北师大版八年级上册数学第一章勾股定理全章知识点及习题(经典)

b

a

D C

第一章 勾股定理

知识点一：勾股定理定义

画一个直角边为3cm 和4cm 的直角△ABC ，量AB 的长；一个直角边为5和12的直角△ABC ，量AB 的长 发现32

+42

与52

的关系，52

+122

和132

的关系，对于任意的直角三角形也有这个性质吗？ 直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。（即：a 2

+b 2

＝c 2

） 1．如图，直角△ABC 的主要性质是：∠C=90°，（用几何语言表示）

⑴两锐角之间的关系： ； ⑵若D 为斜边中点，则斜边中线 ；

⑶若∠B=30°，则∠B 的对边和斜边： ；（给出证明） ⑷三边之间的关系： 。 知识点二：验证勾股定理

知识点三：勾股定理证明（等面积法）

例1。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2

＋b 2

=c 2

。 证明：

例2。已知：在△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边为a 、b 、c 。 求证：a 2

＋b 2

=c 2

。 证明：

知识点四：勾股定理简单应用 在Rt △ABC 中，∠C=90°

(1) 已知：a=6, b=8，求c (2) 已知：b=5，c=13，求a

知识点五：勾股定理逆定理

如果三角形的三边长为c b a ,,，满足2

2

2

c b a =+，那么，这个三角形是直角三角形．

b

b

b

b

c

c

c

c

a

a

a

a

b

b

b b

a a

c

c

a

B

D

利用勾股定理的逆定理判别直角三角形的一般步骤： ①先找出最大边（如c ）

②计算2

c 与22

a b +，并验证是否相等。 若2

c =22

a b +，则△ABC 是直角三角形。

若2c ≠22

a b +，则△ABC 不是直角三角形。

1.下列各组数中，以a ，b ，c 为边的三角形不是Rt △的是（ ） A.a=7,b=24,c=25 B.a=7,b=24,c=24

C.a=6,b=8,c=10

D.a=3,b=4,c=5

2.三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2

+=+,则这个三角形是( )

A. 等边三角形

B. 钝角三角形

C. 直角三角形

D. 锐角三角形

3.已知0)10(862

=-+-+-z y x ,则由此z y x ,,为三边的三角形是 三角形. 知识点六：勾股数

（1）满足2

2

2

c b a =+的三个正整数，称为勾股数．

（2）勾股数中各数的相同的整数倍，仍是勾股数，如3、4、5是勾股数，6、8、10也是勾股数． （3）常见的勾股数有：①3、4、5②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25； ⑤11、60、61；⑥9、40、41．

1.设a 、b 、c 是直角三角形的三边,则a 、b 、c 不可能的是（ ）.

A.3,5,4

B. 5,12,13

C.2,3,4

D.8,17,15 1. 若线段a ，b ，c 组成Rt △，则它们的比可以是（ ）

A.2∶3∶4

B.3∶4∶6

C.5∶12∶13

D.4∶6∶7

知识点七：确定最短路线

1.一只长方体木箱如图所示，长、宽、高分别为5cm 、4cm 、3cm, 有一只甲虫从A 出发，沿表面爬到C '，最近距离是多少？

2.如图,一圆柱高8cm,底面半径2cm,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食,要爬行的最短路程（π 取3）是 .

知识点八：逆定理判断垂直

1．在△ABC 中，已知AB 2

－BC 2

＝CA 2

，则△ABC 的形状是( )

A ．锐角三角形；

B ．直角三角形；

C ．钝角三角形；

D ．无法确定． 2．如图，正方形网格中的△ABC ，若小方格边长为1，则△ABC 是( )

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．以上答案都不对

知识点九：勾股定理应用题

1.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

A

B

C

D A '

B '

C

D 'A

B

C

5米

3米

2.如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要________米.

3.一根直立的桅杆原长25m ，折断后，桅杆的顶部落在离底部的5m 处，则桅杆断后两部分各是多长？

4.某中学八年级学生想知道学校操场上旗杆的高度，他们发现旗杆上的绳子垂到地面还多1米，当他们把绳子的下端拉开5米后，发现下端刚好触地面，你能帮他们把旗杆的高度和绳子的长度计算出来吗？

综合练习一

一、选择题

1、下面几组数:①7,8,9;②12,9,15;③m 2

+ n 2

, m 2

– n 2

, 2mn(m,n 均为正整数,m >n);④2a ,12+a ,22

+a .其中能组成直角三角形的三边长的是( )

A.①②;

B.①③;

C.②③;

D.③④

2已知一个Rt △的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（ ）

A.25

B.14

C.7

D.7或25

3.三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2+=+,则这个三角形是( )

A. 等边三角形;

B. 钝角三角形;

C. 直角三角形;

D. 锐角三角形. 4.△ABC 的三边为a 、b 、c 且(a+b)(a-b)=c 2

，则( )

A.a 边的对角是直角

B.b 边的对角是直角

C.c 边的对角是直角

D.是斜三角形

5.以下列各组中的三个数为边长的三角形是直角三角形的个数有（ ）

①6、7、8，②8、15、17，③7、24、25，④12、35、37，⑤9、40、41 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个

6.将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( ) A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形

7.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足(a-b)(a 2+b 2-c 2)=0，则△ABC 是 ( ) A.等腰三角形 B.直角三角形

C.等腰直角三角形

D.等腰三角形或直角三角形

8.如图，∠C =∠B =90°，AB =5，BC =8，CD =11，则AD 的长为 （ ）

A 、10

B 、11

C 、12

D 、13

9.如图、山坡AB 的高BC =5m ，水平距离AC =12m ，若在山坡上每隔0.65m 栽一棵茶树,则从上到下共 ( )

A 、19棵

B 、20棵

C 、21棵

D 、22棵

10.Rt △ABC 中，∠C =90°，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，若c =2，则2

a +2

b +2

c 的值是 （ ）

A 、6

B 、8

C 、10

D 、4 11.下列各组数据中，不能构成直角三角形的一组数是（ ）

Ａ、9，12，15 B 、

45，1，4

3

C 、0.2，0.3，0.4

D 、40，41，9 12.已知，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）

A.25海里

B.30海里

C.35海里

D.40海里

二、填空题

1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，①若a=5，b=12，则c=___________；②若a=15，c=25，则b=___________；③若c=61，b=60，则a=__________；④若a ∶b=3∶4，c=10则S Rt △ABC =________

2.现有长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm 的木棒，从中任取三根，能组成直角三角形，则其周长为 cm ．

3.勾股定理的作用是在直角三角形中，已知两边求 ；勾股定理的逆定理的作用是用来证明 ．

4.如图中字母所代表的正方形的面积：A = B = ．

5.在△ABC 中，∠C ＝90°，若 a ＝，b ＝12，则 c ＝ ．

6.△ABC 中，AB=AC=17cm ，BC=16cm ，则高AD= ，S △ABC = 。

7.在Rt △ABC 中，有一边是2，另一边是3，则第三边的平方是 。

8.在△ABC 中，AC=17 cm ，BC= 10 cm ，AB=9 cm ，这是一个_________三角形（按角分）。 9.已知一个三角形的三边长分别是12cm ，16cm ，20cm ，则这个三角形的面积为 。 三、简答题

1.判断正误，并指出为什么？ （1）△ABC 的两边为3和4，求第三边

解：由于三角形的两边为3和4，所以它的第三边c 为5。 （2）若已知△ABC 为直角三角形，则第三边为5

400

225

A

B

81

225

2.在△ABC 中，BC=m 2-n 2，AC=2mn ，AB=m 2+n 2(m ＞n)。 求证：△ABC 是直角三角形。

3.求斜边长17厘米，一条直角边长15厘米的直角三角形的面积．(画图求解)

4.已知一艘轮船以16/km h 的速度离开港口向东北方向航行，另一艘轮船同时离开港口，以12/km h 的速度向东南方向航行，它们离开港口一个半小时相距多少千米？(画图求解)

5.如图，一根旗杆在离地面9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

6.如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =?90，∠DBC =?90，AD = 3，AB = 4，BC = 12，求CD ；

家庭作业： 一、基础达标:

1. 下列说法正确的是（ ）

A.若 a 、b 、c 是△ABC 的三边，则a 2

＋b 2

＝c 2

； B.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边，则a 2

＋b 2

＝c 2

； C.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠A ，则a 2

＋b 2

＝c 2

； D.若 a 、b 、c 是Rt △ABC 的三边， 90=∠C ，则a 2

＋b 2

＝c 2

．

2. △ABC 的三条边长分别是a 、b 、c ，则下列各式成立的是（ ）

A ．c b a =+ B. c b a >+ C. c b a <+ D. 222c b a =+

3．直角三角形中一直角边的长为9，另两边为连续自然数，则直角三角形的周长为（ ）

12米

3m 4m

20m

A ．121

B ．120

C ．90

D ．不能确定

4．斜边的边长为cm 17，一条直角边长为cm 8的直角三角形的面积是 ．

5．假如有一个三角形是直角三角形，那么三边a 、b 、c 之间应满足 ，其中 边是直角所对的边；如果一个三角形的三边a 、b 、c 满足222b c a =+，那么这个三角形是 三角形，其中b 边是 边，b 边所对的角是 ．

6．一个三角形三边之比是6:8:10，则按角分类它是 三角形．

7．如图，已知ABC ?中，?=∠90C ，15=BA ，12=AC ，以直角边BC 为直径作半圆，则这个半圆的面积是 ．

8． 一长方形的一边长为cm 3，面积为2

12cm ，那么它的一条对角线长是 ．

二、综合发展:

1．如图，一个高4m 、宽3m 的大门，需要在对角线的顶点间加固一个木条，求木条的长．

2.一个三角形三条边的长分别为cm 15，cm 20，cm 25，这个三角形最长边上的高是多少？

3．如图，小李准备建一个蔬菜大棚，棚宽4m ，高3m ，长20m ，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，请计算阳光透过的最大面积.

4．如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？

勾股定理综合二

1．如图，一块直角三角形的纸片，两直角边AC=6㎝，BC=8㎝。现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，则CD 等于

2．已知，如图长方形ABCD 中，AB=3cm ，AD=9cm ，将此长方形折叠，使点B 与D 重合，折痕为EF ，则△ABE 的面积为

（ ）cm 2

3．已知：将正长方形纸片ABCD 折叠两次，第一次折痕为AC ，第二次折痕为AE ，且点D 落在F 处.若长方形长为4，宽为3，求DE .

A

C

B

A C

B E 1题

A

B

C

F

A B

E

F

D 第2题

4．已知：如图，△ABC 中，∠C ＝90o，AD 是角平分线，CD ＝15，BD ＝25．求AC 的长．

分类讨论思想

1． 在Rt △ABC 中，已知两边长为3、4，则第三边的长为 2．在Rt △ABC 中，已知两边长为5、12，则第三边的长为

3．等腰三角形的两边长为10和12，则周长为________，底边上的高是________，面积是_________。 4.一个直角三角形，有两边长分别为6和8，下列说法正确的是（ ）

A. 第三边一定为10

B. 三角形的周长为25

C. 三角形的面积为48

D. 第三边可能为10 确定三角形形状

1．已知a 、b 、c 是△ABC 的三边，且a 2c 2

－b 2c 2

＝a 4

－b 4

，试判断三角形的形状．

2. 在△ABC 中，BC=1997，AC=1998，AB 2=1997+1998，则△ABC 是否为直角三角形？为什么？

3.若△ABC 的三边a 、b 、c 满足a 2

+b 2

+c 2+338=10a+24b+26c ，则△ABC 为 三角形（填锐角、直角或钝角） 4.已知三角形的三边分别是n-2，n ，n+2，当n 是多少时，三角形是一个直角三角形？

最短距离问题

1.如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

2.如图，一个牧童在小河的南4km 的A 处牧马，而他正位于他的小屋B 的西8km 北7km 处，他想把他的马牵到小河边去饮水，然后回家.他要完成这件事情所走的最短路程是多少？

A B

C

D

L

3.如图，在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，点E、F分别是边AB、BC的中点，点P在AC上运动，在运动过程中，存在PE+PF的最小值，则这个最小值是

4.如图，在直角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是（）

5.如图，在正方形ABCD的边AB上连接等腰直角三角形，然后在等腰直角三角形的直角边上连接正方形，无限重复上述过程，如果第一个正方形ABCD的边长为1，那么第n个正方形的面积为．

综合练习三

一、选择题

1. 直角三角形一直角边长为12，另两条边长均为自然数，则其

周长为( ).（A）30 （B）28 （C）56 （D）不能确定

2. 直角三角形的斜边比一直角边长2 cm，另一直角边长为6 cm，则它的斜边长

（A）4 cm （B）8 cm （C）10 cm （D）12 cm

3. 已知一个Rt△的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（）（A）25 （B）14 （C）7 （D）7或25

4. 等腰三角形的腰长为10,底长为12,则其底边上的高为( ) （A）13 （B）8 （C）25 （D）64

5. 五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是（）

A

B

D

C

E

5米

3米

C

A

7

1524

25

207

15

2024

25

157

25

20

24

257

202415

(A)

(B)

(C)

(D)

6. 将直角三角形的三条边长同时扩大同一倍数, 得到的三角形是( )

（A ） 钝角三角形 （B ） 锐角三角形 （C ） 直角三角形 （D 7. 如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD 的面积是 ( )

（A ） 25 （B ） 12.5 （C ） 9 （D ） 8.5 8. 三角形的三边长为ab c b a 2)(2

2

+=+,则这个三角形是( )

（A ） 等边三角形 （B ） 钝角三角形 （C ） 直角三角形 （D ） 锐角三角形.

9.△ABC 是某市在拆除违章建筑后的一块三角形空地.已知∠C=90°，AC=30米，AB=50米，如果要在这块空地上种植草皮，按每平方米草皮a 元计算，那么共需要资金（ ）.

（A ）50a 元 （B ）600a 元 （C ）1200a 元 （D ）1500a 元

10.BCE 都是等腰直角三角形，如果CD=17，BE=5，那么AC 的长为（ ）. （A ）12 （B ）7 （C ）5 （D ）13

（第10题） （第11题） （第14题） 二、填空题

11. 如图为某楼梯,测得楼梯的长为5米,高3米,计划在楼梯表面铺地毯,地毯的长度至少需要______米. 12. 在直角三角形ABC 中，斜边AB =2，则222AB AC BC ++=______. 13. 直角三角形的三边长为连续偶数，则其周长为 .

14. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4.以斜边AB 为直径作半圆，则这个半圆的面积是___________.

（第15题） （第16题） （第17题）

15. 如图，校园内有两棵树，相距12米，一棵树高13米，另一棵树高8米，一只小鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，小鸟至少要飞___________米.

16. 如图，△ABC 中，∠C =90°，AB 垂直平分线交BC 于D 若BC =8，AD =5，则AC 等于______________.

E

A

B C

D

A B

C

D

L

第21题图 17. 如图，四边形ABCD 是正方形，AE 垂直于BE ，且AE =3，BE =4，阴影部分的面积是______. 18. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边和长为7cm,则正方形A ，B ，C ，D 的面积之和为___________cm 2

. 三、解答题

19. 11世纪的一位阿拉伯数学家曾提出一个“鸟儿捉鱼”的问题：

“小溪边长着两棵棕榈树，恰好隔岸相望.一棵树高是30肘尺（肘尺是古代的长度

单位），另外一棵高20肘尺；两棵棕榈树的树干间的距离是50肘尺.每棵树的树顶上都停着一只鸟.忽然，两只鸟同时看见棕榈树间的水面上游出一条鱼，它们立刻飞去抓鱼，并且同时到达目标.问这条鱼出现的地方离开比较高的棕榈树的树跟有多远？

20. 如图，已知一等腰三角形的周长是16，底边上的高是4.求这个三角形各边的长.

21. 如图，A 、B 两个小集镇在河流CD 的同侧，分别到河的距离为AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，现在要在河边建一自来水厂，向A 、B 两镇供水，铺设水管的费用为每千米3万，请你在河流CD 上选择水厂的位置M ，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？

22. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m ，CD=9m ，AB=39m ，BC=36m ，求这块地的面积。

A

B

C

D

第18

题图

7cm

23. 如图，一架2.5米长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙AC上，这时梯足B到墙底端C的距离为0.7米，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4米，那么梯足将向外移多少米？