(新)高中数学2_1_3超几何分布学案新人教B版选修2-3

2.1.3 超几何分布

1.理解超几何分布及其推导过程.(重点、难点)

2.能用超几何分布解决一些简单的实际问题.(难点)

[基础·初探]

教材整理 超几何分布

阅读教材P 44～P 45例1以上部分，完成下列问题.

设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件(n ≤N )，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为P (X ＝m )＝C m M C n －m

N －M

C n

N (0≤m ≤l ，l 为n 和M 中较小的一个)，则称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布.

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)超几何分布的模型是不放回抽样.(√)

(2)超几何分布的总体里可以有两类或三类特点.(×) (3)超几何分布中的参数是N ，M ，n .(√)

(4)超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成.(√)

2.设10件产品中有3件次品，现从中抽取5件，则C 23C 3

7

C 510表示( )

A.5件产品中有3件次品的概率

B.5件产品中有2件次品的概率

C.5件产品中有2件正品的概率

D.5件产品中至少有2件次品的概率

【解析】 根据超几何分布的定义可知C 2

3表示从3件次品中任选2件，C 3

7表示从7件正品中任选3件，故选B.

【答案】 B

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：

[小组合作型]

超几何分布概率公式的应用

从放有10个红球与15个白球的暗箱中，随意摸出5个球，规定取到一个白球

得1分，一个红球得2分，求某人摸出5个球，恰好得7分的概率.

【精彩点拨】 摸出5个球得7分，即摸出2个红球，3个白球，然后利用超几何分布的概率公式求解即可.

【自主解答】 设摸出的红球个数为X ，则X 服从超几何分布，其中N ＝25，M ＝10，n ＝5，由于摸出5个球，得7分，仅有两个红球的可能，那么恰好得7分的概率为P (X ＝2)＝C 2

10C 3

15

C 525

≈0.385，

即恰好得7分的概率约为0.385.

1.解答此类问题的关键是先分析随机变量是否满足超几何分布.若满足，则直接利用公式解决；若不满足，则应借助相应概率公式求解.

2.注意公式中M ，N ，n 的含义.

[再练一题]

1.在8个大小相同的球中，有2个黑球，6个白球，现从中取3个，求取出的球中白球个数X 的分布列.

【解】 X 的可能取值是1,2,3. P (X ＝1)＝C 1

6·C 2

2C 38＝3

28；

P (X ＝2)＝C 2

6·C 1

2C 38＝15

28；

P (X ＝3)＝C 3

6·C 0

2C 38＝5

14

.

故X 的分布列为

X 1 2 3 P

328

1528

514

超几何分布的分布列

袋中有4个红球，3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从袋中随机抽取球，设

取到一个红球得2分，取到一个黑球得1分，从袋中任取4个球.

(1)求得分X 的分布列； (2)求得分大于6分的概率.

【精彩点拨】 写出X 的可能值→求出每个X 对应的概率→写出分布列 【自主解答】 (1)从袋中任取4个球的情况为：1红3黑，2红2黑，3红1黑，4红，共四种情况，得分分别为5分，6分，7分，8分，故X 的可能取值为5,6,7,8.

P (X ＝5)＝C 14C 3

3C 47＝4

35，

P (X ＝6)＝C 24C 23C 47＝18

35，

P (X ＝7)＝C 34C 13C 47＝12

35，

P (X ＝8)＝C 44C 47＝1

35.

故所求分布列为

X 5 6 7 8 P

435

1835

1235

135

(2)根据随机变量的分布列可以得到大于6分的概率为P (X >6)＝P (X ＝7)＋P (X ＝8)＝

12

35＋135＝1335

.

求超几何分布的分布列时，关键是明确随机变量确实服从超几何分布及随机变量的取值，分清其公式中M ，N ，n 的值，然后代入公式即可求出相应取值的概率，最后写出分布列.

[再练一题]

2.在本例中，设X 1为取得红球的分数之和，X 2为取得黑球的分数之和，X ＝|X 1－X 2|，求X 的分布列.

【解】 从袋中任取4个球的情况为： 1红3黑，X 1＝2，X 2＝3，X ＝1； 2红2黑，X 1＝4，X 2＝2，X ＝2； 3红1黑，X 1＝6，X 2＝1，X ＝5； 4红，X 1＝8，X 2＝0，X ＝8.

P (X ＝1)＝C 14C 3

3C 47＝435，P (X ＝2)＝C 24C 2

3C 47＝18

35，

P (X ＝5)＝C 34C 1

3C 47＝1235，P (X ＝8)＝C 4

4C 47＝1

35.

故所求的分布列为：

X 1 2 5 8 P

4

35

1835

1235

135

[探究共研型]

超几何分布的综合应用

探究 从含有5件次品的100件产品中任取3件.这100件产品可分几类？取到的次品数X 的取值有哪些？求次品数X ＝2的概率.

【提示】 产品分两类：次品和非次品；X 取值为：0,1,2,3；P (X ＝2)＝C 25C 1

95

C 3100

.

在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元

的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品.

(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列； (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张， ①求顾客乙中奖的概率；

②设顾客乙获得的奖品总价值为Y 元，求Y 的分布列.

【精彩点拨】 (1)从10张奖券中抽取1张，其结果有中奖和不中奖两种，故X ～(0,1).(2)从10张奖券中任意抽取2张，其中含有中奖的奖券的张数X (X ＝1,2)服从超几何分布.

【自主解答】 (1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况.

P (X ＝1)＝C 1

4C 110＝410＝25，则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝3

5.

因此X 的分布列为

X 0 1

P

35 25

2张奖券中有1张中奖或2张都中奖.

故所求概率P ＝C 14C 1

6＋C 24C 0

6C 2

10＝3045＝2

3. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且 P (Y ＝0)＝C 04C 2

6C 210＝1545＝13，P (Y ＝10)＝C 13C 1

6C 210＝1845＝2

5，

P (Y ＝20)＝C 23C 0

6C 210＝345＝115，P (Y ＝50)＝C 11C 1

6C 210＝645＝2

15，

P (Y ＝60)＝C 11C 13C 210＝345＝1

15.

因此随机变量Y 的分布列为

Y 0 10 20 50 60 P

13

25 115

215

115

解决超几何分布问题的两个关键点

(1)超几何分布是概率分布的一种形式，一定要注意公式中字母的范围及其意义，解决问题时可以直接利用公式求解，但不能机械地记忆.

(2)超几何分布中，只要知道M ，N ，n ，就可以利用公式求出X 取不同k 的概率P (X ＝k )，从而求出X 的分布列.

[再练一题]

3.现有10张奖券，其中8张1元，2张5元，从中同时任取3张，求所得金额的分布列.

【解】 设所得金额为X ，X 的可能取值为3,7,11. P (X ＝3)＝C 3

8C 310＝715，P (X ＝7)＝C 28C 1

2C 310＝715，

P (X ＝11)＝C 1

8·C 2

2C 310＝1

15.

故X 的分布列为

X 3 7 11 P

7

15

715

115

[构建·体系]

1.今有电子元件50个，其中一级品45个，二级品5个，从中任取3个，出现二级品的

概率为( )

A.C 3

5

C 350 B.C 12＋C 25＋C 3

5C 3

50 C.1－C 345

C 350

D.C 15C 2

5＋C 25C 1

45C 3

50

【解析】 出现二级品的情况较多，可以考虑不出现二级品概率为C 3

45C 350，故答案为1－C 3

45

C 350.

【答案】 C

2.一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则恰好取到1件次品的概率为( )

【导学号：62980038】

A.28

45 B.1645 C.1145

D.1745

【解析】 由题意知10件产品中有2件次品，故所求概率为P (X ＝1)＝C 12C 1

8C 210＝16

45.

【答案】 B

3.一个盒子里装有大小相同的红球，白球共30个，其中白球4个.从中任取两个，则概率为C 1

26C 1

4＋C 2

4

C 2

30

的事件是( ) A.没有白球 B.至少有一个白球 C.至少有一个红球 D.至多有一个白球

【解析】 C 1

26C 1

4＋C 2

4C 2

30＝C 1

26C 1

4C 230＋C 2

4

C 230

表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概

率，即至少有一个白球的概率.

【答案】 B

4.某10人组成兴趣小组，其中有5名团员，从这10人中任选4人参加某种活动，用X 表示4人中的团员人数，则P (X ＝3)＝________.

【解析】 P (X ＝3)＝C 35C 1

5C 410＝5

21.

【答案】

521

5.在一次英语口语考试中，有备选的10道试题，已知某考生能答对其中的8道试题，规定每次考试都从备选题中任选3道题进行测试，至少答对2道题才算合格，求该考生答对试题数X 的分布列，并求该考生合格的概率.

【解】 X 可以取1,2,3.P (X ＝1)＝C 1

8·C 2

2C 310＝1

15，

P (X ＝2)＝C 2

8·C 1

2C 310＝715，P (X ＝3)＝C 3

8·C 02C 310＝7

15.

所以X 的分布列为：

该考生合格的概率为P (P (X ＝3)＝715＋715＝1415

.

学业分层测评 (建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1.一个袋中有6个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5,6，还有4个同样大小的白球，编号为7,8,9,10.现从中任取4个球，有如下几种变量：

①X 表示取出的最大号码； ②X 表示取出的最小号码；

③取出一个黑球记2分，取出一个白球记1分，X 表示取出的4个球的总得分； ④X 表示取出的黑球个数.

这四种变量中服从超几何分布的是( ) A.①② B.③④ C.①②④

D.①②③④

【解析】 由超几何分布的概念知③④符合，故选B.

【答案】 B

2.某校从学生会中的10名女生干部与5名男生干部中随机选取6名学生干部组成“文明校园督察队”，则组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为( )

A.C 6

15

A 615 B.C 310C 3

5C 615 C.C 4

10C 25C 615

D.C 4

10A 2

5A 615

【解析】 组成4女2男的“文明校园督察队”的概率为C 4

10C 2

5

C 615.

【答案】 C

3.一个盒子里装有相同大小的10个黑球、12个红球、4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X ，则下列概率等于C 1

22C 1

4＋C 2

22

C 2

26

的是( ) A.P (0

D.P (X ＝2)

【解析】 结合题意，当X ＝1时，P (X ＝1)＝C 1

22C 1

4

C 226，

当X ＝0时，P (X ＝0)＝C 2

22

C 226，

故P (X ≤1)＝C 1

22C 1

4＋C 2

22

C 2

26 【答案】 B

4.设袋中有80个球，其中40个红球，40个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中任取两球，则所取的两球同色的概率为( )

【导学号：62980039】

A.3979

B.180

C.12

D.

4181

【解析】 由题意知所求概率为P ＝C 2

40＋C 2

40C 280＝39

79.

【答案】 A

5.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，下列概率等于C 47C 6

8

C 1015

的是( )

A.P (X ＝2)

B.P (X ≤2)

C.P (X ＝4)

D.P (X ≤4)

【解析】 15个村庄中，7个村庄交通不方便，8个村庄交通方便，C 47C 6

8表示选出的10个村庄中恰有4个交通不方便，6个交通方便的村庄，故P (X ＝4)＝C 47C 6

8

C 1015

.

【答案】 C 二、填空题

6.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，若设X 表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数，则P (X ＝1)＝________.

【解析】 X ＝1表示的结果是抽取的2台彩电有甲型和乙型彩电各一台，故所求概率P (X ＝1)＝C 13C 1

2C 25＝35

.

【答案】 3

5

7.某导游团由外语导游10人，其中6人会说日语，现要选出4人去完成一项任务，则有2人会说日语的概率为________.

【解析】 有两人会说日语的概率为C 26C 2

4C 410＝3

7.

【答案】 3

7

8.在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期.从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过了保质期饮料的概率为________.(结果用最简分数表示)

【解析】 从这30瓶饮料中任取2瓶，设至少取到1瓶已过了保质期饮料为事件A ，则P (A )＝C 1

27C 1

3C 230＋C 2

3C 230＝28

145

.

【答案】

28145

三、解答题

9.(2016·大庆高二模拟)某校组织一次冬令营活动，有8名同学参加，其中有5名男同学，3名女同学，为了活动的需要，要从这8名同学中随机抽取3名同学去执行一项特殊任务，记其中有X 名男同学.

(1)求X 的分布列；

(2)求去执行任务的同学中有男有女的概率.

【解】 (1)X 的可能取值为0,1,2,3.根据公式P (X ＝k )＝C k M C n －k

N －M

C n N

，k ＝0,1,2，…，m ，

其中m ＝min{M ，n }算出其相应的概率.

即X 的分布列为

(2)去执行任务的同学中有男有女的概率为P ＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝1556＋1528＝45

56.

10.袋中装着标有数字1,2,3,4,5的小球各2个，从袋中任取3个小球，按3个小球上最大数字的9倍计分，每个小球被取出的可能性都相等，用X 表示取出的3个小球上的最大数字.求：

(1)取出的3个小球上的数字互不相同的概率； (2)随机变量X 的概率分布；

(3)计算介于20分到40分之间的概率.

【解】 (1)“一次取出的3个小球上的数字互不相同”的事件记为A ，则P (A )＝C 35C 12C 12C 1

2

C 3

10

＝23

. (2)由题意，X 所有可能的取值为2,3,4,5. P (X ＝2)＝C 22C 1

2＋C 12C 2

2C 3

10＝1

30； P (X ＝3)＝C 24C 1

2＋C 14C 2

2C 3

10＝2

15； P (X ＝4)＝C 26C 1

2＋C 16C 2

2C 3

10＝3

10； P (X ＝5)＝C 28C 1

2＋C 18C 2

2C 3

10＝8

15. 所以随机变量X 的概率分布为

(3)一次取球得分介于20分到40分之间的事件记为C ，P (C )＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝2

15＋

310＝1330

. [能力提升]

1.从一批含有13件正品，2件次品的产品中，不放回地任取3件，则取出的产品中无次品的概率为( )

A.2235

B.1235

C.135

D.3435

【解析】 设随机变量X 表示取出次品的件数， 则P (X ＝0)＝C 02C 3

13C 315＝22

35.

【答案】 A

2.盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么3

10等于( )

A.恰有1只是坏的概率

B.恰有2只是好的概率

C.4只全是好的概率

D.至多有2只是坏的概率

【解析】 恰好2只是好的概率为P ＝C 23C 2

7C 410＝3

10.

【答案】 B

3.设某10件产品中含有a 件次品，从中任取7件产品，其中含有的次品数为X ，若X 的可能取值中的最小值为2，则a ＝__________.

【导学号：62980040】

【解析】 取出的7件产品中，要使所含的次品数最小，只需将10－a 件正品都取出，然后再取2件次品即可，故(10－a )＋2＝7，解得a ＝5.

【答案】 5

4.高三(1)班的联欢会上设计了一项游戏：在一个口袋中装有10个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同，现一次从中摸出5个球.

(1)若摸到4个红球，1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率； (2)若至少摸到3个红球就中奖，求中奖的概率.

【解】 (1)若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布(N ＝30，M ＝10，n ＝5)，由公式得，

P (X ＝4)＝C 4

10C 5－4

20C 530＝100

3 393≈0.029 5，

所以获一等奖的概率约为0.029 5.

(2)根据题意，设随机变量X 表示“摸出红球的个数”， 则X 服从超几何分布(N ＝30，M ＝10，n ＝5).

X 的可能取值为0,1,2,3,4,5，根据公式可得至少摸到3个红球的概率为：

P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＋P (X ＝5)＝C 3

10C 2

20C 530＋C 4

10C 1

20C 530＋C 5

10C 0

20

C 530≈0.191 2，

故中奖的概率约为0.191 2.