从中考探索性问题到课堂探索能力的培养

从中考探索性问题到课堂

探索能力的培养

Prepared on 22 November 2020

[初中数学论文]

从“中考探索性问题”到“课堂探索能力的培养”

——谈初三几何探索性复习课的初探

摘要：本文从探索“中考探索性问题”入手，阐述了教师如何设计探索性问题，如何在课堂上培养学生探究能力，提出了宁可少讲知识，也要探究，也要创新的观点。

关键词：探索性问题、探索能力、有效复习、创新

探索是人类认识客观世界过程中最生动，最活跃的思维活动，探索性问题存在于一切学科领域

之中，它对培养学生思维的创造性、深刻性、发散性有着独特的要求。新课标指出，数学学习不仅

包括数学的一些现成的结果，还有包括这些结果的形成过程。探索性问题已成为课改思想的具体体

现的热点之一，纵观全国各地中考试题，探索性试题已成为中考压轴的主要题型来源。这些中考探

索性问题不仅可以考查学生发现问题、自主探究、解决问题等综合能力，暴露出学生在解题过程中

的思维品质，还能反馈学生对数学思想方法的掌握情况。这点中考探索性问题又是在新课程理念下

培养学生观察、实验、操作、归纳、猜想的直观思维能力和合情推理能力的好材料。

我们应重视探索。课堂上应重视对学生探索能力的培养。怎么培养对于我们这些长期受演绎论

证训练的教师来说，缺乏“探索能力”，很容易忽视直观思维的存在和作用，虽对“探索”有所重视，但

这重视只不过停留在由几道探索型题目组成的专题讲解上，在中考指挥棒下，很多老师的课堂由大

量的例题组成，大容量、大密度的满堂灌，根本没留出或没有充分的时间让学生探索，学生没有探

索，那“探索能力”的培养又从何谈起。

笔者从培养自身的探索能力入手，认真探索众多的中考探索性问题，从这些问题中受到启发，

试着利用改编、设计探索性问题，努力创设探索型几何复习课。以下是笔者觉得对自己启发较大的

几种探索性问题。

一、利用平移、旋转构造的探索性问题：

“平移、旋转”是图形的基本变换，它对发展学生空间观念，丰富学生对空

间图形的认识与感受，使学生经历观察、操作、推理、想像等探索过程。如下例：

一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在

一起。现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转。

⑴如图2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；

⑵若三角尺GEF 旋围到如图3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，⑴中的猜想还成立吗若成立，请证明；若不成立，请说明理由。

受这类题的启发，我在备课时，把一些证明题中静止的图形进行图形变换来设计探索题。如：

已知：如图，CD 是ABC ?的高线，且AD CD =，

O 是CD 上一点，且BD OD =，求证：BC AO = ⑴线段AO 与BC 间有什么关系并证明你的结论。 ⑵连结OB ，若把ODB ?绕顶点D 旋转一角度，使 点O 分别落在ADC ?内和BDC ? 内，画出图形， 探索⑴中结论是否成立。

课堂中学生通过对这类问题探索，会用运动的眼光看问题，锻炼了学生观察图形的能力，能利用类比的思想从变化中找出不变的规律，同时也训练了他们，通过平移旋转来处理图形，使他们在特殊的图形、简单的图形中得到启发而进行猜测。

图2

图3

图1

A (

B ( E )

一、运用类比思想构造的探索性问题：如下例：

问题背景 某课外学习小组在一次学习研讨中，得到如下两个命题：

① 如图1，在正三角形ABC 中，M 、N 分别是AC 、AB 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠

BON = 60°，则BM = CN .

② 如图2，在正方形ABCD 中，M 、N 分别是

CD 、AD 上的点，BM 与CN 相交于点O ，若∠BON = 90°,则BM = CN .

然后运用类比的思想提出了如下的命题： ③ 如图3，在正五边形ABCDE 中，M 、

N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于

点O ，若∠BON = 108°，则BM = CN . 任务要求

（1）请你从①、②、③三个命题中选择一个进行证明；（说明：选①做对的得4分，选②做

对的得3分，选③做对的得5分）

（2）请你继续完成下面的探索：

① 如图4，在正n （n ≥3）边形ABCDEF …中，M 、

N 分别是CD 、DE 上的点，BM 与CN 相交于点

O ，问当∠BON 等于多少度时，结论BM = CN 成立（不要求证明）

② 如图5，在五边形ABCDE 中，M 、N 分别是DE 、AE 上的点，BM 与CN 相交于点O ，当∠BON = 108°时，请问结论BM = CN 是否还成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由.

（1）我选 .

证明：

图2

N

M 图1

O

A

B

C

D

O

N

M C

B

A 图4

图3

N M O

D E E

A

B

C

D O

N

M F C

B

A

图5

O

D

E

N M

C B

A

受该例的启发，利用类比的思想把一些知识串在一起来让学生探索。如在复习三角形中位线内容时，我这样设计探索：

探索一：

⑴E 、F 分别是ABC ?中AB 、AC 边上的中点，连结EF ，我们得到了什么线段，它有什么特征 ⑵如何把三角形剪拼成一个平行四边形矩形 探索二：

⑴把三角形换成四边形，探索中点四边形问题。 ⑵如何把四边形剪拼成一个平行四边形、矩形 探索三：

⑴把四边形换成梯形，连结梯形两腰中点，得到什么它有什么特征 ⑵取梯形上、下底中点并连结，这条线段的长是否等于两腰和的一半。

我们还可以取梯形对角形的中点与梯形中位线联系起来，还可以加条件：如当对角线互相垂直，对角线夹角为?60时……让学生在这样的不知不觉的探索中加课对知识理解的广度和深度，并且能培养学生用类比的思想来进行探索。

二、规律探索性问题

这类题型十分常见，要求学生从所提供的图形，数字信息中寻找共同之处，

观察、分析、猜想、归纳出一般规律，探索这类题型可引导学生从特殊情况进行研究、归纳、概括，如下例：

观察下面的点阵图形和与之相对应的等式，探究其中的规律： ⑴请你在④和⑤后面的横线上分别写出相对应的等式：

①

② ③ 4×0＋1＝4×1－3； 4×1＋1＝4×2－3； 4×2＋1＝4×3－3；

⑵通过猜想，写出与第n 个图形相对应的等式。

受这类题型的启发，我在复习图形的初步认识时让学生探索下面这些规律： ⑴直线上有几个点，则共有_________条线段；

⑵以O 为端点引n 条射线，当得到的最大角小于平角时，小于平角的角的个数为___个； ⑶n 条直线最多有______个交点；

⑷过任三点不在同一直线上的n 点一共可画______条直线。 ⑸平面内n 条直线最多将平面分成________个部分。

探索这类问题时，引导学生从特殊值即当n 为1、2、3……入手进行探索，从中发现规律、归纳小结。教师通过这类问题，有效地培养学生用“特殊——一般”的思想来进行探索，培养学生从特殊的事例中寻求一般规律的能力。

四、方法探索性问题，这类问题考查学生对一些已学方法的掌握程度。如下 面两例：

1、已知ABC Rt ?中，?=∠90ACB ，AC=6，BC=8。 Ⅰ、如图①，若半径的1r 的⊙1O 是ABC Rt ?的内切圆，求1r ； Ⅱ、如图②，若半径为2r 的两个 等圆⊙1O 、⊙2O 外切，且⊙1O 与AC 、AB 相切，⊙2O 与BC 、AB 相切，求2r ；

Ⅲ、如图③，当n 是大于2的正整

图

图

数时，若半径为n r 依次外切，且

⊙1O 、⊙2O 、…、⊙n O 依次外切，且⊙1O 与AC 、AB 相切，⊙n O 与 BC 、AB 相切，⊙2O 、⊙3O 、…、⊙1-n O 均与AB 边相切，求n r 。

2、在学习扇形的面积公式时，同学们推得

360

2

R

n S π=

扇形，并通过比较扇形面积公式与弧长公式

180

R

n l π=

，得出扇形面积的另一种计算方式lR S 2

1

=扇形。

接着老师们让同学们解决两个问题：

问题Ⅰ，求弧长为π4，圆心角为?120的扇形面积。

问题Ⅱ，某小区设计的花坛形状如图中的阴影部分，已知AB 和CD 所在

圆的圆心都是点O ，AB 的长为1l ，CD 的长为2l ，AC=BD=d ，求花坛的面积。⑴请你解答问题I ；

⑵在解完问题Ⅱ后的全班交流中，有位同学发现扇形面积公式lR S 2

1

=扇形类似于三角形面积公式；类似梯形面积公式，他猜想花坛的面积d l l S )(2

1

21+=。他的猜想正确吗如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由。

从第1题中受到启发，当我在复习三角形内切圆时，进行了这道题的探索渗透，当学生在探索时不单巩固了“面积法”，而且引导学生用“类比”的思想进行探索。

从第2题中受到启发，我可以把一些老教材有而新教材没有的知识，作为探索的材料，让学生在探索中进一步巩固了课本知识和方法，提升了学生对知识更深、更广的理解。同时为教师处理教材提供了思路，教师以课本知识为基础，以探索课本延伸知识或相关知识为手段促进知识的巩固、方法的掌握，使课堂效果更好。我曾让学生探索圆台的两个侧面积公式，探索圆中的一些成比例线段（圆幂定理），相似多边形的探索……学生的成功探索让我更自信，对于考试我无需压题、猜题，不需要搞题海战，学生的解决能力提高了，还怕什么。

在课堂中探索多了，学生的胆子大了，会尝试用不同方法进行多方面探索，而同时在学习设计探索性问题时，我的课堂探索问题的设计能力也增强了。

比如我会利用印错的题目让学生探索，培养学生用反证法来探索，如下列：

在直角梯形ABCD中，AB∥DC，A B⊥BC，E是CD的中点，且AB=AD+BC，则△ABE是

_______三角形。

此题没有图，学生大部分答案是直角三角形，而我在探索中否定了直角三角形，题目所提供的答案是等腰直角三角形。我把该题拿到了课堂，引导学生假设BE⊥AE，然后把△ADE绕点OE旋转180°，与

△FCE重合（如图），发现在△FCB中，BF

从而得到BF

BF=BA。两者产生矛盾，从而假设错误。我还让学生从“等腰直角三角形”这个参考答案入手，让学生大胆地修改已知条件。

再如：新课标降低了对逻辑推理的要求，于是现在学生在逻辑推理的能力也相对弱了，而作为教师的我逻辑推理是强项，我把一些学生的困难题放在课堂里，引导学生从不同的角度、不同的方法探索，用多种方法证明，如下例：

如图，已知△ABC为等边三角形，点D为BC边上

的任意一点，∠ADE=60°，DE与∠ACB的外角∠ACM

的平分线CE相交于点E。

求证：AD=DE。

该题作为作业时，很多同学感到困难，我在课堂中分别通过构造全等三角形，通过证相似，通过翻折多种方法来引导学生证明，很多学生在反思中后悔自己怎么没有继续探索下去，其实有很多解决问题的方法。

我在复习“空间与图形”这部分内容时，我的每一节课都是探索课。利用探索复习双基，再利用中考探索性问题来培养学生的探索能力，同时巩固和提升了课本中所学的知识，最后再设计一个个的新探索问题让学生探索。学生是课堂的主人，他们自主探究，热烈讨论，创新的火花时时涌现。这样复习课产生好的效果是显而易见的。

通过探索，使我们感到学习数学是有用的，可以利用所学的知识解决问题。探索能力具备了，创新能力增强了，探索性问题存在于各个领域，还怕我们的学生成为高分低能吗其实在探索中更多的是失败，但正是因为这种失败的经验来帮助学生不断地进步，他们在失败再失败后尝到成功的喜悦，在失败再失败中提高了探索创新能力。

其实开设探索性课堂，教师备课压力相当大，但教师课前的探索，课堂中与学生一起交流探索，教师从学生中学到很多，这在“教师一言堂”的复习课中是得不到的。学生在探索中成长，教师也在探索中成长。

为了设计探索问题，培养学生的探索能力我经历很多曲折，还在不断的尝试，不断地改进。我用我的尝试告诉大家，课堂上宁可少讲些知识（例题），也要探索。有了探索就会有创新，就有发展。试着探索吧，你一定会受益非浅的。

参考资料：

2006年全国各地中考试卷

关文信主编的《新课程理念与初中数学课堂教学实施》