第四讲 余数问题

有趣余数之性质与周期

一、基本概念

余数：我们在做除法运算的时候，被除数不能被除数整除，有剩余，这个剩余部分的数我们把它叫做余数。

被除数÷除数错误！未找到引用源。商…余数注：当余数大于0时也可称为不完全商

被除数错误！未找到引用源。除数错误！未找到引用源。商错误！未找到引用源。余数

除数错误！未找到引用源。（被除数错误！未找到引用源。余数）÷商

商错误！未找到引用源。（被除数错误！未找到引用源。余数）÷除数

二、余数的性质

余数的几个重要性质：

性质1：在带余除式中，余数总是比除数小。

性质2：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数之和被这个除数除，它的余数就是两个余数之和被这个除数除所得的余数。

性质3：A、B两数如果被同一除数来除，得到两个余数，那么A、B两数的积被这个除数除，它的余数就是两个余数的积被这个除数除所得的余数。

三、余数与周期

常考题型：

1.图形中的周期问题；

2.数列中的周期问题；

3.年月日中的周期问题。

做题是需要注意几点：

1.观察：数、图形或事物的变化是否重复出现并具有周期性。

2.确定：每几个数循环一次，周期长度是多少。

3.分析：每个循环节是按什么次序排列的。

4.注意：解答时要考虑把所得的余数同一个循环节内某种状态相对应。

例如：余数为3，就找循环节里面的第3个状态。

【例1】在算式( )÷15错误！未找到引用源。12……( )中，被除数最大是几？最小是几？

【巩固】哪些数除以6，能使商与余数相等。

【例2】一个数除以7余3，另一个数除以7余4，这两个数的和除以7余几？

【巩固】求478错误！未找到引用源。296错误！未找到引用源。351除以17的余数。

【例3】有249朵花，按5朵红花，9朵黄花，13朵绿花的顺序轮流排列，最后一朵是什么颜色的花？这249朵花中，红花、黄花、绿花各有多少朵？

【巩固】流水线上生产小木球涂色的次序是:先5个红，再4个黄,再3个绿，再2个黑，再1个白，然后再依次是5红，4黄，3绿，2黑，1白，…继续下去第1993个小珠的颜色是色。

【例4】2002年元旦是星期二，那么，2003年1月1日是星期几？

【巩固】2002年的6月1日是星期六，问这一年的10月1日是星期几？

【例5】有一个数列：1，2，3，5，8，13，……。(从第3个数起，每个数恰好等于它前面相邻两个数的和）求第1993个数被6除余几？

【巩固】有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍恰好等于它两边两个数之和。已知前两个

数是0和1，则最后一个数除以6的余数是。

【例6】一列数：1，3，4，7，11，18，29…(前两个数的和是后面一个数)到2006个数为止，共有个奇数。

【巩固】有一列数：2，3，5；2，3，5；2，3，5，…，到2012个数为止，共有多少个偶数？

〖答案〗

【例1】194，180

【巩固】0，7，14，21，28，35

【例2】0

【巩固】 1

【例3】红花有50朵，黄花有82朵，绿花有117朵

【巩固】黑色

【例4】星期三

【巩固】星期二

【例5】1

【巩固】 4

【例6】1338

【巩固】 671

a ÷

b =q …r ，其中0≤r ＜b 。 1． a =bq +r 2．余数小于除数

【例 1】

1996个7

77777 除以41的余数是 。

【巩固】数

2007个1

1111 ，被13除余多少？

【例 2】(小升初考试题)被除数、除数、商与余数之和是2143，已知商是33，余数是52，求被除数和除

数。

【巩固】(2003年全国小学数学奥林匹克试题)有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除

数、商与余数之和为2113，则被除数是多少？

【例 3】(2004年福州市“迎春杯”小学数学竞赛试题)一个自然数，除以11时所得到的商和余数是相等

的，除以9时所得到的商是余数的3倍，这个自然数是 。

带余除法

【巩固】(2000年“祖冲之杯”小学数学邀请赛试题)三个不同的自然数的和为2001，它们分别除以19, 23, 31所得的商相同，所得的余数也相同，这三个数是，，。

【例 4】(第五届小学数学报竞赛)用某自然数a去除1992，得到商是46，余数是r，求a和r。

【巩固】2009除以一个自然数，得到的商是44，那么余数是多少？

【例 5】(2008年第六届走美初赛五年级) 2008÷a b…6，a、b均为自然数。a有种不同的取值。

【巩固】1013除以一个两位数得到的余数为12，这个两位数有种可能的取值。

〖答案〗

【例 1】7

【巩固】7

【例 2】1999，59

【巩固】1968

【例 3】84

【巩固】523，631，847

【例 4】43，14

【巩固】29

【例 5】14

【巩固】 3

同余问题

【例 1】(2008年101中学考题)22008+20082除以7的余数是。

【巩固】(2003年南京市少年数学智力冬令营试题)22003与20032的和除以7的余数是。

【例 2】11+22+33+44+…+20052005除以10所得的余数为多少？

【巩固】43211234＋12344321的个位数字是多少？

【例 3】(2002年《小学生数学报》数学邀请赛试题)六名小学生分别带着14元、17元、18元、21元、26元、37元钱，一起到新华书店购买《成语大词典》。一看定价才发现有5个人带的钱不够，但是其中甲、乙、丙3人的钱凑在一起恰好可买2本，丁、戊2人的钱凑在一起恰好可买1本。这种《成语大词典》的定价是元。

【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)商店里有六箱货物，分别重15，16，18，19，20，31千克，两个顾客买走了其中的五箱。已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍，那么商店剩下的一箱货物重量是千克。

【例 4】(2002年全国小学数学奥林匹克试题)一个大于1的自然数去除300，243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是。

【巩固】(2000年全国小学数学奥林匹克试题)在除13511，13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是。

【例 5】(2005年全国小学数学奥林匹克试题)有一个整数，用它去除70，110，160所得到的3个余数之和是50，那么这个整数是。

【巩固】有一个自然数，用它分别去除63，90，130都有余数，3个余数的和是25。这3个余数中最大的一个是多少？

〖答案〗

【例 1】3

【巩固】5

【例 2】3

【巩固】5

【例 3】32

【巩固】20

【例 4】19

【巩固】98

【例 5】29

【巩固】20

【例 1】一个自然数在1000和1200之间，且被3除余1，被5除余2，被7除余3，求符合条件的数。

【巩固】在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7 整除，最

大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？

【例 2】一个大于100的自然数A 除以11余5，除以9余7，除以13余3，这个数最小是多少？

【巩固】一个大于10的数，除以5余3，除以7余1，除以9余8，问满足条件的最小自然数为 。

【例 3】在一个圆圈上有几十个孔(不到100个)，如图。小明像玩跳棋那样，从A 孔出发沿着逆时针方向，

每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回到A 孔。他先试着每隔2孔跳一步，结果只能跳到B 孔。他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B 孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回到A 孔，你知道这个圆圈上共有多少个孔吗？

【巩固】一个小于200的数，它除以11余8，除以13余10，这个数是多少？

中国剩余定理

例3图

【例 1】 1102【巩固】 258，259，260 【例 2】 1303【巩固】 323 【例 3】 91【巩固】 140