湖南省衡阳市第八中学2017届高三实验班第一次模拟考试数学(理)试题

衡阳八中2017届高三年级第一次高考模拟试卷

理数（试题卷）

注意事项：

1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第一次高考模拟试卷，分两卷。其中共22题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现象，如有请立即向监考老师通报。开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0.5mm 签字笔书写。考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★

第I卷选择题（每题5分，共60分）

本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知集合A={﹣2，﹣1，0，1，2}，B={x|＜0}，则A∩B=（）

A．{0，1} B．{﹣1，0}

C．{﹣1，0，1} D．{0，1，2}

2.已知1+i=，则在复平面内，复数z所对应的点在（）

A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限

3.已知，若共线，则实数x=（）

A．B．C．1 D．2

4.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=3x上，则sin（2θ+）

=（）

A．B．﹣C．D．﹣

5.已知单调递增的等比数列{a n}中，a2?a6=16，a3+a5=10，则数列{a n}的前n项和S n=（）A．B．

C．2n﹣1 D．2n+1﹣2

6.已知实数x，y满足不等式组，若目标函数z=kx+y仅在点（1，1）处取得最小值，则实数k的取值范围是（）

A.（﹣1，+∞）

B.（﹣∞，﹣1）

C.（1，+∞）

D.（﹣∞，1）

7.如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周

与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一

粒鱼食，则“鱼食能被鱼缸内在圆锥外面的鱼吃到”的概率是（）

A．1﹣B．C．D．1﹣

8.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，AB=2，AC=1，∠BAC=60°，则此球的表面积是（）

A．2πB．8π C．10πD．12π

9.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为（）A．B．C．1 D．

10.执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）

A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣

11.若函数f（x）满足，当x∈时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）

A．B．

C．D．

12.设函数f（x）在R上存在导数f′（x），?x∈R，有f（﹣x）+f（x）=x2，在（0，+∞）上f′（x）＜x，若f（6﹣m）﹣f（m）﹣18+6m≥0，则实数m的取值范围为（）A．B．（﹣∞，﹣2]∪对于n≥2恒成立，

也就是（n﹣1）2≤m（n﹣1）?（2n+1﹣1）对于n≥2恒成立，

∴m≥对于n≥2恒成立，

令，

∵=

∴f（n）为减函数，∴f（n）≤f（2）=．

∴m．

所以，（n﹣1）2≤m（T n﹣n﹣1）对于n≥2恒成立的实数m的范围是[）．

18.

（1）由2×2列联表，计算K2的观测值为

k==＞7.879，

对照临界值表，得出能在犯错误的概率不超过0.005的前提下，

认为设立自习室对提高学生成绩有效；

（2）根据分层抽样原理，

从第一次月考数学优良成绩中抽取×5=3个，记为A、B、C；

从第二次月考数学优良成绩中抽取×5=2个，记为d、e；

则从这5个成绩中抽取2个，基本事件是

AB、AC、Ad、Ae、BC、Bd、Be、Cd、Ce、de共10个，

其中抽取的2个成绩均来自同一次月考的基本事件有

AB、AC、BC、de共4个，

故所求的概率为P==．

19.

解法1）（1）因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥BC，

由底面ABCD为长方形，有BC⊥CD，而PD∩CD=D，

所以BC⊥平面PCD．而DE?平面PDC，所以BC⊥DE．

又因为PD=CD，点E是PC的中点，所以DE⊥PC．

而PC∩CB=C，所以DE⊥平面PBC．而PB?平面PBC，所以PB⊥DE．

又PB⊥EF，DE∩FE=E，所以PB⊥平面DEF．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．（2）如图1，

在面BPC内，延长BC与FE交于点G，则DG是平面DEF与平面ACBD的交线．

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以PB⊥DG．

又因为PD⊥底面ABCD，所以PD⊥DG．而PD∩PB=P，所以DG⊥平面PBD．

所以DG⊥DF，DG⊥DB

故∠BDF是面DEF与面ABCD所成二面角的平面角，

设PD=DC=1，BC=λ，有BD=，

在Rt△PDB中，由DF⊥PB，得∠DPB=∠FDB=，

则 tan=tan∠DPF===，解得．

所以==

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．

（解法2）

（1）以D为原点，射线DA，DC，DP分别为x，y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系．设PD=DC=1，BC=λ，

则D（0，0，0），P（0，0，1），B（λ，1，0），C（0，1，0），=（λ1，﹣1），点E 是PC的中点，所以E（0，，），=（0，，），

于是=0，即PB⊥DE．

又已知EF⊥PB，而ED∩EF=E，所以PB⊥平面DEF．

因=（0，1，﹣1），=0，则DE⊥PC，所以DE⊥平面PBC．

由DE⊥平面PBC，PB⊥平面DEF，可知四面体BDEF的四个面都是直角三角形，

即四面体BDEF是一个鳖臑，其四个面的直角分别为∠DEB，∠DEF，∠EFB，∠DFB．

（2）由PD⊥底面ABCD，所以=（0，0，1）是平面ACDB的一个法向量；

由（Ⅰ）知，PB⊥平面DEF，所以=（﹣λ，﹣1，1）是平面DEF的一个法向量．

若面DEF与面ABCD所成二面角的大小为，

则运用向量的数量积求解得出cos==，

解得．所以所以==

故当面DEF与面ABCD所成二面角的大小为时，=．

20.

（1）由题意可知A（0，b），F1是线段QF1的中点，

设F1（﹣c，0），F2（c，0），则Q（﹣3c，0），

∵∠QAF1=90°，

∴b2=3c2，

由题意Rt△QAF1外接圆圆心为斜边的QF1中点F1（﹣c，0），半径等于2c，

由A，Q，F2，三点恰好与直线3x﹣4y﹣7=0相切，

∴F1（﹣c，0）到直线的距离等于半径2c，

即=2c，

解得：c=1，b2=3，a2=4，

∴椭圆的标准方程：；

（2）设E（x1，y1），F（x2，y2），

直线PQ的方程为x=my+，代入椭圆方程，

4（4+3m2）y2+36my﹣21=0，

y1+y2=﹣，y1y2=﹣，

由B，E，M，三点共线，可知：=，即y M=，

同理可得：y N=，

∴k1k2=×==，

由4（x1+2）（x2+2）=（2my1+7）（2my2+7）=4m2y1y2+14m（y1+y2）+49，

∴k1k2==﹣，

∴k1k2是否为定值﹣．

21.

（1）f（x）=ax2+bx﹣c﹣lnx（x＞0），求导f′（x）=2ax+b﹣，（x＞0），由函数在x=1处取极值，则f′（1）=2a+b﹣1=0，则b=1﹣2a，

f′（x）=2ax+1﹣2a﹣=（x﹣1）（+2a），（x＞0），

当a＞0时，+2a＞0，x∈（0，1），f′（x）＜0，

当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，

∴函数f（x）的单调递增区间（1，+∞），单调递减区间（0，1]；

（2）由（1）可知：f（x）=ax2+（1﹣2a）﹣c﹣lnx，由函数f（x）在x=1处取极值，﹣1﹣c，

∴f（1）=﹣a+1﹣c=﹣1﹣c，可得：a=2，

∵a＞0，由（1）可知函数f（x）区间（1，+∞）上单调递增，在区间（0，1]上单调递减，∴f（x）min=f（1）=﹣1﹣c，

由f（x）≥﹣2c2恒成立，则﹣1﹣c≥﹣2c2，解得：c≥1或c≤﹣，

∴实数c的取值范围为（﹣∞，﹣]∪递减区间，

且f（x1）=f（x2）=0，

∴不妨设x1＜x2，则x1∈（0，1），x2∈（1，+∞），

构造函数h（x）=f（x）﹣f（2﹣x），x1∈（0，1），

则h（x）=2x﹣2+ln（2﹣x）﹣lnx，

求导h′（x）=2+﹣=＜0，

∴h（x）在（0，1）单调递减，

∴x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，

∴f（x）＞f（2﹣x），由x1∈（0，1），则f（x1）＞f（2﹣x1），

由f（x1）=f（x2）=0，

∴f（x2）＞f（2﹣x1），而2﹣x1，x2∈（1，+∞），

函数f（x）在（1，+∞）上单调递增，

∴x1+x2＞2．

22.

（1）由曲线C1的参数方程为（θ为参数），消去参数θ得，曲线C1的普通方程得+=1．

由ρcosθ﹣ρsinθ﹣4=0得，曲线C2的直角坐标方程为x﹣y﹣4=0

（2）设P（2cosθ，2sinθ），则点P到曲线C2的距离为d=

=，

当cos（θ+45°）=1时，d有最小值0，所以|PQ|的最小值为0

23.

（1）法一：f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=|x+a|+|x﹣|+|x﹣|，

∵|x+a|+|x﹣|≥|（x+a）﹣（x﹣）|=a+且|x﹣|≥0，

∴f（x）≥a+，当x=时取等号，即f（x）的最小值为a+，

∴a+=1，2a+b=2；

法二：∵﹣a＜，∴f（x）=|x+a|+|2x﹣b|=，

显然f（x）在（﹣∞，]上单调递减，f（x）在[，+∞）上单调递增，

∴f（x）的最小值为f（）=a+，

∴a+=1，2a+b=2．

（2）方法一：∵a+2b≥tab恒成立，∴≥t恒成立，

=+=（+）（2a+b ）?=（1+4++），当a=b=时，取得最小值，

∴≥t，即实数t的最大值为；

方法二：∵a+2b≥tab恒成立，

∴≥t恒成立，

t≤=+恒成立，

+=+≥=，

∴≥t，即实数t的最大值为；

方法三：∵a+2b≥tab恒成立，

∴a+2（2﹣a）≥ta（2﹣a）恒成立，∴2ta2﹣（3+2t）a+4≥0恒成立，

∴（3+2t）2﹣326≤0，

∴≤t≤，实数t的最大值为．