振动理论-第二章-习题解答

第二章习题

2—1 一重块100W N =，支承在平台上，如题2-1图所示。重块下联结两个弹簧，其刚

度均为20/k N cm =。在图示位置时，每个弹簧已有初压力010F N =。设将平台突然撤去，则重块下落多少距离？

k k

题2—1图 解答：由题可知：弹簧在初始时的形变0010

0.520

F L cm cm k =

== 设重块将下落h m ，则：

22

12.[()]W h k h L L =+-

于是：

4h cm =

2-3．求题2-3图所示的轴系扭转振动的固有频率。轴的直径为d ，剪切弹性摸量为 G ，

两端固定。圆盘的转动惯量为J,固定于轴上，至轴两端的距离分别为12l l 和。 解： 以圆轴的轴线为固定轴，建立系统的振动微分方程

惯性力矩： J θ&&

恢复力矩： 1

2

p p GI GI l l +

由动静法得

120p p GI GI J l l θθ??++= ???

&& 因此

2-4 一均质等直杆AB ，重为W ，用两相

同尺寸的铅垂直线悬挂如题2-4图所示。

线长为l ，

两线相距为2a 。试推导AB 杆绕通

过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出

其固有频率。

A

B

()12212

4

32

2p p GI l l Jl l d I f f ωπωπ

+=

==

=

且

由以上各式得

解：AB 杆绕重心摆动，则：

(

)2

22

2

cos 20

: 2

12330 =: 2J a Wa F T T l l J Fa Wa J l m m J b b Wa mlb a b f θ

θθ

?θθ

θθθωωπ===

+=+===+=∴==

g g

g g

g g g g g g 惯性力矩: 恢复力矩: 2Fa

其中 : 则 : 即 : 又有则 : 固有频率

2-5 有一简支梁，抗弯刚度EI=2E10 N ·c ㎡，跨度为L=4m ，用题图(a),(b)的两种方式在梁跨中连接一螺旋弹簧和重块。弹簧刚度K=5kN/cm ，重块质量W=4kN,求两种弹簧的固有频率。

(a)

(b) 解：根据材料力学理论可知简支梁中点的刚度

3

3

()2348l mg mgl EI EI

=

=V

3

148l mg EI k ==V

（a ） 图可以看作弹簧和杆的并联

11348e EI

k k k k l

=+=+

弹簧质量系统的固有频率112f π

=

已知EI=2E10 N ·c ㎡, K=5kN/cm, W=4kN

代入数据得

111.14f Hz =

（b ） 图可以看作弹簧和杆的串联

1

21

*e k k k k k =

+

所以

212f π=

代入数据得

2 4.82f Hz =

2—9一有黏性阻尼的单自由度系统，在振动时，它的振幅在5个周期之后减少了50%。试求系统的相对阻尼系数ζ。 【解】 由（2-33）式得

15()51

6

2T A e e A ζωδ=== 两端取对数，得

12

ln 25()1T ζωωζ

==

-

则：22222

ln 2ln 210110010.0221

ζπζπζζ=?=--?=

2—10 列出题2—10图所示系统的振动微分方程，并计算其振动

频率。

解：系统运动时的受力如上所示

由动静法原理可得：

002222=??+??+??=???+???+??=∑x l

b k x l a

c x m b x l

b

k a x l a c l x m A &&&&&&

令22l ca C e = ， 22

l

kb K e =

则mw

C e 2=

ξ ，m k l b W m K W e ?=?=2

振动频率：

24222

2

222

421211c a b kml ml

m k l b wml a c W W d -=?????? ???-=-=ξ

2—11如题2—1图所示轴承，轴的直径2,40d cm l cm ==剪切弹性模量

628*10/G N cm =。圆盘饶对称轴的转动惯量为10J kN =·cm ·2s ,并在5sin 2M t ππ=(kN ·cm)的外力偶矩作用下发生扭振，求振幅值。

2-11

解：惯性力矩 J θ??

恢复力矩 2

p GI l

微分方程 2

5sin 2p GI J t l

θππ??

+=

所以，振幅 2

52(2)p B GI J l

ππ=

-

已知2,40d cm l cm == ，6

2

8*10/G N cm =，10J kN =·cm ·2

s ,

代入数据得 0.0672B rad =

2—12 已知一弹簧系统，质量块重N W 196=，弹簧刚度cm N k /20=，作用在质量块上的力为t F 19sin 16=，而受阻力为v R 56.2=。R F 、的单位均为N ，t 的单位为v s ，的单位为s cm /。求（1）忽略阻力时，质量块的位移和放大因子；（2）考虑阻力时，质量块的位移和放大因子。 解： 系统运动方程为： t

F kx x c x m 00sin ω=++&&&

系统的稳态响应：

2

2200

2)2()1()sin()(ζλλ?ω+--=

t k

F t x

其中：

9

.1196

8

.910201920=??==

ωωλ

4002c

m c =

=

ωζ

)

12arctan(2λζλ

?-=

忽略阻力时，即，,0=c 则 00==?ζ，

放大因子：

383

.0211

2

2

2=+-=

）（）（ζλλβ

则系统的响应为：

t t k F t x 19sin 306.0sin )(00

2=?=

ωβ

（2）考虑阻力时，则：cm s N c /56.2?= 1

64.0-=rad ζ

放大因子：

28

.0)

2()1(12

2

2=+-=

ζλλβ

75.0-=?

则系统的响应为：

)75.019sin(224.0)sin()(00

2-=-?=

t t k F t x ?ωβ

2—13 一有阻尼的弹簧质量系统，其固有频率为1

2s -，弹簧刚度为30/k N cm =，黏性阻

尼系数./c N s cm =。求在外力20cos3()F t N =作用下的振幅和相位角。

解答：由题可知：

032

ωλω=

= ；015*30.5222*30*1.5c c m k ωζωλ=

=== 由于 020F N =

则

00.342F B cm k =

= '

2

2arctan(

)129481ζλ?λ

==-o 2---14 试写出有阻尼的弹簧质量系统在初始条件0t =，0x ='

0x =0和质量块上受有

F =0sin F t ω时的响应。

解：阻尼较小时，即1ξ<，系统响应为

0(cos sin )sin()t

d d x e

C t

D t B t ξωωωω?-=++- '00(cos sin )(sin cos )cos()

t t d d d d x e C t D t e C t D t B t ξωξωξωωωωωωω?--=-++-++-

其中，2

2arc tan

1B ξλ

?λ

=

=- 代入初始条件0x ='

0x =0，解得 00

sin ,(sin cos )B

C B

D ?ξω?ω?ω==

-

因此，系统响应为

001

[sin cos (sin cos )sin ]sin()}

t d d d

x e t t t ξω?ωξω?ω?ωω?ω-=

+

-+-2—15 一电动机装置在由螺旋弹簧所支承的平台上，电动机与平台总质量为100kg ， 弹簧的总刚度k=700N/cm 。电动机轴上有一偏心质量为1kg ，偏心距离e=10cm ，电机转

速n=2000r/min ，求平台的振幅。

解：由公式02n ωπ=得

02n ωπ==

22000200//603

rad s rad s ππ

?=

该系统的振动为偏心振动，故运动微分方程可写为：

2

00sin Mx cx kx me t ωω++=&&&

式中，100,1,10,0M kg m kg e cm c ====

圆频率/s ω=

== （）

频率比079.161ωλω=

==>> 设稳态响应0sin()x B t ω?=-则，

由公式2

B =（0ζ=）

0.102B cm =

2-17 写出题2-17图所示系统的振动微分方程，并求出稳态振动的解。

t

a x s 0sin ω=

题2-17图

解：系统运动微分方程为：

t

ka kx x c x m 0.

..sin ω=++

方程的解可表示为：)()()(21t x t x t x +=

其中)(2t x 为方程的特解，亦即稳态振动的解，令其形式为：

)

sin()(02?ω-=t B t x

将)(2t x 及其一阶、二阶导数代入运动微分方程，整理得：

2

02

20)()(ωωc m k ka

B +-=

令 λωω=/0 ，则2

2

0λω=k

m ，λζω20=k c ，从而得

222)2()1(ζλλ+-=a

B

于是得系统的稳态响应为：

22202)2()1()sin()(ζλλ?ω+--=

t a t x

相应地求得相位角：

???

??-=2

12arctan λ

ζλ

?

2-20 试写过如题2-20图所示结构系统的振动微分方程，并求出系统的固有频率，相对阻尼系数和稳态振动的振幅。

解：)

sin()(t w a x x x k x c x m o s s =---=&&&

得t w ka kx x c x m o sin =++&&&

∑=;0O

M

l m l m 2'?=；θk x ='；

则 方程转化为 t w ka kx x c x m 0sin 24=++&&&

m k w c =

，c m w w 2

1

= 2

22)

2()1(2'2λξλ+-==a

B B

2-21 一弹簧质量系统在如题2-21图所示的激振力作用下作强迫振动。试求其稳定振动的响应。