概率论模拟试题及答案

模拟试题一

一、 填空题（每空3分，共45分）

1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。

2、设事件A 与B 独立，A 与B 都不发生的概率为

1

9

，A 发生且B 不发生的概率与B 发生且A 不发生的概率相等，则A 发生的概率为： ；

3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ；

4、已知随机变量X 的密度函数为：

,0

()1/4,020,2

x Ae x x x x ??

, 则常数A= , 分布函数F (x )= , 概率{0.51}P X -<<= ； 5、设随机变量X~ B(2，p)、Y~ B(1，p)，若{1}5/9P X ≥=，则p = ，若X 与Y 独立，则Z=max(X,Y)的分布律： ； 6、设~(200,0.01),~(4),X B Y P 且X 与Y 相互独立，则D(2X-3Y)= , COV(2X-3Y , X)= ；

7、设125,,,X X X 是总体~(0,1)X N 的简单随机样本，则当k = 时，

~(3)Y t =

；

8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本，1

1n

i i X X n ==∑为

样本均值，则θ的矩估计量为： 。

9、设样本129,,,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =，求参数a 的置信度为95%的置信区间： ；

二、 计算题（35分）

1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为：

1,

02

()2

0,

x x x ??≤≤?=???其它

求：1）{|21|2}P X -<；2）2

Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为

1/4,

||,02,(,)0,

y x x x y ?<<

?其他

1） 求边缘密度函数(),()X Y x y ??； 2） 问X 与Y 是否独立？是否相关？ 3） 计算Z = X + Y 的密度函数()Z z ?；

3、（11分）设总体X 的概率密度函数为：

1,

0(),000

x

e x x x θ?θθ

-?≥?=>??

X 1,X 2,…,X n 是取自总体X 的简单随机样本。

1）求参数θ的极大似然估计量?θ；

2）验证估计量?θ是否是参数θ的无偏估计量。

三、 应用题（20分）

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 附表：

0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======

答案（模拟试题一）

四、填空题（每空3分，共45分）

1、0.8286 ，0.988 ；

2、2/3 ；

3、

142

126

6

11

12

C C?

，

6

12

6

6!

12

C

；

4、1/2, F(x)=

1

,0

2

1

,02

24

1,2

x

e x

x

x

x

?

≤

?

?

?

+<≤

?

?

>

?

??

，{0.51}

P X

-<<=0.5

31

42

e-

-；

5、p = 1/3，Z=max(X,Y)的分布律：Z 0 1 2

P 8/27 16/27 3/27；

6、D(2X-3Y)= 43.92, COV(2X-3Y, X)= 3.96 ；

7、当k

~(3) Y t =；

8、θ的矩估计量为：2X。

9、[9.216，10.784]；

五、计算题（35分）

1、解1）

9 {|21|2}{0.5 1.5}

16 P X P

X

-<=-<

<=

2）

(0 ()

0,0

1

,04

4

0,

X X

Y

y y

y

y

??

?

+> =

≤

?

?

≤≤

?

=?

??其它

3）

45 (21)2121

33 E X EX

-=-=?-=

2、解：1）1,

02,02()(,)420,0,

x X x

x dy x x x x y dy ??+∞

--∞??<<<

?

??其它

其它

2||11

,

||2

(2||),

||24

()(,)40,

0,

y Y dx y y y y x y dx ??+∞

-∞??<-

?????其它其它 2）显然，(,)()()X Y x y x y ???≠，所以X 与Y 不独立。

又因为EY=0，EXY=0，所以，COV(X,Y)=0，因此X 与Y 不相关。

3）

22()(,)1

1,04,044280,

0,Z z z x z x dx

z dx z z ??+∞

-∞

=-??<<-<

??其它

其它

3、解1）1

121

1

1

(,,,,)n

i

i

i x x n

n n

i L x x x e

e

θ

θ

θθθ

=-

-=∑=

=

∏

12ln (,,,,)ln n nx

L x x x n θθθ

=--

令

2ln 0d L n nx

d θθθ

=-+= 解出：?X θ= 2）?E EX EX θ

θ=== ?θ

θ∴是的无偏估计量。 六、 应用题（20分）

1、（10分）设某人从外地赶来参加紧急会议，他乘火车、轮船、汽车或飞机来的概率分别是3/10，1/5，1/10和2/5。如果他乘飞机来，不会迟到；而乘火车、轮船或汽车来，迟到的概率分别是1/4，1/3，1/2。现此人迟到，试推断他乘哪一种交通工具的可能性最大？ 解：设事件A1，A2，A3，A4分别表示交通工具“火车、轮船、汽车和飞机”，其概率分别等于3/10，1/5，1/10和2/5，事件B 表示“迟到”，

已知概率{|},1,2,3,4i P B A i =分别等于1/4，1/3，1/2，0 则4

1

{)()(|)i i i P B P A P B A ==

=

∑23

120

111()(|)9(|)()23P A P B A P A B P B =

=，222()(|)8

(|)()23P A P B A P A B P B ==

333()(|)6(|)()23P A P B A P A B P B =

=，444()(|)

(|)0()

P A P B A P A B P B ==

由概率判断他乘火车的可能性最大。

2．（10分）环境保护条例，在排放的工业废水中，某有害物质不得超过0.5‰，假定有害物质含量X 服从正态分布2(,)N a σ。现在取5份水样，测定该有害物质含量，得如下数据：

0.530‰，0.542‰，0.510‰，0.495‰，0.515‰ 能否据此抽样结果说明有害物质含量超过了规定(0.05α=)？ 解：0:0.5H a ≤（‰），1:0.

5H a >

拒绝域为：00.95(4)}x t χ=> 计算0.5184,0.018x s ==

0.952.2857(4)t t =

=>， 所以，拒绝0H ，说明有害物质含量超过了规定。 附表：

0.9750.950.9750.950.9750.951.96 1.65,4 2.776,4 2.132, 2.571,4 2.015,()()(5)()t t t t u u ======

模拟试题二

一、填空题(45分，每空3分)

1．设()0.5,(|)0.6,()0.1,P A P B A P AB === 则()P B = ，

()P AB = 。

2．设,,A B C 三事件相互独立，且()()()P A P B P C ==，若37

()64

P A B C ??=

，则

()P A = 。

3．设一批产品有12件，其中2件次品，10件正品，现从这批产品中任取3件，若用X 表

示取出的3件产品中的次品件数，则X 的分布律为

。 4．设连续型随机变量X 的分布函数为 ()arctan(),

F x A B x x R =+∈

则(,)A B = ，X 的密度函数()x ?= 。 5．设随机变量~[2,2]X U -，则随机变量1

12

Y X =

+的密度函数 ()Y y ?= 。

6．设,X Y 的分布律分别为

X -1 0 1 Y 0 1 P 1/4 1/2 1/4 P 1/2 1/2

且{0}0P X Y +==，则(,)X Y 的联合分布律为

； 和{1}P X Y +== 。 7．设(,)~(0,25;0,36;0.4)X Y N ，则cov(,)X Y

= ，1

(31)2

D X Y -+= 。

8．设1234(,,,)X X X X 是总体(0,4)N 的样本，则当a = ，b = 时，统

计量221234(2)(34)X a X X b X X =-+-服从自由度为2的2

χ分布。

9．设12(,,,)n X X X 是总体2

(,)N a σ的样本，则当常数k = 时，

2

21

?()n

i i k X X σ

==-∑是参数2σ的无偏估计量。 10．设由来自总体2

~(,0.9)X N a 容量为9的样本，得样本均值x =5，则参数a 的置信度

为0.95的置信区间为 。

二、计算题(27分)

1．(15分)设二维随机变量(,)X Y 的联合密度函数为

1

(),

02,02(,)8

0,

x y x y x y ??+≤≤≤≤?=???其它

（1） 求X Y 与的边缘密度函数(),()X Y x y ??； （2） 判断X Y 与是否独立？为什么？ （3） 求Z X Y =+的密度函数()Z z ?。 2．(12分)设总体X 的密度函数为

(),()0,

x e x x x θθ?θ

--?≥=?

其中0θ>是未知参数，12(,,,)n X X X 为总体X 的样本，求

（1）参数θ的矩估计量1?θ； （2）θ的极大似然估计量2

?θ。 三、应用题与证明题(28分)

1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有

3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， （1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；

（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中

恰有2件次品的概率。

2．(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算得

平均成绩66.5x =分，标准差15s

= 分，问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。

3．(8分)设0()1P A <<，证明：A B 与相互独立?(|)(|)P B A P B A =。 附表：

0.950.9750.950.951.65, 1.96,(35) 1.6896,(36) 1.6883,u u t t ==== 0.9750.975(35) 2.0301,(36) 2.0281,t t ==

答 案（模拟试题二）

一、填空题(45分，每空3分)

1．()0.4,()0.4P B P AB ==

2．1()4

P A =

3． X 0 1 2

P 6/11 9/22 1/22

4．11(,)(,

)2A B π=， 21

(),(1)

x x R x ?π=∈+

5．1,

[0,2]()2

0,

[0,2]

Y y y y ??∈?=????

6．

3

{1}4

P X Y +==

7．1

cov(,)12,(31)1982

X Y D X Y =-+=

8．11,20100a b =

=； 9．1

1

k n =-； 10. (4.412, 5.588)

二、计算题(27分)

1．

（1）1

1

(1),

[0,2](1),

[0,2](),

()4

4

0,

[0,2]

0,

[0,2]

X Y x x y y x y x y ????+∈+∈??==????????

（2）不独立

（3）21,0281

()(4),

2480,Z z z z z z z ??≤≤???=-≤≤?????

其它

2．（12分）

（1）计算()1x EX xe dx θθ

θ+∞

--=

=+?

根据矩估计思想，1x EX θ==+

解出：1

?1X θ=-； （2）似然函数 ())

11,,(,,,)0,0,i n x nx n i i i n e x e

x L x x θθθθθ---+=?≥?≥??==??

????

∏ 其它其它 显然，用取对数、求导、解方程的步骤无法得到θ的极大似然估计。用分析的方法。因为(1)x θ≤，所以(1)

x e e

θ

≤，即11(1)(,,,)(,,,)n n L x x L x x x θ≤

所以，当2(1)1?min(,,)n X X X θ== 时，使得似然函数达最大。极大似然估计为2?θ。

三、应用题与证明题(28分)

1．(12分)已知甲，乙两箱中有同种产品，其中甲箱中有3件正品和3件次品，乙箱中仅有

3件正品，从甲箱中任取3件产品放入乙箱后， （1）求从乙箱中任取一件产品为次品的概率；

（2）已知从乙箱中取出的一件产品为次品，求从甲箱中取出放入乙箱的3件产品中

恰有2件次品的概率。

解：（1）设i A 表示“第一次从甲箱中任取3件，其中恰有i 件次品”，（i=0,1,2,3） 设B 表示“第二次从乙箱任取一件为次品”的事件；

321123111

3333333123313131

16666666

1

()()(|)04n

i i i C C C C C C C C C P B P A P B A C C C C C C C ===?+?+?+?=∑

（2）22()

(|)0.6()

P A B P A B P B =

=

2．(8分)设某一次考试考生的成绩服从正态分布，从中随机抽取了36位考生的成绩，算

得平均成绩66.5x =分，标准差15s

= 分，问在显著性水平0.05α=下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分，并给出检验过程。 解： 0:70H a =（‰），1:70H a ≠

拒绝域为：00.97570

{|

(35)}x t s

χ-=> … 根据条件66.5x =，15s

= ，计算并比较 0.9751.4(35) 2.0301x t =<= 所以，接受0H ，可以认为平均成绩为70分。

3．(8分)设0()1P A <<，证明：A B 与相互独立?(|)(|)P B A P B A =。 证明：因为(|)(|)P B A P B A = ? ()()()()P AB P A P AB P A =

()[1()][()()]()P AB P A P B P AB P A ?-=- ()()()P AB P B P A ?=

? A B 与相互独立

模拟试题三

一、填空题（每题3分，共42分）

1．设()0.3,

()0.8,P A P A B =?= 若A B 与互斥，则()P B = ；

A B 与独立，则()P B = ；若A B ?，则()P AB = 。

2．在电路中电压超过额定值的概率为1p ，在电压超过额定值的情况下，仪器烧坏的概率为2p ，则由于电压超过额定值使仪器烧坏的概率为 ；

3．设随机变量X 的密度为34,01

()0,x x x ??<<=??

其它，则使{}{}P X a P X a >=<成立的

常数a = ；{0.5 1.5}P X <<= ；

4．如果(,)X Y 的联合分布律为

Y 1 2 3 X

1 1/6 1/9 1/18

2 1/3

α β

则,αβ应满足的条件是 01,01,1αβ

αβ

≤≤≤≤+= ，若X Y 与独立，

α= ，β= ，(31)E X Y +-= 。

5．设~(,)X B n p ，且 2.4,

1.44,EX DX == 则n = ，p = 。

6．设2

~(,)X N a σ，则3

2

X Y -=

服从的分布为 。 7．测量铝的比重16次，得 2.705,

0.029x s ==， 设测量结果服从正态分布2(,)N a σ，

参数2,a σ未知，则铝的比重a 的置信度为95%的置信区间为 。 二、（12分）设连续型随机变量X 的密度为：

,0

()0,

0x ce x x x ?-?>=?

≤? （1）求常数c ； （2）求分布函数()F x ； （3）求21Y X =+的密度()Y y ?

三、（15分）设二维连续型随机变量(,)X Y 的联合密度为

,01,0(,)0,

c x y x

x y ?<<<

?其它

（1）求常数c ； （2）求X Y 与的边缘密度(),()X Y x y ??； （3）问X Y 与是否独立？为什么？

（4）求Z X Y =+的密度()Z z ?； （5）求(23)D X Y -。

（2） 参数θ的极大似然估计量2

?θ；

五、（10分）某工厂的车床、钻床、磨床和刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1，当有一台机床需要修理时，求这台机床是车床的概率。

六、（10分）测定某种溶液中的水份，设水份含量的总体服从正态分布2(,)N a σ，得到的10个测定值给出0.452,0.037x s

== ，试问可否认为水份含量的方差20.04σ=？（0.05α=）

22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,χχχχ====

答 案（模拟试题三）

一、填空题（每题3分，共42分）

1． 0.5 ； 2/7 ； 0.5 。 2． 1p 2p ； 3

{0.5 1.5}P X <<= 15/16； 4． 01,01,1/3αβαβ≤≤≤≤+=， α= 2/9 ，β= 1/9 ， 17/3 。

5． n = 6 ，p = 0.4 。

6．2

3(,)24

a N σ-。 7． (2.6895, 2.7205) 。

四、（11分）设总体X 的密度为

(1),01

()0,

x x x θθ??+<<=?

?其它 其中1θ>-是未知参数，1(,,)n X X 是来自总体X 的一个样本，求

（1） 参数θ的矩估计量1

?θ； 附表：

22220.050.0250.050.05(10) 3.94,(10) 3.247,(9) 3.325,(9) 2.7,χχχχ====

二、解：（1）

()11x x dx ce dx c ?+∞+∞

--∞

=?

==?? （2）0

0,0()()1,0x

x t x

x F x t dt e dt e x ?---∞≤??

==?=->???? （3）Y 的分布函数1

(){21}{}2

Y y F y P X y P X -=+<=<

1

12

20

,

11,

10,1

0,

1y y x e dx y e y y y ----??

??>->==????≤≤?

?? 1

21,

1()2

0,1

y Y e y y y ?--?>?∴=??≤?

三、解：（1）1

00

1(,)2

x

c

x y dxdy cdydx ?+∞+∞

-∞

-∞

=

==

??

?

?

， 2c ∴= （2）022,01

()(,)0,

x X dy x x x x y dy ??+∞

-∞

?=<

122(1),01

()(,)0,

y Y dy y y y x y dx ??+∞-∞

?=-<

（3）X Y 与不独立；

（4）/2

1

/2

2,01()(,)22,120,

z z X Y z dy z z z x z x dx dy z z ??+∞+-∞?=<

??

???其它

（5）11

2

230

212,23

2

EX x dx EX x dx ====

?? 1

122

00112(1),2(1)36EY y y dy EY y y dx =

-==-=?? 22121111

(),()23186318DX DY =-=

=-= 1001

2,4

x EXY xydydx ==??

1211

cov(,)43336

X Y EXY EX EY ∴=-?=-?=

7

(23)492c o v (2,3)

18

D X Y

DX DY X Y ∴-=+-= 四、解：（1）1

1

(1),2

EX x x dx θθθθ+=

+=

+?

令EX x =，即

1

2

x θθ+=+ 解得1

21

?1X X

θ-=-。

（2）1

1

()(,)(1)(),

01,1,2,...,n

n

n

i

i

i i i L x x x i n θθ?θθ===

=+<<=∏∏

1ln ()ln(1)ln n

i i L n x θθθ==++∑，1

ln ()ln 01n

i i L n

x θθθ=?=+=?+∑

解得2

1

?1ln n

i

i n

X

θ==--∑

五、解：设1A ={某机床为车床}，19()15

P A

=； 2A ={某机床为钻床}，21()5P A =

； 3A ={某机床为磨床}，32

()15P A =；

4A ={某机床为刨床}，41

()15P A =；

B ={需要修理}，11(|)7P B A =，22(|)7P B A =，33(|)7P B A =，41

(|)7

P B A =

则4

1

22()()(|)105

i i i P B P A P B A ==

=

∑ 111()(|)9

(|)()22

P A P B A P A B P B =

=。

六、解：2

201:0.04,

:0.04H H σσ=≠ 拒绝域为：2

2/21/2220

(1)(1){

(1)}{

(1)}n S n S

n n ααχχσ

σ

---<->- 或

计算得

220

(1)(91)0.0370.27380.04

n s

σ--?== ，查表得20.025(9) 2.70.2738χ=>

样本值落入拒绝域内，因此拒绝0H 。

22220.9750.9750.950.95(10)20.483,(9)19.023,(10)18.307,(9)16.919,χχχχ====

模拟试题四（概率论）

一、填空题（每题3分，共42分）

1、 设A 、B 为随机事件，()0.8P B =，()0.2P B A -=，则A 与B 中至少有一个

不发生的概率为 ；当A B 与独立时，则

(())P B A B ?= 。

2、 椐以往资料表明，一个三口之家患某种传染病的概率有以下规律：()孩子得病P =

0.6，()孩子得病母亲得病P =0.5，()

孩子得病母亲及父亲得病P =0.4，那么一个三

口

之

家

患

这

种

传

染

病

的

概

率

为 。

3、设离散型随机变量X 的分布律为：,...)2,1,0(!

3)(===k k a k X P k

，则a =_______，=≤)1(X P 。

4

、

若

连

续

型

随

机

变

量

X

的分布函数为

??

??

???>≤<-+-≤=3,

133,3a r c s i n 3,

0)(x x x B A x x F

则常数=A ，=B ，密度函数

=)(x ? ;

5、已知连续型随机变量X

的密度函数为221

8

(),x x f x x -+-=

-∞<<+∞，则

=-)14(X E ， =2

EX 。

()=<-21X P 。

6、设X ～]3,1[U ， Y ～)2(P ，且X

与Y 独立， 则

附表：

22220.050.0250.050.05(10) 3.94,(10) 3.247,(9) 3.325,(9) 2.7,χχχχ====

)3(--Y X D )= 。

7、设随机变量Y X ,相互独立，同服从参数为分布)0(>λλ的指数分布，令

Y X V Y X U -=+=2,2的相关系数。则=),(V U COV ,

=V U ,ρ 。

（注：6915.0)5.0(,8143

.0)1(=Φ=Φ） 二、计算题（34分）

1、（18分）设连续型随机变量)(Y X ，的密度函数为

,01,01

(,)0,

x y x y x y ????

??+≤≤≤≤=其他

（1）求边缘密度函数)(),(y x Y X ??； （2）判断X 与Y 的独立性； （3）计算cov(,)X Y ；

（3）求),max(Y X Z =的密度函数)(z Z ?

2、（16分）设随机变量X 与Y 相互独立，且同分布于)10)(,1(<

1,0X Y Z X Y +?=?+?

若为偶数

，若为奇数。

（1）求Z 的分布律；

（2）求)(Z X ，的联合分布律；

（3）问p 取何值时X 与Z 独立？为什么？

三、应用题（24分）

1、 （12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障

则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。

2、 （12分）将A 、B 、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输

出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA ，BBBB ，CCCC 之一输入信道，输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA ，问输入的是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。

答 案（模拟试题四）

一、填空题（每题3分，共42分）

1、 0.4 ； 0.8421 。

2、 0.12 。

3、3

e -， 3

4e -。

4、1/2，1/π， ??

???

<<--=其他

,03

3,91)(2

x x

x π?。

5、3， 5 ， 0.6286 。

6、 2.333 。

7、2

3/λ,

=V U ,ρ 3/5 。

二、计算题（30分）

1、解 （18分）

（1）

??

?≤≤+==其他

,01

0,2/1)()(x x x x Y X ??

（2） 不独立。

（3） ???≤≤=其他

,01

0,3)(2z z z Z ?

2、解 （1）求Z 的分布律；

pq Y X P Y X P Z P 2)0,1()1,0()0(===+==== 22)1,1()0,0()1(q p Y X P Y X P Z P +===+==== （2）)(Z X ，的联合分布律：

（3）当 5.0=p 时，X 与Z 独立。

三、应用题（24分）

1、（12分）假设一部机器在一天内发生故障的概率是0.2。若一周5个工作日内无故障则可获10万元；若仅有1天故障则仍可获利5万元；若仅有两天发生故障可获利0万元；若有3天或3天以上出现故障将亏损2万元。求一周内的期望利润。（5.216万元） 解：设X 表示一周5个工作日机器发生故障的天数，则X ～)2.0,5(B ，分布律为：

5,...,1,0,8.02.0)(55===-k C k X P k k k

设Y （万元）表示一周5个工作日的利润，根据题意，Y 的分布律

????

???=≥≥-===========057

.0)3(,3,2205.0)2(,2,0410.0)1(,1,5328

.0)0(,0,10)(X P X X P X X P X X P X X f Y

则216.5=EY （万元）。

2、（12分）将A 、B 、C 三个字母之一输入信道，输出为原字母的概率为0.8，而输出为其它一字母的概率都为0.1。今将字母AAAA ，BBBB ，CCCC 之一输入信道，输入

AAAA ，BBBB ，CCCC 的概率分别为0.5，0.4，0.1。已知输出为ABCA ，问输入的

是AAAA 的概率是多少？（设信道传输每个字母的工作是相互独立的）。

解：设321,,A A A 分别表示输入AAAA ，BBBB ，CCCC 的事件，B ~

表示输出为

ABCA 的随机事件。由贝叶斯公式得：∑==

3

1111)~

()()~

()()~

(i i i

A B P A P A B P A P B A P

1.0)(,4.0)(,5.0)(321===A P A P A P

0064.08.01.01.08.0)~

(1=???=A B P 0008.01.01.08.01.0)~

(2=???=A B P 0008

.01.08.01.01.0)~

(3=???=A B P

10.50.00648

()0.50.00640.00080.40.00080.19

P A B

?==?+?+?