上海七年级知识点整理

注意：红色为易错点、蓝色为难点、其余为重点

第九章整式

知识梳理

一、代数式的有关概念

（1）代数式的分类

单项式

整式多项式

代数式分式

（2）整式：没有除法运算或虽有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式。

二、同类项、合并同类项

所含的字母相同并且字母的指数也分别相同的单项式叫做同类项。

把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项，合并的法则是系数相加，所得的结果作为合并后的系数，字母和字母的指数不变。

三、去括号与添括号

（1）去括号法则：括号前是“+”号，去掉括号和它前面的“+”号，括号里各项都不改变符号；括号前是“-”，去掉括号和它前面的“-”号，括号里各项都改变符号。

（2）添括号法则：添括号，括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号，括号前面是“-”，括到括号里的各项都改变符号。

四、整式的运算

（1）数的运算律对代数式同样适用。

（2）整式的加减：整式的加减法实际上就是合并同类项，遇到括号，一般要先去掉括号，去括号的方法是：

c

b a

c b a c

b a

c b a +--=-+--+=-++)()(

（3）幂的运算法则

同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即： 都是整数）、n m a a a n m n m (+=

幂的乘方，底数不变，指数相乘。即：都是整数）、（）（。n m a a n

m n m =

积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。即

为整数）n b a ab n n n ()(=

同底数幂相除，底数不变，指数相减。即都为整数）n m a a a a n m n m ,,0(≠=÷- （4）整式的乘法

单项式与单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式，只有一个单项式

里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。

单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。

即mc mb ma c b a m ++=++)(

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘以另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即nb na mb ma b a n m +++=++))(( （5）乘法公式

平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差，即：

22))((b a b a b a -=-+

完全平方公式 两数和（或差）的平方，等于它的平方和加上（或者减去）它们积的2倍，即：

2222)(b ab a b a +±=±

五、因式分解

把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式。 六、因式分解的基本方法

（1）提取公因式法：如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，即：)(c b a m mc mb ma ++=++ （2）运用公式法：把乘法公式反过来对某些多项式分解因式，

即：22222)(2);)((b a b ab a b a b a b a ±=+±-+=-

（3）十字相乘法：pq x q p x +++)(2型式子的因式分解，

即：

)

)(()()()()()(222q x p x p x q p x x pq qx px x pq qx px x pq x q p x ++=+++=+++=+++=+++

（4）分组分解法：利用分组来分解因式的方法。①分组后能直接提公因式；②分组后能直接运用公式；

七、因式分解的一般步骤

（1）多项式的各项有公因式时，先提公因式。

（2）各项没有公因式时，要看看能不能用公式法来分解。 （3）如果用上述方法不能分解因式，再看能不能运用分组分解法。 （4）分解因式，必须进行到每一个多项式都不能再分解为止。 八、整式的除法

单项式除以单项式，把系数、同底数幂相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。

多项式除以单项式，把这个多项式的每一项除以这个单项式，然后把所得的商相加。

第十章 分式

知识梳理

（一）知识要点： 1. 分式的概念：

A 、

B 表示两个整式，A ÷B （B ≠0）可以表示为B A

的形式，如果B 中含有字母，那么我们把式子B A

（B ≠0）叫分式，其中A 叫分子，B 叫分母。

关于分式概念的两点说明：

i ）分式的分子中可以含有字母，也可以不含字母，但分母中必须含有字母，这是分式与整式的根本区别。

ii ）分式中的分母不能为零，是分式概念的组成部分，只有分式的分母不为零，分式才有意义，因此，若分式有意义，则分母的值不为零（所谓分母的值不为零，就是分母中字母不能取使分母为零的那些值）反之，分母的值不为零时，分式有意义。 2. 分式的值为零

分式的值为零?

?

?分子的值等于零分母的值不等于零

3. 有理式的概念

???????

?分式多项式

单项式整式有理式

4. 分式的基本性质

（1）分式的分子、分母乘同一个不等于零的整式，分式的值不变。

即)0(≠??=M M B M A B A

（2）分式的分子、分母除以同一个不等于零的整式，分式的值不变。

即)0(≠÷÷=M M B M A B A

注：

（1）分式的基本性质表达式中的M 是不为零的整式。

（2）分式的基本性质中“分式的值不变”表示分式的基本性质是恒等变形。

5. 分式的符号法则：分式的分子、分母和分式本身的符号，改变其中的任何两个，分式的值不变。

6. 约分：把分式中分子和分母的公因式约去，叫约分。

注：约分的理论依据是分式的基本性质。 约分后的结果不一定是分式。

约分的步骤：

（1）分式的分子、分母能分解因式的分解因式写成积的形式。 （2）分子、分母都除以它们的公因式。

7. 最简分式：如果一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式就叫最简分式。 8. 分式的运算：

（1）分式乘法：ac bd c

d a b =

? （2）分式除法：ad bc d c a b c

d a b =

?=÷ 注：

i ）分式的乘除法运算，归根到底是乘法运算。 ii ）分式的乘法运算，可以先约分，再相乘。

iii ）分式的分子或分母是多项式的先分解因式，再约分，再相乘。

（3）乘方：n

n n

a b a b =??

?

??（n 为正整数） （4）通分：在不改变分式的值的情况下，把几个异分母的分式化为同分母分式的变形

叫通分。

注：分式通分的依据是分式的基本性质。

最简公分母：几个分式中各分母的数字因数的最小公倍数与所有字母（因式）的最高次幂的积叫这几个分式的最简公分母。

（5）分式的加减法：

同分母：

m b a m b m a ±=± 异分母：mn bm an mn

bm mn an n b m a ±=

±=± （6）混合运算：做分式的混合运算时，先乘方，再乘除，最后再加减，有括号先算括

号内的。

9. 分式方程：分母里含有未知数的方程叫分式方程。

注：分母中是否含有未知数是分式方程与整式方程的根本区别，分母中含未知数就是分式方程，否则就为整式方程。 10. 列分式方程的一般步骤：

（1）方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程。 （2）列整式方程，求得整式方程的根。

（3）验根：把求得的整式方程的根代入A ，使最简公分母等于0的根是增根，否则是原方程的根。

（4）确定原分式方程解的情况，即有解或无解。 11. 增根的概念：在分式方程去分母转化为整式方程的过程中，可能会增加使原分式方程中分式的分母为零的根，这个根叫原方程的增根，因此列分式方程一定要验根。

注：增根不是解题错误造成的。

12. 列方程解应用题步骤：审、设、列、解、验、答。 13、整数的负指数幂及其运算 零指数和负整数指数 规定为正整数）

p a a a a p

p ,0(1

,10≠=

=- 第十一章 图形的平移与旋转

知识梳理

1.图形的平移

(1) 平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运

动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．

注意:①平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形

在同一平面内的变换．

②图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的依据．

③图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．

（2）平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一

个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等． 注意：①要正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．

②“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．

（3）简单的平移作图

平移作图：确定一个图形平移后的位置所需条件为：①图形原来的位置；②平移

的方向；③平移的距离．

2. 图形的旋转

（1）旋转的概念：图形绕着某一点（固定）转动的过程，称为旋转，这一固定点叫做

旋转中心。理解旋转这一概念应注意以下两点：①旋转和平移一样是图形的一种基本变换；②图形旋转的决定因素是旋转中心和旋转的角度．

（2）旋转的基本性质：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了同样大小的角度，对应

点到旋转中心的距离相等，对应线段、对应角都相等，图形的形状、大小都不发生变化．

（3）简单图形的旋转作图

两种情况：①给出绕着旋转的定点，旋转方向和旋转角的大小；

②给出定点和图形的一个特殊点旋转后的对应点．

作图步骤：①作出图形的几个关键点旋转后的对应点；

②顺次连接各点得到旋转后的图形．

（4）图案设计：图案的设计是由基本图形经过适当的平移、旋转、轴对称等图形的变

换而得到的。其中中心对称是旋转变换的一种特例。

旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角.（旋转角

00< <3600）.

中心对称图形：如果把一个图形绕着一个定点旋转1800后，与初始图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心.

3.图形的翻折

图形的翻折

1、轴对称图形：把一个图形沿某一条直线翻折过来，直线两旁的部分能够相互重合，这个

图形叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴。

2、如果把一个图形沿某一条直线翻折，能与另一个图形重合，那么叫做这两个图形关于这

条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对应点。

第十二章实数

知识梳理

1.为什么学平方根、立方根：

2.算术平方根的概念：

3.算术平方根具有非负性：

4.平方根的概念：

5.平方根的特性：

6.开平方：

7.立方根概念：

8.立方根的特性：

9.开立方：

10.实数的意义：

11.实数的分类：

12.实数范围内求相反数、倒数、绝对值：

13.实数与数轴上的点是一一对应的：

14.分数指数幂

知识归纳

一.实数的概念：

1.数的分类及概念

数系表：

实数

无理数(无限不循环小数) 正分数负分数正整数0

负整数

(有限或无限循环性数) 整数

分数

说明：“分类”的原则：1）相称（不重、不漏）

2）有标准

2．非负数：

正实数与零的统称。（表为：x ≥0）

常见的非负数有：

性质：若干个非负数的和为0，则

每个非负数均为0。

3．数轴：①定义（“三要素”）

②作用：A.直观地比较实数的大小;B.明确体现绝对值意义;C.建立点与实数的一一

对应关系。 二.实数的运算 (1)加法

同号两数相加，取原来的符号，并把绝对值相加；

异号两数相加。取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值； 任何数与零相加等于原数。 (2)减法 a-b=a+(-b) (3)乘法

两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；零乘以任何数都得零．即

??

?

???-?=)(0),(||||),(||||为零或异号同号b a b a b a b a b a ab

(4)除法

)0(1

≠?=b b a b a (5)乘方

个

n n

a aa a = (6)开方 如果x 2＝a 且x ≥0，那么a ＝x ； 如果x 3

=a ，那么x a =3

在同一个式于里，先乘方、开方，然后乘、除，最后加、减．有括号时，先算括号里面．

3．实数的运算律

(1)加法交换律 a+b ＝b+a

(2)加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c) (3)乘法交换律 ab ＝ba ． (4)乘法结合律 (ab)c=a(bc) (5)分配律 a(b+c)=ab+ac

其中a 、b 、c 表示任意实数．运用运算律有时可使运算简便．

0 实数

负数

整数

分数 无理数

有理数

正数

整数

分数

无理数

有理数

│a │ 2

a a (a ≥0)

(a 为一切实数)

第十三章相交线与平行线

知识梳理

1、相交直线：只有一个交点

邻补角

对顶角

斜交-----角平分线

垂直-----垂直的基本性质

-----点到直线的距离

-----线段的垂直平分线

两条直线被第三条直线所截-----同位角 -----内错角

-----同旁内角

2、平行直线：没有交点

平行线的性质定理

平行线的判定定理

①平行线：在同一平面内，__________的两条直线叫做平行线。

②在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：__________。相交时，对顶角相等。

③平行线的判定：

（1）同位角__________，两直线平行。

（2）内错角相等，两直线__________。

（3）同旁内角__________，两直线平行。

（4）平行（或垂直）于同一直线的两直线__________。

④平行线的性质：（1）经过直线外一点，有且只有________条直线与这条直线平行。

（2）两直线平行，同位角__________。

（3）两直线平行，内错角__________。

（4）两直线平行，同旁内角__________．

（5）一条直线和两条平行线中的一条垂直（或平行），这条直线也和__________垂直（或平行）．

（6）平行线间的距离处处__________。

（7）经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分__________。

考点透视

1、了解直线、线段和射线等概概念的区别，两条相交直线确定一个交点，了解线段和与差及线段的中点、两点间的距离、角、周角、平角、直角、锐角、钝角等概念，掌握两点确定一条直线的性质，角平分线的概念，度、分、秒的换算，几何图形的符号表示法，会根据几何语句准确、整洁地画出相应的图形；

2、了解斜线、斜线段、命题、定义、公理、定理及平行线等概念，了解垂线段

最短的性质，平行线的基本性质，理解对顶角、补角、邻补角的概念，理解对顶角的性质，同角或等角的补角相等的性质，掌握垂线、垂线段、点到直线的距离等概念，会识辨别同位角、内错角和同旁内角，会用一直线截两平行线所得的同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等性质进行推理和计算，会用同位角相等、内错角相等、或同旁内角互补判定两条直线平行。

第十四章全等三角形

知识梳理

一、全等三角形概念与性质：

1、全等形：能够重合的两个图形叫做全等形。

（1）在数学上，两个图形可以完全重合，或者说两个物体大小、形状完全相等，那么这两个物体全等。“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”。

（2）一个图形经过翻折、平移和旋转变换所得到的新图形一定与原图形全等。

反过来，两个全等的图形经过上述变换后一定可以互相重合。

（3）两个多边形全等，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合角的叫对应角。

2、两个三角形是全等形，就说它们是全等

．．．。

．．三角形

两个全等三角形，经过运动后一定重合，互相重合的顶点叫做对应顶点

．．．．；互相重合的边

叫做对应边

．．．。

．．．；互相重合的角叫做对应角

3、全等三角形的性质：两个三角形的三组对应边相等、三组对应角相等。

推出：（1）周长相等（2）面积相等

二、全等三角形的判定定理：

边角边公理（SAS）：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等

角边角公理（ASA）：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等

角角边公理 (AAS)：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等

边边边公理 (SSS)：三边对应相等的两个三角形全等

注意：在全等的判定中，没有AAA和SSA，这两种情况都不能唯一确定三角形的形状。

第十四章三角形

知识梳理

⒈三角形的定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.

⒉三角形的分类：

直角三象形

(1)按角分类：

(2)按边分类：

等腰三角形的性质：

①等腰三角形的两个底角相等.(简写成“等边对等角”)

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称“等腰三角形的三线合一”.

③等腰三角形是轴对称图形，顶角平分线所在的直线为对称轴.

等腰三角形的判定：

①有两条边相等的三角形是等腰三角形 ——等腰三角形的定义

②等角对等边。

⒊ 三角形的主要线段的定义：

(1)三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线和这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三象形的角平分线.

(2)三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点和它的对边中点的线段叫做三角形的中线. (3)三角形的高：从三角形一个顶点向它的对边画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高. 4.三角形的高

请你在图中画出△ABC 的一条高并说说你画法。

D C

B A

从△ABC 的顶点A 向它所对的边BC 所在的直线画垂线，垂足为D ，所得线段AD 叫

做△ABC 的边BC 上的高，表示为AD ⊥BC 于点D 。

注意：高与垂线不同，高是线段，垂线是直线。

A B

C D

E 图1 图2

三角形 等腰三角形 不等边三角形

底边和腰不相等的等腰三角形

等边三角形

三角形的三条高相交于一点

如果△ABC 是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？ 现在我们来画钝角三角形三边上的高，如图。

显然，上面的结论成立。

请你画一个直角三角形，再画出它三边上的高。 上面的结论还成立。 5.三角形的中线

如图，我们把连结△ABC 的顶点A 和它的对边BC 的中点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的边BC 上的中线，表示为BD=DC 或BD=DC ＝1/2BC 或2BD=2DC=BC.

D C

B

A

请你在图中画出△ABC 的另两条边上的中线，看看有什么发现？ 三角的三条中线相交于一点

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。 上面的结论还成立。 6.三角形的角平分线

如图，画∠A 的平分线AD ，交∠A 所对的边BC 于点D ，所得线段AD 叫做△ABC 的角平分线,表示为∠BAD=∠CAD 或∠BAD=∠CAD ＝1/2∠BAC 或2∠BAD=2∠CAD ＝∠BAC 。

21

D C

B A

思考：三角形的角平分线与角的平分线是一样的吗？

三角形的角平分线是线段，而角的平分线是射线，是不一样的。 请你在图中再画出另两个角的平分线，看看有什么发现？ 三角形三个角的平分线相交于一点

如果三角形是直角三角形、钝角三角形，上面的结论还成立吗？请画图回答。 上面的结论还成立。

想一想：三角形的三条高、三条中线、三条角平分线的交点有什么不同？

A B C

O

D

E

F

三角形的三条中线的交点、三条角平分线的交点在三角形的内部，而锐三角形的三条高的交点在三角形的内部，直角三角形三条高的交战在角直角顶点，钝角三角形的三条高的交点在三角形的外部。

7.三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180?;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

8.三角形的边与边之间的关系：

(1)三角形两边的和大于第三边；

(2)三角形两边的差小于第三边；

⒎三角形的角与角之间的关系：

(1)三角形三个内角的和等于180?;

(2)三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；

(3)三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

(4)直角三角形的两个锐角互余.

第十五章平面直角坐标系

知识梳理

1、平面直角坐标系的有关概念：

2、如何建立平面直角坐标系？

①在平面内取互相垂直有公共原点的两条数轴；

②取向右，向上的方向为正方向；

③两条数轴的单位长度相同。

3、平面内的每一点都对应有惟一的有序实数对。

4、各象限内点的特点：

注意：x轴、y轴不属于任何象限，原点O既在x轴上又在y轴上。

5、点P（a，b）到x轴的距离为|b|，到y轴的距离为|a|。

6、特殊位置的点的坐标的特征：

（1）坐标轴上的点：

①点P的坐标为（a，0）?点P在x轴上；

② 点P 的坐标为（0，b ）?点P 在y 轴上； （2）各象限内的点：

① 点P )b ,a (在第一象限?0b ,0a >>； ② 点P （a ，b ）在第二象限?0b ,0a ><； ③ 点P （a ，b ）在第三象限?0b ,0a <<； ④点P （a ，b ）在第四象限?0b ,0a <>； 7、具有特殊位置关系的两点之间的坐标关系；

（1）关于坐标轴或原点对称的两点，根据对称的性质，如图4，有 ① 点P （a ，b ）关于x 轴对称点坐标为)b ,a (P 1-； ② 点P （a ，b ）关于y 轴对称点坐标为)b ,a (P 2-； ③ 点P （a ，b ）关于原点对称点坐标为3P （b ,a --）。

（2）连线平行于坐标轴的两点，连线平行于x 轴的两点的纵坐标相同，连线平行于y 轴的两点的横坐标相同。 8、在平面直角坐标系中，

（1）将点)y ,x (向右（或左）平移a 个单位长度，可以得到对应点)y ,a x (+（或)y ,a x (-）； （2）将点)y ,x (向上（或下）平移b 个单位长度，可以得到对应点))b y ,x ()(b y ,x (-+或。其中，0b ,0a >>