2011年四川高考数学试卷(理科)及答案详解

绝密★启用前

2011年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)

数 学(理工类)

本试卷分第一部分(选择题)和第二部分(非选择题)。第一部分1至2页，第二部分3至4页，共4页．考生作答时，须将答案答在答题卡上及试题卷，草稿纸上答题无效，满分150分，考试时间120分钟。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：

如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式 P(A+B) =P(A)+P(B) 24s R π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P(A·B)=P(A)·P(B) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么

24

3

v R π=

在n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中R 表示球的半径

第一部分（选择题 共60分）

注意事项：

1.选择题必须使用2B 铅笔将答案标号填涂在答题卡上对应题目标号的位置上。

2.本部分共12小题，每小题5分，共60分。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：

[11.5，15.5) 2 [15.5,19.5) 4 [19.5，23．5) 9 [23.5,27.5) 18 [27.5，31.5) 1l [31.5，35.5) 12 [35.5．39.5) 7 [39.5,43.5) 3 根据样本的频率分布估计，数据落在[31.5，43.5)的概率约是 (A)

16 (B)13 (C)12 （D ）23

答案：B

解析：从31.5到43.5共有22，所以221

663

P =

=。

2、复数1i i

-+=

(A)2i - （B ）1

2

i （C ）0 （D ）2i 答案：A

解析：12i i i i i

-+=--=-

3、1l ，2l ，3l 是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是 (A)12l l ⊥，23l l ⊥13l l ? （B ）12l l ⊥，23l l ?13l l ⊥ (C)233l l l ? 1l ，2l ，3l 共面 （D ）1l ，2l ，3l 共点?1l ，2l ，3l 共面 答案：B

解析：A 答案还有异面或者相交，C 、D 不一定

4、如图，正六边形ABCDEF 中，BA CD EF ++= (A)0 (B)BE (C)AD (D)CF 答案D

解析：BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF ++=++=+=+= 5、5函数，()f x 在点0x x =处有定义是()f x 在点0x x =处连续的

(A)充分而不必要的条件 (B)必要而不充分的条件 (C)充要条件 (D)既不充分也不必要的条件 答案：B

解析：连续必定有定义，有定义不一定连续。

6.在?ABC 中．2

2

2

sin sin sin sin sin B C B C ≤+-.则A 的取值范围是 (A)(0，6

π

] (B)[

6

π

，π) (c)(0，

3

π

] (D) [

3

π

，π)

答案：C 解

析：由题意正弦定理

2222

2

2

2

2

2

11cos 023

b c a a b c bc b c a bc A A bc π

+-≤+-?+-≥?≥?≥?<≤

7．已知()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12

x

f x =+，则()f x 的反函数的图像大致是 答案：A

解析：由反函数的性质原函数的值域为反函数的定义域，原函数的定义域为反函数的值域。 当10,0()1,122

x

x y ><

8.数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列且1(*)n n n b a a n N +=-∈ .若则32b =-，1012b =，则8a = （A ）0 （B ）3 （C ）8 （D ）11 B 解

析

：

由

已

知

知

1

28,28,

n n

n

b n a a n +=--

=-由叠加法

21328781()()()642024603a a a a a a a a -+-++-=-+-+-++++=?==

9.某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡

车.某天需运往A 地至少72吨的货物，派用的每辆车虚满载且只运送一次.拍用的每吨甲型卡车虚配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车虚配1名工人，运送一次可得利润350元.该公司合理计划党团派用两类卡车的车辆数，可得最大利润

（A ）4650元 （B ）4700元 （C ）4900元 （D ）5000元 答案：C

解析：由题意设派甲，乙,x y 辆，则利润450350z x y =+，得约束条件08071210672219

x y x y x y x y ≤≤??≤≤??

+≤??+≥?+≤??画出可行域在

12219x y x y +≤??+≤?的点7

5x y =??

=?

代入目标函数4900z = 10.在抛物线2

5(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，2

2x =的两点，过这两点引一条割线，有平行

于该割线的一条直线同时与抛物线和圆22

5536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为 （A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)- 答案：A

解析：由已知的割线的坐标

(4,114),(2,21),2a a K a ---=-,设直线方程为(2)y a x b =-+，则2

2

3651(2)

b a =+-又25

64(2,9)(2)y x ax b a y a x b

?=+-?=-?=?--?

=-+? 11.已知定义在[)0,+∞上的函数()f x 满足()3(2)f x f x =+，当[)0,2x ∈时，2()2f x x x =-+.设()f x 在[)22,2n n -上的最大值为(*)n a n N ∈，且{}n a 的前n 项和为n S ，则lim n n S →∞

=

（A ）3 （B ）52 （C ）2 （D ）

3

2 答案：D

解

析

：

由

题

意

1

(2)()3

f x f x +=

,在

[22,2]

n n -上，

2

11

1()11

1331,()1,2,(),3,()()()lim 133

3213

n

n n n n

n f x n f x n f x a S S --=======?=?=- 12.在集合{}1,2,3,4,5中任取一个偶数a 和一个奇数b 构成以原点为起点的向量(,)a b α=.从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作平行四边形.记所有作成的平行四边形的个数为n ，其中面积不超过．．．4的平行四边形的个数为m ，则m

n = （A ）

415 （B ）13 （C ）25 （D ）2

3

答案：D

基本事件：2

6(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,5),(4,3),3515n C ==?=由其中面积为1的平行四边形的个数

(2,3)(4,5);(2,1)(4,3);(2,1)(4,1)其中面积为2的平行四边形的个数为(2,3)(2,5);(2,1)(2,3)其中面积为3

的平行四边形的个数(2,3)(4,3);(2,1)(4,5)其中面积为4的平行四边形的个数

(2,1)(2,5);(4,1)(4,3);(4,3)(4,5)其中面积为5的平行四边形的个数(2,3),(4,1);(2,5)(4,5)；其中面积为7的平行四边形的个数(2,5),(4,3)

其中面积为8的平行四边形的个数(4,1)(4,5)其中面积为9的平行四

边形的个数(2,5),(4,1)

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

13.计算121

(lg lg 25)100=4

--÷ .

答案：20-

解析：12111

(lg lg 25)100lg

20410010

--÷=÷=- 14.双曲线

22

x y =1P 46436

-上一点到双曲线右焦点的距离是，那么点P 到左准线的距离是 . 答案：16

解析：8,6,10a b c ===，点P 显然在双曲线右支上，点P 到左焦点的距离为20，所以

205

164

c d d a ==?= 15.如图，半径为R 的球O 中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大是，求的表面积与改圆柱的侧面积之差是 . 答案：2

2R π

解析：max 24S r S π=?=?侧侧时，22222

22

R r R r r r R =-?=?=，则

222422R R R πππ-=

16.函数f x （）的定义域为A ，若1212x x A f x =f x ∈，且（）（）

时总有 12x =x f x ，则称（）

为单函数.例如，函数f x （）=2x+1（x R ∈）是单函数.下列命题： ① 函数f x （）=2

x （x ∈R ）是单函数；

② 若f x （）为单函数，121212x x A x x f x f x ∈≠≠，且，则（）（）； ③ 若f ：A →B 为单函数，则对于任意b ∈B ，它至多有一个原象；

④ 函数f （x ）在某区间上具有单调性，则f （x ）一定是单函数. 其中的真命题是 .（写出所有真命题的编号） 答案：②③④ 解析 ：①错，12x x =±，②③④正确。

三、解答题 17、

已知函数

73

()sin()cos(),

44

f x x x x R

ππ

=++-∈

(1)求()

f x的最小正周期和最小值；

（2）已知

44

cos(),cos(),(0)

552

a

π

ββααβ

-=+=-<<≤，求证：2

[()]20

fβ-=

解析：

7733 ()sin cos cos sin cos cos sin sin

4444

2sin()

4

f x x x x x

x x

x

πππππ

=+++

=

=-

（2）

4

cos()cos cos sin sin(1)

5

4

cos()cos cos sin sin(2)

5

cos cos0

0cos0

22

βααβαβ

βααβαβ

αβ

ππ

αβββ

-=+=

+=-=-

=

<<≤?=?=

18、本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多。某自行车租车点的收费标准是每车每次租不超过两小时免费，超过两小时的收费标准为2元（不足1小时的部分按1小时计算）。有人独立来该租车点则车骑游。各租一车一次。设甲、乙不超过两小时还车的概率

分别为11

,

42

；两小时以上且不超过三小时还车的概率分别为

11

,

24

；两人租车时间都不会超过

四小时。

（Ⅰ）求出甲、乙所付租车费用相同的概率；

（Ⅱ）求甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望Eξ；解析：

（1）所付费用相同即为0,2,4元。设付0元为

1111 428

P=?=，付2元为

2111 248

P=?=，付4元为

3111 4416

P=?=

则所付费用相同的概率为

123

5 16

P P P P

=++=

(2)设甲，乙两个所付的费用之和为ξ，ξ可为0,2,4,6,8分布列

19．(本小题共l2分)

如图，在直三棱柱AB-A 1B 1C 1中．∠ BAC=90°，AB=AC=AA 1 =1．D 是棱CC 1上的一 P 是AD 的延长线与A 1C 1的延长线的交点，且PB 1∥平面BDA ． (I)求证：CD=C 1D ：

(II)求二面角A-A 1D-B 的平面角的余弦值； (Ⅲ)求点C 到平面B 1DP 的距离． 解析：（1）连接1B A 交1BA 于O ,

1//B P 1面BDA ,111,,B P AB P AB P D OD ?=1面面面BA

1//B P OD ∴,又O 为1B A 的中点，D ∴为AP 中点，1C ∴1为A P ,1ACD PC D ∴???1C D CD ∴=

,D 为1

CC 的中点。

（2）由题意11,AB AC AB AA AB C C ⊥⊥?⊥1面AA ,

过 B 作AH AD

⊥,连接BH ，则

B H A D ⊥

,AHB ∴∠

为二面角1A A D B --的平面角。在1AA D ?中，111,AA AD A D ==

=

,则23

AH AH BH AHB BH ==∠===

(3)因为11C B PD B PCD V V -=

，所以1111

1

33

B PD PCD h S A

B S ???=

?

,111A B

= 11111244

PCD PC C PC D

S S S ???=-=-=, 在1B DP ?中，1111

955344,3222

B D B P PD DB P DB P +-

===∠==∠=? 20．(本小题共12分) 设d 为非零实数，12211*1(2(1)]()n n n n

n n n n n a C d C d n C d nC d n N n

--=

+++-+∈

(1)写出123,,a a a 并判断{}n a 是否为等比数列。若是，给出证明；若不是，说明理由； (II)设*

()n n b nda n N =∈，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 解析：（1）

因为d 为常数，所以{}n a 是以d 为首项，1d +为公比的等比数列。

（2）21

2

2

1

2

2

2120121(1)(1)2(1)3(1)(1)[(1)2(1)3(1)(1)](1)

n n n n n b nd d S d d d d d d nd d d d d d n d ---=+=++++++

++=++++++

++

（2）-（1）2

221(1(1))

[(1)()(1)1(1)

n n n n d dS d d n d d d n d d d ?-+==-++=+-+-+

21．(本小题共l2分)

椭圆有两顶点A(-1，0)、B(1，0)，过其焦点F(0，1)的直线l 与椭圆交于C 、D 两点，并与x 轴交于点P ．直线AC 与直线BD 交于点Q ． (I)当|CD | =

l 的方程； (II)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP OQ ? 为定值。

解析：由已知可得椭圆方程为2

212

y x +=，设l 的方程为1(0),y k x k -=-为l 的斜率。 则12122

222

22

2

12122242122(2)2101221222k y kx y y x x k k k x kx y k x x x y y k k ?

?

=++=?+=-?????++?++-=????--++=???==???+?+?

l ∴

的方程为1y =+

22．(本小题共l4分)

已知

函数21

(),()32

f x x h x =

+= (I)设函数()()()F x f x h x =-，求()F x 的单调区间与极值； (Ⅱ)设a R ∈，解关于x 的方程42233

log [

(1)]log ()log (4)24

f x h a x x --=--- (Ⅲ)试比较100

1

(100)(100)()k f h h k =-∑与16的大小. 22、解析： （1

）21

()32

F x x =

+-

令'''9()0;169()0016

9()016

F x x F x x F x x >?>

=?=

所以916x =

是其极小值点，极小值为18。0x =是其极大值点，极大值为12 （2）33

(1)124

f x x --=-；

由4222233log [

(1)]log ()log (4)log (1)log 244a x

f x h a x x x x

---=---?-=- 01364(4)05a a -+时方程无解 02364(4)05a a -+=?=时3x =

03364(4)05a a -+>?<

方程的根为1233x x =+=-

(3)2015(100)(100)3F h =

，100

1

()100k h k ==++∑