云南自驾游最优路线设计

云南自驾游最优路线设计

摘要：大众旅游时代的到来，使旅游日益成为现代人类社会主要的生活方式和社会经济活动，旅游业以其强劲的势头成为全球经济产业中最具活力的“朝阳产业”。随着社会生产力不断发展，劳动生产率不断提高，以及人们生活水平的迅速提高和带薪假期的增加，旅游业将持续高速度发展，成为世界最重要的经济部门之一。

目前旅游业在我省得到了迅速健康的发展，并极大的促进了我省经济的发展。随着我国国民可支配收入和闲暇时间的增多，国内旅游需求日益扩大。这将为我省旅游业提供更大的发展空间。本文对云南几大著名旅游景区的消费等方面进行了讨论，在满足相关约束条件的情况下，设计线路最短、费用最低的旅游线路。基于对此的研究，建立数学模型（运用图论模型得出最短路程，再运用非线性规划软件进行求解），从而设计出最佳的旅游路线。

关键词：最短路线最少费用最优设计 lingo求解决策变量

一、问题重述

云南是我国的旅游大省，拥有丰富的旅游资源，吸引了大批的省外游客，旅游业正在成为云南的支柱产业。随着越来越多的人选择到云南旅游，旅行社也推出了各种不同类型的旅行路线，使得公众面临多条线路的选择问题。

问题：某一个从没有到过云南的人准备在假期带家人到云南旅游，预计从昆明出发，并最终返回昆明。请你选择以下两种旅行方式之一为他设计一条在云南旅游的最佳路线（要有清晰的评价说明）。

1、旅行者采取自驾游的旅行方式。

2、旅行者可以根据不同情况自由选择交通方式，比如乘飞机、乘汽车、乘火车。

二、问题分析

时间允许的情况下，着重分析昆明、楚雄、大理、丽江、香格里拉、临沧、思茅、西双版纳、玉溪、曲靖几大旅游景区之间的距离，找出最短的旅游路线达到用时最短，花钱最少的目的，由此得出最佳的旅游路线。根据（附录1）可大致得出云南各旅游景区分布图的距离赋权图（如图1所示）。进而得出最短旅游路线，运用非线性规划求出用时最短，花钱最少的旅游路线即可。

把每个旅游景区看作是图1中的顶点vi,i=1,2,…，10,把每个旅游景区间的公路看成边，两景区间的距离看作边上的权值，则云南的

旅游路线图可看成是一个赋权图或网络。求最佳旅游路线就转化成了对应旅游路线图中的闭路径。此题为一推销员问题，可将其转化为求一赋权完全图的最优哈密尔顿回路问题。

三、模型假设

1）我们只考虑这10个旅游景区的情况，到达每个旅游景区可以游览全部的旅游景点，也可以不全部游览，但游览景点总数不少于20；

2）假设旅游者在云南旅游的时间最多不超过一个月，时间不允许情况下不超过10天；

3）假定油价7.5元/升，每升油可供汽车行驶20公里；

4）没有阴雨天气，汽车匀速行驶，且时速为80公里/小时；

5）旅游者每次都能正确到达下一旅游景区，没有迷路的情况；

6）路上没有车抛锚现象，且不计加油时间；

7）在考虑最短路线时，所截取的路线均是直线，不涉及实际路线要求；

8）到达每个旅游景区只游览一次，可重复经过同一条路线；

9）忽略景区内4个景点间的距离，即：不计景点间的交通费；

10）本文只考虑自驾的旅游路线。

四、符号说明

i ,j ——第i 个或者第j 个景点，i ，j =1，2， (10)

分别表示昆明、楚雄、大理、丽江、香格里拉、临沧、思茅、西双版纳、玉溪、曲靖；

j i v v ,——网络中任意两个顶点；

ij d ——i v 到j v 的距离；

m i v ——第i 个景区的第m 个景点；

ij t ——表示从第i 个景区到第j 个景区路途中所需时间；

m i t ——表示旅游者在第i 个景区的第m 个景点的逗留时间；

i t ——表示旅游者在第i 个景区的逗留时间 ()k c ——任一条旅游路线； w ——每个旅游者的旅游总花费；

i w ——每个旅游者在第i 个景区的总消费；

m i w ——每个旅游者在第i 个景区的第m 个景点的总费用； ij w ——从第i 个景点到第j 个景点所需的交通费用；

?

??其他个景点旅游个景区的第旅游者到第01m i r m i ； ???=0

1ij r

其他个景点个景点到达第旅游者直接从第

j i 。 五、模型建立

方案一：消费最少路线。根据给定的时间约束，以费用最小为目

标，我们建立了一个最优规划模型。再根据引入的0—1变量表示是否游览某个景区，从而推出交通费用和景区花费的函数表达式，给出相应的约束条件，使用lingo 编程对模型求解，得到最优规划。

游览的总费用由2部分组成，分别为交通总费用和在旅游景点的花费。我们定义：

w ——每个旅游者的旅游总花费；

w '——每个旅游者在旅游景点的花费； w ''——每个旅游者的交通总费用；

从而得到目标函数： Min w ＝w ''＋w ' （1）旅游景区的总花费

因为i w ，

j w 表示旅游者在i 个景区和在第j 个景区的总消费，m i w ，m j w 表示旅游者在第i 个景区和在第j 个景区的第m 个景点的花费，m i r ，m j r 表示出旅游者是否去第i 个景区和在第j 个景区的第m 个景点

的0—1变量，则

∑==4

1

m m i m i i r w w ，∑==4

1

m m j m j j r w w ，

即旅游者在旅游景区的总花费为：

∑∑∑∑====??

? ??+??='1011014

14121i j m m j m j m m i m i ij r w r w r w

（2）交通总花费

由于ij w 表示从第i 个景区到第j 个景区所需的交通费用，而ij r 表示旅游者是否从第i 个景区直接到达第j 个景区的0—1变量，因此可以得到交通总费用为：

∑∑==?=''10110

1

i j ij ij w r w (ij j i t w 30=)

从而我们可以得到目标函数为：

Min w ＝w '＋w ''

＝∑∑==?10

110

1i j ij ij w r +∑∑∑∑====??

?

??+??1011014

14121i j m m j m j m m i m i ij r w r w r

①时间约束

时间包括在路途中需要的时间和在旅游景点逗留的时间。 因为ij t 表示从第i 个景区直达第j 个景区路途中所需时间，所以路途中所需总时间为∑∑==?10

110

1i j ij ij t r ；

i t 表示旅游者在第i 个景区的逗留时间， m i t ，m j t 表示旅游者在第

i 个景区和第j 个景区的第m 个景点的逗留时间，m i r ，m j r 表示出旅游

者是否去第i 个景区和第j 个景区的第m 个景点的0—1变量， 则 ∑==4

1m m i m i i t r t ，∑==4

1

m m j m j j t r t

故旅游者在旅游景区的总逗留时间为

∑∑∑∑====??

? ??+??1011014

14121i j m m j m j m m i m i ij t r t r r 因此，总的时间约束为：

∑∑==?10

110

1i j ij ij t r +∑∑∑∑====???

??+??101101414121i j m m j m j m m i m i ij t r t r r ≤240 ②旅游景区数约束

根据题目假设知，旅游者从昆明出发最终要回到昆明，整个旅游路线是环形，故旅游者旅游的景区数为∑∑==10

110

1i j ij r ，这里我们假定要旅

游的景区数为n （n =2，3，……，10）。 因此旅游景区数约束为：

∑∑==10

110

1i j ij r =n （n =2，3， (10)

③0——1变量约束

我们可以把所有的景区连成一个圈，而把每一个景区看做圈上一个点。对于每个点来说，只允许最多一条边进入，同样只允许最多一条边出来，并且只要有一条边进入就要有一条边出去。因此可得约束：

=

∑i

ij

r

1≤∑j

ij

r

（i ，j =1，2， (10)

当1=i 时，因为昆明是出发点，所以11

=∑=i ij r ；

当1=j 时，因为代表们最终要回到昆明，所以11

=∑=j ij r 。

综合以上可知，

=

∑i ij

r

1≤∑j

ij

r

（i ，j =1，2， (10)

11

=∑=i ij

r

11

=∑=j ij r

同样，当i ，2≥j 时，假设不可能出现1==ji ij r r ，即不可能出 现旅游者在两地间往返旅游，因为这样显然不满足游览景点尽量多的原则。因此我们可得约束：

0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (10)

综上所述，我们可以得到总的模型为：

Min w ＝w '＋w ''

＝∑∑==?10

110

1i j ij ij w r +∑∑∑∑====??

?

??+??1011014

14121i j m m j m j m m i m i ij r w r w r

约束条件：

1) ∑∑==?10110

1i j ij ij t r +∑∑∑∑====??

?

??+??1011014

14121i j m m j m j m m i m i ij t r t r r ≤240

2) ∑∑==10

110

1

i j ij r =n （n =2，3， (10)

3) =∑i

ij r 1≤∑j

ij r （i ，j =1，2， (10)

4) 11

=∑=i ij r 11

=∑=j ij r

5) 0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (10)

方案二：线路最短方案。放松时间约束，旅游者可以游遍所有的景区，该思路也就成了典型的推销员（TSP ）问题。以游览的景点多，用时最少，消费最低为目标，建立模型，使用lingo 软件求解得到最佳旅游路线。

要完成所有景区的旅游，而目标函数是求最少的交通费。由方案一的结论可知，旅游者所要出的总交通费用为：

∑∑==?=''10

110

1i j ij ij w r w （ij j i t w 30=）

因此，该问题的目标函数为：

Min ∑∑==?=''10

110

1i j ij ij w r w （ij j i t w 30=）

①时间约束

在这我们放松对时间的要求，我们不妨假定时间限制为一个月（720个小时），因此可得时间约束为：

∑∑==?10

110

1i j ij ij t r +∑∑∑∑====???

??+??101101414121i j m m j m j m m i m i ij t r t r r ≤720 ②旅游景区数约束

假定旅游者时间充裕，因此旅游者可以游览完全部10个景区。由方案一知道∑∑==10

110

1i j ij r 表示旅游者游览的景区总数，因此该约

束为：

1010

110

1=∑∑==i j ij r (i ，j =1，2， (10)

③旅游景点数约束

假定在旅游者游览10个景区的前提下必须游览的总景点数必须不小于于20，因为m i r 表示出旅游者是否去第i 个景区的第m 个景点的0—1变量，故得到此约束为：

2010

14

1≥∑∑=-i m m i r ;

总的旅游景区有10个，而一个景区有4个景点，所以旅游者游览的景点数不会超过40，即又得约束为：

401014

1

≤∑∑=-i m m

i r

.

④0——1变量约束

根据假设，整个旅游路线是环形，即最终旅游者要回到昆明，因此我们可以把整个路线看做一个Hamilton （哈密尔顿）圈，这样该问题就归结为货郎担（TSP ）（哈密尔顿）问题，当然前提是我们已经知道了要旅游所有的景点。因此，对于Hamilton 圈中的每个点来说，只允许有一条边进入，同样，也只允许有一条边出去。问题的重点在于找出最小权Hamilton 圈，称这种圈为最优圈（H 圈）。

设G=（V （G ）,E(G)）是一无向连通图，其中

),,,,,,,,,()(10987654321v v v v v v v v v v H V =，),,,,,,,,,()(10987654321e e e e e e e e e e H E =，

我们将无向网络用三角不等式法转化为最优哈密尔顿回路（如图2所示）。

由附录4可知97101243568e e e e e e e e e >>>>>>>>>，则圈j i G 将是圈G 的一个改进。

e10

e9e8

e7

e6

e5

e4

e3e2

e1

v6

v8

v7v9

v10

v1

v2

v3

v4v5

图1 各旅游景区分布及距离赋权图

),,...,,,()(121in i i i n v v v v v k c =，则)...()(1211,in i i i i n k w w w c w +++=为巡回总距

离，则，

目标： ∑∈=

H

K C C k

H c w c w )()(min

},...,,{21km k k H c c c c = 令决策变量为：

???=.0

;

1否则到若旅行者从j i j i v v x

则

目标： ij m i n

j j i x w ∑∑==11

min

约束条件： ??

?=-==∑=n

j m

n j x n

k j k 1,...,11

1

?

?

?=-==∑=n i m n i x n

k k i 1

,...,111

用公式表示即为：

1=∑i

ij

r

1=∑j

ij r （i ，j =1，2， (10)

同样，当i ，2≥j 时，我们假设不可能出现1==ji ij r r ，即不可能出 现游客在两地间往返旅游，因为这样显然不满足游览景区尽量多的原则。因此我们可得约束：

0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (10)

综上所述，做对上述分析进步变换我们据第一方案思路可以得到总的模型为：

Min ∑∑==?=''10

110

1i j ij ij w r w （ij j i t w 30=）

约束条件：

1) ∑∑==?10110

1i j ij ij t r +∑∑∑∑====??

?

??+??1011014

14121i j m m j m j m m i m i ij t r t r r ≤720

2) 1010

110

1

=∑∑==i j ij r （i ，j =1，2， (10)

3) 1=∑i

ij r （i ，j =1，2， (10)

4) 1=∑j

ij r （i ，j =1，2， (10)

5) 0=?ji ij r r （i ，j =2，3， (10)

六、模型求解

通过上网查询资料，我们可以得到ij d 的具体值，根据公式ij t =ij d /v 可得到相应的ij t ，同样根据公式ij j i t w 30=可以得到相应的ij w （i ，j =1，2，……，10）。（ij d 、ij t 和ij w 的具体数值见附录4、5、6）

方案一：通过对云南的一些旅行社上网进行咨询，我们得出旅游者在第i 个景点的最佳逗留时间和他们在第i 个景点总消费（如表1所示）：

表1 旅游者在各景区的最佳逗留时间i t (单位：小时) 编号

景点

最佳逗留时间（小时）

编号 景点 最佳逗留时间（小时）

1 昆明 8 6 临沧 3

2 2 楚雄 10 7 思茅

13

3 大理 20 8 西双版纳 25

4 丽江

34

9 玉溪 35 5 香格里拉 10

10

曲靖

23

表2 旅游者在各景区的总消费(单位：元)

1w

2w

3w

4w 5w 6w 7w 8w 9w 10w

340 285 325 390 350 175 265 365 245 250

根据模型知，该模型为非线性规划模型，因此使用Lingo 软件进行求解（程序见附录2），得出结果如表3： 表3 第一方案程序运行结果

旅游景区数

n

2

3

4

人均总花费

m （单位：元）

342.5

672.5

820

路线 1v →9v →1v

1v →2v →3

v →2v →1v

1v →2v →3v →2v →1v →9v →1v

旅游景区数n 5 6 人均总花费m

（单位：元）

779

1219.5

路线

1v →2v →3v →4v →

3v →2v →1v →9v →1v 1v →2v →3v →6v →7v →9v →

1v

旅游景区数n

8

每人总花费m （单位：元） 1644 路线

1v →2v →3v →6v →7v →8v →7v →9v →1v →10v →1v

旅游景区数n

9

每人总花费m （单位：元） 1950 路线

1v →2v →3v →4v →3v →6v →7v →8v →7v →9v →1v →10v →1v

旅游景区数n

10

每人总花费m （单位：元） 2253 路线

1v →2v →3v →4v →5v →4v →3v →6v →7v →8v →7v →9v →1v →10v →1v

注：vi (i=1,2,…，10)分别表示昆明、楚雄、大理、丽江、香格里拉、临沧、思茅、西双版纳、玉溪、曲靖.

旅游景区数n 7

每人总花费m （单位：元） 1383

路线 1v →2v →3v →6v →7v →9v →1v →10v →

1v

基于上述结果，我们一般推荐线路为：

路线一：昆明→楚雄→大理→丽江→玉溪→昆明

旅游景点数：5 人均费用：155.8 元；

路线二：昆明→楚雄→大理→临沧→思茅→玉溪→曲靖→昆明旅游景点数：7 人均费用：197.57 元；

路线三：昆明→楚雄→大理→临沧→思茅→西双版纳→玉溪→曲靖→昆明

旅游景点数：8 人均费用：205.5 元。

方案二：线路最短方案求解。

由于使用lingo求解，程序录入比较困难，因此此方案我们根据附录4的数据，使用MATLAB软件进行求解（程序见附录3），得出结果如下表：

表3 第二方案程序运行结果

旅游景区数n10

行驶路程（单位：公里）2398

昆明→玉溪→西双版纳→思茅→临沧→大理路线

→丽江→香格里拉→楚雄→曲靖→昆明

七、模型评价及推广

优点：

1)整篇文章思路比较简单，没有太多复杂的运算过程。

2)方案一，未规定必须游览的景区数以及景点数，也就是旅游者

可以对任何景区进行自由选择，可去可不去。

3)方案二,在假定10个景区都必须游览，而且游览景点总数不少

于20的条件下，建立模型，与现实中旅游者游览比较接近。

4)利用的数据间的对比得到结果，比起复杂的计算过程更直观，

更让人容易明白。

5)求解出的最短路程，与实际路程基本保持一致。

6)提供了优化方案，以供参考，模型短小精练，有很强的推广性，

可由10个旅游景区推广至n个景区，旅游景点也可由4个推

广至n个，都可以构造连通网络进行求解，此处不再进行求解。缺点：

1)数据大部分参考互联网，数据缺乏一定的准确性。

2)没有考虑旅行路线以及行驶过程中会出现的实际情况，一切均

是最优考虑。

3)数据太多，列出来比较麻烦。

4)对于方案二用改良圈算法得到的结果几乎可以肯定不是最优

的。为了得到更高的精确度，可以选择不同的初始圈，重复进

行几次算法，以求得较精确的结果。

5)方案二所采用的方法已被进一步发展，圈的修改过程一次替

换三条边比一次仅替换两条边更为有效。

八、参考文献

[1] 姜启源?数学建模[J]?北京：高等教育出版社，2003年

[2] 白其峥?数学建模案例分析[J]?北京：海洋出版社，2000年

[3] 薛毅?动态规划，图论与网络模型?北京：北京工业大学出版社，2005年

[4] 陈东彦李冬梅王树忠，《数学建模》科学出版社，2007年

[5] 党林立孙晓群《数学建模简明教程》西安电子科技大学出版社，2009年

附录1云南旅游景区分布图

方案一：消费最少路线，利用lingo 软件设计程序

程序如下：

Model:

sets:

jingdian/1..10/:c,t,l;

!其中：1,2,...,10分别代表昆明、楚雄、大理、丽江、香格里拉、临沧、思茅、西双版纳、玉溪、曲靖

；w，t分别表示旅行团在各景点的吃住消费和逗留时间；c表示各景点选择性权重；l是为了控制不出现两个以上环形回路而设的一个变量;

links(jingdian,jingdian):r,cc,tt;

!其中：r为0-1变量（0表示两景区不相连，1表示两景区相通）；cc为两景区之间的交通费用；tt为两景区之间的交通时间; endsets

data:

t=8 10 20 34 10 32 13 25 35 23;

c=120 285 378 390 175 383 300 135 423 350;

tt=0 2.7 4.78 9.12 11.4 9.22 7.55 9.73 1.7 2.06

2.7 0 2.38 6.72 8.95 6.98 9.98 12.12 4 4.5

4.78 2.38 0 4.58 7 6.32 8.25 14.38 6.28 6.76

9.12 6.72 4.58 0 3.47 10.78 12.72 18.65 10.53 11.35

11.4 8.95 7 3.47 0 13.06 15 20.95 12.83 13.3

9.22 6.98 6.32 10.78 13.06 0 5.65 7.85 9.3 11.28

7.55 9.98 8.25 12.72 15 5.65 0 14.92 6.03 9.17 9.73 12.12 14.38 18.65 20.95 7.85 14.92 0 8.28 11.43

1.7 4 6.28 10.53 1

2.83 9.3 6.03 8.28 0

3.45

2.06 4.5 6.76 11.35 1

3.3 11.28 9.17 11.43 3.45 0;

!其中：主对角线为零,表示各景区到自身交通费用为零;

cc=0 48 113 158 188 179 158 207 25 39

48 0 50 105 143 111 170 207 67 85

113 50 0 54 94 88 140 210 117 135

158 105 54 0 53 145 193 311 172 196

188 143 94 53 0 183 235 349 215 228

179 111 88 145 183 0 93 131 166 196

158 170 140 193 235 93 0 37 98 146

207 207 210 311 349 131 37 0 135 210 25 67 117 172 215 166 98 135 0 66

39 85 135 196 228 196 164 210 66 0;

!其中：主对角线为零,表示各景区到自身的交通时间为零; n=?;

!其中：n表示计划游玩的景区数目;

enddata