2015年清华大学自主招生试题+数学+Word版含解析

一、选择题

1.设复数z=cos 23π+isin 23π，则2

11

1-1z z +

-=（ ） (A)0 (B)1 (C)

12 (D)32

2.设数列{}n a 为等差数列，p,q,k,l 为正整数，则“p+q>k+l ”是“p q k l a a a a +>+”的( )条件

(A)充分不必要 (B)必要不充分 (C)充要 (D)既不充分也不必要 3.设A 、B 是抛物线y=2

x 上两点，O 是坐标原点，若OA ⊥OB,则( )

(A)|OA|·|OB|≥2 (B)|OA|+|OB|≥

(C)直线AB 过抛物线y=2

x 的焦点 (D)O 到直线AB 的距离小于等于1

4.设函数()f x 的定义域为(-1,1)，且满足：①()f x >0,x ∈(-1,0)；②

()f x +()f y =(

)1x y

f xy

++，x 、y ∈(-1,1)，则()f x 为 (A)奇函数 (B)偶函数 (C)减函数 (D)有界函数

5.如图，已知直线y=kx+m 与曲线y=f (x)相切于两点，则F(x)=f (x)?kx 有（ ）

(A)2个极大值点 (B)3个极大值点 (C)2个极小值点 (D)3个极小值点 6.△ABC 的三边分别为a 、b 、c ．若c=2，∠C=

3

π

，且sinC+sin(B ?A)?2sin2A=0,则有（ ）

(A)b=2a (B)△ABC 的周长为 (C)△ABC (D)△ABC 的外接圆半径为

3

7.设函数2()(3)x

f x x e =-，则（ ）

(A)()f x 有极小值，但无最小值 (B) ()f x 有极大值，但无最大值 (C)若方程()f x =b 恰有一个实根，则b>36

e

(D)若方程()f x =b 恰有三个不同实根，则0

3

6e 8.已知A={(x,y)∣2

2

2

x y r +=}，B={(x,y)∣2

2

2

()()x a y b r -+-=，已知A∩B={(11,x y ),(22,x y )}，则（ ）

(A)0<22a b +<22

r (B)1212()(y )0a x x b y -+-= (C)12x x +=a ，12y y +=b (D)22

a b +=1122ax by +

9.已知非负实数x,y,z 满足2

2

2

44x y z +++2z=3，则5x+4y+3z 的最小值为（ ） (A)1 (B)2 (C)3 (D)4

10.设数列{n a }的前n 项和为n S ，若对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得n S =m a ，则（ ）

（A ）{n a }可能为等差数列 （B ）{n a }可能为等比数列

（C ）{n a }的任意一项均可写成{n a }的两项之差(D)对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得

n a =m S

11.运动会上，有6名选手参加100米比赛，观众甲猜测：4道或5道的选手得第一名；观众乙猜测：3道的选手不可能得第一名；观众丙猜测：1,2,6道选手中的一位获得第一名；观众丁猜测：4,5,6道的选手都不可能获得第一名．比赛后发现没有并列名次，且甲、乙、丙、丁中只有1人猜对比赛结果，此人是（ ） (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁

12.长方体ABCD ?1111A B C D 中，AB=2，AD=A 1A =1，则A 到平面1A BD 的距离为（ ）

(A)

13 (B)2

3

13.设不等式组||||2

2(1)

x y y k x +≤??

+≤+?所表示的区域为D ，其面积为S ，则（ ）

(A)若S=4，则k 的值唯一 (B)若S=

1

2

，则k 的值有2个

(C)若D 为三角形，则0

2

3

(D)若D 为五边形，则k>4 14.△ABC 的三边长是2,3,4，其外心为O ，则O A A B O B B C O C C A ?+

?+?=（ ）

(A)0 (B)?15 (C)?

21

2

(D)?292

15.设随机事件A 与B 互相独立，且P(B)=0.5，P(A ?B)=0.2，则（ ）

(A)P(A)=0.4 (B)P(B ?A)=0.3 (C)P(AB)=0.2 (D)P(A+B)=0.9

16.过△ABC 的重心作直线将△ABC 分成两部分，则这两部分的面积之比的（ ） (A)最小值为

34 (B)最小值为45 (C)最大值为43 (D 最大值为54

17.从正15边形的顶点中选出3个构成钝角三角形，则不同的选法有（ ）

(A)105种 (B)225种 (C)315种 (D)420种

18.已知存在实数r ，使得圆周2

2

2

x y r +=上恰好有n 个整点，则n 可以等于（ ） (A)4 (B)6 (C)8 (D)12 19.设复数z 满足2|z|≤|z ?1|，则（ ） (A)|z|的最大值为1 (B)|z|的最小值为13 (C)z 的虚部的最大值为2

3

(D)z 的实部的最大值为

1

3

20.设m,n 是大于零的实数，a =(mcos α,msin α)，b =(ncos β,nsin β)，其中α,β∈[0,2π)α,β∈[0,2π)．定义向量

1

2

a =(2

α

2

α

),12

b =(2

β

2

β

)，记θ=α?β，则（ ）

(A)12

a ·12

a =a (B)112

2

a b ?=2

θ

(C)112

2

2

2||44

a b mn θ

-≥

(D)1

12

2

2

2||44

a b mn θ

+≥

21.设数列{n a }满足：1a =6，13

n n n a a n

++=

，则（ ） (A)?n ∈N ?,n a <3

(1)n + (B)?n ∈N ?,n a ≠2015 (C)?n ∈N ?,n a 为完全平方数 (D)?n ∈N ?, n a 为完全立方数 22.在极坐标系中，下列方程表示的图形是椭圆的有（ ） （A ）ρ=

1cos sin θθ+ （B ）ρ=12sin θ+ （C ）ρ=12cos θ- （D ）ρ=1

12sin θ

+

23.设函数2sin ()1

x

f x x x π=-+，则（ ）

（A ）()f x ≤

4

3

(B)|()f x |≤5|x| (C)曲线y=()f x 存在对称轴 (D)曲线y=()f x 存在对称中心

24.△ABC 的三边分别为a ,b,c ，若△ABC 为锐角三角形，则（ ） (A)sinA>cosB (B)tanA>cotB (C)2

2

2

a b c +> (D)3

3

3

a b c +>

25.设函数()f x 的定义域是(?1,1)，若(0)f =(0)f '=1，则存在实数δ∈(0,1)，使得（ ） (A)()f x >0，x ∈(?δ,δ) (B)()f x 在(?δ,δ)上单调递增 (C)()f x >1，x ∈(0,δ) (D)()f x >1，x ∈(?δ,0)

26.在直角坐标系中，已知A(?1,0)，B(1,0)．若对于y 轴上的任意n 个不同的点

k P (k=1,2,…,n)，总存在两个不同的点i P ,j P ，使得|sin ∠A i P B ?sin ∠A j P B|≤1

3

，则n 的

最小值为（ ）

(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

27.设非负实数x,y 满足2x+y=1，则

）

(A)最小值为

45 (B)最小值为2

5

(C)最大值为1 (D)

最大值为13

28.对于50个黑球和49个白球的任意排列（从左到右排成一行），则（ ）

(A)存在一个黑球，它右侧的白球和黑球一样多 (B)存在一个白球，它右侧的白球和黑球一样多

(C)存在一个黑球，它右侧的白球比黑球少一个 (D)存在一个白球，它右侧的白球比黑球少一个

29.从1,2,3,4,5中挑出三个不同数字组成五位数，其中有两个数字各用两次，例如12231，则能得到的不同的五位数有（ ） (A)300个 (B)450个 (C)900个 (D)1800个

30.设曲线L 的方程为4

2

2

4

2

(22)(2)y x y x x +++-=0，则（ ） (A)L 是轴对称图形 (B)L 是中心对称图形 (C)L ?{(x,y)∣2

2x y +≤1} (D)L ?{(x,y)∣?12≤y ≤12

} ##Answer## 1.【解析】

2111-1z z +-=211-zz z zz z +-=11-z z z z +-=22cos sin 1332221-cos sin 2sin 333

i i i πππππ

-+--

=

2

1

2sin 2sin

cos

333i π

π

π

-?

-22

cos()sin()

33sin )

22i i ππππ

-+-+ =cos 0sin 02sin [cos()sin()]366

i i πππ+-+-

77

)sin()]66i ππ-+-

1

sin )662i i ππ+=1，选B

2.【简解】 ()p q k l a a a a +-+=[(p+q)-(k+l)]d ，与公差d 的符号有关，选D

3.【解析】设A(2

11,x x ),B(2

22,x x ),OA OB ?=1212(1)x x x x +=0?21

1

x x =-

答案(A),||||OA OB ?

=2，正确；答案(B),|OA|+|OB|≥

2

2

,正确；答案(C),直线AB 的斜率为

222121

x x x x --=21x x +=111x x - 方程为y-2

1x =(111x x -)(x-1x ),焦点(0,14)不满足方程，错误；

答案(D)，原点到直线AB ：(11

1

x x -

)x-y+1=0的距离

1，正确。选ABD

4.【解析】x=y=0?(0)f =0,y=-x ?()()f x f x -=-,()f x 为奇函数，(A)正确；()f x ≡0，(B)

错

误

；

12

x x <，

1()f x -2()f x =1()f x +2()f x -=12121x x f x x ??

- ?-??

>0?1()f x >2()f x ?()f x ↓,(C)正确；

()f x =-tan

2

x π

满足已知条件，但无界，(D)错误。选A,C 5.【简解】将直线平移知：斜率为k 的直线，与曲线y=()f x 至多有五个公共点，其中在此直线先下方后上方的两个区间，先上方后下方的三个区间，故()F x 有三个极大值点，两个极小值点。选BC

6.【解析】2R=

sin c C =?正确； 又

sinC+sin(B-A)=sin(B+A)+sin(B-A)=2sinBcosA=2sin2A=4sinAcosA ?cosA=0或

sinB=2sinA ?A=2π或b=2a ; A=2

π

时，a 周长为

b=2a 时，2

c =222cos a b ab C +-?a 2

π,同样有周长为选BCD

7.【简解】()f x '=(x+3)(x-1)x

e ,36

)(3)f x f e

=-=极大（, )(1)-2f x f e ==极小

（，作出其大致图象，如图

选BD

8.【解析】已知即半径相等的两圆⊙O:2

2

2

x y r +=与⊙C:2

2

2

()()x a y b r -+-=交于相异的两点111(,)P x y 、222(,)P x y 。0<|OC|<2|r|?0<2

2

a b +<42

r ,(A)错；四边形O 1P C 2P 是菱形

?对角线

OC 与

12

P P 垂直且平分，(B)(C)正确；

22a b +=1122ax by +?22221111()()a x b y x y -+-=+?11||||CP OP =，(D)正确。

总之，选BCD

9.【解析】关于z 的方程222

24430z z x y +++-=有非负实数解，

0?2

2

34

x y +≤

,

设x=rcos θ,y=rsin θ,θ∈[0,

2

π

],r ∈

[0,2]

d=r(5cos θ+4sin θ

sin(θ+arctan

54

≥

)-3,设a =（2,3），b

)

d ≥2a b ?-3=2||||a b cos(,a b

,a b )-3,作图知

(,a

b )最大值是b 与OY 夹角，此时d ≥。选C 10.【解析】答案(A)，常数列0,0,0,...满足要求；答案(B),公比q=1时因n 1a ≠1a ,结论假，

q ≠1时，111(1)1n m a q a q q --=-?1

11n

m q q q

--=-常数，也不可能；答案(C),1n n n a S S -=-=m t a a -,满足要求；答案(D),n a =m S =t a ，并非对所有数列成立。选AC 11.【简解】答案甲乙丙不能保证只有一个正确，故选D

12.等体积法，选B

13.【解析】如图：不等式组表示过点P(-1,-2)的直线的下方与正方形ABCD 围成的面积图形

23

k>0时，S 单调增，梯形2P ABC 面积为

28

5

>4，故S=4只有一解，(A)正确；△1P AB 、△34P P D 的面积分别为45、1,都比12大，故再两个三角形内各存在一个围成面积为1

2

的直线，(B)正确；

k<0时，围成的仍然是三角形，(C)错误；围成五边形，斜率大于直线PC 的斜率4，(D)正确。

选ABD

14.【简解】取AB 的中点D,则OA AB ?=OA ×AB ×cos(π-∠OAB)=-AB ×(OA ×cos ∠

OAB)=-212AB ,同理O B

B ? =212B

C -，21

2OC CA CA ?=-，原式=222

129()22

AB BC CA -++=- .选D

15.【简解】设P(AB)=x ，则P(A)=0.2+x ，根据P(AB)=P(A)P(B)有x=(0.2+x)×0.5?x=0.2;P(A)=0.4，(A)正确；P(B-A)=0.5-0.2=0.3,(B)正确；P(AB)=0.2，(C)正确；P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.7,(D)错误。选ABC

16.【解析】设△ABC 的重心为G,面积为1，过点G 的直线与三角形边AB 、AC 分别相交于D 、E ，AD=xAB,AE=yAC,则有

1

2

AB ×ACsinA=1,如图 E

D G

B

A

特别的x,y ∈{0,1}时，DE 为三角形的中线，此时分成两部分面积比值为1 当x,y ∈(0,1)时，△ADE 面积S=

12AD ×AEsinA=1

2

xAB ×yACsinA=xy,D 、G 、E 三点共线?存在实数λ，使得DG DE λ=?AG AD -=λ(AE AD -)?AG =(1-λ)AD +λAE =(1-

λ)x AB +λy AC ,又AG =13AB +13AC ?1(1)3

1

3x y λλ?

-=????=??

，消去λ得到11x y +=3，因11x y +

≥

?23?S ≥49,等号成立当且仅当x=y=23?DE ∥BC,故S 最小值为

49，1-S 的最大值为59；故两面积比值有最小值45，最大值5

4

。选BD 17.【解析】先看一个顶点处构成钝角的三角形个数，加设此点为A ，从A 逆时针方向的点依次记为k A (k=1,2,3,…,7),顺时针方向的顶点依次记为k A -(k=1,2,3,…,7)，△n m A AA -要构成以A 为钝角的钝角三角形，则n+m ≤7，有1+2+3+…+6=21个。于是共可构成15×21=315个钝角三角形。选C

18.【简解】正数点关于x 轴、y 轴对称，故一定是4的倍数。选ACD 19.【简解】设x=x+yi(x,y ∈R),代入化简得到22

14()3

9x y ++≤

，表示以(-1

3

,0)为圆心，以2

3

为半径的圆及其内部，根据图形，选ACD 20. 【解析】12

a ·12

a 是一个数值，不是向量，(A)错；

1122

a b

?=cos

2

2

α

β

sin

2

2

α

β

2

αβ

-2

θ

,(B)正确；

112

2

2||

a b -

=2)2

2α

β

+2)22

αβ=m+n-2

cos 2

αβ

-=

cos 2θ≥

(1-cos 2θ)=24

θ,(C)正确；

同理(D)正确 选BCD 21.【简解】

13n n a n a n

++=,迭乘得到n a =(n+2)(n+1)n ；3(1)n a n <+?n(n+2)<2(1)n +,(A)正确；2015=5×13×31，不可能是三个连续整数之积，(B)正确；三个连续整数积不可能为完

全平方数和立方数，(C)(D)错误。选AB

22.【简解】(A)去分母，化成直角坐标方程为x+y=1，表示直线；(B)为ρ=

1

2

11cos()22

πθ-+表

示椭圆；(C)为ρ=1

21

1cos 2

θ

-表示椭圆；(D)为ρ=112cos()2πθ-+表示双曲线。选BC

23.【解析】()f x ≤43?g(x)=2

4443sin x x x π-+-≥0,1()=g()2

g x 极小值=0,(A)正确；

|()|f x ≤5|x|?|sin πx|≤|32x x x -+|.作图象知成立,(B)正确；x=1

2

是其一条对称轴，

(C)正确；()()f a x f a x -++不可能为常数，故(D)错误。选ABC 24.【简解】A+B>

2π?A>2π-B ?sinA>sin(2π-B)=cosB,tanA>tan(2

π

-B)=cotB,(A)(B)正确；锐角三角形，一定有2

2

2

a b c +>，(C)正确；三角形三边长为0.5,0.9,1时，满足锐角三角形条件，但3

3

0.50.90.854+=<1，(D)错误。总之，选ABC 25.【解析】根据导数定义，对任意ε>0,存在δ>0,当|x|<δ时，|

()(0)

f x f x

--1|<ε?x(1-ε)+1<()f x 0，知在0附近存在区间，

()f x '>0,(B)正确；对于函数y=x+1，(D)不正确。总之，选ABC

26.【解析】将所有的|sin ∠A i P B ?sin ∠A j P B|，按从小到大排序，共有2

n C 个，其中最小者不大于13，最大为2，于是2

13

n C ≥2,n 的最小值为4.选B 27.【

解

析

】

设

x=rcos

θ

,y=rsin

θ

,

θ

∈

[0,

2

π].2x+y=1?r=12cos sin θθ+

=rcos θ+r=cos 12cos sin θθθ++,记作T ；去分母

得到Tsin θ+(2T-1)cos θ

=1,sin(θ+arctan 21T T

- )=1

≤

T ≥45,等号成立当且仅当θ+arctan

21T T -=θ+arctan 34=2π

，(A)正确；当θ=0时T=2，θ=2

π

时T=1，最大值为2，(C)正确。选AC

28.【简解】黑球先放好，放白球，选A

29.【解析】先从五个数字中，将这三个数字中选出来，有3

5C 种方法，如选了123；在确定不重复用的数字，有1

3C 种方法，如选3；对数字3安排有1

5A 种方法，余下的对数字1安排有2

4

C 种方法，剩下的两位安排2；有35C 13C 15A 2

4C =900.选C

30.【简解】解方程得到221y x =--，易知它关于两坐标轴及原点都对称，(A)(B)

正确；2

2

x y +1≤1有-2≤x ≤2

条件，但已知中无此条件，故(C)错误；设2x=tan θ,θ∈(-2π , 2

π),2

y =-21sec 4θ+sec θ-34,当sec θ=2时，2max y =14，-12≤y ≤

1

2

,(D)正确。选ABD