湖南省益阳市赫山区2020-2021学年八年级上学期期末数学试题
湖南省益阳市赫山区2020-2021学年八年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．3的平方根是（ ）
A ．
B ．3±
C
D ．3
2．若m n >，则下列不等式正确的是（ ）
A ．22m n -<-
B ．33m n >
C ．44m n <
D ．55m n ->-
3．若分式211
x x -+的值为0，则x 应满足的条件是( ) A ．x = -1
B ．x ≠ -1
C ．x = ±1
D ．x = 1 4．把分式
3b ab b +约分得( ) A ．3b + B ．3a + C ．13b + D ．13a + 5．已知三角形三边长3，4，x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．1x >
B ．7x <
C ．17x <<
D ．17x -<< 6．如图所示，小琳总结了“解可化为一元一次方程的分式方程”的运算流程，那么A 和B 分别代表的是（ ）
A ．分式的基本性质，最简公分母=0
B ．分式的基本性质，最简公分母≠0
C ．等式的基本性质2，最简公分母=0
D ．等式的基本性质2，最简公分母≠0
7．如图，以点O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画出射线OB ，则∠AOB=（ ）
A ．30°
B ．45°
C ．60°
D ．90°
8x 的取值范围在数轴上可表示为（ ） A ．
B ．
C ．
D ． 9．下列运算正确的是（ ）
A =
B =
C 2=- D
3= 10．如图是一个22?的方阵，其中每行、每列的两数和相等，则a 可以是（ ）
A ．-2
B ．()21--
C ．0
D ．()20191-
二、填空题 11．华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为_______．
12在实数范围内有意义，则x 的取值范围是______．
13．已知a b <<，且a ，b 为两个连续的整数，则a b +=___________.
14．如图，ABC ?中，ABC ∠、ACB ∠的平分线交于P 点，126BPC ∠=?，
则BAC ∠=________．
15．若不等式组841,.
x x x m +>-??
17．在学习平方根的过程中，同学们总结出：在'a N =中，已知底数a 和指数x ，求幂N 的运算是乘方运算：已知幂N 和指数x ，求底数a 的运算是开方运算．小明提出一个问题： “如果已知底数a 和幕N ，求指数x 是否也对应着一种运算呢？”老师首先肯定了小明善于思考，继而告诉大家这是同学们进入高中将继续学习的对数，感兴趣的同学可以课下自主探究．
小明课后借助网络查到了对数的定义：
小明根据对数的定义，尝试进行了下列探究：
∵133=，∴3log 31=；
∵239=，∴3log 92=；
∵3327=，∴3log 273=；
∵4381=，∴3log 814=；
计算：2log 64=________．
三、解答题
18．如图，AB ，CD 交于点O ，AD BC ∥. 请你添加一个条件 ，使得AOD BOC △≌△，并加以证明.
19
20．先化简，再求值：1193(
)332x
x x x
-+-+，其中21．解方程31223162x x +=--． 22．解不等式组()1132232
3x x x ?+≤???++?≥??，并求出不等式组的整数解之和． 23．如图，点E 、F 在BC 上，BE ＝CF ，AB ＝DC ，∠B ＝∠C ．求证：∠A ＝∠D ．
24．下面是小东设计的“作△ABC 中BC 边上的高线”的尺规作图过程．
已知：△ABC ．
求作：△ABC 中BC 边上的高线AD ．
作法：如图，
①以点B 为圆心，BA 的长为半径作弧，以点C 为圆心，CA 的长为半径作弧，两弧在BC 下方交于点E ；
②连接AE 交BC 于点D ．
所以线段AD 是△ABC 中BC 边上的高线．
根据小东设计的尺规作图过程，
（1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）
（2）完成下面的证明．
证明：∵ =BA ， =CA ，
∴点B ，C 分别在线段AE 的垂直平分线上（ ）（填推理的依据）． ∴BC 垂直平分线段AE ．
∴线段AD 是△ABC 中BC 边上的高线．
25．某学校计划选购A 、B 两种图书．已知A 种图书每本价格是B 种图书每本价格的2.5倍，用1200元单独购买A
种图书比用1500
元单独购买B 种图书要少25本． （1）A 、B 两种图书每本价格分别为多少元？
（2）如果该学校计划购买B 种图书的本数比购买A 种图书本数的2倍多8本，且用于购买A 、B 两种图书的总经费不超过1164元，那么该学校最多可以购买多少本B 种图书？
26．阅读：对于两个不等的非零实数a 、b ，若分式()()x a x b x
--的值为零，则x a =或x b =．又因为()()()()2x a x b x a b x ab ab x a b x x x ---++==+-+，所以关于x 的方程ab x a b x
+
=+有两个解，分别为1x a =，2x b =．应用上面的结论解答下列问题： （1）方程p x q x
+=的两个解分别为12x =-、23x =，则P = ，q = ； （2）方程78x x +
=的两个解中较大的一个为 ； （3）关于x 的方程2622221
n n x n x +-+=+-的两个解分别为1x 、2x （12x x <），求12321x x ++的1
2153312242152
212
n n x n x n -+++===++++
参考答案
1．A
【解析】
【分析】
直接根据平方根的概念即可求解．
【详解】
解：∵2(3= ,
∴3的平方根是为故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了平方根的概念，比较简单．
2．B
【分析】
根据不等式的基本性质，逐项判断即可．
【详解】
解：∵m ＞n ，∴m-2＞n-2，∴选项A 不符合题意；
∵m ＞n ，∴33
m n >，∴选项B 符合题意； ∵m ＞n ，∴4m ＞4n ，∴选项C 不符合题意；
∵m ＞n ，∴-5m ＜-5n ，∴选项D 不符合题意；
故选：B
【点睛】
此题主要考查了不等式的基本性质：（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变．
3．D
【分析】
将分式方程转换成整式方程，一定要注意分母不为0
【详解】
由题意得：x 2-1=0 且x+1≠0，解得：x=1，故选D
【点睛】
求解分式方程是本题的考点，解分式方程时应注意分母不为0
4．D
【分析】
首先提取分母的公因式，然后约去分子分母的公因式即可
【详解】
13(3)3
b b ab b b a a ==+++ ，故答案选D 【点睛】
此题主要考察了分式的约分，关键是正确确定分子分母的公因式
5．C
【分析】
根据三角形三边的关系即可得出结论
【详解】
解：∵三角形的三边长分别是x ，3，4，
∴x 的取值范围是1＜x ＜7．
故选：C
【点睛】
此题考查了三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 6．C
【解析】
【分析】
根据解分式方程的步骤，可得答案．
【详解】
去分母得依据是等式基本性质2，
检验时最简公分母等于零，原分式方程无解.
故答案选：C.
【点睛】
本题考查了解分式方程，解题的关键是熟练的掌握解分式方程的方法.
7．C
【解析】
【分析】
首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB 的度数．
【详解】
解：连接AB，
根据题意得：OB=OA=AB，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°．
故选：C．
【点睛】
本题考查了等边三角形的判定与性质，解题的关键是能根据题意得到OB=OA=AB．
8．B
【分析】
根据二次根式有意义的条件即可求出x的范围．
【详解】
由题意可知：
30
10
x
x
-≥
?
?
+>
?
,
解得：3
x,
故选B．
【点睛】
考查二次根式的意义，解题的关键是熟练运用二次根式有意义的条件. 9．D
【解析】
【分析】
根据二次根式的加减法对A 进行判断；根据二次根式的性质对B 、C 进行判断；根据分母有理化和二次根式的性质对D 进行判断．
【详解】
A 2，所以A 选项错误；
B 、原式＝B 选项错误；
C 、原式＝2，所以C 选项错误；
D
3=，所以D 选项正确． 故选D ．
【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
10．B
【分析】
直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质和立方根的性质分别化简得出答案．
【详解】
解：由题意可得：a+|-2|=02+
则a+2=3，
解得：a=1，
故a 可以是()21--．
故选：B ．
【点睛】
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
11．9710-?
【分析】
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×
10-n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【详解】
解：数据0.000000007用科学记数法表示为7×
10-9． 故答案为：9710-?．
【点睛】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×
10-n ，其中1≤|a|＜10，n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
12．x≤3
【分析】
根据二次根式有意义的条件解答.
【详解】
解：根据题意得：3-x≥0,
解得：x≤3，
故答案为x≤3.
【点睛】
本题考查二次根式的性质，熟记二次根式有意义被开方数非负是解题关键.
13．5
【分析】
a ，
b 的值，进而可得出结论．
【详解】
∵4＜7＜9，
∴2＜3．
∵a 、b 为两个连续整数，
∴a=2，b=3，
∴a+b=2+3=5．
故答案为5．
【点睛】
本题考查的是估算无理数的大小，先根据题意求出a ，b 的值是解答此题的关键． 14．72°
【分析】
先根据三角形内角和定理求出∠1+∠2的度数，再由角平分线的性质得出∠ABC+∠ACB 的度数，由三角形内角和定理即可得出结论．
【详解】
解：∵在△BPC 中，∠BPC=126°，
∴∠1+∠2=180°-∠BPC=180°-126°=54°，
∵BP 、CP 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，
∴∠ABC=2∠1，∠ACB=2∠2，
∴∠ABC+∠ACB=2∠1+2∠2=2（∠1+∠2）=2×54°=108°，
∴在△ABC 中，∠A=180°-（∠ABC+∠ACB ）=180°-108°=72°．
故答案为：72°．
【点睛】
此题考查了三角形的内角和定理，平分线性质．运用整体思想求出∠ABC+∠ACB=2（∠1+∠2）是解题的关键．
15．3m ≥
【分析】
先解第一个不等式得到3x <，由于不等式组的解集为3x <，根据同小取小得到3m ≥．
【详解】
解：841x x x m +>-??
解①得3x <，
∵不等式组的解集为3x <，
∴3m ≥．
故答案为：3m ≥
【点睛】
本题考查了解一元一次不等式组：分别求出不等式组各不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，大于大的小于小的无解”确定不等式组的解集． 16．()15620x x +>
【分析】
首先根据题意可得改进生产工艺后，每天生产汽车（x+6）辆，根据关键描述语：现在15天的产量就超过了原来20天的产量列出不等式即可．
【详解】
解：设原来每天最多能生产x 辆，由题意得：
15（x+6）＞20x ，
故答案为：()15620x x +>
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，关键是正确理解题意，抓住关键描述语． 17．6
【分析】
根据已知条件中给出的对数与乘方之间的关系求解可得；
【详解】
解：∵6264=，∴2log 646=；
故答案为：6
【点睛】
本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是弄清对数与乘方之间的关系，并熟练运用． 18．添加条件AO BO =（AD BC =或DO CO =）,理由见解析
【解析】
【分析】
根据全等三角形的判定方法即可判断．
【详解】
添加条件AO BO =（AD BC =或DO CO =）.
证明：∵AD BC ，∴A B ∠=∠.
在AOD ?和BOC ?中，,,.A B AO BO AOD BOC ∠=∠??=??∠=∠?
∴()AOD BOC ASA ???.
添加OD=OC 或AD=BC 同法可证．
故答案为OA=OB 或OD=OC 或AD=BC ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.
19
．2
【分析】
根据二次根式的混合运算法则运算即可
【详解】
解：原式=
=
2
= 【点睛】
本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算的法则是解题的关键 20
．【分析】
先根据分式的混合运算法则化简，然后代入化简即可．
【详解】
原式=
3333x x x x ++-+-（）（）?332x x
-（） =﹣33x +
当x 3时，原式=
【点睛】
本题考查了分式的混合运算，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
21．无解
【分析】
分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
【详解】
解：方程两边同乘最简公分母()231x -，得
()33122x -+= 解得13
x = 经检验：13x =
不是原分式方程的根 ∴原分式方程无解.
【点睛】
此题考查了解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．05x ≤≤，15
【分析】
分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可．
【详解】
解：解①得：5x ≤
解②得：0x ≥
∴原不等式组的解集为05x ≤≤，
∴原不等式组的整数解为：0，1，2，3，4，5
∴原不等式组的整数解之和为0+1+2+3+4+5=15.
【点睛】
此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
23．答案见解析
【分析】
由BE ＝CF 可得BF ＝CE ，再结合AB ＝DC ，∠B ＝∠C 可证得△ABF ≌△DCE ，问题得证.
【详解】
解∵BE ＝CF ，
∴BE+EF ＝CF+EF ，即BF ＝CE ．
在△ABF 和△DCE 中，
AB DC B C BF CE =??∠=∠??=?
∴△ABF ≌△DCE ，
∴∠A ＝∠D ．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，是中考中比较常见的知识点，一般难度不大，需熟练掌握全等三角形的判定和性质.
24．（1）作图见解析；（2）AB ；EC ；到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上.
【分析】
（1）根据要求画出图形即可；
（2）根据线段的垂直平分线的判定即可解决问题.
【详解】
（1）图形如图所示：
（2）理由：连接BE ，EC ．
∵AB=BE ，EC=CA ，
∴点B ，点C 分别在线段AE 的垂直平分线上（到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上），
∴直线BC 垂直平分线段AE ，
∴线段AD 是△ABC 中BC 边上的高线．
故答案为BE ，EC ，到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上．
【点睛】
本题考查线段的垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识．
25．（1）A 种图书每本价格为60元，B 种图书每本价格为24元；（2）该学校最多可以购买26本B 种图书
【分析】
（1）设B 种图书每本价格为x 元，则A 种图书每本价格是2.5x 元，
利用“1200元单独购买A 种图书比用1500元单独购买B 种图书要少25本”列出方程，即可求出答案；
（2）根据题意表示出购买A 、B 两种图书的总经费进而得出不等式，并求出答案．
【详解】
解：（1）设B 种图书每本价格为x 元，则A 种图书每本价格是2.5x 元， 根据题意可得：12001500252.5x x
-=， 解得：24x =，
经检验得：24x =是原方程的根，则2.560x =，
答：A 种图书每本价格为60元，B 种图书每本价格为24元.
（2）设购买A 种图书本书为y 元，则购买B 种图书的本数为：28y +
故()6024281164y y ++≤，
解得：9y ≤，故2826y +≤，
答：该学校最多可以购买26本B 种图书.
【点睛】
此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，正确表示出图书的价格是解题关键．
26．（1）-6，1；（2）7；（3）见解析
【分析】
（1）根据题意可知p=x 1?x 2，q=x 1?x 2，代入求值即可；
（2）方程变形后，利用题中的结论确定出两个解中较大的解即可； （3）方程变形后，根据利用题中的结论表示出为x 1、x 2，代入原式计算即可得到结果．
【详解】
解：（1）∵关于x 的方程ab x a b x
+=+有两个解，分别为1x a =，2x b =， ∵方程p x q x
+=的两个解分别为12x =-、23x =， ∴p=x 1?x 2=-2×3=6；q=x 1?x 2=-2+3=1
故答案为-6，1．
（2）方程78x x +=变形得：17:17x x
?+=+ 根据题意得：x 1=1，x 2=7，
则方程较大的一个解为7；
故答案为：7
（3）∵2622221
n n x n x +-+=+- ∴26212121
n n x n x +--+=+-， ()()3221(3)(2)21
n n x n n x +--+=++--； ∴213x n -=+或212x n -=-，
42
n x +=或12n x -= 又∵12x x < ∴112n x -=，242
n x += ∴1
2153312242152
212n n x n x n -+++===++++ 【点睛】
此题考查了分式方程的解，弄清题中的规律是解本题的关键．