2013届高考数学第一轮专题复习测试卷第七讲 函数的奇偶性与周期性

第七讲 函数的奇偶性与周期性

一、选择题：(本大题共6小题，每小题6分，共36分，将正确答案的代号填在题后的括号内．)

1．定义在R 上的函数f (x )满足：f (x )·f (x ＋2)＝13，f (1)＝2，则f (99)＝( )

A ．13

B ．2

C.132

D.213

解析：由f (x )·f (x ＋2)＝13，知f (x ＋2)·f (x ＋4)＝13，所以f (x ＋4)＝f (x )，即f (x )是周期函数，周期为4.所以f (99)＝f (3＋4×24)＝f (3)＝

13f (1)＝132

. 答案：C

2．(2010·郑州)定义在R 上的函数f (x )满足：对于任意α，β∈R ，总有f (α＋β)－[f (α)＋f (β)]＝2010，则下列说法正确的是( )

A ．f (x )－1是奇函数

B ．f (x )＋1是奇函数

C ．f (x )－2010是奇函数

D ．f (x )＋2010是奇函数

解析：依题意，取α＝β＝0，得f (0)＝－2010；取α＝x ，β＝－x ，得f (0)－f (x )－f (－x )＝2010，f (－x )＋2010＝－[f (x )－f (0)]＝－[f (x )＋2010]，因此函数f (x )＋2010是奇函数，选D.

答案：D

3．设f (x )是定义在R 上以2为周期的偶函数，已知x ∈(0,1)时，f (x )＝log 12(1－x )，则函数f (x )在(1,2)上( )

A ．是增函数，且f (x )<0

B ．是增函数，且f (x )>0

C ．是减函数，且f (x )<0

D ．是减函数，且f (x )>0

解析：由题意得当x ∈(1,2)时，0<2－x <1,0

(x －1)>0，

则可知当x ∈(1,2)时，f (x )是减函数，选D.

答案：D

4．设f (x )是连续的偶函数，且当x >0时是单调函数，则满足f (x )＝f ???

?x ＋3x ＋4的所有x 之和为( ) A ．－3 B ．3

C ．－8

D ．8

解析：因为f (x )是连续的偶函数，且x >0时是单调函数，由偶函数的性质可知若f (x )＝f ???

?x ＋3x ＋4，只有两种情况：①x ＝x ＋3x ＋4；②x ＋x ＋3x ＋4

＝0. 由①知x 2＋3x －3＝0，故两根之和为x 1＋x 2＝－3.

由②知x 2＋5x ＋3＝0，故其两根之和为x 3＋x 4＝－5.

因此满足条件的所有x 之和为－8.

答案：C

5．已知奇函数f (x )在区间[3,7]上是增函数，且最小值为5，那么函数f (x )在区间[－7，－3]上( )

A ．是增函数且最小值为－5

B ．是增函数且最大值为－5

C ．是减函数且最小值为－5

D ．是减函数且最大值为－5

解析：∵f (x )为奇函数，∴f (x )的图象关于原点对称．

∵f (x )在[3,7]上是增函数，

∴f (x )在[－7，－3]上也是增函数．

∵f (x )在[3,7]上的最小值为5，

∴由图可知函数f (x )在[－7，－3]上有最大值－5.

答案：B

评析：本题既涉及到函数的奇偶性，又涉及到函数的单调性，还涉及到函数的最值，是一道综合性较强的题目，由于所给的函数没有具体的解析式，因此我们画出函数f (x )在区间[3,7]上的示意图，由图形易得结论．

6．(2010·新课标全国)设偶函数f (x )满足f (x )＝x 3－8(x ≥0)，则{x |f (x －2)>0}＝( )

A ．{x |x <－2或x >4}

B ．{x |x <0或x >4}

C ．{x |x <0或x >6}

D ．{x |x <－2或x >2}

解析：当x <0时，－x >0，

∴f (－x )＝(－x )3－8＝－x 3－8，

又f (x )是偶函数，

∴f (x )＝f (－x )＝－x 3－8，

∴f (x )＝?????

x 3－8，x ≥0－x 3－8，x <0. ∴f (x －2)＝?????

(x －2)3－8，x ≥2－(x －2)3－8，x <2， ????? x ≥2(x －2)3－8>0或?????

x <2－(x －2)3－8>0， 解得x >4或x <0.故选B.

答案：B

二、填空题：(本大题共4小题，每小题6分，共24分，把正确答案填在题后的横线上．)

7．(2010·江苏)设函数f (x )＝x (e x ＋a e －x )(x ∈R )是偶函数，则实数a 的值为________．

解析：设g (x )＝x ，h (x )＝e x ＋a e －x ，因为函数g (x )＝x 是奇函数，则由题意知，函数h (x )＝e x ＋a e －x 为奇函数，又函数f (x )的定义域为R ，∴h (0)＝0，解得a ＝－1.

答案：－1

8．已知函数f (x ＋1)是奇函数，f (x －1)是偶函数，且f (0)＝2，则f (4)＝________.

解析：依题意有f (－x ＋1)＝－f (x ＋1)，f (－x －1)＝f (x －1)，所以f (4)＝f (－(－3)＋1)＝－f (－2)＝－f (－1－1)＝－f (0)＝－2.

答案：－2

9．(2010·湖北八校)设函数f (x )的定义域、值域分别为A 、B ，且A ∩B 是单元集，下列命题

①若A ∩B ＝{a }，则f (a )＝a ；

②若B 不是单元集，则满足f [f (x )]＝f (x )的x 值可能不存在；

③若f (x )具有奇偶性，则f (x )可能为偶函数；

④若f (x )不是常数函数，则f (x )不可能为周期函数．

其中，正确命题的序号为________．

解析：如f (x )＝x ＋1，A ＝[－1,0]，B ＝[0,1]满足A ∩B ＝{0}，但f (0)≠0，且满足f [f (x )]＝f (x )的x 可能不存在，①错，②正确；如，f (x )＝1，A ＝R ，B ＝{1}，则f (x )＝1，A ＝R 是偶函数，③正确；如f (x )＝x －2k ＋1，A ＝[2k －1,2k ]，B ＝[0,1]，k ∈Z ，f (x )是周期函数，但不是常数函数，所以④错误．

答案：②③

10．对于定义在R上的函数f(x)，有下述四个命题，其中正确命题的序号为________．

①若f(x)是奇函数，则f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称；

②若对x∈R，有f(x＋1)＝f(x－1)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称；

③若函数f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)为偶函数；

④函数y＝f(1＋x)与函数y＝f(1－x)的图象关于直线x＝1对称．

解析：f(x－1)的图象是由f(x)的图象向右平移一个单位而得到，又f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，所以f(x－1)的图象关于点A(1,0)对称，故①正确；

由f(x＋1)＝f(x－1)可知f(x)的周期为2，无法判断其对称轴，故②错误；

f(x－1)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)关于y轴对称，故f(x)为偶函数，③正确；

y＝f(1＋x)的图象是由y＝f(x)的图象向左平移一个单位后得到，y＝f(1－x)是由y＝f(x)的图象关于y轴对称后再向右平移一个单位而得到，两者图象关于y轴对称，故④错误．

答案：①③

三、解答题：(本大题共3小题，11、12题13分，13题14分，写出证明过程或推演步骤．)

11．已知定义域为R的函数f(x)＝－2x＋b

2x＋1＋a

是奇函数．

(1)求a、b的值；

(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围．

分析：(1)由f(0)＝0可求得b，再由特殊值或奇函数定义求得a；(2)先分析函数f(x)的单调性，根据单调性去掉函数符号f，然后用判别式解决恒成立问题．

解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，

所以f(0)＝0，

即b－1

a＋2

＝0?b＝1，

所以f(x)＝1－2x

a＋2x＋1

，又由f(1)＝－f(－1)

知1－2

a＋4

＝－

1－

1

2

a＋1

?a＝2.

(2)由(1)知f(x)＝

1－2x 2＋2x＋1

＝－1

2

＋

1

2x＋1

，

易知f(x)在(－∞，＋∞)上为减函数．

又因f(x)是奇函数，从而不等式：

f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于

f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(k－2t2)，

因f(x)为减函数，由上式推得：t2－2t>k－2t2，即对t∈R有：

3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0?k<－1 3 .

12．设函数f(x)的定义域为R，对于任意的实数x，y，都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，当x＞0时，f(x)＜0，求证：(1)f(x)为奇函数；(2)f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

证明：(1)令x＝y＝0，得f(0)＝f(0)＋f(0)，

∴f(0)＝0.

再令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x)为奇函数．

(2)设x1、x2∈(－∞，＋∞)且x1＜x2，则x2－x1＞0，

∵当x＞0时，f(x)＜0，∴f(x2－x1)＜0.

又∵对于任意的实数x，y都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)且f(x)为奇函数，

∴f(x2－x1)＝f[x2＋(－x1)]＝f(x2)＋f(－x1)＝f(x2)－f(x1)．

∴f(x2)－f(x1)＜0，

∴f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数．

13．设函数f(x)的定义域关于原点对称，且满足

①f(x1－x2)＝f(x1)f(x2)＋1 f(x2)－f(x1)

；

②存在正常数a，使f(a)＝1.

求证：(1)f(x)是奇函数；

(2)f(x)是周期函数，并且有一个周期为4a. 证明：(1)不妨令x＝x1－x2，则

f(－x)＝f(x2－x1)＝f(x2)f(x1)＋1 f(x1)－f(x2)

＝－f(x1)f(x2)＋1

f(x2)－f(x1)

＝－f(x1－x2)

＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．(2)要证f(x＋4a)＝f(x)，

可先计算f(x＋a)，f(x＋2a)，

∵f(x＋a)＝f[x－(－a)]＝f(－a)f(x)＋1 f(－a)－f(x)

＝－f(a)f(x)＋1

－f(a)－f(x)

＝

f(x)－1

f(x)＋1

，(f(a)＝1)．

∴f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]

＝f(x＋a)－1

f(x＋a)＋1

＝

f(x)－1

f(x)＋1

－1

f(x)－1

f(x)＋1

＋1

＝－

1

f(x)

.

∴f(x＋4a)＝f[(x＋2a)＋2a]＝

1

－f(x＋2a)

＝f(x)

故f(x)是以4a为周期的周期函数．