函数的连续性的例题与习题
函数的连续性的例题与习题
函数连续性这个内容所涉及到的练习与考试题目,大致有3大类。第一类是计算或证明连续性;第二类是对间断点(或区间)的判断,包括间断点的类型;第三类是利用闭区间上的连续函数的几个性质(最值性质,零点存在性质),进行理论分析。
下面就这三大类问题,提供若干例题和习题。还是那句老话:看到题目不要看解答,而是先思考先试着做!这是与看文学小说的最大区别。
要提醒的是,例题里有不少是《函数连续性(一)(二)》中没有给出解答的例题,你事先独立做了吗?如果没有做,是不会做好是根本不想做,还是没有时间?
一.函数的连续
例(例(一),这个序号值的是《函数连续性(一)中的例题号,请对照)
设()f x 满足()()()f x y f x f y +=+,且()f x 在0x =连续。证明:()f x 在任意点x 处连续。 分析:证明题是我们很多同学的软肋,不知道从何下手。其实,如果你的基本概念比较清晰,证明题要比计算题号做,因为它有明确的方向,不像计算题,不知道正确的答案是什么
在本题里,要证的是“()f x 在任意点x 处连续”,那么我们就先固定一个点x ,用函数连续的定义来证明在x 处连续。你可能要问:函数连续的定义有好几个,用哪一个? 这要看已知条件,哪个容易用,就用那一个。在本题中,提供了条件()()()f x y f x f y +=+,也就是()()()f x y f x f y +-=,你的脑海里就要想到,如果设y x =?,那么就有 ()()()y f x x f x f x ?=+?-=?;这个时候,你应该立即“闪过”,要用题目给的第二个条件了:()f x 在0x =连续!它意味着:0
lim (0)(0)x f x f ?→+?=。
证明的思路就此产生!
证明:因为 ()()()f x y f x f y +=+,取0y =,则有 ()()(0)f x f x f =+,所以(0)0f =。 (#)
对于固定的x (任意的!),若取y x =?,有
()()()y f x x f x f x ?=+?-=?, (+)
在(+)式两边取0x ?→的极限,那么
lim lim(()())lim ()x x x y f x x f x f x ?→?→?→?=+?-=? , (&)
由已知条件:()f x 在0x =连续,所以0
lim (0)(0)x f x f ?→+?=,代入(#)的结果,就有
lim (0)lim ()(0)0x x f x f x f ?→?→+?=?==,
但从(&)知,0
lim lim ()x x y f x ?→?→?=?,所以
lim 0x y ?→?=。
根据函数连续的定义E ,()f x 在任意点x 处连续。
你看,证明题并不难吧,但有个前提,必须有清晰的概念。很多同学的数学只会“代公式套题型”,所以做计算题还可能对付一下。其实计算也并不轻松。
例(例(一))设常数0a ≠,212(1)1()lim 1
n n n n n x a x f x x ax +→∞+--=--,求()f x 的分段表达式,欲使()f x 连
续,试确定a 的值。
分析:首先要注意,函数()f x 不是平常的形式,用一个明显的解析式表达出来,本题用一个极限形
式来表示一个函数。所以它要求先写出()f x 的分段表达式,这是本题的第一个任务;第二,要确定参数a 的数值,怎么确定呢?利用函数的连续性。这里需要计算极限的基本功。 ()f x 中出现了几个幂函数 221
,,n
n
n x x x
+,根据幂函数的性质,x 的大小对幂函数的变化趋势有
根本性的影响,所以要分为||1,||1,1,1x x x x <>==-进行讨论。所以本题的第一层考核的是对幂函数的认识与理解。 (1)||1x <: 221
,,n
n
n x x x
+都趋于零(当n →∞时),所以
1
()11
f x -==-。 (2)||1x >: 此时221
,,n
n
n x x x +都将趋于无穷大。为此,要从分子,分母中提出最大项,约去相应
的部分,来简化函数()f x :
2112122(1)
11()lim
11n n n n n n n a x x x f x x a x x
x +++→∞-??++ ?
??==?
?-- ?
??。
(3)1x =: 11()a a
f x a a
--=
=
-; (4)1x =-: 1(1)(1)12(1)(1)()lim lim 1(1)1(1)n n
n n
n n a a f x a a →∞→∞-+----+--==-----, 极限不存在。
故得 ,11,1()1,||1,
1
x x a x f x a
x x x >??-?=?
=??<-??。
欲使()f x 连续,即使()f x 在1x =连续,等价于11a a -=,故1
2
a =。
例 (例(一))证明连续函数的局部保号性:设()f x 在0x x =处连续,且0()0f x >,那么存在0δ>,
当0||x x δ-<时,()0f x >。
分析:这个性质公式我们一个事实,若连续函数在某点的函数值为正,那么在这个点附近的点的函数值也是正的,不会取负值。这就是说,连续函数的函数值有“惯性”。证明的过程很容易很简单,其实我们在证明极限的保号性时就已经用过。
证明:因为()f x 在0x x =处连续,所以对任给的0ε>,总存在0δ>,使得当0||x x δ-<时,恒有
0|()()|f x f x ε-<,也就是 0()()f x f x εε-<-<。(+)
若取 0()0f x ε=>,在(+)式中取左边的那个不等式,就有 ()0f x >; 若取01()02f x ε=
>,那么就有 01
()()2
f x f x >。 (不过,此时的0||x x δ-<中的δ要变小) 当然,你也可以取不同的0ε>,当然δ要变。如果我们只需要证实()f x 的值为正,那么取0()0f x ε=>就已经够了。
例(例(一)) 设()f x 在区间[,]a b 上连续并大于零,证明
1
()
f x 在[,]a b 也连续。 分析:我们需要证明的是:在[,]a b 上任取点0x ,对任给的0ε>,存在一个0δ>,使当0||x x δ-<时, 有
011
()()
f x f x ε-<。 直接做下去,是有困难的,所以我们需要对上述不等式做点放大(这是一个基本功!):
002
000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<< 注意,上面第一个不等号是因为我们在例中,已经证明了在0x 的一个邻域中有01
()()2
f x f x >! 至此,一个完整的证明思路就形成了。
证明:对任一0[,]x a b ∈,0()0f x >,0x 是()f x 的连续点。由局部保号性,存在0x 的邻域01(,)N x δ,使得01
()()2
f x f x >
。所以在这个邻域中,
002
000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ---=<; 由()f x 在区间[,]a b 上的连续性知,对于任给0ε>,存在20δ>,使得当02||x x δ-<时,有
200()
|()()|2
f x f x f x ε-<。 我们取12min(,)δδδ=,那么在这个更小的邻域中,(即0||x x δ-<)有
002000|()()|2|()()|11
()()()()()
f x f x f x f x f x f x f x f x f x ε---=<<, 则有函数的连续的定义知, 0x 是函数1()f x 的连续点;又由0x 的任意性,得1
()
f x 在区间[,]a b 也连续。
例 确定,a b 之值,使函数2
1,0()sin(),0
x e x f x ax b x -??>=??+≤?在(,)-∞+∞内连续。 解:在0x >和0x ≤两个区间里,对应的函数均为初等函数,它们都是连续函数。所以,要使()f x 在整个实数域中连续,只需确定在0x =的连续性条件。
()f x 在0x =有定义,所以我们只需考虑它在0x =的极限。 0
lim ()lim sin()sin x x f x ax b b --
→→=+= 2
2
2
11
1
1
1
lim ()lim lim 0lim x x x x x
x
x f x e e e +-
-
-
-
→→→→===
=;
由此得方程 sin 0b =, 容易解得: ,0,1,2,
b k k π==±±,
而对参数a ,连续性条件对它没有任何限制,所以a 可取任何实数。
例 设,0(),0x e x f x a x x ?<=?+≥?
,,
1()1
b x g x x ?=≥,求,a b 之值,使()()f x g x +在实数域上
连续。
解:两个函数的定义域不同,所以它们之和()()f x g x +这个新函数的定义域需要加以明确。显然,需要考虑3个区间:0,01,1x x x <≤<≥:
,0
()(),
01,1
x e b x f x g x a x b x a x x ?+
+=++≤+≥。 现在可以对2个分界点0,1x x ==处的连续性条件做研究了(定义问题已经解决):
lim(()())lim()1x
x x f x g x e b b --
→→+=+=+, 0
lim(()())lim()x x f x g x a x b a b ++
→→+=++=+, 故有方程 1a b b +=+, (1) 又 1
1
lim(()())lim()1x x f x g x a x b a b --
→→+=++=++,
11
lim(()()))1x x f x g x a x +
→+
→+=+=+,
又有方程
11a b a ++=+, (2)
联立(1)(2),解得
1,a b ==
练习题1 设()f x 满足条件:12,x x ?,有1212()()()f x x f x f x +=?,且()f x 在0x =处连续。求证()
f x 在整个实数域连续。 练习题2 设,1(),1x x f x a x =?≥?,,0
()1,0
b x g x x x ≤?=?+>?,求,a b 之值,使()()f x g x +在实数域上连
续。
二.函数的间断点
这里的基本概念是间断点的类型和分类。请自己整理整理的内容。
例 考察函数 1arctan ,0()0,
0x f x x
x ?
≠?
=??=? 的间断点,判别其类型。 解: 函数在0x =有定义,但是 (0)arctan()2
f π
+=+∞=
,(0)arctan()2
f π
-=-∞=-
,所以在0
x =的左,右极限虽然存在,但不相等,故属于跳跃间断点(第一类)。
例 考察函数11
sin ,0
()0,0x e x f x x
x ?≠?=??=? 的间断点,判别其类型。 解:函数在0x =有定义,但1
1(0)lim sin x
x f e x +
+
→=不存在,这是因为1,1,2,n x n n π
==时,0n x +
→,
1
sin
n
x 不存在; 又101(0)lim sin 0x
x f e x --
→==,这是因为1sin x
在极限过程中是有界量,1
0lim lim 0u x
u x e e -→-∞→==。 所以 0x =是函数的第二类间断点。
例 求下列函数的间断点,确定其类型,瑞为可去间断点,则请补充定义,使它连续。
(1)2cos
2(1)x
y x x π
=-; (2)111111x x y x x
-
+=--。
解:(1) 0,1x x ==都是使函数y 没有定义的点,故是间断点。
由于 22000cos
cos
122lim lim lim (1)(1)x x x x x
x x x x π
π
→→→==-∞--,所以0x =是函数的无穷间断点(第二类)。
又 22111cos
sin
(1)
(1)
222lim lim lim (1)(1)(1)2
x x x x x x x x x x x π
π
π
π→→→--=-=-=----,
是个确定的值,极限存在,所以1x =是可移去间断点,加以补充定义:
2
cos 2,1(1),
12
x x x x y x ππ
?
?≠?-=??-=??
后函数在1x =连续。
但是要注意的是,0x =仍然是函数的无穷间断点(第二类),函数在0x =仍然间断。 (2)显然,1,0,1x =-+是使函数没有定义的点,所以是间断点。
111111
(1)(1)
1lim ()lim lim lim 11(1)(1)
1x x x x x x x x x f x x x x x x
→-→-→-→--
--+====∞++--, 故 1x =-是无穷间断点(第二类)。
000011
(1)(1)
1lim ()lim lim lim 111(1)(1)
1x x x x x x x x x f x x x x x x
→→→→-
--+====-++--, 故 0x = 是可去间断点(第一类),补充定义 (0)1f =-后,函数在0x =连续。
1
1
1(1)(1)
lim ()lim
lim 0(1)(1)
x x x x x x f x x x x →→→--===++, 可见 1x = 也是可去间断点(第一类),补充定义 (1)0f =后,函数在1x =连续。
例 讨论下列函数的间断点:
(1) 1111x
y e
-=
+; (2)23,0sin 3,0x x y x x x
?+
=?>?
?。
解:(1)1x = 使函数无定义(对
1
1x
-无定义,故函数本身也无定义),故为间断点。 1
1
11lim 01x x
e
-
→-=+, (因为 111
lim x
x e -
-→=∞)
11
11lim 11x x
e
+
→-=+, (因为1
11
lim 0x
x e e +
-∞-→=→)
左,右极限存在,却不相等,故1x =是跳跃型间断点(第一类)。
(2)0x =处没有定义,故为间断点。
2
lim lim(3)3x x y x --
→→=+=, 0
0sin 3sin 3lim lim lim 333x x x x x
y x x
++
+
→→→==?=, 可见,0x =处函数的左,右极限都存在,且相等,故0x =是可去间断点(第一类)。
例 根据,αβ的不同数值,讨论()f x 在0x =处的连续性,若间断,判别属于何种间断点:
1sin ,0
(),0
x x x f x x
e x α
β?>?=??+≤?。 解: 0
0,
01lim ()lim sin 0x x f x x x α
αα++
→→>?==?
≤?
不存在,, (请你讲出理由) 0
lim ()lim()1x
x x f x e ββ--
→→=+=+, 且 (0)1f β=+ 所以,当0α>,且 1β=-时,()f x 在0x =的左,有极限存在且相等,并等于函数值,故函数在0
x =连续;
当0α>,且1β≠-时,()f x 在0x =间断,左,右极限存在但不相等,故属于跳跃间断点; 当0α≤时,()f x 在0x =左连续,右间断,故0x =属于第二类间断点。
例 (1998年考研题数二)求函数 tan()
4
()(1)
x
x f x x π
-=+在区间(0,2)π内的间断点,并判别其类型。
解: 当3,
4
22x π
ππ
-
=
时,使tan()4
x π
-
成为无穷大,没有定义,故37,44
x ππ
=
是()f x 的间断点; 因为 34
lim
0tan()
4x x x ππ
→
=-, 故 34
lim ()1x f x π→
=;
74
lim
0tan()
4
x x x ππ
→
=-, 故 34
lim ()1x f x π→
=,
所以,在间断点37,44
x ππ
=,函数()f x 的极限存在,是第一类间断点。 又因当0,4x π
π-
=时,tan()04x π
-=,使得
tan()4
x x π-没有定义,从而函数()f x 在这些点没有定义,因此5,44
x ππ
=也是函数()f x 的间断点。
4
lim
tan()
4
x x x π
π
→
=∞-, 故 4
lim ()x f x π
→
=∞;
54
lim
tan()
4
x x x ππ
→
=∞-, 故 54
lim ()x f x π→
=∞
所以,间断点5,44
x ππ
=属于第二类间断点。
例 (2001年考研题数二)求极限 sin sin sin lim sin x t x
t x t x -→??
???
,记此极限为()f x ,求出()f x 的间断点,并指出
其间断点的类型。
分析:本题不是单纯讨论间断问题,首先要计算一个极限,得出函数()f x 。
解: sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim lim 11lim 1sin sin sin x x x
t x
t x
t x
t x
t x
t x t t t x x x x ---→→→-??
????=+-=+
? ? ???
??
?
?
至此,可以看出这是一个1∞型的极限。这是我们已经很熟悉的问题了,做下去——
sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin lim 1lim 1sin sin x
x x
t x
t x x
t x t x t x t x x x ?
--→→--????+=+ ? ??
??
?sin ()x x
e
f x ==。
所以下面我们讨论函数 sin ()x x
f x e
=的间断点。
显然,使sin 0x =的点x 是使得()f x 没有定义的点,即,0,1,2,
x k k π==±±是()f x 的间断点。
因为 0
0lim ()lim
1sin x x x
f x x
→→==,
lim ()lim
,1,2,
sin x k x k x
f x k x
π
π→→==∞=±±,
所以,0x =是第一类间断点,而,1,2,
x k k π==±±是第二类间断点。
练习题3 设2tan ,01,0arcsin 2
x x ae x e y x x ?≤??
-=?>??? 在0x =处连续,求参数a 之值。
练习题4 设()bx x
f x a e
=
+在(,)-∞+∞上连续,且 lim ()0x f x →-∞=,则常数应满足( ): A .0,0a b <<; B. 0,0a b >>; C. 0,0a b ≤>; D. 0,0a b ≥<.
练习题5 (1995年考研题数二) 设()f x 和()g x 在(,)-∞+∞上有定义,()f x 为连续函数,且()0f x ≠, ()g x 有间断点,则( )
: A . (())g f x 必定有间断点; B. 2
[()]g x 必定有间断点; B . (())f g x 必定有间断点; D.
()
()
g x f x 必定有间断点。 (请你举出例子来验证你的结论)
练习题6 (1998年考研题数四)设函数21()lim
1n
n x
f x x →∞+=+,讨论()f x 的间断点,结论为( )
A .不存在间断点; B. 存在间断点1x =; C. 存在间断点0x =; D. 存在间断点1x =-