等式与不等式专题
等式与不等式的性质专题
1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.
2.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则b a b －m
a －m (
b －m>0).
(2)若ab>0，且a>b ?1a <1
b .
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ?ac 2
＞bc 2
.( ) (2)a ＝b ?ac ＝bc.( ) (3)若a
b
>1，则a>b.( )
(4)0 a .( ) 【教材衍化】 2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋1 4. 【真题体验】 4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a B.1a <1b C.b a >a b D.a 2 >ab >b 2 5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则a ＋b >c ”说法不正确的一组整数 a ， b ， c 的值依次为________. 6.(2019·运城模拟)若－π2<α<β<π 2，则α－β的取值范围是________. 【考点聚焦】 考点一 比较两个数(式)的大小 【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2 ，c －b ＝4－4a ＋a 2 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >a D.a >c >b (2)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M D.不确定 (3)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5 5，则( ) A.a B.c C.c D.b 【规律方法】 1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 【训练1】 (1)若a ，b 为正数，且a ≠b ，则a 3 ＋b 3 ________a 2 b ＋ab 2 (用符号>、<、≥、≤填空). (2)若0 从小到大排列为________________. 考点二 不等式的性质 【例2】 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B.c (b －a )<0 C.cb 2 D.ac (a －c )>0 (2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2 . 其中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【规律方法】 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练2】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a > c b ；②a clog a(b－c). 其中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 考点三不等式及其性质的应用 角度1 不等式在实际问题中的应用 【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________. 角度2 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例3－2】 (经典母题)已知－1 【迁移探究1】 将本例条件改为“－1 【迁移探究2】 将本例条件改为“已知－1 【规律方法】 1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表： 设用甲、乙两种食物各x kg 、y kg 配成至多100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________. (2)(2019·青岛测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈? ?? ??18，14，则a b 的取值范围是________. 【反思与感悟】 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 【易错防范】 1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围. 2.形如例3－2探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【分层训练】 【基础巩固题组】 (建议用时：35分钟) 一、选择题 1.限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式为( ) A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h 2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( ) A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x) C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化 3.若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a－b>0 B.a3＋b3>0 C.a2－b2<0 D.a＋b<0 5.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1y D.x 2 >y 2 6.(2018·湖州质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m <－1n B.m －n C.? ????12m >? ?? ??12n D.m 2 7.已知0 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A.M >N B.M C.M ＝N D.不能确定 8.已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c .且0 D.c >9 二、填空题 9.(必修5P75A2改编)1 5－2________1 6－5 (填“>”“<”或“＝”). 10.设f (x )＝ax 2 ＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 11.已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0. 其中正确的命题是________(填序号). 12.已知a >0，b >0，a ≠b ，则a a b b 与(ab )a ＋b 2 的大小关系是________. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟) 13.已知00 B.2 a －b <12 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋b a <12 14.(2019·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“?”和“⊕”如下：a ?b ＝?????a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝?????b ，a ≤b ，a ，a >b . 若m ?n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A.mn ≥4且p ＋q ≤4 B.m ＋n ≥4且pq ≤4 C.mn ≤4且p ＋q ≥4 D.m ＋n ≤4且pq ≤4 15.已知存在实数a 满足ab 2 >a >ab ，则实数b 的取值范围是________. 16.已知函数f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围. 【新高考创新预测】 17.(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1 b 成立的有( ) A.b ＞0＞a B.0＞a ＞b C.a ＞0＞b D.a ＞b ＞0 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ?ac 2 ＞bc 2 .( ) (2)a ＝b ?ac ＝bc.( ) (3)若a b >1，则a>b.( ) (4)0 a .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】 (1)由不等式的性质，ac 2 ＞bc 2 ?a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ?ac2＞bc 2 . (2)由等式的性质，a ＝b ?ac ＝bc ；反之，c ＝0时，ac ＝bc 不能推出a ＝b (3)a ＝－3，b ＝－1，则a b >1，但a 【教材衍化】 2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 【答案】 B 【解析】 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1 c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质 可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜b c . 3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋1 4. 【答案】 > 【解析】 (7＋10)2 ＝17＋270，(3＋14)2 ＝17＋242， ∴(7＋10)2 >(3＋14)2 ，∴7＋10>3＋14. 【真题体验】 4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a B.1a <1 b C.b a >a b D.a 2 >ab >b 2 【答案】 D 【解析】 c ＝0时，A 项不成立；1a －1b ＝b －a ab >0，选项B 错；b a －a b ＝b 2 －a 2 ab ＝（b ＋a ）（b －a ） ab <0，选项C 错.由a ab >b 2 .D 正确. 5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则a ＋b >c ”说法不正确的一组整数 a ， b ， c 的值依次为________. 【答案】 －1，－2，－3(答案不唯一) 【解析】 因为a >b >c ，所以a >c ，b >c ，则a ＋b >2c .所以a ＋b >c 不一定正确.因为2c 与c 的大小关系不确定，当c ＝0时，2c ＝c ；当c >0时，2c >c ；当c <0时，2c 6.(2019·运城模拟)若－π2<α<β<π 2，则α－β的取值范围是________. 【答案】 (－π，0) 【解析】 由－π2<α<π2，－π2<－β<π 2，α<β，得－π<α－β<0. 【考点聚焦】 考点一 比较两个数(式)的大小 【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2 ，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >a D.a >c >b (2)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M D.不确定 (3)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 55，则( ) A.a B.c C.c D.b 【答案】 (1)A (2)B (3)B 【解析】 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2 ＝(a －2)2 ≥0，∴c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2 ，∴2b ＝2＋2a 2 ，∴b ＝a 2 ＋1，∴b － a ＝a 2－a ＋1＝? ?? ?? a －12 2 ＋34 >0，∴b >a ，∴c ≥b >a . (2)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又因为a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，所以a 1－1<0，a 2－1<0.所以(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，所以M >N . (3)法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 4 4ln 5 ＝ log 6251 024>1，所以b >c .即c 法二 构造函数f (x )＝ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2 ， 由f ′(x )>0，得0 (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 【训练1】 (1)若a ，b 为正数，且a ≠b ，则a 3 ＋b 3 ________a 2 b ＋ab 2 (用符号>、<、≥、≤填空). (2)若0 从小到大排列为________________. 【答案】 (1)> (2)a <2ab <12 【解析】 (1)(a 3 ＋b 3 )－(a 2 b ＋ab 2 )＝a 3 ＋b 3 －a 2 b －ab 2 ＝a 2 (a －b )－b 2 (a －b )＝(a －b )(a 2 －b 2 ) ＝(a －b )2 (a ＋b )， ∵a >0，b >0且a ≠b ，∴(a －b )2 >0，a ＋b >0， ∴(a 3 ＋b 3 )－(a 2 b －ab 2 )>0，即a 3 ＋b 3 >a 2 b ＋ab 2 . (2)∵0 2 1且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2 ＋2a ＝－2? ????a －122 ＋12<12.即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>1 2 . ∵12 －3b ＋1＝(2b －1)(b －1)<0. 考点二 不等式的性质 【例2】 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B.c (b －a )<0 C.cb 2 D.ac (a －c )>0 (2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1b ；④ln a 2＞ln b 2 . 其中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】 (1)A (2)C 【解析】 (1)由c 0.由b >c ，得ab >ac 一定成立. (2)法一 因为1a ＜1 b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2. 显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2 ＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D. 法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1 ab ，即 ①正确； ②中，因为b ＜a ＜0，所以－b ＞－a ＞0.故－b ＞|a |，即|a |＋b ＜0，故②错误； ③中，因为b ＜a ＜0，又1a ＜1b ＜0，则－1a ＞－1 b ＞0， 所以a －1a ＞b －1 b ，故③正确； ④中，因为b ＜a ＜0，根据y ＝x 2在(－∞，0)上为减函数，可得b 2＞a 2 ＞0，而y ＝ln x 在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b 2 ＞ln a 2 ，故④错误.由以上分析，知①③正确. 【规律方法】 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练2】 (1)(2019·东北三省四市模拟)设a ，b 均为实数，则“a >|b |”是“a 3 >b 3 ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设a >b >1，c <0，给出下列三个结论： ①c a >c b ；②a c ；③log b (a －c )>log a (b －c ). 其中所有正确结论的序号是( ) A.① B.①② C.②③ D.①②③ 【答案】 (1)A (2)D 【解析】 (1)a >|b |能推出a >b ，进而得a 3 >b 3 ；当a 3 >b 3 时，有a >b ，但若b |b |不成立，所以“a >|b |”是“a 3 >b 3 ”的充分不必要条件. (2)由不等式性质及a >b >1，知1a <1 b ，又c <0， ∴c a >c b ，①正确；构造函数y ＝x c ，∵c <0，∴y ＝x c 在(0，＋∞)上是单调递减的， 又a >b >1，∴a c ，②正确；∵a >b >1，c <0，∴a －c >b －c >1， ∴log b (a －c )>log a (a －c )>log a (b －c )，③正确. 考点三 不等式及其性质的应用 角度1 不等式在实际问题中的应用 【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________. 【答案】 ①6 ②12 【解析】 令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ，且2z >x >y >z ，①若教师人数为4，则4 【例3－2】 (经典母题)已知－1 【答案】 (－4，2) (1，18) 【解析】 因为－1 【迁移探究1】 将本例条件改为“－1 【解析】 因为－1 【迁移探究2】 将本例条件改为“已知－1 【解析】设3x ＋2y ＝λ(x －y )＋μ(x ＋y )，即3x ＋2y ＝(λ＋μ)x ＋(μ－λ)y ， 于是?????λ＋μ＝3，μ－λ＝2， 解得?????λ＝1 2，μ＝52，∴3x ＋2y ＝12(x －y )＋5 2(x ＋y ).∵－1 ∴－12<12(x －y )<2，5<52(x ＋y )<152，∴92<12(x －y )＋52(x ＋y )<19 2 . 故3x ＋2y 的取值范围是? ?? ??92，192. 【规律方法】 1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表： 设用甲、乙两种食物各x kg 、y kg 配成至多100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________. (2)(2019·青岛测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈? ?? ??18，14，则a b 的取值范围是________. 【答案】 (1)?????x ＋y ≤100， 6x ＋7y ≥560， 2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0 (2)(4，24) 【解析】 (1)x ，y 所满足的关系为 ?????x ＋y ≤100，600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥62 000，x ≥0，y ≥0，即?????x ＋y ≤100， 6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0. (2)依题意可得4<1b <8，又1 b <24. 【反思与感悟】 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 【易错防范】 1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围. 2.形如例3－2探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【分层训练】 【基础巩固题组】 (建议用时：35分钟) 一、选择题 1.限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式为( ) A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h 【答案】 D 【解析】由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h，即v≤40 km/h，故选D. 2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是( ) A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x) C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化 【答案】B 【解析】f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0?f(x)＞g(x). 3.若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】a－b>0?a>b?a>b?a2>b2，但由a2－b2>0不能推出a－b>0.故选A. 4.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( ) A.a－b>0 B.a3＋b3>0 C.a2－b2<0 D.a＋b<0 【答案】 D 【解析】 由a ＋|b |<0知，a <0，且|a |>|b |，当b ≥0时，a ＋b <0成立，当b <0时，a ＋b <0成立，所以a ＋b <0，故选D. 5.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1y D.x 2 >y 2 【答案】 A 【解析】 因为2x>2y ?x>y ，所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件，A 正确；lg x>lg y ?x>y>0，则“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1 y ”和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要条件. 6.(2018·湖州质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m <－1n B.m －n C.? ????12m >? ?? ??12n D.m 2 【答案】 B 【解析】 取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.2－1<2－1只有B 项成立. 7.已知0 1＋b ，则M ，N 的大小关系是( ) A.M >N B.M C.M ＝N D.不能确定 【答案】 A 【解析】因为00，1＋b >0，1－ab >0，所以M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab 1＋a ＋b ＋ab >0.故选A. 8.已知函数f (x )＝x 3 ＋ax 2 ＋bx ＋c .且0 D.c >9 【答案】 C 【解析】 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3) 得?????－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得?????a ＝6，b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2 ＋11x ＋c ， 由0 9.(必修5P75A2改编)1 5－2________1 6－5 (填“>”“<”或“＝”). 【答案】 < 【解析】 分母有理化有15－2 ＝5＋2， 16－5 ＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以 15－2 < 16－5 . 10.设f (x )＝ax 2 ＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 【答案】 [5，10] 【解析】 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得?????m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得? ????m ＝3， n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 11.已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －d b >0，则bc －ad >0； ③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0. 其中正确的命题是________(填序号). 【答案】 ①②③ 【解析】 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即 bc －ad ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即 bc －ad ab >0，∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确. 12.已知a >0，b >0，a ≠b ，则a a b b 与(ab )a ＋b 2 的大小关系是________. 【答案】 a a b b >(ab ) a ＋ b 2 【解析】 a a b b （ab ） a ＋ b 2 ＝? ????a b a －b 2.当a >b >0时，a b >1，a －b 2>0，则? ????a b a －b 2>1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2. 当b >a >0时，0 ??a b a －b 2>1，∴a a b b >(ab )a ＋b 2. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟) 13.已知00 B.2 a －b <1 2 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋b a <12 【答案】 C