弹性力学第二章应力状态分析
第二章应力状态分析
一、内容介绍
弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。
应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。
本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。
二、重点
1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量；
2、平衡微分方程与切应力互等定理；
3、面力边界条件；
4、应力分量的转轴公式；
5、应力状态特征方程和应力不变量；
知识点：
体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力
分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质；
截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量；
切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态
特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量
§2.1 体力和面力
学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。
应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。
体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。
体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
学习要点：
1、体力；
2、面力。
1、体力
作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。
所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。
面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示
设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为
令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
一般来讲，物体内部各点处的体力是不相同的。
物体内任一点的体力用F b表示，称为体力矢量，其方向由该点的体力合力方向确定。
体力沿三个坐标轴的分量用F b i( i = 1,2,3)或者F b x, F b y, F b z表示，称为体力分量。体力分量的方向规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。
应该注意的是：在弹性力学中，体力是指单位体积的力。
2、面力
类似于体力，可以给出面力的定义。
对于物体表面上的任一点P，在P点的邻域取一包含P点的微小面积元素△S，如图所示
设△S 上作用的面力合力为△F，则P 点的面力定义为
面力矢量是单位面积上的作用力，面力是弹性体表面坐标的函数。一般条件下，面力边界条件是弹性力学问题求解的主要条件。
面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。面力的方向规定以与坐标轴方向一致为正，反之为负。
弹性力学中的面力均定义为单位面积的面力。
§2.2 应力和应力状态
学习思路:
物体在外界因素作用下，物体内部各个部分之间将产生相互作用，物体内部
弹性力学教学大纲
课程编号：05z8514 弹性力学Theory of Elasticity 学分学时：3/48 先修课程: 高等数学；线性代数；理论力学；材料力学 一、课程教学目标 《弹性力学》是航空、航天结构强度和力学专业的重要专业基础课程，是固体力学的一个分支。主要研究弹性体受外力作用或温度改变等原因而产生的应力、位移和变形。弹性力学的任务是分析各种结构或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度、刚度和稳定性，并寻求或改进它们的计算方法。本课程的主要研究对象为非杆状结构，如板、壳以及其它实体结构。通过本课程的学习可为进一步学习力学类和相关工程类的后续课程打下坚实的力学基础。 二、教学内容及基本要求 1. 绪论（2学时） 弹性力学的发展史；研究内容；基本假设；矢量、张量基本知识。 2. 应力理论（4学时） 内力和应力；斜面应力公式；应力分量转换公式；主应力、应力不变量；最大剪应力；应力偏量；平衡微分方程。 3. 应变理论（4学时） 位移和变形；几何方程；转动张量；主应变和应变不变量；变形协调方程；位移场的单值条件；由应变求位移。 4. 本构关系（2学时） 热力学定律与应变能；本构关系；具有弹性对称面的弹性材料的本构关系；各向同性弹性材料的弹性常数；各向同性弹性材料的应变能密度 5. 弹性理论的建立与一般原理（4学时） 弹性力学基本方程和边界条件；位移解法和拉梅方程；应力解法与变形协调方程；叠加原理；解的唯一性原理；圣维南原理。 6.柱形杆问题（4学时） 圣维南问题；柱形扭转问题的基本解法；反逆法与半逆法，扭转问题解例；薄膜比拟；*柱形杆的一般弯曲。 7.平面问题（12学时） 平面问题及其分类；平面问题的基本解法；应力函数的性质；直角坐标解例（矩形梁的纯弯曲、简支梁受均布载荷和任意分布载荷）；极坐标中的平面问题基本方程；轴对称问题（均匀圆筒或圆环、纯弯的曲梁、压力隧洞）；非轴对称问题（小圆孔应力集中、楔体问题）；关于解和解法的讨论。 8. 空间问题（2学时） 基本方程及求解方法；空间轴对称和球对称问题的基本方程；半空间体受重力及均布压力；半空间体在边界上受法向集中力；空心球受内压作用问题。 9．能量原理与变分法（6学时） 弹性体的变形比能与形变势能；变分法；位移变分方程；位移变分法；位移变分法应用于平面问题；应力变分方程与极小余能原理；应力变分法；应力变分法应用于平面问题；应力变分法应用于扭转问题。 10．复变函数解法或薄板弯曲（4学时）
《弹性力学》、《岩体力学》复习大纲2015
第一章绪论 1-1弹性力学的内容 1-2弹性力学中的几个基本概念 1-3弹性力学中的基本假定 习题 第二章平面问题的基本理论 2-1平面应力问题与平面应变问题 2-2平衡微分方程 2-3平面问题中一点的应力状态 2-4几何方程刚体位移 2-5物理方程 2-6边界条件 2-7圣维南原理及其应用 2-8按位移求解平面问题 2-9按应力求解平面问题相容方程 2-10常体力情况下的简化应力函数 习题 第三章平面问题的直角坐标解答 3-1逆解法与半逆解法多项式解答 .3-2矩形梁的纯弯曲 3-3位移分量的求出 3-4简支梁受均布荷载 3-5楔形体受重力和液体压力 习题 第四章平面问题的极坐标解答 4-1极坐标中的平衡微分方程 4-2极坐标中的几何方程及物理方程 4-3极坐标中的应力函数与相容方程 4-4应力分量的坐标变换式 4-5轴对称应力和相应的位移 4-6圆环或圆筒受均布压力 4-7压力隧洞 4-8圆孔的孔口应力集中 4-9半平面体在边界上受集中力 4-10半平面体在边界上受分布力 习题 要求：了解弹性力学的基本概念，发展历史与基本假设，理解两类平面问题的解法，掌握三大方程的建立，边界的确定，有限单元法在解弹性力学问题的应用，了解空间问题的求解的方法。
第1章绪论 1.1 岩石与岩体（二者的区别） 1.2 岩体力学的研究任务与内容（岩体的力学特征） 1.3 岩体力学的研究方法 1.4 岩体力学在其他学科中的地位 1.5 岩体力学的发展简史 基本要求：了解岩石力学、岩体力学定义及其它们的联系和区别；理解岩石力学的发展、研究对象和研究方法；了解岩石力学研究现状及热点问题。 重点与难点：岩石力学的定义、任务、研究方法。 第2章岩石的基本物理力学性质 2.1 岩石的基本物理力学性质 2.2 岩石的强度特性 2.3 岩石的变形特性 2.4 岩石的强度理论 基本要求：掌握岩石的成分、结构及其力学性质；了解岩石的变形特征和流变性；理解岩石的各种强度及其测定方法。 重点与难点：岩石的物理指标、强度与变形特征。 第3章岩石动力学基础 3.1 岩石的波动特性 3.2 影响岩体波速的因素 3.3 岩体的其他动力学特性 基本要求：理解岩石的波动特性，了解影响岩体波速的因素，了解岩体的其他动力学特性。重点与难点：岩石的动力学特性。 第4章岩体的基本力学性能 4.1 岩体结构面的分析 4.2 结构面的变形特性 4.3 结构面的力学效应 4.4 碎块岩体的破坏 4.5岩体的应力－应变分析 基本要求：理解岩石和岩体的区别，了解结构面的相关性质，了解岩体的变形特征和强度测定方法，理解岩体的破坏条件及应力-应变分析。 重点与难点：理解岩体的相关特性。
第二章弹性力学基础
第二章弹性力学基础 弹性力学又称弹性理论，它是固体力学的一个分支。弹性力学任务是确定结构或机械零件在外载荷作用或温度改变等原因而发生的应力、位移和应变。 弹性力学与材料力学总的任务是相同的，但弹性力学研究的问题比材料力学要更加深刻和精确，并研究材料力学所不能解决的一些问题。 材料力学-----研究杆状构件（长度>>高度和宽度）在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移。 弹性力学-----研究板壳、挡土墙、堤坝、地基等实体结构。对杆状构件作较精确的分析，也需用弹性力学。 结构力学-----研究杆状构件所组成的结构。例如桁架、刚架。
第一节弹性力学假设 在弹性力学中，所研究的问题主要是理想弹性体的线性问题，所谓理想弹性体的线性问题，是指符合以下假定的物体。 1. 假设物体是线弹性的 假定物体服从虎克定律，即应变与引起该应变的应力成正比，反映这一比例关系的常数，就是弹性常数。即该比例关系不随应力、应变的大小和符号而变。 由材料力学已知： 脆性材料的物体：在应力?比例极限以前，可作为近似的完全弹性体； 韧性（塑性）材料的物体：在应力＜屈服极限以前，可作为近似的完全弹性体。 这个假定，使得物体在任意瞬时的应变将完全取决于该瞬时物体所受到的外力或温度变化等因素，而与加载的历史和加载顺序无关。 2. 假设物体是连续性的 假设整个物体的体积都被该物体介质完全充满，不留下任何空隙。有了这一假定决定了应力、应变、位移是连续的，可用坐标的连续函数来表示他们的变化规律。 注：实际上，一切物体都是由微粒组成的，都不能符合该假定。但是由于物体粒子的尺寸以及相邻粒子间的距离，
都比物体自己本身的尺寸小得很多，因此连续性假设不会引起显着的误差。 3. 假设物体是均匀性、各向同性的 整个物体是由同一材料组成的。这样整个物体的所有各部分才具有相同的弹性，因而物体的弹性常数不随坐标而变化，可以取出该物体的任意一小部分来加以分析，然后把分析所得结果应用于整个物体。 各向同性是指物体内一点的弹性在所的各个方向上都是相同的，故物体的弹性常数不随方向而变化。 对于非晶体材料，是完全符合这一假定。而由木材，竹材等做成的构件，就不能作为各向同性体来研究；钢材构件基本上是各向同性的。 弹性常数？ 凡是符合以上三个假定的物体，就称为理想弹性体。 4. 假设物体的位移和应变是微小的 假定物体在载荷或温度变化等外界因素的作用下所产生的位移远小于物体原来的尺寸，应变分量和转角都远小于1。 因此 ①在建立物体变形以后的平衡方程时，可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸，而不至于引起显著的误差。
基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论
基于弹性力学理论和有限元法分析应力集中问题的讨论 材料在外形急剧变化的部位，局部应力可以超出名义应力的数倍，对于脆性材料局部过早开始破坏，从而，削弱了构件的强度，降低了构件的承载能力。因此在工程實际中，为了确保构件的安全使用，必须科学合理的分析计算应力集中现象，以便找寻到更好的避免措施。本文首先基于弹性力学理论分析带孔无限宽板的应力分布情况，将对象的受力转化成数学表达，结论应证了应力集中的几个特性。 标签：应力集中系数；有限元分析；无限宽板；弹性力学；Inventor运用；ANSYS 1、应力集中 1.1弹性力学中概念，指物体形状、材料性质不均匀导致的局部应力急剧增高的现象。 1.2应力集中系数 最大局部应力与名义应力的比值称为理论应力集中系数ɑ。可以明确地反应应力集中的程度。 最大局部应力σmax可根据弹性力学理论、有限元法计算得到，也可由实验方法测得；名义应力σn是假设构件的应力集中因素（如孔、缺口、沟槽等）不存在，构件截面上的应力。 2、孔周应力在理想状态下的弹性力学理论分析 2.1定义受单向均匀拉伸荷载的无限宽平板，孔径2α圆孔，建立如图一理想模型。 由于结构的对称性，仅分析图一上半段1/4部分x轴正向的状态： 1）圆孔右顶点单元，即当θ=0，r=α时，代入式（2）解算得σy=3σ； 2）距孔0.2倍孔半径外，即当θ=0，r=1.2α时，代入式（2）解算得σy=2.071σ； 3）距孔1倍孔半径外，即当θ=0，r=2α时，代入式（2）解算得σy=1.221σ； 4）距孔1.5倍孔半径外，即当θ=0，r=2.5α时，代入式（2）解算得σy=1.122σ； 5）距孔2倍孔半径外，即当θ=0，r=3α时，代入式（2）解算得σy=1.074σ；
弹性力学 第四章 应力和应变关系
第四章应力和应变关系知识点 应变能原理 应力应变关系的一般表达式完全各向异性弹性体 正交各向异性弹性体本构关系弹性常数 各向同性弹性体应变能格林公式 广义胡克定理 一个弹性对称面的弹性体本构关系各向同性弹性体的应力和应变关系应变表示的各向同性本构关系 一、内容介绍 前两章分别从静力学和运动学的角度推导了静力平衡方程，几何方程和变形协调方程。由于弹性体的静力平衡和几何变形是通过具体物体的材料性质相联系的，因此，必须建立了材料的应力和应变的内在联系。应力和应变是相辅相成的，有应力就有应变；反之，有应变则必有应力。对于每一种材料，在一定的温度下，应力和应变之间有着完全确定的关系。这是材料的固有特性，因此称为物理方程或者本构关系。 对于复杂应力状态，应力应变关系的实验测试是有困难的，因此本章首先通过能量法讨论本构关系的一般形式。分别讨论广义胡克定理；具有一个和两个弹性对称面的本构关系一般表达式；各向同性材料的本构关系等。 本章的任务就是建立弹性变形阶段的应力应变关系。 二、重点 1、应变能函数和格林公式； 2、广义胡克定律的一般表达式； 3、具 有一个和两个弹性对称面的本构关系；4、各向同性材料的本构关系； 5、材料的弹性常数。 §4.1 弹性体的应变能原理 学习思路: 弹性体在外力作用下产生变形，因此外力在变形过程中作功。同时，弹性体内部的能量也要相应的发生变化。借助于能量关系，可以使得弹性力学问题的求
解方法和思路简化，因此能量原理是一个有效的分析工具。 本节根据热力学概念推导弹性体的应变能函数表达式，并且建立应变能函数表达的材料本构方程。 根据能量关系，容易得到由于变形而存储于物体内的单位体积的弹性势能，即应变能函数。 探讨应变能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表达的本构关系。 如果材料的应力应变关系是线性弹性的，则单位体积的应变能必为应变分量的齐二次函数。因此由齐次函数的欧拉定理，可以得到用应变或者应力表示的应变能函数。 学习要点：1、应变能；2、格林公式；3、应变能原理。 1、应变能 弹性体发生变形时，外力将要做功，内部的能量也要相应的发生变化。本节通过热力学的观点，分析弹性体的功能变化规律。 根据热力学的观点，外力在变形过程中所做的功，一部分将转化为内能，一部分将转化为动能；另外变形过程中，弹性体的温度将发生变化，它必须向外界吸收或释放热量。设弹性体变形时，外力所做的功为d W，则 d W=d W1+d W2 其中，d W1为表面力F s所做的功，d W2为体积力F b所做的功。变形过程中，由外界输入热量为d Q，弹性体的内能增量为d E，根据热力学第一定律, d W1+d W2=d E - d Q 因为 将上式代入功能关系公式，则
弹性力学 第二章 应力状态分析
第二章应力状态分析 一、内容介绍 弹性力学的研究对象为三维弹性体，因此分析从微分单元体入手，本章的任务就是从静力学观点出发，讨论一点的应力状态，建立平衡微分方程和面力边界条件。 应力状态是本章讨论的首要问题。由于应力矢量与内力和作用截面方位均有关。因此，一点各个截面的应力是不同的。确定一点不同截面的应力变化规律称为应力状态分析。首先是确定应力状态的描述方法，这包括应力矢量定义，及其分解为主应力、切应力和应力分量；其次是任意截面的应力分量的确定—转轴公式；最后是一点的特殊应力确定，主应力和主平面、最大切应力和应力圆等。应力状态分析表明应力分量为二阶对称张量。本课程分析中使用张量符号描述物理量和基本方程，如果你没有学习过张量概念，请进入附录一，或者查阅参考资料。 本章的另一个任务是讨论弹性体内一点－微分单元体的平衡。弹性体内部单元体的平衡条件为平衡微分方程和切应力互等定理；边界单元体的平衡条件为面力边界条件。 二、重点 1、应力状态的定义：应力矢量；正应力与切应力；应力分量； 2、平衡微分方程与切应力互等定理； 3、面力边界条件； 4、应力分量的转轴公式； 5、应力状态特征方程和应力不变量； 知识点： 体力；面力；应力矢量；正应力与切应力；应力分量；应力矢量与应力 分量；平衡微分方程；面力边界条件；主平面与主应力；主应力性质； 截面正应力与切应力；三向应力圆；八面体单元；偏应力张量不变量； 切应力互等定理；应力分量转轴公式；平面问题的转轴公式；应力状态 特征方程；应力不变量；最大切应力；球应力张量和偏应力张量 §2.1 体力和面力 学习思路:
本节介绍弹性力学的基本概念——体力和面力，体力F b和面力F s的概念均不难理解。 应该注意的问题是，在弹性力学中，虽然体力和面力都是矢量，但是它们均为作用于一点的力，而且体力是指单位体积的力；面力为单位面积的作用力。 体力矢量用F b表示，其沿三个坐标轴的分量用F b i（i=1，2，3）或者F b x、F b y和F b z表示，称为体力分量。 面力矢量用F s表示，其分量用F s i（i=1，2，3）或者F s x、F s y和F s z表示。 体力和面力分量的方向均规定与坐标轴方向一致为正，反之为负。 学习要点： 1、体力； 2、面力。 1、体力 作用于物体的外力可以分为两种类型：体力和面力。 所谓体力就是分布在物体整个体积内部各个质点上的力，又称为质量力。例如物体的重力，惯性力，电磁力等等。 面力是分布在物体表面上的力，例如风力，静水压力，物体之间的接触力等。为了表明物体在xyz坐标系内任意一点P 所受体力的大小和方向，在P点的邻域取一微小体积元素△V，如图所示 设△V 的体力合力为△F，则P点的体力定义为 令微小体积元素△V趋近于0，则可以定义一点P的体力为
《材料力学》第章%B应力状态和强度理论%B习
第七章 应力状态和强度理论 习题解 [习题7-1] 试从图示各构件中A 点和B 点处取出单元体，并表明单元体各面上的应力。 [习题7-1（a ）] 解：A 点处于单向压应力状态。 2244 12d F d F F A N A ππσ-=-== [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 331616 1d T d T W T P A ππτ-=== MPa mm mm N 618.798014.3108163 36=????= [习题7-1（b ）] 解：A 点处于纯剪切应力状态。 0=∑A M 04.028.02.1=?--?B R )(333.1kN R B = A σ A τ
)(333.1kN R Q B A -=-= MPa mm N A Q A 417.01204013335.15.12-=??-=? =τ B 点处于平面应力状态 MPa m m m m m m N I y M z B B 083.21204012 130103.0333.1436=??????==σMPa m m m m m m N b I QS z z B 312.0401204012 145)3040(13334 33 *-=??????-== τ [习题7-1（d ）] 解：A 点处于平面应力状态 MPa m m m m N W M z A A 064.502014.332 1103.39333=????==σ MPa m m m m N W T P A 064.502014.316 1106.78333 =????== τ [习题7-2] 有一拉伸试样，横截面为mm mm 540?的矩形。在与轴线成0 45=α角的面上切应力MPa 150=τ时，试样上将出现滑移线。试求试样所受的轴向拉力F 。 解：A F x = σ；0=y σ；0=x τ 004590cos 90sin 2 x y x τσστ+-= A F 20 45= τ 出现滑移线，即进入屈服阶段，此时， 15020 45≤= A F τ kN N mm mm N A F 6060000540/30030022==??== [习题7-3] 一拉杆由两段沿n m -面胶合而成。由于实用的原因，图中的α角限于0 60 ~0范围内。作为“假定计算”，对胶合缝作强度计算时，可以把其上的正应力和切应力分别与相应的许用应力比较。现设胶合缝的许用切应力][τ为许用拉应力][σ的4/3 ，且这一拉杆 A τ B τ B σA τA σ
【精品版】弹性力学在工程中的应用
弹性力学在土木工程中的应用 摘要：弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产的应力、弹性力学，应变和位移，从而解决结构或设计中所提生出的强度和刚度问题。在土木工程方面，建筑物能够通过有效的弹性可以抵消部分晃动，从而减少在地震中房屋倒塌的现象；对于水坝结构来说，弹性变化同样具有曲线性，适合不断变化的水坝内部的压力，还有大型跨顶建筑、斜拉桥等等。弹性力学在土木工程中还有一些重要应用实例，如：地基应力与沉降计算原理、混凝土板的计算方法、混凝土材料受拉劈裂试验的力学原理、混凝土结构温度裂缝分析、工程应变分析、结构中的剪力滞后问题等。 关键词：弹性力学、力学、弹性变形、有限元法、强度、土木工程
正文： 弹性力学也称弹性理论，主要研究弹性体在外力作用或温度变化等外界因素下所产生的应力、应变和位移，从而解决结构或设计中所提出的强度和刚度问题。在研究对象上，弹性力学同材料力学和结构力学之间有一定的分工。材料力学基本上只研究杆状构件；结构力学主要是在材料力学的基础上研究杆状构件所组成的结构，即所谓杆件系统；而弹性力学研究包括杆状构件在内的各种形状的弹性体。它是材料力学、结构力学、塑性力学和某些交叉学科的基础，广泛应用于建筑、机械、化工、航天等工程领域。 弹性力学弹性体是变形体的一种，它的特征为：在外力作用下物体变形，当外力不超过某一限度时，除去外力后物体即恢复原状。绝对弹性体是不存在的。物体在外力除去后的残余变形很小时，一般就把它当作弹性体处理。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。弹性力学中许多定理、公式和结论等，都可以从三大基本规律推导出来。连续变形规律是指弹性力学在考虑物体的变形时，只考虑经过连续变形后仍为连续的物体，如果物体中本来就有裂纹，则只考虑裂纹不扩展的情况。 对于物体弹性变形，变形的机理，应从材料内部原子间里的作用来分析。实际上，固体材料之所以能保持其内部结构的稳定性是由于组成该固体材料（如金属）的原子间存在着相互平衡的力，吸力使原子间密切联系在一起，而短程排斥力则使各原子间保持一定的距离在正常情况下，这两种力保持平衡，原子间的相对位置处于规则排列的稳定状态。受外力作用时，这种平衡被打破，为了恢复平衡，原子便需产生移动和调整，使得吸力、斥力和外力之间取得平衡。因此，如果知道了原子之间的力相互之间的定律，原则上就能算出晶体在一定弹性力作用下的反应。实际上，固体结构的内部是多样的、复杂的。例如：夹杂、微孔、晶
(完整版)弹性力学第十一章弹性力学的变分原理
第十一章弹性力学的变分原理知识点 静力可能的应力 弹性体的功能关系 功的互等定理 弹性体的总势能 虚应力 应变余能函数 应力变分方程 最小余能原理的近似解法扭转问题最小余能近似解有限元原理与变分原理有限元原理的基本概念有限元整体分析几何可能的位移 虚位移 虚功原理 最小势能原理 瑞利-里茨(Rayleigh-Ritz)法 伽辽金(Гапёркин）法 最小余能原理 平面问题最小余能近似解 基于最小势能原理的近似计算方法基于最小余能原理的近似计算方法有限元单元分析 一、内容介绍 由于偏微分方程边值问题的求解在数学上的困难，因此对于弹性力学问题，只能采用半逆解方法得到个别问题解答。一般问题的求解是十分困难的，甚至是不可能的。因此，开发弹性力学的数值或者近似解法就具有极为重要的作用。 变分原理就是一种最有成效的近似解法，就其本质而言，是把弹性力学的基本方程的定解问题，转换为求解泛函的极值或者驻值问题，这样就将基本方程由偏微分方程的边值问题转换为线性代数方程组。变分原理不仅是弹性力学近似解法的基础，而且也是数值计算方法，例如有限元方法等的理论基础。 本章将系统地介绍最小势能原理和最小余能原理，并且应用变分原理求解弹
性力学问题。最后，将介绍有限元方法的基本概念。 本章内容要求学习变分法数学基础知识，如果你没有学过上述课程，请学习附录3或者查阅参考资料。 二、重点 1、几何可能的位移和静力可能的应力； 2、弹性体的虚功原理； 3、 最小势能原理及其应用；4、最小余能原理及其应用；5、有限元原理 的基本概念。 §11.1 弹性变形体的功能原理 学习思路: 本节讨论弹性体的功能原理。能量原理为弹性力学开拓了新的求解思路，使得基本方程由数学上求解困难的偏微分方程边值问题转化为代数方程组。而功能关系是能量原理的基础。 首先建立静力可能的应力和几何可能的位移概念；静力可能的应力 和几何可能的位移可以是同一弹性体中的两种不同的受力状态和变形状态，二者彼此独立而且无任何关系。 建立弹性体的功能关系。功能关系可以描述为：对于弹性体，外力在任意一组几何可能的位移上所做的功，等于任意一组静力可能的应力在与上述几何可能的位移对应的应变分量上所做的功。 学习要点： 1、静力可能的应力； 2、几何可能的位移； 3、弹性体的功能关系； 4、真实应力和位移分量表达的功能关系。 1、静力可能的应力 假设弹性变形体的体积为V，包围此体积的表面积为S。表面积为S可以分为两部分所组成：一部分是表面积的位移给定，称为S u；另外一部分是表面积的面力给定，称为Sσ 。如图所示
第二章_应力分析
第二章 应力分析 研究弹性力学问题要从三方面规律（条件）：平衡、几何、物理来建立，本章就是研究第一个规律：平衡规律。 第1节 内力和外力 1.1 外力： 物体承受外因而导致变形，外因可以是热力作用、化学力作用、电磁力作用和机械力作用；另一方面从量纲分类，外力主要为体积力和表面积力。我们讨论的外力是属于机械力中的体力和面力的范围。 1． 外部体力：作用在物体单位体积（质量）上的力如重力（惯性力）。 量纲：力/（长度）3。 求V 中任意点P 上承受体力采用极限方法： X X 2 X X 2
第2节 应力和应力张量 2.1 应力 当变形体受外力作用时，要发生变形，同时引起物体内部各点之间相互作用力（抵抗力）——内力，为了描述物体内任意点P 的内力可采取如下方法： 过P 点设一个截面S 将V 分为两部分：（作用力与反作用力） F F -
l n n x ==1、m n n y ==2、n n n z ==3。即 n t m t l t n t n t n t n t t z y x i i n )()()(3)3(2)2(1)1()()( ++=++== , , 1S n P B C S A B C ????== 0)()(=++-V f S t S t i i n ??? 而 S n S t t i i i i ??=-=-, )()( 代入上式，并忽略高阶微量 0)()(=-S n t S t i i n ?? 或 )()(i i n t n t = 展开为 3)3(2)2(1)1()(n t n t n t t n ++= 或 n t m t l t t z y x n )()()()( ++= 2.1 应力张量 每个坐标面上的应力矢量又可以沿三个坐标面分解三个分量，比如坐标面法线为x 1 j xj j j z xz y xy x xx x e e e e e e e e t t σσσσσσσσ==++=++==1313212111)()1( x 2 x 1 x 1 (x) x 3, ,32S n PAB S n PAC ?=??=?
11弹性力学试题及答案解析
2012年度弹性力学与有限元分析复习题及其答案 (绝密试题) 一、填空题 1、弹性力学研究弹性体由于受外力作用、边界约束或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。 2、在弹性力学中规定，线应变以伸长时为正，缩短时为负，与正应力的正负号规定相适应。 3、在弹性力学中规定，切应变以直角变小时为正，变大时为负，与切应力的正负号规定相适应。 4、物体受外力以后，其内部将发生内力，它的集度称为应力。与物体的形变和材料强度直接有关的，是应力在其作用截面的法线方向和切线方向的分量，也就是正应力和切应力。应力及其分量的量纲是L -1MT -2。 5、弹性力学的基本假定为连续性、完全弹性、均匀性、各向同性。 6、平面问题分为平面应力问题和平面应变问题。 7、已知一点处的应力分量100=x σMPa ，50=y σMPa ，5010=xy τ MPa ，则主应力 =1σ150MPa ，=2σ0MPa ，=1α6135' 。 8、已知一点处的应力分量， 200=x σMPa ，0=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力=1σ512 MPa ，=2σ-312 MPa ，=1α-37°57′。 9、已知一点处的应力分量，2000-=x σMPa ，1000=y σMPa ，400-=xy τ MPa ，则主应力 =1σ1052 MPa ，=2σ-2052 MPa ，=1α-82°32′。 10、在弹性力学里分析问题，要考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。 11、表示应力分量与体力分量之间关系的方程为平衡微分方程。 12、边界条件表示边界上位移与约束，或应力与面力之间的关系式。分为位移边界条件、应力边界条件和混合边界条件。 13、按应力求解平面问题时常采用逆解法和半逆解法。 14、有限单元法首先将连续体变换成为离散化结构，然后再用结构力学位移法进行求解。其具体步骤分为单元分析和整体分析两部分。 15、每个单元的位移一般总是包含着两部分：一部分是由本单元的形变引起的，另一部分是由于其他单元发生了形变而连带引起的。 16、每个单元的应变一般总是包含着两部分：一部分是与该单元中各点的位置坐标有关的，是各点不相同的，即所谓变量应变；另一部分是与位置坐标无关的，是各点相同的，即所谓常量应变。 17、为了能从有限单元法得出正确的解答，位移模式必须能反映单元的刚体位移和常量应变，还应当尽可能反映相邻单元的位移连续性。 18、为了使得单元内部的位移保持连续，必须把位移模式取为坐标的单值连续函数，为
弹性力学作业答案
一、填空题 1.弹性力学的基本假设为均匀性、各向同性、 连续性 、 完全弹性 和 小变形 。 2.弹性力学正面是指 外法线方向与坐标轴正向一致 的面，负面指 外法线方向与坐标轴负向一致 的面。 3.弹性力学的应力边界条件表示在边界上 应力 与 面力 之间的关系式。除应力边界条件外弹性力学中还有 位移 、 混合 边界条件。 4.在平面应力问题与平面应变问题中，除 物理 方程不同外，其它基本方程和边界条件都相同。因此，若已知平面应力问题的解答，只需将其弹性模量E 换为 ()21E -μ，泊松比μ换为()1μ-μ，即可得到平面应变问题的解答。 5.平面应力问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远小于另外两个方向上的尺寸；平面应变问题的几何形状特征是 一个方向上的尺寸远大于另外两个方向上的尺寸。 二、单项选择题 1. 下列关于弹性力学问题中的正负号规定，正确的是 D 。 (A) 应力分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 (B) 体力分量是以正面正向为正，负面负向为正 (C) 面力分量是以正面正向为正，负面负向为负 (D) 位移分量是以沿坐标轴正方向为正，负方向为负 2. 弹性力学平面应力问题中应力分量表达正确的是 A 。 (A) 0z σ= (B) [()]/z z x y E σεμεε=-+ (C) ()z x y σμσσ=+ (D) z z f σ= 3. 弹性力学中不属于基本方程的是 A 。 (A) 相容方程 (B) 平衡方程 (C) 几何方程 (D) 物理方程
4. 弹性力学平面问题中一点处的应力状态由 A 个应力分量决定。 (A) 3 (B) 2 (C) 4 (D) 5 三、简答题 1. 求解弹性力学问题的三类基本方程是什么？仅由基本方程是否可以求得具体问题的解答？为什么？ 答：平衡方程，几何方程和物理方程。仅由基本方程不可以求得具体解答，因为缺少边 界条件，只能得到问题的通解而不是特解。 2. 简述圣维南原理及其在弹性力学中的简化作用。 答：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢和主矩 相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用： (1)将次要边界上复杂的面力做分布的面力替代； (2) 将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。 四、计算题 如图所示，设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩作用，体力忽略不计，l h >>。试 用应力函数233 Axy By Cy Dxy =+++?求解应力分量。 解：(I) 显然，应力函数 233Axy By Cy Dxy ?=+++ (1) 满足双调和方程。 (II) 写出应力的表达式（不计体力） 22266x B Cy Dxy y ?? σ==++? (2) 220y x ?? σ==? (3) 223xy A Dy x y ?? τ=- =--?? (4) (III) 通过边界条件确定待定系数
材料力学习题册答案-第7章应力状态
第 七 章 应力状态 强度理论 一、 判断题 1、平面应力状态即二向应力状态，空间应力状态即三向应力状态。 (√) 2、单元体中正应力为最大值的截面上，剪应力必定为零。 (√) 3、单元体中剪应力为最大值的截面上，正应力必定为零。 (×) 原因：正应力一般不为零。 4、单向应力状态的应力圆和三向均匀拉伸或压缩应力状态的应力圆相同，且均为应力轴 上的一个点。 (×) 原因：单向应力状态的应力圆不为一个点，而是一个圆。三向等拉或等压倒是为一个点。 5、纯剪应力状态的单元体，最大正应力和最大剪应力值相等，且作用在同一平面上。(×) 原因：最大正应力和最大剪应力值相等，但不在同一平面上 6、材料在静载作用下的失效形式主要有断裂和屈服两种。 (√) 7、砖,石等脆性材料式样压缩时沿横截面断裂。 (×) 8、塑性材料制成的杆件，其危险点必须用第三或第四强度理论所建立的强度条件来校核强度。 (×) 原因：塑性材料也会表现出脆性，比如三向受拉时，此时，就应用第一强度理论 9、纯剪应力状态的单元体既在体积改变，又有形状改变。(×) 原因：只形状改变，体积不变 10、铸铁水管冬天结冰时会因冰膨胀被胀裂，而管内的冰不会被破坏，只是因为冰的强度比铸铁的强度高。(×) 原因：铸铁的强度显然高于冰，其破坏原因是受到复杂应力状态 二、 选择题 1、危险截面是（ C ）所在的截面。 A 最大面积 B 最小面积 C 最大应力 D 最大内力 2、关于用单元体表示一点处的应力状态，如下论述中正确的一种是( D )。 A 单元体的形状可以是任意的 B 单元体的形状不是任意的，只能是六面体微元 C 不一定是六面体，五面体也可以，其他形状则不行 D 单元体的形状可以是任意的，但其上已知的应力分量足以确定任意方向面上的硬力 3、受力构件内任意一点，随着所截取截面方位不同，一般来说（ D ） A 正应力相同，剪应力不同 B 正应力不同，剪应力相同 C 正应力和剪应力均相同 D 正应力和剪应力均不同 4、圆轴受扭时，轴表面各点处于（ B ） A 单向应力状态 B 二向应力状态 C 三向应力状态 D 各向等应力状态 5、分析处于平面应力状态的一点，说法正确的是（ B ）。 A a σ=0时，必有a τ=max τ或a τ=min τ B a τ=0时，必有a σ=max σ或a σ=min σ C a σ+90a σ+及|a τ|+|90a τ+|为常量 D 1230σσσ≥≥≥
弹性力学
1平面应变问题的无限长柱形体，以任一横截面为xy面，任 一纵向为z轴，试简述z面上的应力情况及原因。 Z面上由于z方向的伸缩杯阻止，所以所有一切应力分量，形 变分量和位移分量都不沿z方向变化，所以σz不等于0，由于 对称条件τzx=0，τzy= 0. 2、在什么条件下平面应力问题和平面应变问题的3个应力分 量σxσy和τxy与材料特性无关？并简述原因 当体力为常量事，在单连体的应力边界问题中，如果两个弹性 体具有相同边界形状，收到同样的分布外力，那么句不管这两个弹性体的材料是否相同，在平面应力或平面应变情况下σxσy 和τxy的分布是相同的，因为在体力为常量的情况下，平衡微 分方程，相容方程，和应力便捷条件中都不包含弹性常数 3、弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问 题的三类基本方程（平衡方程、几何方程、物理方程）哪些相同，哪些不同？并简述原因 平衡方程，几何方程相同，物理方程不同。在平面问题中，因 为物体的搜有各点都不沿z方向移动即w=0，多亿z方向的线段 都没有伸缩，即εz=0，σz=μ（σx+σy）带入其中可得 4、在建立弹性力学平衡微分方程、几何方程、物理方程时分
别应用了哪些基本假定？ 连续性、均匀性、完全弹性、各向同性、小变形 5、有限单元法中，位移模式应满足什么条件？下列位移函数 甜=aix+a2y+a3x2v=blx+b2y+b3y2能否作为三结点三角形单元 的位移模式？简要说明理由。 位移模式必须能反应单元的钢铁位移， 6弹性力学建立的基本方程多是偏微分方程，最后需结合（B．边界条件）求解这些微分方程，以求得具体问题的应力、 应变、位移。 7弹性力学平面问题的求解中，平面应力问题与平面应变问题 的三类基本方程具有下列关系(平衡方程、几何方程相同，物理 方程不同) 8根据圣维南原理，作用在物体一小部分边界上的力系可以用 下列( A．静力上等效)的力系代替，则仅在近处应力分布有改变， 而在远处所受的影响可以不计 9三结点三角形单元中的位移分布为( B．线性分布)。 10在什么条件下，平面应力问题的仃。，仃，，T_与平面应变 问题的仃。，a，，T可是相同的？ 边界相同，外力相同
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用
弹性力学的基本理论及其在实际中的应用 弹性力学是固体力学学科的分支。其基本任务是研究弹性体由于外力载荷或者温度改变，物体内部所产生的位移、变形和应力分布等，为解决工程结构的强度，刚度和稳定性问题作准备，但是并不直接作强度和刚度分析。 一．弹性力学的基本规律规律假设 弹性力学的研究对象是完全弹性体。弹性力学所依据的基本规律有三个：变形连续规律、应力-应变关系和运动(或平衡)规律，它们有时被称为弹性力学三大基本规律。 井下工程是复杂多变的，随着工程的进展，巷道的应力情况也在不断的变化，我们研究的不是一个静止的物体，我们要研究的是一个动态的、不断变化的围岩条件。要研究岩体的弹性问题,必须要给它一个前提,也就是对它的假设,基本假设是弹性力学讨论问题的基础。没有基本假设任何问题也进行不了.下面简要介绍弹性力学的几个基本假设： 1.连续性假设：假设所研究的整个弹性体内部完全由组成物体的介质 所充满，各个质点之间不存在任何空袭。 2.均匀性假设：假设弹性物体是由同一类型的均匀材料组成的。因此 物体各个部分的物理性质都是相同的，不随坐标位置的变化而改变。 因此，物体的弹性性质处处是相同的。 3.各向同性假设：假定物体在各个不同的方向上具有相同的物理性质， 这就是说物体的弹性常熟将不随坐标方向的改变而变化。 4.完全弹性假设：对应一定的温度，如果应力和应变之间存在一一对 应关系，而且这个关系和时间无关，也和变形历史无关，称为完全 弹性材料。 5.小变形假设：假设在外力或者其他外界因素（如温度等）的影响下， 物体的变形与物体自身几何尺寸相比属于高阶小量。 6.无初始应力的假设：假设物体处于自然状态，即在外界因素（如外 力或温度变化等）作用之前，物体内部没有应力。根据这一假设， 弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。二．下面介绍一下弹性力学基本的解决问题的方法： 弹性力学的研究方法主要有数学方法和实验方法，以及二者结合的方法。 数学方法基本上是根据弹性力学的基本方程，对岩体在某种假设的前提下进行弹性分析，从而得出岩体的各种力学参数。数学方法是偏微分方程的边值问题，求解的方法有解析法和近似解法。 （1）解析法，即直接求解偏微分方程边值问题，这在数学上难度极大，因此仅适用于个别特殊边界条件问题。 （2）数值解法是采用计算机处理的近似解法。近年来，随着现代科学技术的发展，特别是计算机技术的迅速发展和广泛应用，使得有限元方法首先在弹性力学应用领域发展起来。有限元方法将计算数学与工程分析相结合，极大地扩展和延伸了弹性力学理论与方法，取得了当代力学理论应用的高度成就。
弹性力学部分简答题
1、简述材料力学和弹性力学在研究对象、研究方法方面的异同点。 在研究对象方面，材料力学基本上只研究杆状构件，也就是长度远大于高度和宽度的构件；而弹性力学除了对杆状构件作进一步的、较精确的分析外，还对非杆状结构，例如板和壳，以及挡土墙、堤坝、地基等实体结构加以研究。 在研究方法方面，材料力学研究杆状构件，除了从静力学、几何学、物理学三方面进行分析以外，大都引用了一些关于构件的形变状态或应力分布的假定，这就大简化了数学推演，但是，得出的解答往往是近似的。弹性力学研究杆状构件，一般都不必引用那些假定，因而得出的结果就比较精确，并且可以用来校核材料力学里得出的近似解答。 2、简述弹性力学的研究方法。 答：在弹性体区域内部，考虑静力学、几何学和物理学三方面条件，分别建立三套方程。即根据微分体的平衡条件，建立平衡微分方程；根据微分线段上形变与位移之间的几何关系，建立几何方程；根据应力与形变之间的物理关系，建立物理方程。此外，在弹性体的边界上还要建立边界条件。在给定面力的边界上，根据边界上微分体的平衡条件，建立应力边界条件；在给定约束的边界上，根据边界上的约束条件建立位移边界条件。求解弹性力学问题，即在边界条件下根据平衡微分方程、几何方程、物理方程求解应力分量、形变分量和位移分量。 3、弹性力学中应力如何表示？正负如何规定？ 答：弹性力学中正应力用σ表示，并加上一个下标字母，表明这个正应力的作用面与作用方向；切应力用τ表示，并加上两个下标字母，前一个字母表明作用面垂直于哪一个坐标轴，后一个字母表明作用方向沿着哪一个坐标轴。并规定作用在正面上的应力以沿坐标轴正方向为正，沿坐标轴负方向为负。相反，作用在负面上的应力以沿坐标轴负方向为正，沿坐标轴正方向为负。 4、简述平面应力问题与平面应变问题的区别。 答：平面应力问题是指很薄的等厚度薄板，只在板边上受有平行于板面并且不沿厚度变化的面力，同时，体力也平行于板面并且不沿厚度变化。对应的应力分量只有x σ，y σ，xy τ。而平面应变问题是指 很长的柱形体，在柱面上受有平行于横截面并且不沿长度变化的面力，同时体力也平行于横截面并且不沿长度变化，对应的位移分量只有u 和v 5、简述圣维南原理。 如果把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力（主矢量相同，对于同一点的主矩也相同），那么，近处的应力分布将有显著的改变，但是远处所受的影响可以不计。 6、简述按应力求解平面问题时的逆解法。 答：所谓逆解法，就是先设定各种形式的、满足相容方程的应力函数；并由应力分量与应力函数之间的关系求得应力分量；然后再根据应力边界条件和弹性体的边界形状，看这些应力分量对应于边界上什么样的面力，从而可以得知所选取的应力函数可以解决的问题。 1．试简述力学中的圣维南原理，并说明它在弹性力学分析中的作用。 圣维南原理：如果物体的一小部分边界上的面力变换为分布不同但静力等效的面力（主矢与主矩相同），则近处的应力分布将有显著的改变，但远处的应力所受影响可以忽略不计。 作用：（1）将次要边界上复杂的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。 （2）将次要的位移边界条件转化为应力边界条件处理。
弹性力学习题集
厚度为 《弹性力学》习题 第一章：绪论 第二章：平面问题的基本理论 一、 试导出求解平面应力问题的用应力分量表示的相容方程。 二、 试叙述弹性力学两类平面问题的几何、受力、应力、应变特征，并指出这两类平面问题 中弹性常数间的转换关系。 三、 弹性力学问题按应力和位移求解，分别应满足什么方程？ 四、 写出直角坐标下弹性力学平面问题的基本方程和边界条件？ 五、 求解弹性力学问题时，为什么需要利用圣维南原理？ 六、 试判断下列应变场是否为可能的应变场？（需写出判断过程） 务工匚少+护），片二5［畑-2C 号。 七、 试写出应力边界条件： （a ）图用极坐标形式写出；（b ）图用直角坐标形式写出。 八、 已知受力物体中某点的应力分量为： x 0, y 2a, z a, xy a, yz 0, zx 2a 。试求 作用在过此点的 平面 x 3y z 1上的沿坐标轴方向的应力分量，以及该平面的正应力 和切应力。 九、 图示矩形截面悬臂梁，长为 I ，高为h ，在左端面受力P 作用。不计体力，试求梁的应 力分量。（应力函数取为 Axy 3 Bxy ） 十、试用下面的应力函数求解如图所示挡水墙的应力分量。 h ,水的密度为丫。 已知挡水墙的密度为P,
Axy3 2 y_ 10 3 3 1 3 X Bxy C- x y D Exy 6 6 五、 2、（10分）如图所示为处于平面应力状态下的细长薄板条，上下边界受 P力的作用，其余边界上均无面力作用。试证明A点处为零应力状态 第三章：平面问题的直角坐标解答 三、写出下列平面问题的定解条件 1、（10分）楔型体双边受对称均布剪力q。
材料力学应力状态
关键词：单元体的取法，莫尔应力圆的前提 有那么一个单元体后（单元体其中的一对截面上主应力=0（平面）或平衡（空间），也就是单元体的一对截面为主平面），才有这么 一个隔离体，才有那么一个莫尔应力圆和表达式 也就是：取的单元体不同，则单元体的应力特点不一样，从而用截面法求任意截面上的应力取隔离体列平衡方程时，隔离体的受力特点不同，从而球出来的表达式也不同，只有这种表达式才适合 莫尔应力圆。 因此拿到一个单元体后，不要急着应用莫尔应力圆，要先看它的特点适合不适合莫尔应力圆，也就是σα和τα的表达式球出来以后还是 不是下面的这个公式。
特别还要记住，这个公式里的夹角α是斜截面的外法线与σx 作用平
σy的形式。比如，面的外法线之间的夹角，这样公式中才是σx— 当α表示的是斜截面的外法线与σ1所在平面的夹角，那么公式就是σ1—σ2的形式；不论是谁减谁，应力圆的性状都不变； 1.首先，先有主平面和主应力的概念，剪应力为0的平面为主平面，主平面上的正应力为主应力； 2.然后，由于构件受力情况的不同，各点的应力状态也不一样，可以按三个主应力中有几个不等于零而将一点处的应力状态划分为三类： ?单向应力状态：只有一个主应力不等于零，如受轴向拉伸和压缩的直杆及纯弯曲的直杆内各点的应力状态。 ?二向应力状态(平面应力状态)：有两个主应力不等于零，如受扭的圆轴，低压容器器壁各点的应力状态。 ?三向应力状态：三个主应力都不等于零，如高压容器器壁内各点的应力状态。 3.然后，根据受力宏观判断是单轴应力状态还是平面应力状态还是三轴应力状态，取单元体关键，单元体取的不同，单元体上的应力也不同，做莫尔圆的繁简程度也不同，对于平面应力状态，当然要用主应力=0的那个截面参与单元体截取； 4.单轴应力状态、平面应力状态、三轴应力状态是由主应力等于零的个数决定的，不受单元体取法的影响，也不是看单元体的三对截面上是否都存在正应力；比如单轴应力状态下，也可以取出一个单元体，让这个单元体的各平面上都有正应力和切应力，但是它仍然是单轴应力状态；同样，平面应力状态下，也可以取出一个单元体，让其各平面上都有正应力和剪应力，但它仍然是平面应力状态； 5.按不同方位截取的单元体，尽管作用在这些单元体上的应力不同，但是在它们之间却存在着一定的关系：因为二者表示的是同一点的应力状态，因而可以从一个单元体上的应力求出另一个与其方向不同的单元体上的应力。 6.既然怎么取单元体不影响一点的应力状态：无论你怎么取，应力状态就在那里，不会发生变化，那么就可以取主平