2005年第2届中国东南数学奥林匹克试题及答案

第2届中国东南地区数学奥林匹克

第1天

（2005年7月13日8：00～12：00 福州）

1 （1）设a R ∈，求证抛物线()1222+-++=a x a x y 都经过一个定点，且顶点都

落在一条抛物在线。

（2）若关于x 的方程()22210x a x a ++-+=有两个不等实根，求其较大根的取

值范围。 2 如图，圆O （圆心为O ）与直线l 相离，作OP l ⊥，P 为垂足。设点Q 是l 上任意一点（不与点P 重合），过点Q 作圆O 的两条切线QA 和QB ，A 和B 为切点，AB 与OP 相交于点K 。过点P 作PM QB ⊥，PN QA ⊥，M 和N 为垂足。求证：直线MN 平分线段KP 。

3 设n 是正整数，集合{1,2,3,,2}M n = 。求最小的正整数k ，使得对于M 的任何一

个k 元子集，其中必有4个互不相同的元素之和等于4n +1。

4 试求满足2222005a b c ++=，且a b c ≤≤的所有三元正整数组(a , b , c )。

第2天

（2005年7月14日8：00～12：00福州）

5 已知直线l 与单位圆S 相切于点P ，点A 与圆S 在l 的同侧，且A 到l 的距离为h (h >2)，从点A 作S 的两条切线，分别与l 交于B , C 两点。求线段PB 与线段PC 的长度之乘积。

6 将数集12{,,...,}n A a a a =中所有元素的算术平均值记为()P A ，

（12...()n

a a a P A n

+++=）。若B 是A 的非空子集，且()()P B P A =，则称B

是A 的一个“均衡子集”。试求数集{1,2,3,4,5,6,7,8,9}M =的所有“均衡子集”的个数。 7 （1）讨论关于x 的方程|1||2||3|x x x a +++++=的根的个数。 （2）设12,,...,n a a a 为等差数列，且12n a a a ++???+=1211a a ++++???+1n a +=

12222507n a a a -+-+???+-=求项数n 的最大值。 8 设0,,2

π

αβγ<<

，且3

3

3

s i

n s i n s i n 1αβγ+

+=

，

求证：2

2

2

tan tan tan 2

αβγ++≥

答案

1. (1) 令22()(2)2121(2)a f x x a x a x x a x =++-+=+++-，因此抛物线过定点

（2, 9），该抛物线的顶点坐标为

22

22

4(12)(2)1244

a x a a a a y +=-

--+--==

消去a 得245y x x =-++。 (2) ()0a f x =的大根为

(2)2x a =

-++=

=

令a +6=2k ，则

(24)22

k x k --+==-+

由判别式0?>得k >3或k <-3。 当k <-3时, x >5；

当k >3时

, 2x =-可得-1

2. 作PI AB ⊥，I 为垂足, 记J 为直线MN 与

线段PK 的交点。易知QAO QBO ∠=∠=

90QPO ∠=

，故O 、B 、Q 、P 、A 均在以

线段OQ 为直径的圆周上。 由于,,PN QA PM QB PI AB ⊥⊥⊥，所以由

Simson 定理知: QAB ?的外接圆上一点P

在其三边的垂足N 、M 、I 三点共线，即N 、

M 、J 、I 四点共线。

因为,QO AB PI AB ⊥⊥，所以QO //PI , 所以POQ IPO ∠=∠, 又因为P 、A 、I 、M 四点共圆，P 、A 、O 、Q 也四点共圆，所以

PIJ PIM PAM POQ ∠=∠=∠=∠

所以在直角三角形PIK 中, PIJ JPI ∠=∠, 所以J 为PK 的中点因此直线MN

平分线段KP 。

3. 考虑M 的n +2元子集P ={n -1, n , n +1, …, 2n }。P 中任何4个不同元素之和不

小于(n －1)+n +n +1+n +2=4n +2, 所以3k n ≥+。 将M 的元配为n 对，(,21),1i B i n i i n =+-≤≤。

对M 的任一n +3元子集A ，必有三对123,,i i i B B B 同属于A (123,,i i i 两两不同)。

又将M 的元配为n －1对, (,2),1-1i C i n i i n =-≤≤。对M 的任一n +3元子集A ，必有一对4

i C 同属于A

这一对4i C 必与刚才三对123,,i i i B B B 中至少一对无公共元，这4个元素互不相同，且和为2n +1+2n =4n +1。 因此，所求的最小k =n +3。

4. 由于任何奇平方数被4除余1，任何偶平方数是4的倍数，因2005被4除余

1，故222,,a b c 三数中，必是两个偶平方数，一个奇平方数。 设a=2m ，b=2n ，c=2k －1，m, n, k 为正整数，原方程化为：

22(1)501(1)m n k k ++-=

又因任何平方数被3除的余数，或者是0，或者是1，今讨论k ： (i) 若3(1)k k -，则由(1)，223m n +，于是m, n 都是3的倍数。

设m =31m ，n =31n ，并且(1)

3

k k -是整数，由(1)

2211(1)

33167(2)3

k k m n -++=

于是()(1)1672mod33k k -≡≡

设(1)3

k k -=3r +2，则

(1)96(3)k k r -=+

且由(1)，(1)501k k -<，所以22k ≤。

故由(3)，k 可取3，7，12，16，21，代入(2)分别得到如下情况： 2211355k m n =??+=?, 2211751k m n =??+=?, 22111241k m n =??+=?, 22

1116

29

k m n =??+=?, 22

1121

9

k m n =??+=? 由于55、51都是4N +3形状的数，不能表为两个平方的和，并且9也不能表成两个正整数的平方和，因此只有k =12与k =16时有正整数解1m ,1n 。

当k =12，由22

12m m +=41，得(1m , 1n )=(4, 5)，则a=61m =24，b =61n =30，c =2k －1=23，于是(a, b, c )=(24, 30, 23)。

当k =16，由22

12m m +=29，得(1m , 1n )=(2, 5)，则a=61m =12，b =61n =30，

c =2k －1=31，因此(a, b, c )=(12, 30, 31)

(ii) 若3|(1)k k -时，由于任何三个连续数中必有一个是3的倍数，则k +1是 3的倍数，故k 被3除余2，因此k 只能取2，5，8，11，14，17或20 利用(1)式分别讨论如下：

若k =2，则22

12m m +=499，而4993(mod4)≡，此时无解

若k =5，则22

12m m +=481，利用关系式

()()()()

()()

2

22

2

2

2

2

2

x

y

x y y x x y y x α

β

αβαβαβαβ++=++-=-+-

可知()()22222222481133732612091516=?=++=+=+。 所以(m, n )=(20, 9)或(15, 16)。

于是得两组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(40, 18, 9)或(30, 32, 9)。

若k =8，则22

12m m +=445，而()()222222

4455892185212=?=++=+221811=+。

所以(m, n )=(21, 2)或(18, 11)，得两组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(42，4，15)或(36, 2215)。

若k =11，有22

12m m +=391，而3913(mod4)≡，此时无解；

若k =14，有22

12m m +=319，而3193(mod4)≡，此时无解；

若k =17，有22

12m m +=229，而22229152=+，得(m, n )=(15, 2)，得一组解(a, b, c )=(2m , 2n , 2k -1)=(30, 4, 33)；

若k =20，则22

12m m +=121=211，而211不能表示两个正整数的平方和，因此本题共有7组解为：(23, 24, 30)，(12, 30, 31)，(9, 18, 40)，(9, 30, 32)，(4, 15, 42)，(15, 22, 36)，(4, 30, 33)。经检验，它们都满足方程。

5. 设PB 、PC 的长度分别为p 、q ，设,ABP ACP βγ∠=∠

=，设AC 与S 的切点为E ，记圆心为O ，设AE 的长度为t ，连接AO 、OE ，则在直角三角形AOE 中，我们有

1

(),2

AOE βγ∠=+

因此1tan ()21

p q

t pq βγ+=+=-。

这样我们可得ABC ?的面积ABC S ?为()

()11

ABC pq p q S p q t pq ?+=++?=-。

又因为1

(),2

ABC S p q h ?=+?所以可得121pq h pq =-。

整理得.2

h

pq h =-

6. 由于P (M )=5，令M ’={x -5 | x ∈M }={-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4}, 则P (M ’)=0, 依照此

平移关系，M 和M ’的均衡子集可一一对应。用f (k )表示M ’的k 元均衡子集的个数，显然有f (9)=1, f (1)=1 (M ’的9元均衡子集只有M ’，一元均衡子集只有{0})。

M ’的二元均衡子集共四个，为{,},1,2,3,4i B i i i =-=, 因此f (2)=4。 M ’的三元均衡子集有两种情况：

（1）含有元素0的为{0}{2,0,},1,2,3,4i B i i ?=-=, 共四个；

（2）不含元素0的，由于等式3=1+2,4=1+3可表示为-3+1+2=0，3-1-2=0

以及-4+1+3=0，4-1-3=0得到4个均衡子集{-3, 1, 2}，{3, -1, -2}，{-4, 1, 3}，{4, -1, -3}，因此f (3)=4+4=8。 M ’的四元均衡子集有三种情况：

（1）每两个二元均衡子集之并：,14i j B B i j ?≤<≤, 共6个集；

（2）不含元素0的三元均衡子集与{0}的并集，共4个集；

（3）以上两种情况之外者，由于等式1+4=2+3可表为-1-4+2+3=0以及

1+4-2-3=0得2个均衡子集{-1, -4, 2, 3}与{1, 4, -2, -3}，因此f (4)=6+4 +2=12。

又注意到，除M ’本身外，若B ’是M ’的均衡子集，当且仅当其补集''M C B 也是M ’的均衡子集，二者一一对应。因此f (9-k)=f (k )，k =1, 2, 3, 4。 从而M ’的均衡子集个数为9

4

1

1

()(9)2()12(14812)51k k f k f f k ===+=++++=∑∑

即M 的均衡子集有51个。

7. 根据函数y =|x +1|+|x +2|+|x +3|=a 的图像可知： 当a <2时，方程无解；

当a =2时，方程有一个根； 当a >2时，方程有两个根。

(1) 因为方程|x |=|x +1|=|x -2|无解，故2n ≥且公差不为0。不妨设数列的各项为

a -kd (1≤k ≤n ,d >0)。作函数f (x )=1n

k x kd =-∑,

本题条件等价于f (x )=507至少有三个不同的根a ，a +1，a -2，此条件又等价于函数y = f (x )的图像与水平直线y =507至少有三个不同的公共点。

由于y =f (x )的图像是关于直线(1)2

n d

y +=左右对称的n +1段的下凸折线,

它与水平直线L 有三个公共点当且仅当折线有一水平段在L 上，当且仅当n =2m 且a , a +1, a -2∈[md ,(m +1)d ], f (md )=507。即d ≥3且m 2d =507。

由此得2507

3

m ≤，13m ≤。

显然，m =13时，取d =3，a =4满足本题条件。因此，n 的最大值为26。 8. 令a =sin α，b =sin β，c =sin γ，则a , b , c ∈(0, 1)且3331a b c ++=，

3

a a

-=≤=

同理33

-b b c c

≤-≤

因此

222333

333

222333

() 1-1-1----22

a b c a b c

a b c

a b c a a b b c c

++=++≥++=。注意到

22

2

22

22

2

22

22

2

22

sin

tan

1sin1

sin

tan

1sin1

sin

tan

sin1

a

a

b

b

c

c

α

α

α

β

β

β

λ

γ

λ

==

--

==

--

==

--

所以222

tan tan tan

2

αβγ

++≥

注易知上述不等式等号不能成立。