβ D. 若m β⊥，则αβ⊥

【答案】D 【解析】 【分析】

通过反例可确定,,A B C 错误；由面面垂直的判定定理可知D 正确.

【详解】若αβ⊥且m α?，则m 与β相交、平行或m β?，A ，B 错误； 若//m β且m α?，则α与β可能相交或平行，C 错误；

由面面垂直判定定理可知，D 选项的已知条件符合定理，则αβ⊥，D 正确. 故选：D

【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系的相关命题的判定，关键是能够熟练掌握线面平行、面面平行、线面垂直和面面垂直的判定与性质定理. 6.已知函数()|2|1f x x kx =--+恰有两个零点，则实数k 的取值范围是( ) A. 1(0,

)2

B. 1

(

,1)2

C. (1,2)

D.

(2,)+∞

【答案】B 【解析】 【分析】

将问题转化为()2g x x =-与1y kx =-恒有两个交点，采用数形结合的方式作出()g x 图象，由1y kx =-恒过()0,1-可通过图像确定斜率的临界值，进而得到所求范围. 【详解】()21f x x kx =--+恰有两个零点等价于()2g x x =-与1y kx =-恒有两个交点

又()2,2

22,2x x g x x x x -≥?=-=?

-

，则()g x 图象如下图所示：

1y kx =-Q 恒过点()0,1B -

∴如上图所示：

当直线11y k x =-过()2,0A 时，直线与()g x 有且仅有一个交点 1011

202

k +∴==- 且当21k =时，21y k x =-与()g x 有且仅有一个交点

∴当1,12k ??

∈ ???

时，()2g x x =-与1y kx =-恒有两个交点，即()f x 恰有两个零点

故选：B

【点睛】本题考查根据函数零点个数求解参数范围的问题，关键是能够将问题转化为两个函数的交点个数问题，进而通过数形结合的方式来进行求解，属于常考题型.

7.已知*

{}()n a n ∈N 为等比数列，则“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的( )

A. 充分而不必要条件

B. 必要而不充分条件

C. 充分必要条件

D. 既不充分也不必要条件

【答案】B 【解析】 【分析】

通过0q <且10a >，可知虽然12a a >，但此时数列不是递减数列，充分性不成立；根据递减数列的定义可知必要性成立，从而得到结果.

【详解】当等比数列0q <且10a >时，2110a a q a =<<，3220a a q a =>> 此时{}n a 不是递减数列 ∴充分性不成立

当等比数列{}n a 为递减数列时，12a a >显然成立 ∴必要性成立 综上所述：“12a a >”是“{}n a 为递减数列”的必要而不充分条件 故选：B

【点睛】本题考查充分条件、必要条件的判定，涉及到数列单调性的定义，属于基础题.

8.设1F ，2F 为椭圆C ：22

195

x y +=的两个焦点，M 为C 上一点且在第二象限.若12

MF F △为等腰三角形，则点M 的横坐标为( )

A.

3

2

B.

2

C. 2

-

D. 32

-

【答案】D 【解析】 【分析】

根据椭圆方程求得,,a b c ；根据等腰三角形可确定24MF =；由椭圆定义知12MF =；利用面积桥可求得M y ，代入椭圆方程可求得M x . 【详解】由椭圆方程得：3a =，

5b =

，2c =

12MF F ?Q 为等腰三角形且M 在第二象限 21224MF F F c ∴===

1222MF a c ∴=-= 121

2161152

MF F S ?∴=?-=M ∴点纵坐标12

12

215

2

MF F M S y F F ?=

=

，又M 在椭圆C 上 222

3

19594

M M M x y x ∴+=+=，解得：32M x =-或32（舍）

故选：D

【点睛】本题考查椭圆几何性质的应用，关键是能够通过椭圆定义、焦距求得焦点三角形的面积，利用面积求得点的纵坐标，进而利用椭圆方程求得结果.

9.在ABC △中，90BAC ∠=o

，2BC =，点P 在BC 边上，且()1AP AB AC ?+=u u u r u u u r u u u r

，则AP

u u u r 的取值范围是( ) A. 1

(,1]2

B. 1[,1]2

C. 2

D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】

取BC 中点D ，根据平面向量基本定理可将已知数量积化为21AP AD ?=u u u r u u u r

，根据数量积定

义得到1

cos 2

AP PAD ∠=u u u r ；利用余弦定理表示出cos PAD ∠，代入化简得到AP DP =u u u r u u u r ；

根据三角形两边之和大于第三边和临界点的情况可最终确定取值范围. 【详解】取BC 中点D ，则1

12

AD BC =

=，2AB AC AD +=u u u r u u u r u u u r

()

21AP AB AC AP AD ∴?+=?=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

1cos cos 2

AP AD AP AD PAD AP PAD ∴?=∠=∠=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

当,P D 重合时，2

222AP AD AD ?==u u u r u u u r u u u r ，不合题意 ,,A P D ∴三点构成APD ?

在APD ?中，由余弦定理得：22222

1cos 22AP AD DP AP DP

PAD AP AD AP

+-+-∠==u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r

22

11

cos 22

AP DP

AP PAD +-∴∠==u u u r u u u r u u u r

AP DP ∴=u u u r u u u r

AP DP AD +>u u u r u u u r u u u r Q 21AP ∴>u u u r ，即12AP >u u u r

当P 与B 或C 重合时，max 1

12

DP BC ==u u u r max 1AP ∴=u u u r 综上所述：1,12AP ??

∈ ???

u u u r

故选：A

【点睛】本题考查向量模长的取值范围的求解问题，涉及到平面向量基本定理、平面向量数量积运算、余弦定理等知识的应用，综合性较强；解题关键是能够通过数量积的定值得到模长之间的等量关系，属于较难题.

10.已知集合,A B 满足：（ⅰ）A B =Q U ，A B =?I ； （ⅱ）1x A ?∈，若2x ∈Q 且21x x <，则2x A ∈； （ⅲ）1y B ?∈，若2y ∈Q 且21y y >，则2y B ∈. 给出以下命题：

①若集合A 中没有最大数，则集合B 中有最小数； ②若集合A 中没有最大数，则集合B 中可能没有最小数； ③若集合A 中有最大数，则集合B 中没有最小数； ④若集合A 中有最大数，则集合B 中可能有最小数. 其中，所有正确结论的序号是( ) A. ①③ B. ②③

C. ③④

D. ①④

【答案】B 【解析】 【分析】

根据并集和交集的结果可知Q A C B =；由条件（ⅱ）（ⅲ）可知两集合的元素以1x 为分界，可确定集合,A B 的构成；当集合A 有最大数时，根据有理数的特点可知大于1x 的有理数无最小数，知③正确；当集合A 无最大数时，若1x a →中的a 为有理数或无理数，此时集合B 可能最小数为a 或无最小数，知②正确.

【详解】若A B =Q U ，A B =?I Q A C B ∴=

则集合A 为所有小于等于1x 的有理数的集合，集合B 为所有大于等于1y 的有理数的集合

Q A C B =Q 1y ∴无限接近1x ，即集合B 为所有大于1x 的有理数的集合

当集合A 有最大数，即1x 有最大值时，大于1x 的有理数无最小数，可知③正确；

当集合A 无最大数，即1x a →时，a 为集合B 中的最小数；也可能a 为无理数，则1y a →，集合B 中无最小数，可知②正确 故选：B

【点睛】本题考查根据并集和交集的结果确定集合、元素与集合关系的应用；本题的解题关键是明确有理数的特点：无最大数也无最小数；本题较为抽象，对于学生的分析和解决问题能力有较高要求.

第二部分（非选择题共110分）

二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

11.已知向量()1,1a =-r ，()3,b m =r ，且//a b r r ，则m =________．

【答案】3-

【解析】 【分析】

根据向量平行的坐标表示可构造方程求得结果.

【详解】//a b r

r

Q ()113m ∴?=-?，解得：3m =- 故答案为：3-

【点睛】本题考查向量平行的坐标表示，属于基础题.

12.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为________，最长棱的长度为________．

【答案】 (1). 1

6

(2). 3 【解析】 【分析】

由三视图还原几何体得到三棱锥P ABC -，根据三棱锥体积公式可求得体积；利用勾股定理可求得最长棱AP .

【详解】由三视图还原几何体，可知几何体为如下图所示的三棱锥P ABC -

则1AB AC PD ===，PD ⊥平面ABC ，AB AC ⊥

1111

1113326

P ABC ABC V S PD -?∴=?=????=

最长棱222223AP AD PD AB AC PD =

+++

故答案为：

1

6

【点睛】本题考查根据三视图求解几何体体积和棱长的问题，关键是能够准确的通过三视图还原几何体，属于常考题型.

13.已知直线20x y a -+=与圆2

2

:2O x y +=相交于A ，B 两点（O 为坐标原点），且

AOB V 为等腰直角三角形，则实数a 的值为________．

【答案】【解析】 【分析】

根据等腰直角三角形边长可求得弦长2AB =，利用点到直线距离公式求得圆心到直线距离

d ，根据垂径定理构造方程可求得结果.

【详解】AOB ?Q 为等腰直角三角形 OA OB ∴⊥，又OA OB r ===

2AB ∴=

又圆O 的圆心到直线距离d =

=

2AB ∴===，解得：a =

故答案为：【点睛】本题考查根据直线被圆截得的弦长求解参数值的问题，涉及到点到直线距离公式、

垂径定理的应用；关键是能够明确直线被圆截得的弦长为. 14.已知a ，b 是实数，给出下列四个论断：①a b >；②

11

a b

<；③0a >；④0b >.以其中两个论断作为条件，余下的论断中选择一个作为结论，写出一个正确的命题：________． 【答案】若0a >，0b >且a b >，则11

a b

<．（答案不唯一） 【解析】 【分析】 利用()1f x x =

在()0,∞+上的单调性，可知当0a b >>时，11

a b

<，从而得到结果. 【详解】当0a >，0b >且a b >时

()1f x x

=

Q 在()0,∞+上单调递减 ()()f a f b ∴<，即11a b <

∴若0a >，0b >且a b >，则11

a b

<

故答案为：若0a >，0b >且a b >，则11

a b

<（答案不唯一）

【点睛】本题考查不等式性质的应用，属于基础题.

15.已知函数()21,,x ax x a

f x x x a

e

-?

=?≥??（a 为常数）．若()112f -=，则a =________；若函数

()f x 存在最大值，则a 的取值范围是________．

【答案】 (1). 1

2

(2). (,0]-∞ 【解析】 【分析】

（1）分别在1a >-和1a ≤-两种情况下求得()1f -，利用()1

12

f -=求得a ； （2）当x a ≥时，求导得()1

1x x

f x e

--'=

；当1a ≥时，可知x a <时，()f x →+∞不存在最大值，不符合题意；当1a <时，可得()f x 在[),a +∞上的

单调性，得到

()()max 11f x f ==；分别在01a <<、0a =和0a <三种情况下验证x a <时函数的最大

值，可得(],0a ∈-∞时，()()max 11f x f ==，从而得到结果. 【详解】（1）当1a >-时，()1

12

f a -==，满足题意； 当1a ≤-时，()211

12

f e ---=

≠，不合题意； 1

2

a ∴=

（2）当x a ≥时，()1x x

f x e -= ()1122

11x x x x e xe x

f x e e

------'∴== ①若1a ≥，则10x -≤ ()0f x '∴≤ ()f x ∴在[),a +∞上单调递减

()()1

max a a f x f a e -∴==

此时，当x a <时，()2

f x ax =，当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意

②若1a <，则1<；1x >时，()0f x '<

()f x ∴在(),1a 上单调递增，在()1,+∞上单调递减 ()()max 11f x f ∴==

此时，当x a <时，()2

f x ax =

若01a <<，则当x →-∞时，()f x →+∞，不合题意 若0a =，()()01f x f =<，此时()max 1f x =，满足题意

若0a <，则()()()3

max 01f x f a a f ==<<，此时()max 1f x =，满足题意

综上所述：(],0a ∈-∞时，()f x 存在最大值

故答案为：

1

2

；(],0-∞ 【点睛】本题考查根据分段函数的函数值求解自变量、根据分段函数的最值求解参数范围的问题；本题中根据最值求解参数范围的关键是能够通过分类讨论的方式，确定函数在不同情况下的单调性，进而得到最值取得的情况，从而分析得到结果.

16.2019年7月，中国良渚古城遗址获准列入世界遗产名录，标志着中华五千年文明史得到国际社会认可．良渚古城遗址是人类早期城市文明的范例，实证了中华五千年文明史．考古科学家在测定遗址年龄的过程中利用了“放射性物质因衰变而减少”这一规律．已知样本中碳14的质量N 随时间t （单位：年）的衰变规律满足573002t

N N -=?（0N 表示碳14原有的

质量），则经过5730年后，碳14的质量变为原来的________；经过测定，良渚古城遗址文物样本中碳14的质量是原来的

12至3

5

，据此推测良渚古城存在的时期距今约在________年到5730年之间．（参考数据：22log 3 1.6,log 5 2.3≈≈） 【答案】 (1). 1

2

(2). 4011 【解析】 【分析】

（1）根据衰变规律，令5730t =，代入求得01

2

N N =

；

（2）令03

5

N N =，解方程求得t 即可. 【详解】当5730t =时，1

00122

N N N -=?= ∴经过5730年后，碳14的质量变为原来

的

12

令035N N =，则5730325

t -= 2223log log 3log 50.757305t ∴-

==-≈- 0.757304011t ∴=?= ∴良渚古城存在的时期距今约在4011年到5730年之间

故答案为：

1

2

；4011 【点睛】本题考查根据给定函数模型求解实际问题，考查对于函数模型中变量的理解，属于基础题.

三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

17.在△ABC 中，AB =P 在BC 边上，且60APC ∠=o ，2BP =. （Ⅰ）求AP 的值；

（Ⅱ）若1PC =，求sin ACP ∠的值.

【答案】（Ⅰ）4AP =.（Ⅱ）sin ACP ∠=【解析】 【分析】

（Ⅰ）在ABP ?中，利用余弦定理可构造关于AP 的方程，解方程求得结果；

（Ⅱ）在APC ?中，利用余弦定理求得AC ；利用正弦定理可构造方程求得sin ACP ∠. 【详解】（Ⅰ）60APC ∠=o Q 120APB ∴∠=o

ABP ?中，AB =120APB ∠=o ，2BP =

由余弦定理2222cos AB AP BP AP BP APB =+-?∠得：22240AP AP +-=

4AP ∴=

（Ⅱ）在APC ?中，4AP =，1PC =，60APC ∠=o

由余弦定理2222cos AC AP PC AP PC APC =+-?∠得：AC =

由正弦定理

sin sin AP AC ACP APC =∠∠

得：4sin ACP =∠

sin 13

ACP ∴∠=

【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的相关知识，关键是能够在已知两边及一角的情况下，熟练应用定理构造方程求得其余角和边，属于基础题型.

18.已知*

{}()n a n ∈N 是各项均为正数的等比数列，116a =，323322a a +=.

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式；

（Ⅱ）设23log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S ，并求n S 的最大值．

【答案】（Ⅰ）52n

n a -=；（Ⅱ）()2

392

n S n n =-

-，n S 最大值为30 【解析】 【分析】

（Ⅰ）利用1a 和q 表示出323322a a +=，从而构造出关于q 的

方程，结合{}n a 为正项数列

可求得q ，根据等比数列通项公式求得结果；

（Ⅱ）由（Ⅰ）得n b ，由通项公式可验证出数列{}n b 为单调递减的等差数列，根据等差数列求和公式求得n S ；根据50b =，可确定4n =或5时，n S 最大，代入可求得最大值. 【详解】（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q

116a =Q ，323322a a += 221123324832a q a q q q ∴+=+=

即22320q q +-=，解得：2q =-或12

q =

{}n a Q 各项均为正数 12

q ∴=

1

511622n n n a --??

∴=?= ?

??

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：()523log 235153n

n b n n -==-=-

当2n ≥时，13n n b b --=-

{}n b ∴是首项为112b =，公差为3-的单调递减的等差数列

()()233

121922

n S n n n n n ∴=--=--

又50b = ∴数列{}n b 的前4项为正数

∴当4n =或5时，n S 取得最大值，且最大值为4530S S ==

【点睛】本题考查等比数列通项公式的求解、等差数列前n 项和最值的求解问题；求解等差数列前n 项和的最值的常用方法有两种：

①确定数列各项中的变号项，由数列的单调性可得最值取得的位置； ②根据前n 项和的二次函数性质来确定最值的位置.

19.如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是等边三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，

E 为PD 的中点，//AD BC ,CD AD ⊥，24BC CD AD ===，.

（Ⅰ）求证：//CE 平面PAB ； （Ⅱ）求二面角E AC D --的余弦值；

（Ⅲ）直线AB 上是否存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ?若存在，求出AQ

AB

的值；若不存在，说明理由.

【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）6

4

Q ， 2AQ AB =． 【解析】 【分析】

（Ⅰ）取PA 中点F ，结合三角形中位线和长度关系，可证得//EF BC 且EF BC =，得到四边形EFBC 为平行四边形，进而得到//CE BF ，根据线面平行判定定理可证得结论； （Ⅱ）取AD 中点O ，由面面垂直性质可知PO ⊥平面ABCD ，由此可建立空间直角坐标系；分别求得两面的法向量，求得法向量夹角的余弦值；根据二面角为锐角确定最终二面角的余弦值；

（Ⅲ）设AQ AB λ=u u u r u u u r

，利用空间向量表示出PQ uuu r ，由线面平行可知PQ uuu r 与平面的法向量垂直，

即10PQ n ?=u u u r r

，构造方程求得λ，从而得到结论.

【详解】（Ⅰ）取PA 中点F ，连结,EF BF

,E F Q 为,PD PA 中点，4=AD ∴//EF AD ，1

22

EF AD ==

又//BC AD ，2BC = //EF BC ∴且EF BC =

∴四边形EFBC 为平行四边形 ∴//CE BF Q CE ?平面PAB ,BF ?平面PAB

∴//CE 平面PAB

（Ⅱ）取AD 中点O ，连结OP ，OB

PAD ?Q 为等边三角形 PO OD ∴⊥

Q 平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD I 平面ABCD =AD ∴PO ⊥平面ABCD Q //OD BC ，2OD BC == ∴四边形BCDO 为平行四边形 Q CD AD ⊥ ∴OB OD ⊥

如图建立空间直角坐标系O xyz -，

则()()(

)(

(0,2,0,2,0,0,2,2,0,,A B C E P -

()2,4,0AC ∴=u u u v

，(AE =u u u v

设平面ACE 的一个法向量为()1,,n x y z =r

则1100n AC n AE ??=???=??u u u

v r u u u v r ，

即240

30

x y y +=???+=??，令2x =-，则1y =

，z =

(12,1,n ∴=-r 显然，平面ACD 的一个法向量为()20,0,1n =r

，

所以121212cos ,n n n n n n ?===r r

r r

r r .

Q 二面角E AC D --为锐角 ∴二面角E AC D --

（Ⅲ）直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE .理由如下：

设AQ AB λ=u u u r u u u r

()2,2,0AB =u u u Q v

，

(0,2,PA =--u u u v ∴()2,2,0AQ AB λλλ==u u u v u u u v

，(2,22,PQ PA AQ λλ=+=--u u u v u u u v u u u v

Q PQ ?平面ACE ∴//PQ 平面ACE 时，10PQ n ?=u u u r r

即42260λλ-+-+=，解得：2λ=

∴直线AB 上存在点Q ，使得//PQ 平面ACE ，此时

2AQ

AB

= 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面平行关系的证明、空间向量法求解二面角及立体几何中的存在性问题；求解本题中的存在性问题的关键是能够假设存在，利用所给的平行关系得到直线与法向量垂直，从而利用垂直关系的坐标表示构造方程求得结果.

20.已知椭圆:C 22221(0)x y a b a b +=>>

经过两点2

P

，(Q .

（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；

（Ⅱ）过椭圆的右焦点F 的直线l 交椭圆C 于A ，B 两点，且直线l 与以线段FP 为直径的圆交于另一点E （异于点F ），求AB FE ?的最大值.

【答案】（Ⅰ）2

212

x y +=（Ⅱ）最大值为1

【解析】 【分析】

（Ⅰ）将,P Q 坐标代入椭圆方程可解得,a b ，进而得到结果；

（Ⅱ）设直线l 方程为1x ty =+，与椭圆方程联立可得韦达定理的形式，由弦长公式表示出

AB ；利用垂径定理可表示出FE ，从而将AB FE ?表示为关于t 的函数，利用基本不等

式可求得最大值.

【详解】（Ⅰ）Q 椭圆:C ()222210x y

a b a b +=>>

过点P ? ??

，()

Q

2

211

12a a

b ?=?

∴?+=??

，解得：1a b ?=??=??∴椭圆C 的标准方程为2

212

x y +=

（Ⅱ）由题易知直线l

的

斜率不为0，可设l ：1x ty =+

由22

112

x ty x y =+???+=??得：()22

2210t y ty ++-=，则()222442880t t t ?=++=+> 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222t

y y t -+=+，12

212

y y t -=+ 又12AB y y =-，以FP 为直径的圆的圆心坐标为1,4? ??

，半径为4r = 故圆心到直线l

距离为

d =

=

∴FE === ∴12AB FE y ?=

-=====

211t +≥Q ()2

2

1121

t t ∴++≥+，即()2211

14121

t t ≤++++

1AB FE ∴?≤=（当且仅当2

2

111t t +=+，即0t =时取等号） 当0t =时，直线与椭圆有交点，满足题意，且1AB FE ?=

AB FE ∴?的最大值为1

【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用问题，涉及到椭圆方程的求解、最值问题的求解；解决最值问题的关键是能够将所求量表示为关于某一变量的函数，进而利用函数中的最值求解方法求得最值. 21.已知函数()()ln 0x

f x a x a

=

>+． （Ⅰ）求曲线()y f x =在点()()

1,1f 处的切线方程； （Ⅱ）当1a =时，证明：()1

2

x f x -≤

； （Ⅲ）判断()f x 在定义域内是否为单调函数，并说明理由．

【答案】（Ⅰ）(1)10x a y -+-=；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由见解析 【解析】 【分析】

根据解析式可确定函数定义域并求得()f x '

（Ⅰ）求得()1f 和()1f '，根据导数几何意义可知切线斜率为()1f '，从而得到切线方程； （Ⅱ）将所证不等式转化为22ln 10≤x x -+；令()2

2ln 1h x x x =-+，通过导数求得函

数单调性，可得()max 0h x =，即()0h x ≤，从而证得结论； （Ⅲ）令()ln 1a

g x x x

=-++，通过导数可知()g x 单调递减；利用零点存在定理可知()g x 在(

)1

1,a e

-内存在零点m ，从而得到()f x '的符号，进而得到()f x 单调性，说明()f x 不

是单调函数.

【详解】由题意得：函数()f x 的定义域为()0,∞+，()()

2

ln 1a x x f x x a -+

+'=+ （Ⅰ）()10f =Q ，()111

f a '=

+ ()y f x ∴=在点()()1,1f 处的切线方程为：()1

011

y x a -=

-+ 即()110x a y -+-= （Ⅱ）当1a =时，()ln 1

x

f x x =+ 欲证()1

2x f x -≤

，即证ln 112

≤x x x -+，即证22ln 10≤x x -+

令()2

2ln 1h x x x =-+，则()()()2112

2x x h x x x x

--+'=

-=

． 当x 变化时，(),()h x h x '变化情况如下表：

∴函数()h x 的最大值为()10h =，故()0≤h x

()1

2

x f x -∴≤

（Ⅲ）函数()f x 在定义域内不是单调函数．理由如下：

令()ln 1a

g x x x =-+

+， ()2210a x a

g x x x x

+'=--=-

()110g a =+>Q ，()111

11ln 110a a a a a g e e a e e ++++??

=-+

+=-< ???

∴存在()

11,a m e +∈，使得()0g m =