概率论与数理统计第三版__课后习题答案

习题一：

写出下列随机试验的样本空间：

(1) 某篮球运动员投篮时, 连续5 次都命中, 观察其投篮次数; 解：连续5 次都命中，至少要投5次以上，故}{Λ,7,6,51=Ω； (2) 掷一颗匀称的骰子两次, 观察前后两次出现的点数之和; 解：}{12,11,4,3,22Λ=Ω； (3) 观察某医院一天内前来就诊的人数;

解：医院一天内前来就诊的人数理论上可以从0到无穷，所以}{Λ

,2,1,03=Ω；

(4) 从编号为1，2，3，4，5 的5 件产品中任意取出两件, 观察取出哪两件产品; 解：属于不放回抽样，故两件产品不会相同，编号必是一大一小，故： ()}{

;51,4≤≤=Ωj i j i π (5) 检查两件产品是否合格;

解：用0 表示合格, 1 表示不合格，则()()()()}{1,1,0,1,1,0,0,05=Ω；

(6) 观察某地一天内的最高气温和最低气温(假设最低气温不低于T1, 最高气温不高于T2); 解：用x 表示最低气温, y 表示最高气温;考虑到这是一个二维的样本空间，故： ()}{

2

16,T y x T y x ≤≤=Ωπ；

(7) 在单位圆内任取两点, 观察这两点的距离; 解：}{

207ππx x =Ω；

(8) 在长为l 的线段上任取一点, 该点将线段分成两段, 观察两线段的长度. 解：()}{

l y x y x y x =+=Ω,0,0,8φφ；

(1) A 与B 都发生, 但C 不发生; C AB ；

(2) A 发生, 且B 与C 至少有一个发生;)(C B A ?； (3) A,B,C 中至少有一个发生; C B A ??；

(4) A,B,C 中恰有一个发生;C B A C B A C B A ??； (5) A,B,C 中至少有两个发生; BC AC AB ??； (6) A,B,C 中至多有一个发生;C B C A B A ??；

(7) A;B;C 中至多有两个发生;ABC

(8) A,B,C 中恰有两个发生.C AB C B A BC A ?? ； 注意：此类题目答案一般不唯一，有不同的表示方式。

设样本空间}{20≤≤=Ωx x , 事件A =}{15.0≤≤x x ,}{

6.18.0≤=x x B π 具体写出下列各事件：

(1) AB ; (2) B A - ; (3) B A -; (4) B A ? （1）AB }{

18.0≤=x x π； (2) B A -=}{

8.05.0≤≤x x ；

(3) B A -=}{

28.05.00≤?≤≤x x x π; (4) B A ?=}{

26.15.00≤?≤≤x x x π

按从小到大次序排列)()(),(),(),(B P A P AB P B A P A P +?, 并说明理由.

解：由于),(,B A A A AB ???故)()()(B A P A P AB P ?≤≤，而由加法公式，有：

)()()(B P A P B A P +≤?

解：(1) 昆虫出现残翅或退化性眼睛对应事件概率为：

175.0)()()()(=-+=?WE P E P W P E W P

(2) 由于事件W 可以分解为互斥事件E W WE ,，昆虫出现残翅, 但没有退化性眼睛对应事件 概率为：1.0)()()(=-=WE P W P E W P

(3) 昆虫未出现残翅, 也无退化性眼睛的概率为：825.0)(1)(=?-=E W P E W P .

解：(1) 由于B AB A AB ??,，故),()(),()(B P AB P A P AB P ≤≤显然当B A ?时P(AB)

取到最大值。 最大值是.

(2) 由于)()()()(B A P B P A P AB P ?-+=。显然当1)(=?B A P 时P(AB) 取到最小值，最小值是.

解：因为 P(AB) = 0，故 P(ABC) = 0.C B A ,,至少有一个发生的概率为：

7

.0)()()()()()()()(=+---++=??ABC P AC P BC P AB P C P B P A P C B A P

解

（1）通过作图，可以知道，3.0)()()(=-?=B P B A P B A P （2）6.0))()((1)(1)(=---=-=B A P A P AB P AB P

7

.0)(1)()

()()(1))()()((1)(1)()()3(=-=+--=-+-=?-==A P B P AB P B P A P AB P B P A P B A P B A P AB P 由于

解：用i A 表示事件“杯中球的最大个数为i 个” i =1,2,3。三只球放入四只杯中，放法有

44464??=种，每种放法等可能。

对事件1A ：必须三球放入三杯中，每杯只放一球。放法4×3×2种，故8

3)(1=A P

(选排列：好比3个球在4个位置做排列)。

对事件3A ：必须三球都放入一杯中。放法有4种。(只需从4个杯中选1个杯子，放入此3个球，选法有4种)，故161)(3=A P 。16

9

161831)(2=--=A P

解：此题为典型的古典概型，掷一颗匀称的骰子两次基本事件总数为36。.出现点数和为“3”对应两个基本事件（1，2），（2，1）。故前后两次出现的点数之和为3的概率为

18

1

。 同理可以求得前后两次出现的点数之和为4，5 的概率各是9

1,121。 (1)

解：从10个数中任取三个数，共有1203

10=C 种取法，亦即基本事件总数为120。

(1) 若要三个数中最小的一个是5，先要保证取得5，再从大于5的四个数里取两个，取法

有62

4=C 种，故所求概率为

201。 (2) 若要三个数中最大的一个是5，先要保证取得5，再从小于5的五个数里取两个，取法

有1025=C 种，故所求概率为

12

1。

解：分别用321,,A A A 表示事件：

(1) 取到两只黄球; (2) 取到两只白球; (3) 取到一只白球, 一只黄球.则

,11

1

666)(,33146628)(2122

42212281======C C A P C C A P 3316)()(1)(213=--=A P A P A P 。

解：)

())

()(()())(())((B P B B AB P B P B B A P B B A P ?=??=

?

由于0)(=B B P ，故5.0)

()

()()()())((=-==

?B P B A P A P B P AB P B B A P

(1) );(B A P ?（2）);(B A P ?

解：（1）;8.05.04.01)()(1)()()()(=?-=-=-+=?B A P B P AB P B P A P B A P

（2）;6.05.04.01)()(1)()()()(=?-=-=-+=?B A P B P B A P B P A P B A P

注意：因为5.0)(=B A P ，所以5.0)(1)(=-=B A P B A P 。

解：用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（3,2,1=i ），则i A 表示事件“第i 次取到的是次品”（3,2,1=i ）。11212115331421

(),()()()20441938

P A P A A P A P A A =

===?=

(1) 事件“在第一、第二次取到正品的条件下, 第三次取到次品”的概率为：

3125()18

P A A A =

。

(2) 事件“第三次才取到次品”的概率为：

1231213121514535

()()()()201918228

P A A A P A P A A P A A A ==

??=

（3）事件“第三次取到次品”的概率为：

4

1 此题要注意区分事件（1）、(2）的区别，一个是求条件概率，一个是一般的概率。再例如，设有两个产品，一个为正品，一个为次品。用i A 表示事件“第i 次取到的是正品”（2,1=i ），

则事件“在第一次取到正品的条件下, 第二次取到次品”的概率为：1)(12=A A P ；而事件“第二次才取到次品”的概率为：2

1

)()()(12121==A A P A P A A P 。区别是显然的。 。

解：用)2,1,0(=i A i 表示事件“在第一箱中取出两件产品的次品数i ”。用B 表示事件“从

第二箱中取到的是次品”。则2112

121222012222

14141466241

(),(),(),919191

C C C C P A P A P A C C C ?====== 01()12P B A =

，12()12P B A =，2

3

()12P B A =，

根据全概率公式，有：

283

)()()()()()()(221100=

++=A B P A P A B P A P A B P A P B P

解：设)3,2,1(=i A i 表示事件“所用小麦种子为i 等种子”，

B 表示事件“种子所结的穗有50 颗以上麦粒”。

则123()0.92,()0.05,()0.03,P A P A P A ===1()0.5P B A =，2()0.15P B A =，

3()0.1P B A =，根据全概率公式，有：

4705.0)()()()()()()(332211=++=A B P A P A B P A P A B P A P B P

解：用B 表示色盲，A 表示男性，则A 表示女性，由已知条件，显然有：

,025.0)(,05.0)(,49.0)(,51.0)(====A B P A B P A P A P 因此：

根据贝叶斯公式，所求概率为：

151

102

)()()()()()()()()()()()(=

+=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P

解：用B 表示对试验呈阳性反应，A 表示癌症患者，则A 表示非癌症患者，显然有：

,01.0)(,95.0)(,995.0)(,005.0)(====A B P A B P A P A P

因此根据贝叶斯公式，所求概率为：

294

95

)()()()()()()()()()()()(=

+=+==

A B P A P A B P A P A B P A P B A P AB P AB P B P AB P B A P

(1) 求该批产品的合格率;

(2) 从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 问此件产品由甲、

乙、丙三厂生产的概率各是多少

解：设，},{},{},{321产品为丙厂生产产品为乙厂生产产品为甲厂生产===B B B

}{产品为合格品=A ，则

（1）根据全概率公式，94.0)()()()()()()(332211=++=B A P B P B A P B P B A P B P A P ，该批产品的合格率为.

（2）根据贝叶斯公式，94

19

)()()()()()()()()(332211111=++=

B A P B P B A P B P B A P B P B A P B P A B P

同理可以求得47

24

)(,9427)(32=

=

A B P A B P ，因此，从该10 箱中任取一箱, 再从这箱中任取一件, 若此件产品为合格品, 此件产品由甲、乙、丙三厂生产的概率分别为：47

24

,9427,9419。

解：记A ={目标被击中}，则994.0)7.01)(8.01)(9.01(1)(1)(=----=-=A P A P

解：记4A ={四次独立试验，事件A 至少发生一次}，4A ={四次独立试验，事件A 一次也不发生}。而5904.0)(4=A P ，因此4096.0)()()(1)(444===-=A P A A A A P A P A P 。所以

2.08.01)(,8.0)(1=-==A P A P

三次独立试验中, 事件A 发生一次的概率为：384.064.02.03))(1)((21

3

=??=-A P A P C 。

二、第一章定义、定理、公式、公理小结及补充：

第二章 随机变量

X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P

1/36

1/18

1/12

1/9

5/36

1/6

5/36

1/9

1/12

1/18

1/36

解：根据

1)(0

==∑∞

=k k X P ，得10

=∑∞

=-k k

ae

，即

111

1

=---e ae 。 故 1-=e a

解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1) 两人投中的次数相同

P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}=

1

1

2

2

020*********

2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多

P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}=

1

2

2

1

110220022011222222

0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=

1232

1515155

++= (2) P{

12115155

+= 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()]

14

41314

k k lim →∞-=-

（2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=1111244

-

-=

解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2

12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====

18171615122019181719

???= 1123412342341234{1}{}{}{}{}

2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323

{2}1{0}{1}1199595

P X P X P X ==-=-==-

-=

解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4,

34

314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+=

(2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5,

345

324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++=

（1）X ～P(λ)=P ×3)= P

0 1.51.5{0}0!

P X e -=== 1.5

e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2)

0122

222{2}1{0}{1}1130!1!

P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

解：设应配备m 名设备维修人员。又设发生故障的设备数为X ，则)01.0,180(~B X 。

依题意，设备发生故障能及时维修的概率应不小于，即99.0)(≥≤m X P ，也即

01.0)1(≤+≥m X P

因为n =180较大，p =较小，所以X 近似服从参数为8.101.0180=?=λ的泊松分布。

查泊松分布表，得，当m +1=7时上式成立，得m =6。 故应至少配备6名设备维修人员。

解：一个元件使用1500小时失效的概率为

3

1

10001000)15001000(1500

10001500

10002=

-==≤≤?x dx x X P 设5个元件使用1500小时失效的元件数为Y ，则)3

1

,5(~B Y 。所求的概率为

329.03

80

)32()31()2(53225==?==C Y P

（1）假设该地区每天的用电量仅有80万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

11

22340.8

0.8

{0.81}12(1)(683)0.0272|P X x x dx x x x <≤=-=-+=?

（2）假设该地区每天的用电量仅有90万千瓦时，则该地区每天供电量不足的概率为：

11

22340.9

0.9

{0.91}12(1)(683)0.0037|P X x x dx x x x <≤=-=-+=?

解:要使方程

03222

=+++K Kx x

有实根则使0)32(4)2(2

≥+-=?K K

解得K 的取值范围为],4[]1,[+∞--∞Y ,又随机变量K~U(-2,4)则有实根的概率为

3

1)2(4]34)2(1[=---+---=

p

解：X~P(λ)= P(

1

200

) (1) 111

100

100200

200200

1{100}1200

|x P X e dx e e ---≤=

==-?

（2）113

200

20023003001{300}200

|x P X e dx e e --∞

-∞≥===?

（3）1113

300

300200

20022100100

1{100300}200

|x P X e dx e e e ----≤≤=

==-?

1

132

2

2

{100,100300}{100}{100300}(1)()P X X P X P X e e

e -

-

-

≤≤≤=≤≤≤=--

解：设每人每次打电话的时间为X ，X ~E ，则一个人打电话超过10分钟的概率为

510

5.010

5.05.0)10(-+∞-+∞-=-==>?e e dx e X P x

x

又设282人中打电话超过10分钟的人数为Y ，则),282(~5

-e B Y 。

因为n =282较大，p 较小，所以Y 近似服从参数为9.12825

≈?=-e

λ的泊松分布。

所求的概率为

)1()0(1)2(=-=-=≥Y P Y P Y P

56625.09.219.119.19.19.1=-=--=---e e e

解：(1))42.0(1)42.0()12

110

105(

)105(Φ-=-Φ=-Φ=≤X P 3372.06628.01=-=

(2))12

110

100()12110120(

)120100(-Φ--Φ=≤≤X P 5934.017967.021)83.0(2)83.0()83.0(=-?=-Φ=-Φ-Φ=

解：设车门的最低高度应为a 厘米，X~N(170,62

)

{}1{}0.01170

{}(

)0.996

P X a P X a a P X a ≥=-≤≤-≤=Φ≥ 170

2.336

a -= 184a ≈厘米

解：X 的可能取值为1,2,3。

因为6.010

6

)1(3524====C C X P ； 1.01011)3(35==

==C X P ；

所以X 的分布律为

X 的分布函数为

????

???≥<≤<≤<=3

1329.0216.010

)(x x x x x F

(1)

22{0}{}0.22

{}{0}{}0.30.40.73{4}{}0.1

2

P Y P X P Y P X P X P Y P X π

πππ

π=======+==+=====

Y

2π

42

π i q

(2)

{1}{0}{}0.30.40.7

3{1}{}{}0.20.10.3

22

P Y P X P X P Y P X P X πππ

=-==+==+====+==+= Y

-1

1

3

.01.06.01)2(=--==X P

i q

（1）

当11x -≤<时，(){1}0.3F x P X ==-=

当12x ≤<时，(){1}{1}0.3{1}0.8F x P X P X P X ==-+==+==

{1}0.80.30.5P X ==-=

当2x ≥时，(){1}{1}{2}0.8{2}1F x P X P X P X P X ==-+=+==+==

{2}10.80.2P X ==-=

X -1 1 2 P

（2）

{1}{1}{1}0.30.50.8P Y P X P X ===-+==+= {2}{2}0.2P Y P X ====

Y

1 2 i q

~(0,1)X N Q ∴22

()

x X f x -

=

（1）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则

2

1221(){}{21}{}

2y x

Y y F y P Y y P X y P X dx +--∞+=≤=-≤=≤=?

对()Y F y 求关于y

的导数，得2

2

1(

)(1)2

821()()2y y Y y f y ++--+'== (,)y ∈-∞∞ （2）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则

当0y ≤时，(){}{}{}0X

Y F y P Y y P e y P -=≤=≤=?=

当0y >时，有

2

2

ln (){}{}{ln }{ln }x X Y F y P Y y P e y P X y P X y dx ∞

---=≤=≤=-≤=≥-=?

对()Y F y 求关于y 的导数，得

2

2

(ln )(ln )22(ln )()0

y y Y y f y ---?'-=?=??? y>0y 0≤

（3）设F Y (y)，()Y f y 分别为随机变量Y 的分布函数和概率密度函数，则

当y 0≤时，2

(){}{}{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=?=

当y>0

时，222

(){}{}{x Y F y P Y y P X y P X dx -

=≤=≤=≤

=

对()Y F y 求关于y

的导数，得

2

(ln )2

()0

y Y f y -

?''=

=?

y>0

y 0

≤

∵π:X U(0,)∴1

()0

X f x π??

=??? 0x π<<其它

（1）

2ln y π<<∞当时

2(){}{2ln }{ln }{}0Y F y P Y y P X y P X y P =≤=≤=≤=?=

2ln y π-∞<≤当

时

2

220

1

(){}{2ln }{ln }{}{y

e y Y F y P Y y P X y P X y P X e P X dx π

=≤=≤=≤=≤=≤=?

对()Y F y 求关于y 的导数，得到22

11()()20y y Y e e f y ππ?'=

?=???

2ln 2ln y y ππ-∞<≤<<∞ （2）

≥≤当y 1或 y -1时，(){}{cos }{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=?= 11y -<<当时,arccos 1

(){}{cos }{arccos }Y y

F y P Y y P X y P X y dx π

π

=≤=≤=≥=?

对()Y F y 求关于y 的导数，得到

1(arccos )()0Y y f y π?'-=?

=???

11y -<<其它 （3）≥≤当y 1或 y 0时(){}{sin }{}0Y F y P Y y P X y P =≤=≤=?=

01y <<当时，

arcsin 0

arcsin (){}{sin }{0arcsin }{arcsin }1

1

Y y

y

F y P Y y P X y P X y P y X dx dx

π

ππππ

π

-=≤=≤=≤≤+-≤≤=+?

?

对()Y F y 求关于y 的导数，得到

11arcsin (arcsin )()0Y y y f y πππ?''--=?=???

01y <<其它

第三章 随机向量

P{1

128

（1）a=

9

（2）

512

（3）

1

11120000111

{(,)}(6)[(6)]992

|y

y P X Y D dy x y dx y x x dy --∈=--=--??

?

1123200111111188(65)(35)9229629327

|y y dy y y y =-+=-+=?=? 解：（1）

(2)

222000

(,)22(|)(|)(1)(1)

y

x

y

x

u v v

u v y u x

y x F x y e

dudv e dv e du e e e e -+------===--=--?

?

??（2）

(2)

2200

223230000()222(|)221

2(1)(22)(|)|1333

x

x

x y x

v

x y x

x

x

x x x x P Y X e

dxdy e

dx e dy e e dx e

e dx e e dx e e ∞

∞

∞

-+----∞

∞

-----∞-∞≤===-=-=-=-+=-=??

????? 解：222

222222222001()(1)(1)a x y a r

P x y a d dr x y r πθππ+≤+≤=

=+++???? 222

222220

11111(1)21(1)2(1)11|a

a a d d r r r a a πθπππ=+=-??=-=++++??

参见课本后面P227的答案

31

1

1200

033()(,)2232

|X y x f x f x y dy xy dy x =

===?

?

22

2

22220

331()(,)3222|y f y f x y dx xy dx y x y ====??

,

()20,X x f x ??=??? 02

x ≤≤其它

23()0Y y f y ?=??01y ≤≤其它

解：X 的边缘概率密度函数()X f x 为：

①当10x x ><或时，(,)0f x y =，

()0X f x =1

122220

111

() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]

222

10

01

() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)

||Y y y x

x

X f y y x dx y x x y y y y y y f x y x dy y x x x =-=-=-+><≤≤=-=-=-??或

②当01x ≤≤时，220

() 4.8(2) 2.4(2) 2.4(2)|x

x

X f x y x dy y x x x =

-=-=-?

Y 的边缘概率密度函数()Y f y 为：

① 当10y y ><或时，(,)0f x y =，()0Y f y =

② 当01y ≤≤时，1

122

111() 4.8(2) 4.8[2] 4.8[12]222

|Y y y f y y x dx y x x y y y =

-=-=-+? 22.4(34)y y y =-+

（1）参见课本后面P227的答案

（2）26()0

x

x X dy f x ??=???? 01x ≤≤其它6=0x x ??

?（

1-） 01x ≤≤其它

()0

y Y dx f y ??=??? 01y ≤≤

其它6=0y ?

????） 01

y ≤≤其它

参见课本后面P228的答案 参见课本后面P228的答案 （1）

220()()30X xy

x dy f x ?+?=???? 01x ≤≤其它2223

0x x

?+?=???01x ≤≤其它 120()()30

Y xy x dx f y ?+?=???? 02y ≤≤其它1=360y ?+

????

02y ≤≤其它 对于02y ≤≤时，()0Y f y >，

所以2|3

(,)1(|)()36

0X Y Y xy x f x y y f x y f y ?+??

=

=?+???

01x ≤≤其它26+220x xy

y ??+??

=?

????

01

x ≤≤其它 对于01x ≤≤时，()0X f x >

所以22|3

(,)2(|)2()30Y X X xy x f x y x f y x x f x ?+??==?+??? 02y ≤≤其它3620

x y x +??+??

=????? 02y ≤≤其它

1

11222|00

01133111

722{|}(|)1222

54062

2

Y X y y P Y X f y dy dy dy ?+?+<

=====

?+???

由表格可知 P{X=1;Y=2}=≠

P{X=1}P{Y=2}= 故}{}P{};P{

y Y x X y Y x X i

i

i

i

P ====≠

所以X 与Y 不独立