(11))
1
!+∞
-=
?
n n
ax
a
n dx x e
(0,>=a n 正整数)
(12)
a
dx e
ax
π2
10
2
=
?
∞
-
(13) 1
21
22
!)!12(2
++∞
--=
?n n ax
n
a
n dx e
x
π
(14)
1
1
22!2
+∞
-+=
?
n ax
n a
n dx e
x
(15)
2
sin
2
2
a dx x
ax
π?∞
=
(16)
?∞
-+=0
2
2
2
)(2sin b a ab bxdx xe
ax
(0>a )
?
∞
-+-=
2
2
222
)
(c o s b a b
a b x d x xe
ax
(0>a )
第二章：函数与波动方程
[1] 试用量子化条件,求谐振子的能量[谐振子势能2
2
2
1)(x m x V ω=
]
(解)(甲法)可以用Wilson-Sommerfeld 的量子化条件式:?=nh pdq
在量子化条件中,令?
=x m p 为振子动量,x q = 为振子坐标,设总能量E 则 2
22
22
x m m
P
E ω+
= )2
(22
2x m E m p ω-
=
代入公式得:
nh dx x m E m =-
?
)2
(22
2ω
量子化条件的积分指一个周期内的位移,可看作振幅OA 的四倍,要决定振幅a ,注意在A 或B 点动能为0,2
22
1a m E ω=,(1)改写为:
nh dx x a m a
a =-?-2
2
2ω
(2)
积分得:nh a m =πω2
遍乘
πω21得
ωπ
ω n h E ==
2
[乙法]也是利用量子化条件,大积分变量用时间t 而不用位移x ,按题意振动角频率为ω,直接写出位移x ,用t 的项表示:
t a x q ωsin ==
求微分:tdt a dx dq ωωcos == (4)
求积分:t ma x m p ωωcos ==?
(5) 将(4)(5)代量子化条件:
nh tdt ma pdq
T
==??
2
2
2cos ωω
T 是振动周期,T=
ω
π
2,求出积分,得
nh a m =πω2
ωπ
ω n n h E ==
2
3,2,1=n 正整数
#
[2]用量子化条件,求限制在箱内运动的粒子的能量,箱的长宽高分别为.,,c b a
(解)三维问题,有三个独立量子化条件,
可设想粒子有三个分运动,每一分运动是自由运动.设粒子与器壁作弹性碰撞,则每碰一次时,与此壁正交方向的分动量变号(如
p
p
x
x
-
→),其余分动量不变,设想粒子从某一分运动完
成一个周期,此周期中动量与位移同时变号,量子化条件:
p
p n q
p x
a
x x x
x
a dx h d
22
0===?
? (1) p
p n q
p y
b
y
y y
y
b
dy h d
22
0===
?
? (2)
p
p n
q
p z
c
z
z
z
z c
dz h d 22
===
?
? (3)
p
p p z
y
x
,,都是常数,总动量平方2
2
2
z y x p p p p ++=总能量是:
)(21
22
222
z y x p p p m
m
p
E ++=
=
=
])2(
)2(
)2[(
212
2
2
c
h
b
h
a
h
m n
n
n
z
y
x
++
=
])(
)(
)[(82
2
2
2
c
b
a
m
h
n
n
n
z
y
x
++
但3,2,1,,=n n n z y x 正整数. #
[3] 平面转子的转动惯量为I ,求能量允许值.
(解)解释题意:平面转子是个转动体,它的位置由一坐标（例如转角?）决定,它的运动是一种
刚体的平面平行运动.例如双原子分子的旋转.按刚体力学,转子的
角动量I ω,但?
=?ω是角速度,能量是2
2
1ωI =
E
利用量子化条件,将p 理解成为角动量,q 理解成转角?,一个周期内的运动理解成旋转一周,则有
nh d pdq
=I =I =
??
ωπ?ωπ
220
(1)
(1) 说明ω是量子化的 (2) I
=I
=
n nh πω2 (3,2,1=n ……..) (2)
(3) 代入能量公式,得能量量子化公式:I
=
I I =I =2)(22
12
2
22
n n E ω
(3) #
[4]有一带电荷e 质量m 的粒子在平面内运动,垂直于平面方向磁场是B,求粒子能量允许值.
(解)带电粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动,设圆半径是r ,线速度
是v ,用高斯制单位，洛伦兹与向心力平衡条件是:
r
mv c
Bev 2
= (1)
又利用量子化条件,令=p 电荷角动量 =q 转角?
nh mrv mrvd pdq
===
??
π?π
220
(2)
即 nh mrv = (3) 由(1)(2)求得电荷动能=
mc
n Be mv
2212
=
再求运动电荷在磁场中的磁势能,按电磁学通电导体在磁场中的势能=
c
B
r ev c
c
*****2
π=
=
场强
线圈面积电流场强
磁矩,v 是电荷的旋转频率, r
v v π2=
,
代入前式得
运动电荷的磁势能=
mc
n Be 2 (符号是正的)
点电荷的总能量=动能+磁势能=E=
mc
n Be 2 ( 3,2,1=n )
#
[5]对高速运动的粒子(静质量m )的能量和动量由下式给出:
2
221c
v mc E -=
(1)
2
22
1c
v mv p -
=
(2)
试根据哈密顿量 2
242p c c m E H +== (3)
及正则方程式来检验以上二式.由此得出粒子速度和德布罗意的群速度相等的关系.计算速度并证明它大于光速.
(解)根据(3)式来组成哈氏正则方程式组:
p
q
i
i
H ?
?=
?
,本题中v q i
=?
,
p p
i
=,因而
2
2
4
2
2
2
242p
c c m p c p
c c m p
v +=
+??=
(4)
从前式解出p (用v 表示)即得到(2).又若将(2)代入(3),就可得到(1)式.
其次求粒子速度v 和它的物质波的群速度v G 间的关系.运用德氏的假设: k p =于(3)式右方, 又用ω =E 于(3)式左方,遍除h :
)(2
224
2
k k
c c m ωω=+=
按照波包理论，波包群速度v G 是角频率丢波数的一阶导数：
2
22
4
2k
c c m k
v
G
+??=
=
2
2
4
2
2
2
2
24
2
2p
c c m p c k
c c m k c +=
+
最后一式按照（4）式等于粒子速度v ，因而v v G =。 又按一般的波动理论，波的相速度v G 是由下式规定
k
v
p
ω
υλ=
= （υ是频率）
利用（5）式得知
c c
k
c m v
p
>+=
2
2
2
42 （6）
故相速度（物质波的）应当超过光速。
最后找出v G 和v p 的关系，将（1）（2）相除，再运用德氏波假设： v
G
c
v
c
k
p E 2
2
=
== ω，
v
v
G
p
c
2
=
（7）
#
[6]（1）试用Fermat 最小光程原理导出光的折射定律
αα22
11
s i n s i n n
n
=
（2）光的波动论的拥护者曾向光的微粒论者提出下述非难： 如认为光是粒子，则其运动遵守最小作用量原理?=0pdl
δ
认为mv p =则
?=0pdl
δ
这将导得下述折射定律
α
α
1
3
3
1
sin
sin
n
n
=
这明显违反实验事实，即使考虑相对论效应，则对自由粒子：2
c
Ev p =仍就成立，E 是
粒子能量，从一种媒质到另一种媒质E 仍不变，仍有?=0pdl
δ
，你怎样解决矛盾？
（解）甲法：光线在同一均匀媒质中依直线传播，因此自定
点A 到定点B 的路径是两段直线：光程
QB AQ I n
n
2
1
+
=
设A ，B 到界面距离是a,b(都是常量)有 αα22
11
sec sec b a I n
n
+=
又AB 沿界面的投影c 也是常数，因而α1，α2存在约束条件： c btg
atg
=+α
α
2
1
（2）
求(1)的变分,而将α1,α2看作能独立变化的,有以下极值条件
0sec sec 2222
1111
=+
=
ααααααδd tg b tg a I n
d n
(3)
再求（2）的变分 0s e c s e c 222
112
==+c d b a d δαααα (3)与(4)消去α1d 和α2d 得
αα22
11
sin sin n
n
= (5)
[乙法]见同一图,取x 为变分参数,取0为原点，则有: )(2
22
2
21
x c b x
a I n
n
-++
+=
求此式变分,令之为零,有： 0)
()(2
2
22
2
1=-+--
+=
x c b x
x c x a x
x I n
n
δδδ
这个式子从图中几何关系得知,就是(5).
(2)按前述论点光若看作微粒则粒子速度v 应等于光波的群速度v G 光程原理作
0=?dl v
G
δ
,依前题相速v
v G
p c
2
=
,而cn c
v
v p
G ==
2
,n 是折射率,n 是波前阵面更引起的,而
波阵面速度则是相速度v p ,这样最小作用量原理仍可以化成最小光程原理.
?=0ndl δ
前一非难是将光子的传播速度v 看作相速度v p 的误解. #
[7]当势能)(r V 改变一常量C 时,即c r V r V +→)()(
,粒子的波函数与时间无关部分变否?能量本征值变否?
(解)设原来的薛定谔方程式是 0)]([22
22
=-+
ψψx V E m dx d
将方程式左边加减相等的量ψC 得:
0]})([]{[22
22
=+-++
ψψC x V C E m dx
d
这两个方程式从数学形式上来说完全相同,因此它们有相同的解)(x ψ, 从能量本征值来说,后者比前者增加了C 。 #
[8]设粒子势能的极小值是>E n V
min
(证)先求粒子在某一状态中的平均值能量E x d r V m
E 3
22
*
])(2[???+?-
=
υ
ψψ
其中动能平均值一定为正:
x d m
T 3
22
*
)2(????-
=
ψψ
=?????-??-
τψψψψd m }][{2*
*2
=???
???
??+
???-
τψψτψψd m
d m
*
2
*
2
2)(2
用高斯定理:τψψψψd m
s d m
T B
??+
??-
=???
??
*
2
*
2
2)(2
=
??????τ
τψψ
d m
*
2
2
中间一式的第一项是零,,因而0>T 因此 V V T E >+=,能
让能量平均值 V V min
>因此V
E min
>令ψψn
=(本征态)则E
n
E =
而
V
E
n
m i n
>得证
#
[9]设粒子在势场)(r V
中运动
(1)证明其能量的平均值
是:dx m
Wdx
E ?????=
=]2[
*
2
2
ψψ
(1)
其中W 是能量密度 (2)证明能量守恒公式
0=??+??S t
W
(2)
其中 )(2*
*
2ψψψ???+???-
=t
t m S (能流密度) (证明)(1)三维粒子的能量算符是:ψψV m
H +?-
=∧
2
2
2
(3)
求∧
H 在状态ψ中的平均值 x d V m
dx H E 3
22
*
*
)2(??????+?-
=
=
∧
τ
τ
ψψψψψ
由于ψ?ψ?-ψ?ψ?=ψ?ψ**2*)(，将此式代入前一式：
???
???
ψ?ψ+
ψ?ψ?-ψ?ψ?-
=
r
r
dx dx m
E *
3
*
*
2
})({2
???
???
???
ψ?ψ+
ψ?ψ?+
ψ?ψ?-
=r
r
r
dx dx
m
dx
m
*
3
*2
3
*2
2)({2
最末一式按高斯定理化为面积分 S d dx
m
r
S
?ψ?ψ=
ψ?ψ?-
?????
*
3
*
2
)(2
若ψ满足平方可积条件，则0*
lim =ψ?ψ∞
→r ，S 考虑为无限远处的界面。结果证得公式⑴
⑵求⑴式中能量密度W 的时间偏导数，注意ψ。*ψ一般都含时间，ψ?，*ψ?也是如
此，因而：}2{*
*
2
ψ?ψ+ψ?ψ???
=
??m t t
W
t
t
t
t
m ?ψ??
ψ+ψ??ψ?+
ψ??ψ??
+?ψ??
ψ?=
*
*
*
*
2
}{2
]}[
][{22
*
*
2*
*
2
ψ??ψ?+
ψ??ψ?-ψ???ψ?+
?ψ??
ψ???=
t
t
t
t
m
t
t ?ψ??
ψ+ψ??ψ?+*
*
]2[][22
2
*
*
*
2
ψ?+ψ?-
?ψ?+
ψ???ψ?+
?ψ??
ψ???=
m
t
t
t
m
]2[*
*22
ψ?+ψ?-
?ψ?+
m
t
粒子满足含时间薛定谔方程及其共轭方程式： ψ?+ψ?-
=?ψ?2
2
2m
t
i
*
*22
*
2ψ?+ψ?-
=?ψ?-m
t
i
又设][2*
*2ψ??ψ?+ψ???ψ?-≡t
t m S 则有
S t
t t t S t W
?-?=?ψ??ψ?-?ψ??ψ?+?-?=??** 公式⑵得证。
[10]设N 个粒子的哈密顿量为：
][2?1
2
12
j i N
i ij i N
i r r m
H
-+
?-=∑
∑
==ρ ⑴
),(21t r r r N
ψ是它的任一态函数，定义：
∑=
),(),(t r t r i
ρρ ⑵
∑
=
),(),(t r j t r j i
⑶
ψψ=??*
3333311),(N r d r d r d t r
ρ
)(2),(*
11*33333
11ψ?ψ-ψ?ψ=
??N r d r d r d
im
t r j
求证：
0=??+??j t
ρ ⑷
[证明]按定义：
),(t r t
t
i
i
∑
??=
??ρρ
∑
??ψψ??=
+-i
N
i i t
r d r d r d r d *
3
131313
∑??ψ?ψ?+
?ψ?ψ
=
+-i
N i i t
t
r d r d r d r d
)(*
*
3
13
13
13
∑
=
i
i i t r ),(
ρ ⑸
多粒子的体系的状态),(21t r r r N
ψ应当满足多粒子薛定谔方程式，写出这个方程式和其共轭方程式： ∑∑
ψ+
ψ?
-
=
?ψ?jk
jk
k
v
m
t
i
)2(2
2
（6a ）
∑∑ψ+
ψ?
-=
?ψ?-jk
jk
k
k
v
m t
i
*
*
22
*
)2(
(6b)
将前二式等式右方的式子代替左方的
t
?ψ?，
t
?ψ?*
，代进式⑸
)(2*
22*13
1313ψ?ψ-ψ?ψ-
=
??∑??+-k k k
i i i im r d r d r d t
ρ
)(1**131313ψψ-ψψ-
+∑??+-jk jk jk
i i v v i r d r d r d
)(2*2
2*3
131313ψ?ψ-ψ?ψ?-=∑
??+-k k k
N i i im r d r d r d r d
)(2*
*,3
131313ψ?ψ-ψ?ψ???-=∑
??+-k k k k
N i i im
r d r d r d r d
————————————⑺
又待证的公式的等号左方第二项是：
),(t r j j i i
i i
i ∑∑??≡??
]),(),()[(1121
++?+?+?=t r j t r j i i i
),(),(),(222111t r j t r j t r j i i i ??+??+??=
∑??=
i
i i i t r j ),(
)(2*
*,3131313
ψ?ψ-ψ?ψ???=
∑??+-i i i i
N i i r d r d r d r d im
⑻
∑
∑
??∑
ψ?ψ-ψ?ψ???=
??=
??+-i
k k k k
N i i i
i im
r d r d r d r d t
t
)
(2*
*,3
131313 ρρ
------------------------------------⑼
将⑼式两个求和合一，注意到k i ≠的项不存在，因而⑻⑼等值异号。 [11]设1ψ与2ψ是薛定谔方程式两个解，证明???τ
ψψ
3
21
*),(),(dx t x t x 与时间无关。
[证明]试将此式对时间求偏导数，再利用1
*
ψ，2ψ所满足的薛定谔方程式，有： x d t
t
x d t
3
21
*
21
*
3
21*
)(
?ψ?ψ
+ψ?ψ?=
ψψ?????
???
τ
τ
因1
*
1
*
22
1
*
2ψ
?+ψ
?-
=?ψ?-m
t
i
222
2
22ψ?+ψ?-
=?ψ?+m
t
i
x
d i
x
d mi x d t
3
21*21
*
3
221
*
21
*
23
21*)(1)(2ψψψψ
ψψ
ψψ
ψψτ
τ
τ
??-?-
??+??=
?????
??????
x d mi
3
21
*
21
*
)(2ψψ
ψψ
τ
??+????=
???
s d mi
???+??=
??
)(221
*
21
*
ψψ
ψψ
最后一道等号是利用高斯定理将题给的体积分（τ）变换成（τ）的包围面S 的面积分，若Ψ1，Ψ2满足平方可积条件 0lim ,0lim 11=?=∞
→∞
→ψψr r
等，可使这面积分等于零。所以体积分???τ
ψψ
3
21
*
),(),(dx t x t x 是与时间无关的。
#
[12] 考虑单粒子的薛定谔方程式：
),()]()([),(2),(212
2
t x x iV x V t x m
t x t i ψψψ++?-=??
V 1，V 2为实函数，证明粒子的几率不守恒。求出在空间体积Ω内，粒子几率“丧失”或“增
加”的速率。 解：要证明几率不守恒，可以计算总几率的时间变化率，先考察空间一定体积Ω中粒子出现的总几率，按Born 假设，总几率是 ???
=Ω
ψψx d P 3
* 求总几率的时间变化率
??????
??+
??=??=??Ω
Ω
ψψψψ
ψψx d t
t
x d t
t
P 3
*
*
3
*)( （1）
再根据薛定谔方程式和其共轭方程式求出
t
??ψ和
t
??*
ψ，有
???????--?=??++?-=??*
21*2*
212
][12][12ψψψψψψiV V i mi t
iV V i mi t （2）
将（2）代入（1），化简后得
???+
?-?-
=
??Ω
ψψψψψψx d V mi
t
P 3
*2*
22*}2)(2{
利用高斯定理将右方第一项变形：
???
???+
?-???-
=
??Ω
Ω
ψψψψψψx d V x d mi t
P 32*3
**2)}(2{
??????
+??-?-=Ω
Ω
ψψ
ψψψψx d V S d mi 3
2*
*
*
2
)(2
（3）
如果粒子的运动范围是无限的，并且符合平方可积条件，则在无限远处0→ψ，
0*
→??ψ
ψ，因而（3）式的面积分等于0。
???=
??Ω
ψψx d x V t
P 3
2*
)(2
（4）
这证明总几率???=
Ω
ψψx d P 3
*
不守恒，因为
0≠??t
P 。
如果考察有限体积Ω之内总几率的变化率，令：
)(2*
*
ψψψψ?-?≡
i
m J
（3）式改写为：
?????
Ω
+
?-=??x d x V s d J t
P s
3
2*
)(2ψψ
（5）
t
P ??是空间Ω内粒子几率减少或增加的速度，右方??
?-
s
s d J
是指Ω的包围面S 上几率流
动的速度（流进或流出），右方???Ω
x d x V 3
2*
)(2ψψ
指由虚数势能引起的，附加的几率变化
速率，题目所指的是这一项。
[13]对于一维自由运动粒子，设)()0,(x x δψ=求2
),(t x ψ。
（解）题给条件太简单，可以假设一些合理的条件，既然是自由运动，可设粒子动量是
p ，
能量是E ，为了能代表一种最普遍的一维自由运动，可以认为粒子的波函数是个波包（许多平面波的叠加），其波函数： p d e
p t x i E px i
p )
()(21),(-∞-∞
=?
=
φπψ （1）
这是一维波包的通用表示法，是一种福里哀变换，上式若令0=t 应有 p d e p x px
i
p
?
∞-∞
==
)(21)0,(φπψ （2）
但按题意，此式等于)(x δ。但我们知道一维δ函数一种表示是：
k d e x ikx
k ?
∞
-∞
==
π
δ21)( （3）
将（2）（3）二式比较：知道
p k =
，并且求得
πφ21)(=
p ，于是（1）成为
p d e
t x i E px i
p )
(21
),(-∞-∞
=?=
πψ （4）
这是符合初条件的波函数，但E p ,之间尚有约束条件m
p
E 22
=
（因为是自由粒子，
总能量等于动能），代入（4）
p d e
t x p i m
p
px i
?
∞-∞
=-
=
)
2(2
21),(
πψ （5）
将此式变形成高斯积分，容易得到所需结果： p d e
e
t x p i mx p m it t
imx
?
∞-∞
=-
-
=
)
2
(222
21),(
πψ
利用积分α
πξαξ
=
?∞
∞
--d e
2
： t
i m e t x t
i m x
ππψ
221),(22
=
写出共轭函数（前一式i 变号）：
t
i m e
t x t
imx
-=
-
ππψ
221),(22
t
m t
m t x πππψ22)
2(1
)
,(2
2
=
?
=
本题也可以用Fresnel 积分表示，为此可将（6）式积分改为：
dp t
mx p m t i dp t
mx p m t 2
2
)](2[
sin )](2[
cos -
--
?
?
∞
∞
-∞
∞
-
用课本公式得t
imx
e
t
m i t x t x
2*
2
)
1(21)
,(),(ππψψ=
，两者相乘，可得相同的结果。
#
[14]在非定域势中粒子的薛定谔方程式是： ()()()()x d t x x x V t x m
t x t i x
''ψ'+
ψ?-=ψ??
?
3
2
2
/
,2，，， （1） 求几率守恒对非定域势的要求。此时，只依赖于波函数ψ在空间一点的几率波是否存在？ [解]按题意，是要求写出几率守恒的条件，从这个条件寻出()x x V '，应当遵守的要求。几率守恒的条件是：
03
*=ψψ?????
Ω
x d t
或
03
**='???
? ??ψ?ψ?+?ψ?ψ???
Ω
x d t t (2 ) 与[13]题类似，可写出[1]的共轭方程式：
()()()()x d t x x x V
t x m
t x t i x ''ψ'+
ψ?-=ψ??
-???'
3**
*22
*
2，，，，
(3 )
将[1]和[3]中的
t
?ψ?和
t
?ψ?*
想等同的式子代入到[2]式中去，就得到如下的条件：
()
()()()()()()0
1233***3
*
22
*
='???
???
?'ψ'ψ-'ψ'ψ+
ψ?ψ-ψ?ψ
-
???
???
??????Ω
''Ω
x d x d t x x x V t x t x x x V t x i
x d mi
x x ，，，，，，
将前式等号左方第一项变成面积分[高斯定理]，第二项变成六重积分： ()()()()()()()0
][1233****
*
='?'ψ'ψ-'ψ'ψ+
?ψ
?ψ-ψ?ψ
-
??????
??Ω
'
x d x d t x x x V
t x t x x x V t x i
s d mi
x s
，，，，，，
(4 )
前式等号左方第一项由于波函数平方可积条件（()时当，∞→→ψ→ψx x 00*
）可消去，
因()t x ， ψ和()t x ，'ψ
形式相同,x x '对易：
()()()[](){}03
3
*
*
='?ψ'-'?ψ??????
Ω
'
x d x d t x x x V x x V t x x ，，，，
（5）
这积分式定积分，它等于零的可能性要求被积函数为零，即： ()()x x V
x x V '='
，，*
因此()x x V '
，必须是x x ' ，实函数。#
[15]写出动量表象中的薛定谔方程式。
[解]本题可有二中[A]含时间薛定谔方程式，[B]定态薛定谔方程式。 [A]写出含时间薛氏方程式： ()ψ+ψ?-
=?ψ?x V m
t
i
2
2
2
（1）
为将前式变换成动量表象，可写出含时间的表象变换式： ()()()p d e t x t x x p i 3
/2
/32
2????-
=ψτ
ψπ
，， （2）
()()()x d e t x t p x p i 3
/2
/32
2???
?ψ-
=τ
πψ
，， （3） 为了能用（3）变换（1）式，将（1）式遍乘()
h
x p i e
/2
/321
?--
π，对空间积分：
()
()
x
d e
m
x
d e
t
i
x ip x p i 3
/2
2
/32
3
/2/321
221
?-?-ψ?
-=?ψ???????ππ
()()x d e
x V x ip '+
?-???
3
/2/321
π
左方变形
()()()
t p t
i
x
d e t x t i x p i ，，
ψπ??=ψ??
?-???
3
/2
/321
(4)
等号右方第一积分是可以用三重积分的分部积分来变形的，这式写成标量：
()()dxdydz e z y x m
z p y p x p i z y x
/22
22222
2
/3221
++ψ???
? ?
???+??+???-???
π (5)
计算（5）的x 部分分部积分法：
()
dxdydz e x
z p y p x p i z y x
z y x
/2
2++ψ
?????
()dydz e
x d z p y p x p i z y x
z y x
/++?????
? ???ψ?=
dydz e
x
z p y p x p i x y
z y x ∞∞
-++??
?ψ?=
/）（
()
dxdydz e
x
ip z p y p x p i x z y x
/++???
?ψ?-
dydz d e
ip z y x
z p y p x p i x z y x ψ-
=???++
/）（
dydz e
ip z p y p x p i x y x z y x ∞∞
-++??ψ-
=
/）（
dxdydz e
ip z y x
z p y p x p i x z y x ψ+???++
/2
）（）（
dxdydz e
p z y x z p y p x p i x z y x ψ-
=???++
/2
2
）（
关于22
22
z
y ??
??
，的积分按同法计算，（5）式的结果是
()
()dxdydz e t x p p p m
x p i z y x
/22
222
2
/3221
?-ψ???
? ?
?++-?-?
???，π ()
()
/2
/32
21
2x p i e
t x h m
p
?ψ=
???，π
()t p m
p
，
ψ22
=
再计算（4）式右方第二积分
()()()x d e t x x V x p i 3
/2/321
?'-???ψτ
π，
()()()}{21
3
/2/3p d e t p x V x p i p
''=
?'-?????? τ
τ
ψπ，
()()p d x d e
x V t p x d e x p p i h
x ip p
''=
?-'?-??????3
3/3
/}{21
）（，τ
τ
ψπ
()()p d t p p p G p
''?'=
???
τ
ψ3
，， （7）
但最后一个积分中 ()()x d e x V h
p p G x p p i p
3
/21
?-'-???≡
'）（，τ
π
τ指坐标空间，p τ指动量相空间，最后将（4）（6）（7）综合起来就得到动量表象的积分方程式如下：
()()()()p d t p p p G t p m p t p t i p
'''+=??
???
τ
ψψψ3
2
2，，，，
（8）
若要将定态薛定谔方程式从坐标表象变成动量表象，运算步骤和上面只有很少的差别，设粒子能量为E ，坐标表象的薛氏方程：
()()[]()022
2
=ψ-+ψ?x x V E x m
动量表象方程也是积分方程式，其中G （p p '
，）是这个方程式的核（Kernel ） ()()()()022
2
='''-
+-
???
p d t p p p G p E p m
p
p
τ
ψψψ，，
（9）
#
[16]*设在曲线坐标（321q q q ）中线元ds 表为
k
i ik dq dq g ds =2
写出这曲线坐标中的薛定谔方程式，写出球面坐标系中的薛定谔方程式。 （解）3
22
11
q x dq q x dq q x dx ??+
??+
??=
同样关于y,z 有类似的二式。（这里为书写方便q 的上
标改成下标。）
*参看Amer.J.Phys.V ol.41.1973-11 2
11
1
2
12
12
2
2
2
dq q z q y q x
dz
dy
dx
ds
???
?
???????
?
????+???? ????+???? ????=++= 2
21
22
22
2dq q
z
q
y q x ???
?
???????
? ?
???+???? ?
???+???? ?
???+ 2
31
3
2
3
2
3
dq q z
q y
q x
???
?
???????
? ????+???? ????+???? ????+ 212
121212dq dq q z
q z q y q y q x q x ??
?
???????+
????+????+
323232322dq dq q z q z q y q y q x q x ??
?
???????+
????+????+ 131313132dq dq q z q z q y q y q x q x ??
????????+????+????+ 令）
（
k
i xyz
ik q x q x g ????∑=为坐标变换系数： 设沿曲线坐标等势面的单位矢量是321a a a
，，则
k z
j y i x grad
?ψ?+?ψ?+?ψ?=ψ?=ψ
3
3332
2221
111q g a q g a q g a ?ψ?+
?ψ?+
?ψ?=
()][133221
1
33
2211???+ψ??
=
g g q a g g g ()][
{
11
11
33221
33
22112
q g g g q g g g grad div ?ψ???=
ψ=ψ?
]}[
][
3
33
22113
2
22
11332
q g g g q q g g g q ?ψ???+
?ψ???+
（1）
代入直角坐标薛定谔方程式：
()][
][
{
22
22
33112
2
11
33221
3322112
321q g g g q q g g g q g g mg t q q q t
i ?ψ'???+
?ψ'???-
=ψ'??
()()t q q q q q q V q g g g q 3213212
33
22113
]}[
ψ''+?ψ'???+
（2）
但 ()()()()}{321321321321t q q q z q q q y q q q x t q q q ，，，ψ=ψ' ()}{321???='q q q x V V
在球坐标情形θψθψθcos sin sin cos sin r z r y r x ===，，式正交坐标系
12
2
2
11=??
? ????+??? ????+??? ????=
r z r y r x g
量子力学思考题及解答
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学教程课后习题答案
量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ
? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ
量子力学期末考试题解答题
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
从经典力学到量子力学的思想体系探讨
从经典力学到量子力学的思想体系探讨 一、量子力学的产生与发展 19世纪末正当人们为经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象 一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以 h为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且与辐射能量和频率无关由振幅确定的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。 著名科学家爱因斯坦经过认真思考，于1905年提出了光量子说。1916年美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。 1913年丹麦物理学家玻尔为解决卢瑟福原子行星模型的不稳定（按经典理论，原子中 电子绕原子核作圆周运动要辐射能量，导致轨道半径缩小直到跌落进原子核，与正电荷中和），提出定态假设：原子中的电子并不像行星一样可在任意经典力学的轨道上运转，稳定轨道的作用量fpdq必须为h的整数倍（角动量量子化），即fpdq＝nh，n称之为量子数。玻尔又提出原子发光过程不是经典辐射，是电子在不同的稳定轨道态之间的不连续的跃迁过程，光的频率由轨道态之间的能量差△E＝hV确定，即频率法则。这样，玻尔原子理论以它简单明晰的图像解释了氢原子分立光谱线，并以电子轨道态直观地解释了化学元素周期表，导致了72号元素铅的发现，在随后的短短十多年内引发了一系列的重大科学进展。这在物理学史 上是空前的。 由于量子论的深刻内涵，以玻尔为代表的哥本哈根学派对此进行了深入的研究，他们对对应原理、矩阵力学、不相容原理、测不准关系、互补原理。量子力学的几率解释等都做出了贡献。 1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即 康普顿效应。按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。光量子在碰撞时不仅将能量传递而且也将动量传递给了电子，使光量子说得到了实验的证明。 光不仅仅是电磁波，也是一种具有能量动量的粒子。1924年美籍奥地利物理学家泡利 发表了“不相容原理”：原子中不能有两个电子同时处于同一量子态。这一原理解释了原子中电子的壳层结构。这个原理对所有实体物质的基本粒子（通常称之为费米子，如质子、中
量子力学习题集及答案
09光信息量子力学习题集 一、填空题 1． 设电子能量为4电子伏，其德布罗意波长为（ 6.125ο A ）。 2． 索末菲的量子化条件为=nh pdq ），应用这量子化条件求得一维谐振 子的能级=n E （ ηωn ）。 3． 德布罗意假说的正确性，在1927年为戴维孙和革末所做的（ 电 ）子衍 射实验所证实，德布罗意关系（公式）为（ ηω=E ）和（ k p ρηρ = ）。 4． 三维空间自由粒子的归一化波函数为()r p ρ ρψ=（ r p i e ρ ρη η?2 /3) 2(1π ）， () ()=? +∞ ∞ -*'τψψd r r p p ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 5． 动量算符的归一化本征态=)(r p ρ ρψ（ r p i e ρ ρηη?2/3)2(1π ），=' ∞ ?τψψd r r p p )()(*ρρρρ（ )(p p ρ ρ-'δ ）。 6． t=0时体系的状态为()()()x x x 2020,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 522 0)(2)(--+ ）。 7． 按照量子力学理论，微观粒子的几率密度w =2 ），几率流密度= （ () ** 2ψ?ψ-ψ?ψμ ηi ）。 8． 设)(r ρψ描写粒子的状态，2)(r ρψ是（ 粒子的几率密度 ），在)(r ρψ中F ?的平均值为F =（ ??dx dx F ψψψψ* *? ） 。 9． 波函数ψ和ψc 是描写（ 同一 ）状态，δψi e 中的δi e 称为（ 相因子 ）， δi e 不影响波函数ψ1=δi ）。 10． 定态是指（ 能量具有确定值 ）的状态，束缚态是指（无穷远处波函数为 零）的状态。 11． )i exp()()i exp()(),(2211t E x t E x t x η η-+-=ψψψ是定态的条件是 （ 21E E = ），这时几率密度和（ 几率密度 ）都与时间无关。 12． （ 粒子在能量小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象 ）称为隧道效应。 13． （ 无穷远处波函数为零 ）的状态称为束缚态，其能量一般为（ 分立 ）谱。 14． 3．t=0时体系的状态为()()()x x x 300,ψψψ+=，其中()x n ψ为一维线性谐振子的定态波函数，则()=t x ,ψ（ t i t i e x e x ωωψψ2 732 0)()(--+ ）。 15． 粒子处在a x ≤≤0的一维无限深势阱中，第一激发态的能量为
量子力学习题汇集
第一章习题 １．证明下列算符等式 [][][][][][][][][][][][][][][]0 ,,,,,,,,,,,,,,,=+++=+=+=+B A C A C B C B A B C A C B A C AB C B A C A B BC A C A B A C B A ２．设粒子波函数为),,(z y x ψ，求在()dx x x +, 范围内找到粒子的几率． ３．在球坐标中，粒子波函数为()??ψ,,r ，试求： １）在球壳(r,r+dr)中找到粒子的几率； ２）在()??,方向的立体角Ωd 中找到粒子的几率． ４．已知力学量F 的本征方程为 n n n F ?λ?= 求在状态波函数 332211???ψc c c ++= 下测力学量F 的可能值，相应的几率及平均值（假设波函数ψ已归一或不归一的情况）． 第二章习题 １．一粒子在二维势场
???∞=,,0),(y x V 其它b y a x <<<<0,0 中运动，求粒子的能级和波函数．能级是否简并 ２．由哈密顿算符 () 2232 22221222 2z y x m m H ωωω+++?-=η 所描述的体系，称各向异性谐振子．求其本征态和本征值． ３．利用递推关系 ??? ? ??--=+-1121 2)(n n n n n x dx d ψψαψ 证明 ( ) 222 22)2)(1()12()1(2 +-++++--=n n n n n n n n n dx d ψψψαψ 并由此证明在n ψ态下 2 ,0n E T P = = 第 四 章 习 题 １． 证明 )cos sin (cos ???i A +=ψ 为2L 和y L 的共同本征态，并求相应的本征值。说明当体系处在此状态时， z L 没有确定值。
量子力学与能带理论
量子力学与能带理论 孟令进 专业： 应用物理 班级：1411101 学号：1141100117 摘要：曾谨言先生在《量子力学》一书中用量子力学解释了能带的形成，从定态薛定谔方程出发，将原子中原子实假定固定不动，并且在结构上呈现周期性排列，那么电子则可以看成在原子实以及其他电子的周期性的势场中运动，利用定态薛定谔方程可以解出其能级结构，从而得到能带理论。 一、定态薛定谔方程 1.一维定态薛定谔方程 我们首先利用薛定谔方程解决一类简单的问题，一维定态问题，即能量一定的状态。我们设粒子质量为m ，沿着x 方向运动，势场的势能为V(x)，那么薛定谔方程可以写为 ),()(2),(222t x x V x m t x t i ψψ?? ????+??-=?? ，因为处于一定的能量E 状态，定态的波函数可以写为 /)(),(iEt e x t x -=ψψ，两式整理可得，)(x ψ满足的能量本征方程)(),()(2222x E t x x V x m ψψ=?? ????+??- ，或称为一维定态薛定谔方程。求解这个方程时，我们需要带入边界条件，连接条件。 2.定态薛定谔方程与方势垒 在经典力学当中，当一个具有能量E 的粒子射向高度为V 的势垒时，如果E>V ，则粒子能够顺利的越过这个势垒，如果E0的粒子从左方入射，那么在前两个区域的波函数可以用一维定态薛定谔方程解除来，结果如下：
2011量子力学期末考试题目
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
量子力学和经典力学联系的实例分析
文档来源为:从网络收集整理.word版本可编辑.欢迎下载支持. 量子力学与经典力学的联系的实例分析 摘要：量子力学与经典力学研究的对象不同,范围不同,二者之间是不是不可逾越的？当然不是,在一定条件下,二者可以过渡.本文首先对量子力学和经典力学的关系进行了分析,其次通过具体的实例来说明量子力学过渡到经典力学的条件,最后分析出从运动学角度,经典力学向量子力学过渡可归结为从泊松括号向对易得过渡.
关键词：量子力学；经典力学；过渡 从高中到大学低年级,我们所涉及的物理学内容均为经典物理学范畴,经典物理学理论在宏观低速范围内已是相当完善,正如十九世纪末一些物理学家所描述的那样,做机械运动的物体,当运动速度小于真空中的光速时准确地遵从牛顿力学规律；分子热运动的规律有完备的热力学和统计力学理论；电磁运动有麦克斯韦方程加以描述；光的现象有光的波动理论,整个物理世界的重要规律都已发现,以后的工作只要重复前人的实验,提高实验精度,在测量数据后面多添加几个有效数字而已.正因如此为何在学完经典物理学以后还要继续学习近代物理学,如何引入近代物理学就显得格外重要. 毫无疑问近代物理学的产生是物理学上号称在物理学晴朗的天空上“两朵小小的乌云”造成的[1],正是这引发了物理学的一场大革命.这“两朵小小的乌云”即黑体辐射实验和迈克尔逊-莫雷实验.1900年为了解释黑体辐射实验,普朗克能量子的假设,导致了量子理论思想的萌芽,接着光电效应、康普顿效应以及原子结构等一系列问题上,经典物理都碰到了无法克服的困难,通过引入量子化思想,这些问题都迎刃而解,这就导致了描述微观世界的理论-量子力学的建立. 在经典物理十分成熟、完备的情况下引入静近代物理学,毫无疑问必须强调以下问题：（1）经典物理学的适用范围是宏观低速运动；（2）19世纪末20世纪初,物理学已经研究到微观现象和高速运动的新阶段；（3）新的研究范畴必须引入新的理论,这样,近代物理学的出现也就顺理成章了. 尽管强调经典物理学的适用范围是宏观低速运动,但碰到微观高速问题,人们依旧习惯于首先用已知非常熟悉的经典物理来解决物理学家如此,我们也不例外.无疑用经典物理学去解决高速微观问题最终必将以失败而告终.然而在近代物理学课程的研究中有意识地首先让经典物理学去碰壁,去得出结论,但结论是矛盾的和错误的,然后,引出近代物理学的有关理论,问题最后迎刃而解[2]. 经典物理学是在宏观和低速领域物理经验的基础上建立起来的物理概念和理论体系,其基础是牛顿力学和麦克斯韦电磁学.近代物理学则是在微观和高速领域物理实验的基础上建立起来的概念和理论体系,其基础是相对论和量子力学,必须指出,在相对论和量子力学建立以后的当代物理学研究中.虽然大量的是近代物理学问题,但也有不少属于经典物理学问题.因此不能说有了近代物理学就可抛弃经典物理学. 量子力学是物理学研究的经验扩充到微观领域的结果.因此,量子力学的建立必然是以经典力学为基础,它们之间存在必然的联系,量子力学修改了物理学中关于物理世界的描述以及物理规律陈述的基本概念.量子力学关于微观世界的各种规律的研究给
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
结构化学练习之量子力学基础习题附参考答案
量子力学基础习题 一、填空题（在题中的空格处填上正确答案）1101、光波粒二象性的关系式为_______________________________________。1102、德布罗意关系式为____________________；宏观物体的λ值比微观物体的λ值_______________。1103、在电子衍射实验中，│ψ│2对一个电子来说，代表___________________。 1104、测不准关系是_____________________，它说明了_____________________。 1105、一组正交、归一的波函数ψ1，ψ2，ψ3，…。 正交性的数学表达式为，归一性的表达式为。1106、│ψ(x1，y1，z1，x2，y2，z2)│2
代表______________________。 1107、物理量xp y- yp x的量子力学算符在直角坐标系中的表达式是_____。 1108、质量为m的一个粒子在长为l的一维势箱中运动， (1)体系哈密顿算符的本征函数集为_______________________________ ； (2)体系的本征值谱为____________________，最低能量为____________ ； (3)体系处于基态时，粒子出现在0 ─l/2间的概率为_______________ ； (4)势箱越长，其电子从基态向激发态跃迁时吸收光谱波长__________ ； (5)若该粒子在长l、宽为2l的长方形势箱
中运动， 则其本征函数集为____________，本征 值 谱 为 _______________________________。 1109、质量为m 的粒子被局限在边长为a 的立方箱中运动。波函数ψ 211(x ，y ，z )= _________________________；当粒子处于状态 ψ 211 时，概率密度最大处坐标是 _______________________；若体系的能量为 2 247ma h ，其简并度是_______________。 1110、在边长为a 的正方体箱中运动的粒子，其能级E = 2 243ma h 的简并度是_____，E '= 2 2827ma h 的简 并度是______________。 1111、双原子分子的振动，可近似看作是质量为μ= 2 121m m m m +的一维谐振子，其势能为V =kx 2/2，它 的 薛 定 谔 方 程 是
苏汝铿量子力学习题答案第二章2.16-2.18
14QM-2.16设氢原子处在基态，求： （1） 它在动量表象中的表达式； （2） x p 和2 x p 的平均值； （3） x 和2x 的平均值； 解：氢原子基态波函数为 120121 (,,)r a r e a φθ?π-= 22h a e μ= 而动量p 本征函数为 2./3/2 1()(2)p r p r e φπ=v v h v v h 所以它在动量表象中的表达式为 2cos //223/200011()()1/21/20 1/23/222 3222 1()sin (2)[]2()111[]11(2)()()2(/)ipr a r a ip ip r r a a p e e r d d dr a e e rdr a ip ip ip i p a a a a p a πφθθ?ππππ∞-----+∞==-=--+=+????h h h h h h h g g h h h h h 于是 |()|0 x x x y z p p p dp d p dp φ∞-∞==? 由于被积函数对x p 是奇函数 22222542250004 2 2 2|()|1|()|3 8sin 3()3x x x y z x y z p p p dp d p dp p p dp d p dp p dp d d a p a a ππφφθ?π∞-∞∞-∞∞== =+=?????h h h
而223223243532 113434()4!32 r a r a r a x e x dxdydz a e r dxdydz a e r dr a a a a ππ ---====?=???g 2==>h 14QM-2.17利用氢原子的能谱公式，写出： （1）电子偶素，即e e +--形成的束缚态的能级； （2）以μ-子代表核外电子所形成的μ原子的能级； （3）μ+和e - 形成的束缚态能级。 解：氢原子束缚态的能级公式为： 42 22 (2)(1,2,3,)2n me E n h n π=-= （1） 对于电子偶素来说，束缚态的能级为： 42422222(2)(2)(1,2,3,)24e n m e e E n h n h n πμπ=-=-= 其中μ为系统折合质量，e m 为电子质量。 （2）对于μ原子来说，束缚态的能级为： 42422222(2)207(2)(1,2,3,)22e n m e m e E n h n h n μππ=- =-= 其中m μ为μ原子质量，e m 为电子质量。 （3）μ+和e - 形成的束缚态能级为： 4222(2)(1,2,3,)2e n m e E n h n π=-= 其中e m 为电子质量。 14QM-2.1８ 设势场为2()(,0)a A U r a A r r =-+>，求粒子的能量本征值。
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子 物理与电子信息工程学院物理学 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。
量子力学思考题及解答
量子力学思考题 1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于 不能忽略的体系，而经典力学适用于 可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或 可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。 （2）如按这种理解 ),()(),()(),(2211t x t c t x t c t x ψψψ+=
量子力学习题解答-第2章
第二章 定态薛定谔方程 本章主要内容概要： 1. 定态薛定谔方程与定态的性质： 在势能不显含时间的情况下，含时薛定谔方程可以通过分离变量法来求解。首先求解定态薛定谔方程（能量本征值方程） 222.2d V E m dx ψ ψψ-+= 求解时需考虑波函数的标准条件（连续、有限、单值等）。能量本征函数n ψ具有正交归一性（分立谱） *()()m n mn x x dx ψψδ∞ -∞ =? 或δ函数正交归一性（连续谱） ' *'()()()q q x x dx q q ψψδ∞ -∞ =-? 由能量本征函数n ψ可以得到定态波函数 /(,)()n iE t n n x t x e ψ-ψ= 定态波函数满足含时薛定谔方程。 对分立谱，定态是物理上可实现的态，粒子处在定态时，能量具有确定值n E ，其它力学量（不显含时间）的期待值不随时间变化。对连续谱，定态不是物理上可实现的态（不可 归一化），但是它们可以叠加成物理上可实现的态。 含时薛定谔方程的一般解可由定态解叠加而成，在分离谱情况下为 (,)(,)n n n x t c x t ψ=ψ∑ 系数n c 由初始波函数确定 (,0)()n n n x c x ψψ=∑ ， * ()( ,0)n n c x x dx ψ∞ -∞ =ψ? 由波函数(,)x t ψ的归一性，可以得到系数n c 的归一性 2 1n n c =∑ 对(,)x t ψ态测量能量只能得到能量本征值，得到n E 的几率是2 n c ，能量的期待值可由 2 n n n H c E =∑ 求出。这种方法与用
*? (,)(,) H x t H x t dx ∞ -∞ =ψψ ? 方法等价。 2. 一维典型例子： （a）一维无限深势阱（分立谱，束缚态） 0,0 () , x a V x << ? =? ∞ ?其它地方 能量本征函数和能量本征值为 222 2 (), 0;1,2,3,... 2 n n n x x x a n a n E ma π ψ π ?? =<<= ? ?? = 若 0, () , a x a V x -<< ? =? ∞ ?其它地方 则能量本征函数和能量本征值为 222 2 ()s i n(),;1,2,3,... 2 2(2) n n n x x a a x a n a n E m a π ψ π ?? =+-<<= ? ?? = 1 n=是基态（能量最低），2 n=是第一激发态。波函数相对于势阱的中心是奇偶交替 的： 1 ψ是偶函数， 2 ψ是奇函数， 3 ψ是偶函数，依次类推。 （b）一维简谐振子（分立谱，束缚态）： 22 1 (), 2 V x m x x ω =-∞<<∞ 能量本征函数和能量本征值为 2 1/4 /2 ()(), ; 1 , 1,2,3,... 2 n n n m x H e E n n ξ ω ψξξ π ω - ?? =≡ ? ?? ?? =+= ? ?? 其中() n Hξ厄米多项式，可由母函数 2 eξ-生成 22 ()(1) n n n d H e e d ξξ ξ ξ - ?? =- ? ??
量子力学典型例题分析解答1
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
量子力学的发展史及其哲学思想
十九世纪末期,物理学理论在当时看来已发展到相当完善的阶段.那时,一般的物理现象都可以从相应的理论中得到说明:物体的机械运动比光速小的多时,准确地遵循牛顿力学的规律;电磁现象的规律被总结为麦克斯韦方程;光的现象有光的波动理论,最后也归结为麦克斯韦方程;热的现象理论有完整的热力学以及玻耳兹曼,吉不斯等人建立的统计物理学.在这种情况下,当时有许多人认为物理现象的基本规律已完全被揭露,剩下的工作只是把这些基本规律应用到各种具体问题上,进行一些计算而已。 这种把当时物理学的理论认作”最终理论”的看法显然是错误的,因为:在绝对的总的宇宙发展过程中,各个具体过程的发展都是相对的,因而在”绝对真理的长河中,人们对于在各个一定发展阶段上的具体过程的认识具有相对的真理性.”生产力的巨大发展,对科学试验不断提出新的要求，促使科学试验从一个发展阶段进入到另一个新的发展阶段。就在物理学的经典理论取得上述重大成就的同时，人们发现了一些新的物理现象，例如黑体辐射，光电效应，原子的光谱线系以及固体在低温下的比热等，都是经典物理理论所无法解释的。这些现象揭露了经典物理学的局限性，突出了经典物理学与微观世界规律性的矛盾，从而为发现微观世界的规律打下基础。黑体辐射和光电效应等现象使人们发现了光的波粒二象性；玻尔为解释原子的光谱线系而提出了原子结构的量子论，由于这个理论只是在经典理论的基础上加进一些新的假设，因而未能反映微观世界的本质。因此更突出了认识微观粒子运动规律的迫切性。直到本世纪二十年代，人们在光的波粒二象性的启示下，开始认识到微观粒子的波粒二象性，才开辟了建立量子力学的途径。 量子力学诞生和发展的过程，是充满着矛盾和斗争的过程。一方面，新现象的发现暴露了微观过程内部的矛盾，推动人们突破经典物理理论的限制，提出新的思想，新的理论；另一方面，不少的人（其中也包括一些对突破经典物理学的限制有过贡献的人），他们的思想不能（或不完全能）随变化了的客观情况而前进，不愿承认经典物理理论的局限性，总是千方百计地企图把新发现的现象以及为说明这些现象而提出的新思想，新理论纳入经典物理理论的框架之内。虽然本书中不能详细叙述这个过程。尽管这些新现象在十九世纪末就陆续被发现，而量
周世勋量子力学第二章知识题
第二章 波函数和薛定谔方程 2.1. 证明在定态中,几率流密度与时间无关. 解: 几率流密度公式为 ()**2J i ψψψψμ = ?-? 而定态波函数的一般形式为 ()(),i Et t e ψψ-=r r 将上式代入前式中得: ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ??= ?-?? ? 显然是这个J 与时间无关. 2.2. 由下列两定态波函数计算几率流密度; (1) ,e r ikr 11= ψ (2) ikr e r -=1 2ψ 从所得结果说明1ψ表示向外传播的球面波,2ψ表示向内(即向原点)传播的球面波. 解: 在球坐标中,梯度算符为 1ψ和2ψ只是r 的函数,与?θ,无关,所以 , ()* *1 1211e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψ-???? ??==-+=-+ ? ????? ? ()*222111e e e ikr r r r e r ik ik r r r r ψψψψ-???? ??==-+=-+=? ? ????? ? ()()**2 21111ikr r r r e r ik ik r r r r r ψψψψ???? ??==-=-=? ? ????? ?e e e 将以上四式代入 ()()()()** 2J r r r r i ψψψψμ ??=?-??? (1) 对于ikr e r 11=ψ 12222 111122r r r i k p ik r r r r μμμμ??=-===????p J e e e (2) 对于ikr e r -=12ψ
212222 1111 22r r r i k p ik r r r r μμμμ??= =-=-=-=-???? p J e e e J 计算的结果已经很清楚ikr e r 11=ψ这样的球面波,是沿r e 方向传播的波, 121p J e r r μ=.而球面 波ikr e r -= 12ψ传播方向与1ψ相反,即21J J =- 2.3. 一粒子在一维势场 ()?? ? ??>∞≤≤<∞=a x a x x x U 00 中运动,求粒子的能级和对应的波函数. 解: 从定态薛定谔方程 02222=+ψμψ E dx d 即 02 =+''ψψk ()2 0k E = > 可知,其解为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 在0≤x 和a x ≥处，波函数为 0)(=x ψ， 在a x ≤≤0处， 波函数为 ikx ikx Be Ae -+=ψ 从()00=ψ得 0=+B A 即 B A -= 因此有 () 2sin sin ikx ikx A e e iA kx C kx ψ-=-== 从()0=a ψ得 sin 0ka = 即要求 321,,n n ka ==π 所以 sin 1,2,3n n C x n a π ψ== 2 2 222a n E n μπ = 归一化条件 1*=?dx ψψ可得 a C 2 = ()()2222 11sin 1cos 2,cos 1cos 222αααα ??=-=+???? 所以 1,2,30n n x n x a a πψ= =≤≤ 综合得: 000n n x x a a x x a πψ≤≤=<>? 或 2.4. 证明()sin 20n n A x a x a a x a π ψ?'+
经典力学与量子力学中的一维谐振子
经典力学与量子力学中的一维谐振子 [摘要]一维谐振动是一种最简单的振动形式，许多复杂的运动都可分析为一维谐振动。本文以一维谐振子为研究对象，首先讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的运动方程和能量特征，然后分析坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后讨论经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系。 [关键词]谐振子经典力学量子力学运动方程能量分布 1 前言 所谓谐振，在运动学中就是简谐振动。一个劲度系数为k的轻质弹簧的一端固定，另一端固结一个可以自由运动的质量为m的物体，就构成一个弹簧振子[1]。该振子是在一个位置（即平衡位置）附近做往复运动。在这种振动形式下，物体受力的大小总是和它偏离平衡位置的距离成正比，并且受力方向总是指向平衡位置。这种情况即为一维谐振子。 一维谐振子在应用上有很大价值,因为经典力学告诉我们只要选择适当的坐标,任意粒子体系的微小振动都可以认为是一些相互独立的振子的运动的集合。普朗克在他的辐射理论中将辐射物质的中心当作一些谐振子,从而得到和实验相符合的结果。在分子光谱中,我们可以把分子的振动近似地当作谐振子的波函数。另外在量子场论中电磁场的问题也能归结成谐振子的形式。因此在量子力学中,谐振子问题的地位较经典物理中来得重要。应用线性谐振子模型可以解决许多量子力学中的实际问题。 本文将以一维谐振子为研究对象，首先分别讨论经典力学与量子力学中一维谐振子的运动方程和能量特征，然后讨论坐标表象以及粒子数表象下的一维谐振子，最后分析经典力学与量子力学中的一维谐振子的区别与联系并简要讨论经典力学与量子力学的过渡问题。从而帮助我们更加深入的理解一维谐振子的物理实质，充分认识微观粒子的波粒二象性。 2 经典力学中的一维谐振子 在经典力学中基本方程以牛顿定律为基础，研究质点位移随时间变化的规
