等式与不等式专题
等式与不等式的性质专题
1.在不等式的两边同乘以一个正数，不等号方向不变；同乘以一个负数，不等号方向改变.
2.有关分数的性质
(1)若a>b>0，m>0，则b a b －m
a －m (
b －m>0).
(2)若ab>0，且a>b ?1a <1
b .
【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ?ac 2＞bc
2.( ) (2)a ＝b ?ac ＝bc.( ) (3)若a
b
>1，则a>b.( )
(4)0 a .( ) 【教材衍化】 2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋1 4. 【真题体验】 4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a b C.b a >a b D.a 2>ab >b 2 5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则a ＋b >c ”说法不正确的一组整数a ，b ，c 的值依次为________. 6.(2019·运城模拟)若－π2<α<β<π2，则α－β的取值范围是________. 【考点聚焦】 考点一 比较两个数(式)的大小 【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >a D.a >c >b (2)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M D.不确定 (3)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5 5 ，则( ) A.a D.b 【规律方法】 1.作差法一般步骤： (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 【训练1】(1)若a，b为正数，且a≠b，则a3＋b3________a2b＋ab2(用符号>、<、≥、≤填空). (2)若0 2，2ab，a 2＋b2从小到大排列为________________. 考点二不等式的性质 【例2】(1)已知a，b，c满足c C.cb2 D.ac(a－c)>0 (2)(一题多解)若1 a＜ 1 b＜0，给出下列不等式：① 1 a＋b ＜ 1 ab；②|a|＋b＞0；③a－ 1 a＞b－ 1 b；④ln a 2＞ln b2.其 中正确的不等式是() A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【规律方法】 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练2】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a> c b；②a clog a(b－c). 其中所有正确结论的序号是() A.① B.①② C.②③ D.①②③ 考点三不等式及其性质的应用 角度1不等式在实际问题中的应用 【例3－1】(2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________. 角度2 利用不等式的性质求代数式的取值范围 【例3－2】 (经典母题)已知－1 【迁移探究1】 将本例条件改为“－1 【迁移探究2】 将本例条件改为“已知－1 【规律方法】 1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表： 设用甲、乙两种食物各x kg 、y kg 配成至多100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________. (2)(2019·青岛测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈????18，14，则a b 的取值范围是________. 【反思与感悟】 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 【易错防范】 1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围. 2.形如例3－2探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题 1.限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式为() A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h 2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是() A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x) C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化 3.若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是() A.a－b>0 B.a3＋b3>0 C.a2－b2<0 D.a＋b<0 5.(2019·北京东城区综合练习)已知x ，y ∈R ，那么“x >y ”的充要条件是( ) A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1y D.x 2>y 2 6.(2018·湖州质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m <－1n B.m －n C.????12m >????12n D.m 2 7.已知0 A.M >N B.M C.M ＝N D.不能确定 8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .且0 D.c >9 二、填空题 9.(必修5P75A2改编)15－2________1 6－5 (填“>”“<”或“＝”). 10.设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 11.已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －d b >0，则b c －a d >0； ③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0. 其中正确的命题是________(填序号). 12.已知a >0，b >0，a ≠b ，则a a b b 与(ab )a ＋b 2 的大小关系是________. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟) 13.已知00 B.2a － b <12 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋ b a <12 14.(2019·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“?”和“⊕”如下：a ?b ＝?????a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝?????b ，a ≤b ，a ，a >b . 若m ?n ≥2，p ⊕q ≤2，则( ) A.mn ≥4且p ＋q ≤4 B.m ＋n ≥4且pq ≤4 C.mn ≤4且p ＋q ≥4 D.m ＋n ≤4且pq ≤4 15.已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________. 16.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围. 【新高考创新预测】 17.(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1 b 成立的有( ) A.b ＞0＞a B.0＞a ＞b C.a ＞0＞b D.a ＞b ＞0 1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)a ＞b ?ac 2＞bc 2.( ) (2)a ＝b ?ac ＝bc.( ) (3)若a b >1，则a>b.( ) (4)0 a .( ) 【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√ 【解析】 (1)由不等式的性质，ac 2＞bc 2?a ＞b ；反之，c ＝0时，a ＞b ?ac2＞bc 2. (2)由等式的性质，a ＝b ?ac ＝bc ；反之，c ＝0时，ac ＝bc 不能推出a ＝b (3)a ＝－3，b ＝－1，则a b >1，但a 【教材衍化】 2.(必修5P74例1改编)若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，则一定有( ) A.a d ＞b c B.a d ＜b c C.a c ＞b d D.a c ＜b d 【答案】 B 【解析】 因为c ＜d ＜0，所以0＞1c ＞1d ，两边同乘－1，得－1d ＞－1 c ＞0，又a ＞b ＞0，故由不等式的性质 可知－a d ＞－b c ＞0.两边同乘－1，得a d ＜b c . 3.(必修5P75A2(2)改编)比较两数的大小：7＋10______3＋1 4. 【答案】 > 【解析】 (7＋10)2＝17＋270，(3＋14)2＝17＋242， ∴(7＋10)2>(3＋14)2，∴7＋10>3＋14. 【真题体验】 4.(2018·衡阳联考)若a ，b ，c 为实数，且a b C.b a >a b D.a 2>ab >b 2 【答案】 D 【解析】 c ＝0时，A 项不成立；1a －1b ＝b －a ab >0，选项B 错；b a －a b ＝b 2－a 2ab ＝（b ＋a ）（b －a ）ab <0，选项 C 错.由a ab >b 2. D 正确. 5.(2017·北京卷改编)能够说明“设a ，b ，c 是任意实数，若a >b >c ，则a ＋b >c ”说法不正确的一组整数a ，b ，c 的值依次为________. 【答案】 －1，－2，－3(答案不唯一) 【解析】 因为a >b >c ，所以a >c ，b >c ，则a ＋b >2c .所以a ＋b >c 不一定正确.因为2c 与c 的大小关系不确定，当c ＝0时，2c ＝c ；当c >0时，2c >c ；当c <0时，2c 2，则α－β的取值范围是________. 【答案】 (－π，0) 【解析】 由－π2<α<π2，－π2<－β<π 2，α<β，得－π<α－β<0. 【考点聚焦】 考点一 比较两个数(式)的大小 【例1】 (1)已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A.c ≥b >a B.a >c ≥b C.c >b >a D.a >c >b (2)已知a 1，a 2∈(0，1)，记M ＝a 1a 2，N ＝a 1＋a 2－1，则M 与N 的大小关系是( ) A.M D.不确定 (3)(一题多解)若a ＝ln 33，b ＝ln 44，c ＝ln 5 5 ，则( ) A.a D.b 【答案】 (1)A (2)B (3)B 【解析】 (1)∵c －b ＝4－4a ＋a 2＝(a －2)2≥0，∴c ≥b .又b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，∴2b ＝2＋2a 2，∴b ＝a 2＋1，∴b －a ＝a 2－a ＋1＝????a －122 ＋3 4 >0，∴b >a ，∴c ≥b >a . (2)M －N ＝a 1a 2－(a 1＋a 2－1)＝a 1a 2－a 1－a 2＋1＝a 1(a 2－1)－(a 2－1)＝(a 1－1)(a 2－1)， 又因为a 1∈(0，1)，a 2∈(0，1)，所以a 1－1<0，a 2－1<0.所以(a 1－1)(a 2－1)>0，即M －N >0，所以M >N . (3)法一 易知a ，b ，c 都是正数，b a ＝3ln 44ln 3＝log 8164<1，所以a >b ；b c ＝5ln 4 4ln 5＝ log 6251 024>1，所以b >c .即c ln x x ，则f ′(x )＝1－ln x x 2 ， 由f ′(x )>0，得0 (1)作差；(2)变形；(3)定号；(4)结论.其中关键是变形，常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.当两个式子都为正数时，有时也可以先平方再作差. 2.作商法一般步骤： (1)作商；(2)变形；(3)判断商与1的大小；(4)结论. 3.函数的单调性法：将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数单调性得出大小关系. 4.特殊值法：对于选择、填空题，可以选取符合条件的特殊值比较大小. 【训练1】 (1)若a ，b 为正数，且a ≠b ，则a 3＋b 3________a 2b ＋ab 2(用符号>、<、≥、≤填空). (2)若0 2，2ab ，a 2＋b 2从小到大排列为________________. 【答案】 (1)> (2)a <2ab <1 2 【解析】 (1)(a 3＋b 3)－(a 2b ＋ab 2)＝a 3＋b 3－a 2b －ab 2 ＝a 2(a －b )－b 2(a －b )＝(a －b )(a 2－b 2) ＝(a －b )2(a ＋b )， ∵a >0，b >0且a ≠b ，∴(a －b )2>0，a ＋b >0， ∴(a 3＋b 3)－(a 2b －ab 2)>0，即a 3＋b 3>a 2b ＋ab 2. (2)∵0 21且2a <1， ∴a <2b ·a ＝2a (1－a )＝－2a 2＋2a ＝－2????a －122 ＋12<12.即a <2ab <12. 又a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab >1－12＝12，即a 2＋b 2>1 2 . ∵1 2 【例2】 (1)已知a ，b ，c 满足c ac B.c (b －a )<0 C.cb 2 D.ac (a －c )>0 (2)(一题多解)若1a ＜1b ＜0，给出下列不等式：①1a ＋b ＜1ab ；②|a |＋b ＞0；③a －1a ＞b －1 b ；④ln a 2＞ln b 2.其 中正确的不等式是( ) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 【答案】 (1)A (2)C 【解析】 (1)由c 0.由b >c ，得ab >ac 一定成立. (2)法一 因为1a ＜1 b ＜0，故可取a ＝－1，b ＝－2. 显然|a |＋b ＝1－2＝－1＜0，所以②错误；因为ln a 2＝ln(－1)2＝0，ln b 2＝ln(－2)2＝ln 4＞0，所以④错误.综上所述，可排除A ，B ，D. 法二 由1a ＜1b ＜0，可知b ＜a ＜0.①中，因为a ＋b ＜0，ab ＞0，所以1a ＋b ＜0，1ab ＞0.故有1a ＋b ＜1 ab ，即① 正确； ②中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故②错误； ③中，因为b＜a＜0，又1 a＜ 1 b＜0，则－ 1 a＞－ 1 b＞0， 所以a－1 a＞b－ 1 b，故③正确； ④中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故④错误.由以上分析，知①③正确. 【规律方法】 解决此类题目常用的三种方法： (1)直接利用不等式的性质逐个验证； (2)利用特殊值法排除错误答案，利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件； (3)利用函数的单调性，当直接利用不等式的性质不能比较大小时，可以利用指数函数、对数函数、幂函数等函数的单调性进行判断. 【训练2】(1)(2019·东北三省四市模拟)设a，b均为实数，则“a>|b|”是“a3>b3”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论： ①c a> c b；②a clog a(b－c). 其中所有正确结论的序号是() A.① B.①② C.②③ D.①②③ 【答案】(1)A(2)D 【解析】(1)a>|b|能推出a>b，进而得a3>b3；当a3>b3时，有a>b，但若b (2)由不等式性质及a>b>1，知1 a< 1 b，又c<0， ∴c a> c b，①正确；构造函数y＝x c，∵c<0，∴y＝x c在(0，＋∞)上是单调递减的， 又a>b>1，∴a cb>1，c<0，∴a－c>b－c>1，∴log b(a－c)>log a(a－c)>log a(b－c)，③正确. 考点三不等式及其性质的应用 角度1不等式在实际问题中的应用 【例3－1】 (2017·北京卷)某学习小组由学生和教师组成，人员构成同时满足以下三个条件： (1)男学生人数多于女学生人数； (2)女学生人数多于教师人数； (3)教师人数的两倍多于男学生人数. ①若教师人数为4，则女学生人数的最大值为________. ②该小组人数的最小值为________. 【答案】 ①6 ②12 【解析】 令男学生、女学生、教师人数分别为x ，y ，z ，且2z >x >y >z ，①若教师人数为4，则4 【例3－2】 (经典母题)已知－1 【答案】 (－4，2) (1，18) 【解析】 因为－1 【迁移探究1】 将本例条件改为“－1 【解析】 因为－1 【迁移探究2】 将本例条件改为“已知－1 【解析】设3x ＋2y ＝λ(x －y )＋μ(x ＋y )，即3x ＋2y ＝(λ＋μ)x ＋(μ－λ)y ， 于是?????λ＋μ＝3，μ－λ＝2， 解得 ???λ＝12 ，μ＝52， ∴3x ＋2y ＝12(x －y )＋5 2(x ＋y ).∵－1 故3x ＋2y 的取值范围是????92，192. 【规律方法】 1.解决有关不等关系的实际问题，应抓住关键字词，例如“要”“必须”“不少于”“大于”等，从而建立相应的方程或不等式模型. 2.利用不等式性质可以求某些代数式的取值范围，但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围.解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【训练3】 (1)已知甲、乙两种食物的维生素A ，B 含量如下表： 设用甲、乙两种食物各x kg 、y kg 配成至多100 kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有56 000单位维生素A 和62 000单位维生素B ，则x ，y 应满足的所有不等关系为________. (2)(2019·青岛测试)已知实数a ∈(1，3)，b ∈????18，14，则a b 的取值范围是________. 【答案】 (1)?????x ＋y ≤100， 6x ＋7y ≥560， 2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0 (2)(4，24) 【解析】 (1)x ，y 所满足的关系为 ?????x ＋y ≤100，600x ＋700y ≥56 000，800x ＋400y ≥62 000，x ≥0，y ≥0，即?????x ＋y ≤100， 6x ＋7y ≥560，2x ＋y ≥155，x ≥0，y ≥0. (2)依题意可得4<1 b <8，又1 【反思与感悟】 1.比较法是不等式性质证明的理论依据，是不等式证明的主要方法之一，比较法之一作差法的主要步骤为作差——变形——判断正负. 2.判断不等式是否成立，主要有利用不等式的性质和特殊值验证两种方法，特别是对于有一定条件限制的选择题，用特殊值验证的方法更简单. 【易错防范】 1.运用不等式的性质解决问题时，注意不等式性质成立的条件以及等价转化的思想，比如减法可以转化为加法，除法可以转化为乘法等.但应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的 性质时有可能扩大了变量的取值范围. 2.形如例3－2探究2题型的解决途径：先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，再通过“一次性”不等关系的运算求解范围. 【分层训练】 【基础巩固题组】(建议用时：35分钟) 一、选择题 1.限速40 km/h的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度v不超过40 km/h，写成不等式为() A.v<40 km/h B.v>40 km/h C.v≠40 km/h D.v≤40 km/h 【答案】 D 【解析】由汽车的速度v不超过40 km/h，即小于等于40 km/h，即v≤40 km/h，故选D. 2.若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是() A.f(x)＝g(x) B.f(x)＞g(x) C.f(x)＜g(x) D.随x的值变化而变化 【答案】B 【解析】f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1＞0?f(x)＞g(x). 3.若a，b都是实数，则“a－b>0”是“a2－b2>0”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】 A 【解析】a－b>0?a>b?a>b?a2>b2，但由a2－b2>0不能推出a－b>0.故选A. 4.若a，b∈R，且a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是() A.a－b>0 B.a3＋b3>0 C.a2－b2<0 D.a＋b<0 【答案】 D 【解析】由a＋|b|<0知，a<0，且|a|>|b|，当b≥0时，a＋b<0成立，当b<0时，a＋b<0成立，所以a＋b<0，故选D. 5.(2019·北京东城区综合练习)已知x，y∈R，那么“x>y”的充要条件是() A.2x >2y B.lg x >lg y C.1x >1y D.x 2>y 2 【答案】 A 【解析】 因为2x>2y ?x>y ，所以“2x>2y”是“x>y”的充要条件，A 正确；lg x>lg y ?x>y>0，则“lg x>lg y”是“x>y”的充分不必要条件，B 错误；“1x >1 y ”和“x2>y2”都是“x>y”的既不充分也不必要条件. 6.(2018·湖州质检)若实数m ，n 满足m >n >0，则( ) A.－1m <－1n B.m －n C.????12m >????12n D.m 2 【答案】 B 【解析】 取m ＝2，n ＝1，代入各选择项验证A ，C ，D 不成立.2－1<2－1只有B 项成立. 7.已知0 A.M >N B.M C.M ＝N D.不能确定 【答案】 A 【解析】因为0 b ，所以1＋a >0，1＋b >0，1－ab >0，所以M －N ＝1－a 1＋a ＋1－b 1＋b ＝2－2ab 1＋a ＋b ＋ab >0.故选 A. 8.已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c .且0 D.c >9 【答案】 C 【解析】 由f (－1)＝f (－2)＝f (－3) 得?????－1＋a －b ＋c ＝－8＋4a －2b ＋c ，－1＋a －b ＋c ＝－27＋9a －3b ＋c ，解得?????a ＝6， b ＝11， 则f (x )＝x 3＋6x 2＋11x ＋c ， 由0 6－5 (填“>”“<”或“＝”). 【答案】 < 【解析】 分母有理化有 15－2＝5＋2，16－5＝6＋5，显然5＋2<6＋5，所以15－2<1 6－5 . 10.设f (x )＝ax 2＋bx ，若1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4，则f (－2)的取值范围是________. 【答案】 [5，10] 【解析】 设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)(m ，n 为待定系数)，则4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )， 即4a －2b ＝(m ＋n )a ＋(n －m )b . 于是得?????m ＋n ＝4，n －m ＝－2，解得? ??? ?m ＝3，n ＝1.∴f (－2)＝3f (－1)＋f (1).又∵1≤f (－1)≤2，2≤f (1)≤4. ∴5≤3f (－1)＋f (1)≤10，故5≤f (－2)≤10. 11.已知a ，b ，c ，d 均为实数，则下列命题： ①若ab >0，bc －ad >0，则c a －d b >0； ②若ab >0，c a －d b >0，则b c －a d >0； ③若bc －ad >0，c a －d b >0，则ab >0. 其中正确的命题是________(填序号). 【答案】 ①②③ 【解析】 ∵ab >0，bc －ad >0，∴c a －d b ＝bc －ad ab >0，∴①正确； ∵ab >0，又c a －d b >0，即b c －a d ab >0，∴bc －ad >0，∴②正确； ∵bc －ad >0，又c a －d b >0，即b c －a d ab >0，∴ab >0，∴③正确.故①②③都正确. 12.已知a >0，b >0，a ≠b ，则a a b b 与(ab )a ＋b 2 的大小关系是________. 【答案】 a a b b >(ab ) a ＋ b 2 【解析】 a a b b （ab ） a ＋ b 2 ＝??? ?a b a －b 2 .当a >b >0时，a b >1，a －b 2 >0，则????a b a －b 2 >1，∴a a b b >(ab ) a ＋ b 2 . 当b >a >0时，0 b <1，a －b 2 <0，则????a b a －b 2 >1，∴a a b b >(ab ) a ＋ b 2 . 【能力提升题组】(建议用时：20分钟) 13.已知00 B.2a － b <12 C.log 2a ＋log 2b <－2 D.2a b ＋ b a <12 【答案】 C 【解析】 由题意知0 <2a － b <1，B 错误；因为02 a b ·b a ＝2，所以2a b ＋b a >22＝4，D 错误；由a ＋b ＝1>2ab ，得ab <14，因此log 2a ＋log 2b ＝log 2(ab ) 4 ＝－2，C 正确. 14.(2019·江门模拟)设a ，b ∈R ，定义运算“?”和“⊕”如下：a ?b ＝?????a ，a ≤b ，b ，a >b ，a ⊕b ＝? ??? ?b ，a ≤b ，a ，a >b .若m ?n ≥2， p ⊕q ≤2，则( ) A.mn ≥4且p ＋q ≤4 B.m ＋n ≥4且pq ≤4 C.mn ≤4且p ＋q ≥4 D.m ＋n ≤4且pq ≤4 【答案】 A 【解析】 结合定义及m ?n ≥2可得???? ?m ≥2，m ≤n 或?????n ≥2，m >n ，即n ≥m ≥2或m >n ≥2，所以mn ≥4； 结合定义及p ⊕q ≤2，可得???? ?p ≤2，p >q 或? ????q ≤2，p ≤q ，即q 15.已知存在实数a 满足ab 2>a >ab ，则实数b 的取值范围是________. 【答案】 (－∞，－1) 【解析】因为ab 2>a >ab ，所以a ≠0，当a >0时，b 2>1>b ，即?????b 2>1， b <1，解得b <－1；当a <0时，b 2<1 ? ????b 2<1， b >1，此式无解.综上知实数b 的取值范围是(－∞，－1). 16.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋ c 满足f (1)＝0，且a >b >c ，求c a 的取值范围. 【答案】见解析 【解析】因为f (1)＝0，所以a ＋b ＋c ＝0，所以b ＝－(a ＋c ).又a >b >c ， 所以a >－(a ＋c )>c ，且a >0，c <0，所以1>－a ＋c a >c a ，即1>－1－c a >c a . 所以? ??2c a <－1，c a >－2，解得－2 a 的取值范围为????－2，－12 【新高考创新预测】 17.(多选题)下列四个条件，能推出1a ＜1 b 成立的有( ) A.b ＞0＞a B.0＞a ＞b C.a ＞0＞b D.a ＞b ＞0 【答案】 ABD 【解析】 运用倒数性质，由a ＞b ，ab ＞0可得1a ＜1 b ，B 、D 正确.又正数大于负数，A 正确，C 错误，故 选A ，B ，D. 不等式经典题型专题练习（含答案） ：__________ 班级：___________ 一、解答题 1．解不等式组： ()13x 2x 11{ 25 233x x -+≤-+≥-，并在数轴上表示不等式组的解集． 2．若不等式组21{ 23x a x b -<->的解集为-1 5．解不等式组：并写出它的所有的整数解． 6．已知关于x、y的方程组 521118 23128 x y a x y a +=+ ? ? -=- ? 的解满足x＞0，y＞0，数a的取 值围． 6．求不等式组 x20 x 1x3 2 -> ? ? ? +≥- ?? 的最小整数解． 7．求适合不等式﹣11＜﹣2a﹣5≤3的a的整数解． 8．已知关于x的不等式组的整数解共有5个，求a的取值围． 9．若二元一次方程组 2 { 24 x y k x y -= += 的解x y >，求k的取值围. 10．解不等式组5134122 x x x x ->-???--??≤并求它的整数解的和． 11．已知x ，y 均为负数且满足：232x y m x y m +=-?? -=?①②，求m 的取值围． 12．解不等式组?? ???<+-+≤+12312)2(352x x x x ，把不等式组的解集在数轴上表示出来，并写出不等式组的非负整数集. 14．若方程组2225 x y m x y m +=+??-=-?的解是一对正数，则： （1）求m 的取值围 （2）化简：42m m -++ 15．我市一山区学校为部分家远的学生安排住宿，将部分教室改造成若干间住房. 如果每间住5人，那么有12人安排不下；如果每间住8人，那么有一间房还余一些床位，问该校可能有几间住房可以安排学生住宿？住宿的学生可能有多少人？ 2014年中考数学总复习专题测试试卷（方程与不等式） 一、选择题 1．点 A(m 4，1 2m) 在第三象限，那么 m 值是（ ）。 1 Ｂ． m 4 1 m 4 Ｄ． m 4 Ａ． m Ｃ． 2 2 2．不等式组 x 3 ）。 x 的解集是 x> a ，则 a 的取值范围是（ a Ａ． a ≥3 B ． a =3 Ｃ． a >3 Ｄ． a <3 2x 1 3．方程 x 2－4 －1＝ x ＋ 2 的解是（ ）。 Ａ．－ 1 B ． 2 或－ 1 Ｃ．－ 2 或 3 Ｄ． 3 2-x x-1 4．方程 3 - 4 = 5 的解是（ ）。 Ａ． 5 B ． - 5 Ｃ． 7 Ｄ． - 7 5．一元二次方程 x 2 -2x-3=0 的两个根分别为（ ）。 A ．x 1=1，x 2 =-3 B ．x 1=1，x 2 =3 C ．x 1=-1 ， x 2=3 D ．x 1=-1 ，x 2=-3 a 2b ， 3 m 则 a b 的值为（ 6．已知 a ， b 满足方程组 ）。 2a b m ， 4 Ａ． 1 Ｂ． m 1 Ｃ． 0 Ｄ． 1 7． 若方程组 3x 5y m 2 2x 3 y m 的解 x 与 y 的和为 0，则 m 的值为（ ）。 Ａ．－ 2 B ．0 Ｃ． 2 Ｄ． 4 8．在一幅长 80cm ，宽 50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形图．如果要使整个挂图的 面积是 5400cm 2 ，设金色纸边的宽为 xcm ， 那么 x 满足的方程是（ ）。 A ．x 2+130x-1400=0 B ． x 2 +65x-350=0 C ．x 2-130x-1400=0 D ． x 2 -65x-350=0 2x m ＋1 x ＋1 9．若解分式方程 x －1 －x 2＋ x ＝ x 产生增根，则 m 的值是（ ）。 Ａ．－ 1 或－ 2 B ．－ 1 或 2 Ｃ． 1 或 2 Ｄ． 1 或－ 2 二、填空题 10．不等式 (m-2)x>2-m 的解集为 x<-1 ，则 m 的取值范围是 __________________。 11．已知关于 x 的方程 10x 2－(m+3)x+m － 7=0，若有一个根为 0，则 m=_________，这时方程的另一个根是 _________。 12．不等式组 x 2m 1 x m 的解集是 x ＜ m －2，则 m 的取值应为 _________。 2 三解答题 13．解方程： (1) (2x – 3) 2 = (3x – 2) 2 13.3 一次函数与一次方程、一次不等式 ◆知识概述 1、通过简单的实例发现并了解一次函数、一元一次方程与一元一次不等式之间的联系． 2、通过用函数观点处理方程（组）与不等式问题，体验用函数观点认识问题和处理问题的意义和方法，进一步体验数与形的相互联系的紧密性和相互转化的灵活性． 3、任何一元一次方程都可以转化为ax＋b＝0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y＝ax＋b确定它与x轴的交点的横坐标的值. 4、任何一个一元一次不等式都可以转化为ax＋b>0或ax＋b<0 (a，b为常数，a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围. 5、一次函数y＝kx＋b与一元一次方程kx＋b＝0和一元一次不等式的关系：函数y＝kx＋b的图象在x轴上方点所对应的自变量x的值，即为不等式kx＋b>0的解集；在x轴上所对应的点的自变量的值即为方程kx＋b＝0的解；在x轴下方所对应的点的自变量的值即为不等式kx＋b<0的解集. ◆典型例题 例1、若正比例函数y＝（1－2m）x的图象经过点A（x，y）和点B（x，y），当x＜x时，y＞1211212 ＞．m＜ 0C＜mO B．m＞．mD），则ym的取值范围是（ A．2答案：D．例2、一次函数y＝kx＋b的自变量x的取值范围是－3≤x≤6，相应函数值的取值范围是－5≤y≤－2，则这个函数的解读式为____________. 分析： 本题分两种情况讨论：①当k＞0时，y随x的增大而增大，则有：当x＝－3，y＝－5；当x ＝6中可得b ＋，把它们代入y＝－2y＝kx时，＝x－y∴∴函 数解读式为4． 1 / 7 ②当k 不等式与不等式组专题复习 (一)不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1.不等式：用符号“＜”“＞”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像a+2≠a-2这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2.常见不等式的基本语言有： ①x 是正数，则x ＞0； ②x 是负数，则x ＜0； ③x 是非负数，则x≥0； ④x 是非正数，则x≤0； ⑤x 大于y ，则x －y ＞0； ⑥x 小于y ，则x －y ＜0； ⑦x 不小于y ，则x ≥ y ； ⑧x 不大于y ，则x ≤ y 。 例1.下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2＜5 x+3>6 4x-2y ≤0 a-2b a+b ≠c 5m+3=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 知识点： 1.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 例1.判断下列数中哪些是不等式 的解: 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 —————————————————————————————————— 变式练习： 1.下列说法正确的是( ) A. x=3是2x+1>5的解 B. x=3是2x+1>5的唯一解 C. x=3不是2x+1>5的解 D. x=3是2x+1>5的解集 2.在下列表示的不等式的解集中，不包括-5的是 （ ） A.x ≤ 4 B.x ≥ -5 C.x ≤ -6 D.x ≥ -7 考点3：不等式解集在数轴上的表示方法 知识点： 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③定方向. 2.用数轴表示不等式的解集,应记住下面的规律: 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ ,≤)画实心点, 无等号(>,<)画空心圆. 例1.图中表示的是不等式的解集，其中错误的是（ ） A 、x ≥－ 2 B 、x ＜1 C 、x ≠、x ＜0 变式练习： 1.不等式2≤x 在数轴上表示正确的是（ ） 5032 >x 0-1-2 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ） a b ＜1 （C ）lg(a-b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1 +a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1 (a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11 )(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21 , g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 《方程与不等式》教学与复习指导意见一、2017年《方程与不等式》考纲的要求 二、《方程与不等式》在2015、2016年各地市中考卷所占的分值 三、2015、2016年各地市呈现的类型 (一) 解方程 1、解分式方程： （2） 2 32+=x x 2、解一元二次方程： 3、解方程组： （二）解不等式或不等式组 1、解不等式： （1）2x +1＞3 （2）2x ＜4 2、解不等式组： （4） （6）并把解集在数轴上表示出来 212 x =（）220x x +=（）2250 x x +-=（4）220 x x -=（3）4 121 x y x y -=?? +=-?（）1248x y x y +=?? +=-?（）7(3)123 x x --≤解不等式： ，并把解集表示在数轴上 2 6(4)30 3 x x x x --+=+3411x x = +（）32321 x x = +（）13 (5) 122 x x x -=---210223 x x x ，（）ì+>??í?<+??260 310. x x --??（5）10 12 x x ->??≤? （） （7）求不等式组210 25 x x x +>?? >-?的正整数解. （三）一元二次方程根的判别式 .1、一元二次方程2x 2 +3x+1=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的实数根 B ． 有两个相等的实数根 C ．没有实数根 D ． 无法确定 2、命题“关于x 的一元二次方程x 2 +bx+1=0，必有实数解．”是假命题．则在下列选项中，可以作为反例的是（ ） 3、若 关于x 的一元二次方程2 310ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是 。 4、下列一元二次方程中，没有．．实数根的是 A ．0322 =--x x B ．012 =+-x x C ．0122 =++x x D ．12 =x 5、关于x 的一元二次方程x 2 ＋ax －1＝0的根的情况是 A.没有实数根 B.只有一个实数根 C.有两个相等的实数根 D.有两个不相等的实数根 （四）方程（组）与不等式（组）的应用 1、方程的应用 闽北某村原有林地120公顷，旱地60公顷．为适应产业结构调整，需把一部分旱地改造为林地，改造后，旱地面积占林地面积的20%．设把x 公顷旱地改造为林地，则可列方程为 A ．)120%(2060x x +=- B ．120%2060?=+x C ．)60%(20180x x +=- D ．120%2060?=-x 2、2、方程组的应用 （1）某班去看演出，甲种票每张24元，乙种票每张18元，如果35名学生购票恰好用去 一次函数与方程和不等式讲义 函数解析式:用含有表示自变量的字母的代数式表示因变量的式子叫做解析式。 １、描点法画函数图形的一般步骤 第一步:列表(表中给出一些自变量的值及其对应的函数值); 第二步:描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标,相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点)；第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来）。 2、函数的表示方法 列表法：一目了然,使用起来方便,但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。 解析式法：简单明了,能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系,但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。 图象法：形象直观,但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。 3、正比例函数及性质 一般地，形如ｙ=kx （k 是常数，k ≠0)的函数叫做正比例函数,其中ｋ叫做比例系数． 注:正比例函数一般形式 y =k ｘ (k 不为零) ① k 不为零 ② ｘ指数为1 ③ b 取零 当k >0时，直线ｙ＝ｋx 经过三、一象限，从左向右上升,即随x 的增大ｙ也增大；当ｋ<０时，?直线y =ｋx 经过二、四象限,从左向右下降,即随x 增大y 反而减小. (1) 解析式:y =ｋｘ(k 是常数，k ≠０) (2) 必过点:(0，0)、(1，k ） (3) 走向：k >0时,图像经过一、三象限;k <0时,?图像经过二、四象限 (4) 增减性：k >0，y 随x 的增大而增大;k <０，y 随ｘ增大而减小 (5) 倾斜度：|k |越大，越接近ｙ轴；|k |越小,越接近ｘ轴 4、一次函数及性质 一般地，形如ｙ＝kx ＋b (k ,b 是常数,ｋ≠0),那么y 叫做x 的一次函数.当b =０时,ｙ=kx +b 即y ＝kx ,所以说正比例函数是一种特殊的一次函数. 注：一次函数一般形式 y =ｋx +b (k 不为零） ① k 不为零 ②ｘ指数为1 ③ ｂ取任意实数 一次函数y =kx +ｂ的图象是经过（0，ｂ)和(－ k b ，0)两点的一条直线，我们称它为直线y ＝kx +ｂ,它可以看作由直线y =kx 平移|b ｜个单位长度得到.（当b ＞0时，向上平移;当b ＜0时，向下平移） （1）解析式:ｙ＝kx +ｂ（k 、b 是常数,k ≠０ (2）必过点：（0,b ）和(－ k b ，0） (3)走向： k >0,图象经过第一、三象限;ｋ<0，图象经过第二、四象限 b >0,图象经过第一、二象限;b <０，图象经过第三、四象限 ????>>00b k 直线经过第一、二、三象限 ??? ?<>00 b k 直线经过第一、三、四象限 ????><00b k 直线经过第一、二、四象限 ??? ?<<0 b k 直线经过第二、三、四象限 (4）增减性： k >0,y 随x 的增大而增大;k <0,y 随x 增大而减小. (5)倾斜度：|k | 越大,图象越接近于ｙ轴;｜k ｜ 越小,图象越接近于ｘ轴． （6)图像的平移: 当b >0时，将直线y ＝kx 的图象向上平移ｂ个单位； (上加下减,左加右减） 当b <0时,将直线ｙ=kx 的图象向下平移b 个单位. 当b <0时，向下平移). ５、直线y =k 1x +b 1与ｙ＝k 2x +b 2的位置关系 (1)两直线平行:k 1=ｋ2且b 1 ≠b 2 （２）两直线相交:ｋ１≠k 2 不等式与不等式组专题复习 （一）不等式 考点1：不等式的定义 知识点： 1. 不等式：用符号“<”“>”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 （像2≠2 这样用“ ≠”号表示不等关系的式子也是不等式。） 2. 常见不等式的基本语言有： ①x是正数，则x>0；②x是负数，则x<0；③x是非负数，则x≥ 0； ④x是非正数，则x≤0；⑤x大于y ，则x－y> 0； ⑥x小于y，则x－y < 0； ⑦x不小于y，则x ≥ y ；⑧x不大于y，则x ≤ y 。 例1. 下列式子哪些是不等式？哪些不是不等式？为什么？ -2 <5 3>6 42y ≤0 2b ≠c 53=8 8+4<7 考点2：不等式的解集 1. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 2. 不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解， 组成这个 不等式的解集。 例 1. 判断下列数中哪些是不等式 的解 : 76 , 73 , 79 , 80, 74.9 , 75, 75.1, 90 , 60 23x 50 变式练习： 1. 下列说法正确的是 ( ) A. 3 是 21>5的解 B. 3 C. 3 不是 21>5的解 D. 3 2. 在下列 表示的不等式的解集中，不包括 -5 的是 ( ≤ 4 ≥ -5 ≤ -6 ≥ -7 考点 3：不等式解集在数轴上的表示方法 是 21>5 的唯一 解 1.用数轴表示不等式的解集的步骤: ①画数轴; ②定边界点; ③ 定方向. 2.用数轴表示不等式的解集, 应记住下面的规律 大于向右画,小于向左画;有等号(≥ , ≤)画实心点, 无等号(>,<) 画空心圆. 例1. 图中表示的是不等式的解集，其中错误的是( ) A、x≥－* 2- 2 - 1 0 B C、x ≠0 D 变式练习： 1. 不等式x 2在数轴上表示正确的 是( ) A． C． 不等式基本性质练习 一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分） １．若a >0, b >0,则)11)( (b a b a ++ 的最小值是 （ ） A ．2 B ．22 C ．24 D ．4 2．分析法证明不等式中所说的“执果索因”是指寻求使不等式成立的 （ ） A ．必要条件 B ．充分条件 C ．充要条件 D ．必要或充分条件 3．设a 、b 为正数，且a + b ≤4，则下列各式中正确的一个是 （ ） A ． 111<+ b a B ．111≥+b a C ． 211<+ b a D ． 211≥+b a 4．已知a 、b 均大于1，且log a C ·log b C=4，则下列各式中，一定正确的是 （ ） A ．a c ≥b B ．a b ≥c C ．bc ≥a D ．a b ≤c 5．设a =2，b=37- ，26- = c ，则a 、b 、c 间的大小关系是 （ ） A ．a >b>c B ．b>a >c C ．b>c>a D ．a >c>b 6．已知a 、b 、m 为正实数，则不等式 b a m b m a >++ （ ） A ．当a < b 时成立 B ．当a > b 时成立 C ．是否成立与m 无关 D ．一定成立 7．设x 为实数，P=e x +e -x ，Q=(sin x +cos x )2，则P 、Q 之间的大小关系是 （ ） A ．P ≥Q B ．P ≤Q C ．P>Q D ． P 方程与不等式 一、选择题(每小题3分，共24分) 1．已知关于的方程的解满足方程，则的值是( ) A. B. C. 2 D. 3 2．已知两数之和是10，比y的3倍大2，则下面所列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 3．下列关于的方程中，有实数根的是( ) A． B． C． D． 4.分式方程的解为( ) A． B． C． D． 5.关于的不等式的解集如图，那么的值是（） A．－4 B．－2 C．0 D. 2 6.甲、乙、丙三家超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市先降价20%，后又降价10%；乙超市连续两次降价15%；丙超市一次降价30%.那么顾客到哪家超市购买这种商品更合算（） A．甲 B．乙 C．丙 D．一样 7. 在＝－4，－1，0，3中,满足不等式组的值是（） A．－4和0 B．－4和－1 C．0和3 D．－1和0 8. ，是关于的一元二次方程的两个实数根，是否存在实数使成立则正确的是结论是( ) A．时成立 B．时成立 C．或2时成立 D．不存在 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 已知关于的一元一次方程的解是＝2，则的值为． 10．小明星期天到体育用品商店购买一个篮球花了120元，已知篮球按标价打八折，那么篮球的标价是元． 11. 已知是二元一次方程组的解，则的值为 . 12.已知关于的方程有一个根是，则的值为 . 13．若，是方程的两实数根，那么的值为 . 14．若关于的分式方程有增根，则的值是 . 15．已知直线经过点（1，﹣1），那么关于的不等式的解集是 . 16．小红在解方程组的过程中，错把看成了6，其余的解题过程没有出错，解得此方程组的解为，又已知直线过点（3，1），则的正确值应该是． 三、解答题（本大题共8个小题，满分52分，需要有必要的推理与解题过程）. 17．（本题4分）解方程 18.（本题4分）解方程组： 19．（本题6分，每小题3分）解方程： ⑴. ⑵. 20．（本题6分）解不等式组，并将其解集在数轴上表示出来. 方程与不等式之一元一次方程基础测试题及答案 一、选择题 1．程大位是我国明朝商人，珠算发明家．他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著，详述了传统的珠算规则，确立了算盘用法．书中有如下问题： 一百馒头一百僧，大僧三个更无争， 小僧三人分一个，大小和尚得几丁． 意思是：有100个和尚分100个馒头，如果大和尚1人分3个，小和尚3人分1个，正好分完，大、小和尚各有多少人，下列求解结果正确的是（ ） A ．大和尚25人，小和尚75人 B ．大和尚75人，小和尚25人 C ．大和尚50人，小和尚50人 D ．大、小和尚各100人 【答案】A 【解析】 【分析】 根据100个和尚分100个馒头，正好分完．大和尚一人分3个，小和尚3人分一个得到等量关系为：大和尚的人数+小和尚的人数=100，大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100，依此列出方程即可． 【详解】 设大和尚有x 人，则小和尚有（100﹣x ）人， 根据题意得：3x+1003 x -=100， 解得x=25， 则100﹣x=100﹣25=75（人）， 所以，大和尚25人，小和尚75人， 故选A ． 【点睛】 本题考查了一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键. 2．A ，B 两地相距480 km ，一列慢车从A 地出发，每小时行驶60 km ，一列快车从B 地出发，每小时行驶90 km ，快车提前30 min 出发．两车相向而行，慢车行驶了多少小时后，两车相遇．若设慢车行驶了x h 后，两车相遇，则根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A ．60(30)90480x x ++= B ．6090(30)480x x ++= C ．160()904802x x ++= D ．16090()4802 x x ++= 不等式的基本知识 （一）不等式与不等关系 1、应用不等式（组）表示不等关系； 不等式的主要性质： (1)对称性：a b b a (2)传递性：c a c b b a >?>>, (3)加法法则：c b c a b a +>+?>；d b c a d c b a +>+?>>,(同向可加) (4)乘法法则：bc ac c b a >?>>0,； bc ac c b a 0, bd ac d c b a >?>>>>0,0(同向同正可乘) (5)倒数法则：b a a b b a 1 10,> (6)乘方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 (7)开方法则：)1*(0>∈>?>>n N n b a b a n n 且 2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论） 3、应用不等式性质证明不等式 （二）解不等式 1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式()0002 2 ≠<++>++a c bx ax c bx ax 或的解集： 设相应的一元二次方程()002 ≠=++a c bx ax 的两根为2121x x x x ≤且、，ac b 42 -=?，则不等式的解的各种情况 如下表： 2、简单的一元高次不等式的解法： 标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。()()()如：x x x +--<11202 3 3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。 ()()0() () 0()()0;0()0 () ()f x g x f x f x f x g x g x g x g x ≥?>?>≥?? ≠? 4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题 若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B < ()f x 专题二《方程与不等式》 ●中考点击 考点分析： 命题预测：方程与方程组始终是中考命题的重点内容，近几年全国各地的中考试题中，考查方程和方程组的分值平均占到25%，试卷涉及的主要考点有方程和方程组的解法；一元二次方程根的判别式以及根与系数关系的简单运用；列方程和方程组解应用题三大类问题．其中列一元一次方程求解商品利润问题以选择题为主；一元二次方程的解法以选择题和解答题为主；根的判别式及根与系数的关系以选择题和解答题为主，但难度一般不大；列二元一次方程组解应用题以解答题为主，主要考查解工程类、方案设计类及愉策类问题．结合2007－2008年的中考题不难看出，课改区对方程（组）的考题难度已经有所降低，如根与系数关系的运用，课改区几乎不再考查． 不等式与不等式组的分值一般占到5－8%左右，其常见形式有一元一次不等式（组）的解法，以选择题和填空题为主，考查不等式的解法；不等式（组）解集的数轴表示及整数解问题，以选择题和填空题为主；列不等式（组）解决方案设计问题和决策类问题，以解答题为主．近年试题显示，不等式（组）的考查热点是其应用，即列不等式（组）求解实际生活中的常见问题． 由此可见，在方程（组）与不等式（组）这一专题中，命题趋势将会是弱化纯知识性的考题，而更加热衷于数学知识在生活中的应用问题． ●难点透视 例1解方程： 2 241 1 1 x x x x - = -+- ． 【考点要求】本题考查了分式方程的解法． 【思路点拨】去分母将分式方程转化为整式方程是解分式方程的基本方法，验根只需将结果代入最简公分母即可． 原方程变形为 ) 1)(1(41 21 -+= +- -x x x x x 方程两边都乘以)1)(1(-+x x ，去分母并整 理得022 =--x x ，解这个方程得1,221-==x x ．经检验，2=x 是原方程的根，1 -=x 是原方程的增根．∴原方程的根是2=x ． 【答案】2=x ． 【方法点拨】部分学生在解分式方程时，往往不能拿到全部分数，其中很多人是因为忘记检验．突破方法：牢牢记住分式方程必须验根，检验这一步不可缺少． 《不等式与不等式组专项训练》一、选择： 1．下列不等式一定成立的是（） A．a≥﹣a B．3a＞a C．a D．a+1＞a 2．若a＞b，则下列不等式仍能成立的是（） A．b﹣a＜0B．ac＜bc C．D．﹣b＜﹣a 3．解不等式中，出现错误的一步是（） A．6x﹣3＜4x﹣4B．6x﹣4x＜﹣4+3C．2x＜﹣1D． 4．不等式的正整数解有（） A．2个B．3个C．4个D．5个 5．在下列不等式组中，解集为﹣1≤x＜4的是（） A．B．C．D． 6．若不等式≥4x+6的解集是x≤﹣4，则a的值是（）A．34B．22C．﹣3D．0 二、填空： 7．用不等式表示“6与x的3倍的和大于15”． 8．不等式的最大正整数解是，最小正整数解是．9．一次不等式组的解集是． 10．若y=2x+1，当x时，y＜x． 11．关于x的不等式ax+b＜0（a＜0）的解集为． 12．若方程mx+13=4x+11的解为负数，则m的取值范围是． 13．若a＞b，则的解集为． 14．某次知识竞赛共有20题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对道． 三、解不等式或不等式组： 15．解不等式或不等式组： （1）3（x﹣2）﹣4（1﹣x）＜1 （2）1﹣≥x+2 （3） （4）． 四、解答下列各题： 16．x取什么值时，代数式5（x﹣1）﹣2（x﹣2）的值大于x+2的相反数． 17．k取什么值时，解方程组得到的x，y的值都大于1． 18．某班有住宿生若干人，分住若干间宿舍，若每间住4人，则还余20人无宿舍住；若每间住8人，则有一间宿舍不空也不满，求该班住宿生人数和宿舍间数． 19．某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品共50件．已知生产1件A种产品需甲种原料9千克、乙种原料3千克，生产1件B种产品需甲种原料4千克、乙种原料10千克，请你提出安排生产的方案． 不等式计算专项练习 一、解答题 1．解不等式组，并且把解集在数轴上表示出来. 2．求不等式组的整数解. 3．计算下列不等式（组）： （1）x-＜2-. （2）-2≤≤7 （3）； （4） 4．已知：y1=x+3，y2=－x+2，求满足下列条件时x的取值范围：（1）y1＜y2 （2）2y1－y2≤4 5．解不等式组： 6．求下列不等式组的解集 7．（1）计算：（-2）-2×|-3|-（）0 （2）解不等式组： 8．解不等式组，并指出它的所有整数解． 9．解不等式组：，并写出该不等式组的整数解． 11．解不等式组并写出的所有整数解. 12．(1)解方程：. (2)求不等式组：. 13．求不等式组的整数解． 14．（1）解不等式组：并把解集在数轴上表示出来． （2）解不等式组： 15．求不等式组的非负整数解． 16．解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）； （2） 17．（1）解不等式组 （2）在（1）的条件下化简：|x+1|+|x-4| 18．已知关于x，y的方程组的解为正数． （1）求a的取值范围； （2）化简|-4a+5|-|a+4|． 19．（1）解不等式2-＞+1，并把它的解集在数轴上表示出来； （2）求不等式组的整数解． 20．解不等式组：． 21．解不等式组 22．解不等式组，并把它们解集表示在数轴上，写出满足该不等式组的 所有整数解． 23．解不等式组：；在数轴上表示出不等式组的解集，并写出它的整数 解． 24．解不等式组：． 25．解不等式组 26．解不等式组 ) 27．当x 是不等式组 的正整数解时，求多项式（1﹣3x ）（1+3x ）+（1+3x ） 2 +（﹣x 2）3÷x 4的值． 28．解方程与不等式组： 解方程：；解不等式组： 29．解不等式组． 30．解不等式组，并写出不等式组的整数解. 31．（1）解不等式组: (2)解方程： 32．解不等式组： . 33．解不等式组，并在数轴上表示它的解集． 34．（1）解方程： ; （2）解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 《方程与不等式》专题 第二讲：不等式（组）及应用 北京四中 梁威 知识回顾 ? 一元一次不等式 ，一元一次不等式的解法 ? 一元一次不等式组及其解集 类似于方程组，把含有相同未知数的几个一元一次不等式合在一起组 成一个一元一次不等式组，所有这些一元一次不等式的解集的______， 叫做这个不等式组的解集． ? 解一元一次不等式组的解法 (1)分别求出不等式组中各个不等式的解集； (2)利用_______确定它们的公共部分； (3)表示出这个不等式组的解集． ? 一元一次不等式(组)的应用 ? 一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0) 当函数值y ＝0时，一次函数转化为一元一次方程； 当函数值y ＞0或y ＜0时，一次函数转化为_____________，利用函数 图象可以确定x 的取值范围. 自主学习 1. 解不等式2 1687x x x +≤+- ，并在数轴上表示它的解集． 2. 解不等式组?? ???>+-≤+-x x x x 432,33)1(2在数轴上表示它的解集，并求它的整数解． 3. 关于x 的方程，如果3(x ＋4)－4＝2a ＋1的解大于 3 )43(414-=+x a x a 的解，求a 的取值范围． 4. 若关于x 的不等式组??? ??<++>+0,1234a x x x 的解集为x ＜2，求a 的取值范围． 5. 某物流公司，要将300吨物资运往某地，现有A 、B 两种型号的车可供 调用，已知A 型车每辆可装20吨，B 型车每辆可装15吨，在每辆车不超 载的条件下，把300吨物资装运完．问：在已确定调用5辆A 型车的前提 下，至少还需调用B 型车多少辆? 6. 某工厂用如图(a)所示的长方形和正方形纸板，做成如图(b)所示的竖式 与横式两种长方体形状的无盖纸盒． (a) (b) (1)现有正方形纸板162张，长方形纸板340张．若要做两种纸盒共 100个，设做竖式纸盒x 个． 竖式纸盒(个) 横式纸盒(个) x 所用正方形纸 板张数(张) 2(100－x ) 所用长方形纸 板张数(张) 4x ②按两种纸盒的生产个数来分，有哪几种生产方案? 一次方程/组和一次不等式/组练习题 一、填空/选择 1、在数轴上从左至右的三个数为a ，1＋a ，－a ，则a 的取值范围是（ ） A 、a ＜12 B 、a ＜0 C 、a ＞0 D 、a ＜－12 2、如果不等式组x a x b >?? 2、已知关于x ，y 的方程组? ??=+=+-b y x y x a 5)1(当a ，b 满足什么条件时，方程组有唯一解，无解，有无数解？ 3、（1）对于有理数ｘ、ｙ，定义一种新运算“＊”，ｘ＊ｙ＝a ｘ＋b ｙ＋c ，其中a 、b 、c 为常数，等式右边是常用的加法与乘法运算，又已知3＊5=15，4＊7=28，求1＊1的值。 （2）对于有理数x 、y 定义新运算：x *y ＝ax ＋by ＋5，其中a ，b 为常数．已知1*2＝9，(－3)*3＝2，求a ，b 的值． 四、应用题 1、甲、乙两件服装的成本共500元，商店老板为获得利润，决定将甲服装按50%的利润定价，乙服装按40%的利润定价，在实际出售时，顾客要求，两件衣服均9折出售，这样商店共获利157元。求服装的成本各是多少元？ 2、把若干颗花生分给若干只猴子。如果每只猴子分3颗，就剩下8颗；如果每只猴子分5颗，那么最后一只猴子虽分到了花生，但不足5颗。问猴子有多少只，花生有多少颗？ 3.某园林的门票每张10元，一次使用，考虑到人们的不同需要，也为了吸引更多的游客，该 园林除保留原来的售票方法外，还推出了一种“购买年票”的方法。年票分为A 、B 、C 三种：A 年票每张120元，持票进入不用再买门票；B 类每张60元，持票进入园林需要再买门票，每张2元，C 类年票每张40元，持票进入园林时，购买每张3元的门票。 （1） 如果你只选择一种购买门票的方式，并且你计划在一年中用80元花在该园林的门票上，试通过计算， 找出可使进入该园林的次数最多的购票方式。 （2） 求一年中进入该园林至少多少时，购买A 类年票才比较合算。 不等式与不等式组专项练习（能力提高） 1.已知方程组3133x y k x y +=+?? +=?的解x 、y,且2 不等式与不等式组专题 一、选择题 1. 如果a 、b 表示两个负数，且a ＜b ，则( )． (A)1>b a (B)b a ＜1 (C)b a 11< (D)ab ＜1 2. a 、b 是有理数，下列各式中成立的是( )． (A)若a ＞b ，则a 2＞b 2 (B)若a 2＞b 2，则a ＞b (C)若a ≠b ，则｜a ｜≠|b | (D)若｜a ｜≠|b |，则a ≠b 3. ｜a ｜＋a 的值一定是( D )． (A)大于零 (B)小于零 (C)不大于零 (D)不小于零 4. 若由x ＜y 可得到ax ＞ay ，应满足的条件是( )． (A)a ≥0 (B)a ≤0 (C)a ＞0 (D)a ＜0 5. 若不等式(a ＋1)x ＞a ＋1的解集是x ＜1，则a 必满足( )． (A)a ＜0 (B)a ＞－1 (C)a ＜－1 (D)a ＜1 6. 九年级(1)班的几个同学，毕业前合影留念，每人交0.70元．一张彩色底片0.68元，扩印一张相片0.50元，每人 分一张．在收来的钱尽量用掉的前提下，这张相片上的同学最少有( )． (A)2人 (B)3人 (C)4人 (D)5人 7. 某市出租车的收费标准是：起步价7元，超过3km 时，每增加1km 加收2.4元(不足1km 按1km 计)．某人乘这种 出租车从甲地到乙地共支付车费19元，设此人从甲地到乙地经过的路程是x km ，那么x 的最大值是( B )． (A)11 (B)8 (C)7 (D)5 8. 若不等式组? ??>≤不等式经典题型专题练习(含答案)-
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