四川省雅安中学2018届高三上学期第一次月考数学(理)试卷

高三第一次月考数学试题（理科）

一、选择题（每小题5分，共60分）

1．下列函数既是奇函数，又在()0,+∞上为增函数的是（ ）

A. 1y x =

B. y x =

C. 122x

x y ??

=- ???

D. ()lg 1x +

2．设，则“”是“”的( )条件

A. 充分而不必要

B. 必要而不充分

C. 充要

D. 既不充分也不必要 3．已知函数()f x 为奇函数,且当0>x 时, 01

)(2>+=x

x x f ,则=-)1(f ( ) A. -2 B. 0 C. 1 D. 2 4．下列等式成立的是（ ）

A.

= B.

a b =-

C. =

D.

=5．已知{}{}

222|,,|1,,M y y x x R N y x y x R y R ==∈=+=∈∈，则M N ?=（ ） A. []2,2- B. []0,2 C. []0,1 D. []

1,1- 6．已知函数()sin (0)3f x x πωω??

=+> ??

?

的最小正周期为π，若将函数()f x 的图象向右平移

12

π

个单位，得到函数()g x 的图象，则函数()g x 的解析式为（ ） A. ()sin 46g x x π??

=+

?

?

?

B. ()sin 43g x x π??

=-

??

?

C. ()sin 26g x x π??

=+

?

?

?

D. ()sin2g x x = 7．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ?

?

=- ???

， ()2log 4.1b f =， ()

0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )

A. a b c <<

B. b a c <<

C. c b a <<

D. c a b <<

8．已知()cos ,sin a αα=r

， ()()()

cos ,sin b αα=--r

，那么“0=?b a ”是“α= 4

k π

π+

()k Z ∈”的（ ）

A . 充分不必要条件

B . 必要不充分条件

C . 充要条件

D . 既不充分也不必要条件

9．设函数()f x 的导函数为()f x '，若()f x 为偶函数，且在()0,1上存在极大值，则()f x '的图象可能为（ ）

A. B. C. D.

10．定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=，当[]

3,5x ∈时， ()24f x x =--，则下列不等式一定不成立的是（ ） A. cos

sin 66f f ππ?

?

?

?> ? ??

??

? B. ()()sin1cos1f f < C. 22cos

sin 3

3f f ππ???

?

> ?

??

??

?

D. ()()sin2cos2f f < 11．已知()()cos f x A x ω?=+（0A >， 0ω>， 02

π

?<≤

）是定义域为R 的奇函数，

且当3x =时，

()f x 取得最小值3-，当ω取最小正数时，

()()()()1232017f f f f +++?+的值为（ ）

A.

32 B. 3

2

- C. 1 D. 1- 12．已知函数()f x 满足()()111f x f x +=+，当[]0,1x ∈时， ()12x

f x ??= ???

，若在区间

(]1,1-上，方程()2f x x m =+只有一个解，则实数m 的取值范围为( )

A. {}11,12?

?

--????? B. {}11,12?

?--? ??? C.

11,2?

?-- ??

? D. ()1,1-

二、填空题(每小题5分，共20分) 13．已知

sin cos 2sin cos αα

αα

-=+，则tan α=__________．

14．

()3

2sin x x dx π

+?＝________________。

15．已知0ω>，在函数sin y x ω=与cos y x ω=的图象的交点中，距离最短的两个交点的距

，则ω值为__________．

16．设函数在上的导函数为，对有，且在上有，若，则实数的取值范围是__________．

三、解答题(共6道小题，共70分)

17．（本小题满分10分）设命题p ：实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；命题q ：实数x 满足

3

02

x x -≤-. （1）若1a =，且p q ∧为真，求实数x 的取值范围； （2）若p ?是q ?的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.

18．（本小题满分12分）已知函数()2

cos 2cos 1f x x x x =-+，

（I ）求()f x 的最大值和对称中心坐标； (Ⅱ)讨论()f x 在[]

0,π上的单调性。

19．（本小题满分12分）已知函数()()sin (0,0,)2

f x A x A π

ω?ω?=+>><

的部分图象

如图所示.

（1） 求函数()f x 的解析式；

（2） 如何由函数2sin y x =的通过适当图象的变换得到函数()f x 的图象， 写出变换过程; （3） 若142f α??= ???，求sin 6πα??

- ???

的值.

20．（本小题满分12分）设函数R m x

m

x x f ∈+=,ln )(． （Ⅰ）当

(为自然对数的底数)时，求)(x f 的极小值；

（Ⅱ）若对任意正实数a 、b （a b ≠），不等式()()2f a f b a b

-≤-恒成立，求

的取值范围．

21．（本小题满分12分）函数()()2

2ln f x x ax x a R =-+∈.

（I ）函数()y f x =在点()()

1,1f 处的切线与直线210x y -+=垂直，求a 的值； （II ）讨论函数()f x 的单调性；

（III ）不等式22ln 3x x x ax ≥-+-在区间(]0,e 上恒成立，求实数a 的取值范围.

22．（本小题满分12分）已知函数)(x f 对任意实数y x ,恒有)()()(y f x f y x f +=+，且当

0>x 时，0)(

(1)判断)(x f 的奇偶性； (2)求证：)(x f 是R 上的减函数； (3)求)(x f 在区间[－3,3]上的值域；

(4)若?x ∈R ，不等式4)()(2)(2

+<-x f x f ax f 恒成立，求实数a 的取值范围．

参考答案

1．C

【解析】A 中函数是奇函数，但是在()0,+∞单调递减，不符。B 是偶函数。D 是非奇非偶函数。C 中()()22x

x f x f x --=-=-是奇函数，且在()0,+∞上为增函数。选C.

2．A

【解析】由“|x+1|＜1”得-2＜x ＜0， 由x 2+x ﹣2＜0得-2＜x ＜1， 即“”是“”的充分不必要条件， 故选：A ． 3．A

【解析】∵函数()f x 为奇函数，且当x 0>时， ()21

f x x x

=+

，∴()()()f 1f 1112-=-=-+=-， 故选：A 4．D

【解析】利用排除法逐一考查所给的选项：

A 中，当0,0a b <<时等式不成立；

B 中，当0a b -<时等式不成立；

C 中，当0a <时等式不成立； 本题选择

D 选项.

5．C

【解析】由A 中， 2

0y x =≥，得到[

)0,M =+∞，由N 中2

2

1x y +=，得到1y ≤，即

(],1N =-∞，则[]0,1M N ?=，故选C.

6．C

【解析】由函数()sin (0)3f x x πωω??

=+

> ??

?

的最小正周期为π可知： 2ω=，即()sin 23f x x π?

?=+ ??

?，

将

函

数

()

f x 的图象向右平移

12

π

个单位，可得：

()sin 2sin 21236g x x x πππ?????

?=-+=+ ? ?????????

，

故选：C 7．C

【解析】由题意： ()2

21log log 55a f f ?

?

=-= ???

， 且： 0.822log 5log 4.12,122>><<， 据此： 0.822log 5log 4.12>>，

结合函数的单调性有： ()()()0.822log 5log 4.12f f f >>， 即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.

【考点】 指数、对数、函数的单调性

【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式. 8．B

【解析】2202a b cos cos

sin sin cos sin cos ααααααα?==?-+?-=-=r

r （）（） ∵

222

k π

απ∴=±

，解得4

k k Z π

απ=±∈（）．

故“0?a b ?=r r 是“α= 4

k π

π+ ()k Z ∈”的必要不充分条件

故选B ． 9．C

【解析】根据题意,若f (x )为偶函数,则其导数f ′(x )为奇函数，

结合函数图象可以排除B . D ，

又由函数f (x )在(0,1)上存在极大值,则其导数图象在(0,1)上存在零点，且零点左侧导数值符号为正，右侧导数值符号为负， 结合选项可以排除A ， 只有C 选项符合题意； 本题选择C 选项.

10．A

【解析】()()2,f x f x +=∴Q 函数的周期为2， Q 当[]

3,5

x ∈时，

()[]24,1,2f x x x =--∴∈时， ()f x x =，故函数()f x 在[]1,2上是增函数， (]

2,3x ∈时， ()4f x x =-，故函数()f x 在[]

2,3上是减函数，且关于=4x 轴对称，又定义在R 上的()f x 满足()()2f x f x =+，故函数的周期是2，所以函数()f x 在()1,0-上是增函数，在

()

0,1上是减函数，且关于x 轴对称，观察四个选项A 选项中

2112cos

3223f f f f sin ππ???????

?

=-=> ? ? ?

??

??????

? f =??

，，故选A. 11．B

【解析】∵()()cos f x A x ω?=+（0A >， 0ω>， 02

π

?<≤

）是定义域为R 的奇函数，

∴k π2

π

?=

+，

k Z ∈，∴2

π

?=.则()f x Asin x ω=-, 当3x =时， ()f x 取得最小值3-,

故3A =， 31sin ω=，∴32k π2

π

ω=

+， k Z ∈，∴ω取最小正数为

6

π

，此时： ()36

f x sin

x π

=-，

∴函数的最小正周期为12，且， ()()()()123120f f f f +++?+=，

又2017121681=?+，∴()()()()()3

1232017168012

f f f f f +++?+=?+=-。 故选：B.

点睛： ()()cos f x A x ω?=+为奇函数等价于k π2

π

?=

+，

()()k Z cos f x A x ω?∈=+；为偶函数等价于k π?=， ()()k Z sin f x A x ω?∈=+；为偶函数等价于k π2

π

?=

+，

k Z ∈； ()()sin f x A x ω?=+为奇函数等价于k π?=， k Z ∈.

12．B

【解析】

当10x -<<时，则011x <+<，故()()11

111121112x x f x f x ++=

-=-=-+??

???

，所以()12

1({ 21x f x +=-

,01

,10

x x <≤-<<，在同一平面直角坐标系中画出函数()y f x =在区间(]1,1-上的图像和函数()2

f x x m =+的图像如图，结合图像可知：当()0f m =，即1m =时，两

函数的图像只有一个交点；当()()111

{

1112

f m m f m

>+?-<<-

-<+时，两函数的图像也只有一个交点，故所求实数m 的取值范围是{}11,12??

--? ??

?

，应选答案B 。 13．-3 【解析】sin cos 1tan 2,2,tan 3.sin cos 1tan ααα

αααα

--=∴=∴=-++Q

14．

2192

π+ 【解析】()(

)

()223

2

3

11

2sin cos |019292x x dx x x π

π

ππ??+=-=---=+ ????.

15．π

【解析】由题意，令sin cos x x ωω=， sin cos 0x x ωω-=，则sin 04x πω??

-

= ??

?

，所以4

x k π

ωπ-

=， k Z ∈，即14x k ππω??=

?+ ???，当10,4k x π

ω

==

， 122y =；当251,4k x πω

==

， 22y =-，如图所示，由勾股定理得()()()2

22

21213y y x x -+-=，解

得ωπ=.

16．

【解析】令，所以，则为奇函数 . 时，，由导函数存在及对称性知：在上递减 . ， ，解得：.则实数的取值范围是 17．(1) ()2,3 (2) (]1,2

【解析】试题分析：（1）先根据因式分解求命题p 为真时实数x 的取值范围，解分式不等式得

q 为真时实数x 的取值范围，再求两者交集得p q ∧为真时实数x 的取值范围（2）由逆否命

题与原命题等价得q 是p 的充分不必要条件，即q 是p 的一个真子集，结合数轴得实数a 的取值条件，解得取值范围

试题解析：解：（1）由22

430x ax a -+<得()()30x a x a --<，

又0a >，所以3a x a <<，

当1a =时， 13x <<，即p 为真时实数x 的取值范围是13x <<.

q 为真时

3

02x x -≤-等价于()()20{ 230

x x x -≠--≤，得23x <≤， 即q 为真时实数x 的取值范围是23x <≤.

若p q ∧为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是()2,3.

（2）p ?是q ?的充分不必要条件，即p q ???，且p q ?≠?，等价于p q ?，且p q ≠， 设{|3}A x a x a =<<， {|23}B x x =<<，则B

A ?≠

；

则02a <≤，且33a >所以实数a 的取值范围是(]

1,2. 点睛：充分、必要条件的三种判断方法．

1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ?

q ”为真，则p 是q 的充分条件．

2．等价法：利用p ? q 与非q ?非p ， q ? p 与非p ?非q ， p ? q 与非q ?非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．

3．集合法：若A ? B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要条件．

18．(Ⅰ) 最大值为2，对称中心为： (),0212k k Z ππ??

+∈

???；(Ⅱ) 递增区间： 0,3π??

????

和5,6ππ??????；递减区间： 5,36ππ??

????

. 【解析】试题分析：（1）由正弦的倍角公式和降幂公式，f(x)可化简为()2sin 26f x x π?

?

=- ??

?

，可知最大值为2，对称中心由26

x k π

π-

=，解得x 可求。

（2）先求得f(x)最大增区间与减区间，再与[]

0,π做交，即可求得单调性。 试题解析：(Ⅰ) ()2sin 26f x x π?

?

=-

??

?

，所以最大值为2，由26

x k π

π-

=，解得

x=

2,12k ππ+,r 所以对称中心为： (),0212k k Z ππ??+∈ ???

；

(Ⅱ)先求f(x)的单调增区间，由222,2

6

2

k x k k Z π

π

π

ππ-

+≤-

≤

+∈，解得

,,63k k k Z ππππ??-++∈????，在[]0,π上的增区间有0,3π??????和5,6ππ??

????

。 同理可求得f(x)的单调减区间5,,36k k k Z π

π

ππ??

++∈????

，，在[]

0,π上的减速区间有

5,36ππ??

????

. 递增区间： 0,

3π??????和5,6ππ??

????；递减区间： 5,36ππ??

???

?. 19．（1）()2sin 26f x x π?

?

=+

??

?（2）见解析（3）7

8

【解析】试题分析：（1）直接由函数图象求得A 和周期，再由周期公式求得ω，由五点作图的第三点求?；

（2）由先平移后改变周期和先改变周期后平移两种方法给出答案； （3）由142f α??= ???求出1sin 264απ??+= ???，然后把sin 6πα??

- ???

转化为余弦利用倍角公式得答案． 试题解析:

解：（1）()2sin 26f x x π?

?

=+

??

?

. （2）法1：先将2sin y x =的图象向左平移

6

π

个单位，再将所得图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的

12倍，所得图象即为()2sin 26f x x π?

?=+ ??

?的图象.

法2：先将2sin y x =的图象纵坐标不变，横坐标压缩为原来的倍，再将所得图象向左

平移

12π个单位，，所得图象即为()2sin 26f x x π?

?=+ ??

?的图象.

（3）由1

2sin 22sin 446262

f ααπαπ??????=?+=+=

? ? ???????,

得： 1

sin 264

απ??+=

???， 而217sin cos 12sin 1632688ππαπαα??????

-=+=-+=-=

? ? ???????

.

点睛：图象变换 (1)

振

幅

变

换

(2)周期变换 (3)

相

位

变

换

(4)

复

合

变

换

20．(Ⅰ) ()f x 取极小值为()2f e =；(Ⅱ) 1

8

m ≥

. 【解析】试题分析：（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数

的极小值；

（Ⅱ）构造函数()()2g x f x x =-，可知()g x 为()0,+∞上为减函数.

所以()2120m

g x x x

=

-'-≤对任意()0,x ∈+∞恒成立，可求m 的取值范围． 试题解析;（Ⅰ）m e =时， ()221e x e

f x x x x

='-=-，

所以()f x 在()0,e 上单调递减，在(),e +∞上单调递增， 故当x e =时， ()f x 取极小值为()2f e =。

（Ⅱ）不妨设a b >，则有()()22f a f b a b -≤-，即()()22f a a f b b -≤-，

构造函数()()2g x f x x =-，所以()()g a g b ≤，所以()g x 为()0,+∞上为减函数.

所以()2120m

g x x x

=

-'-≤对任意()0,x ∈+∞恒成立 即()2max 1

28m x x ≥-+=.

21．（I ）2

5

=a （II ）当2≤a 时，函数f(x)在区间),0(+∞上是单调递增；

当2>a 时，函数f(x)在区间)2

2

,0(2--a a 上单调递增；在区间

)2

2

,22(22-+--a a a a 上单调递减；

在区间),22(2+∞-+a a 上单调递增（III ）4≤a ． 【解析】

试题分析：（I ）求导，利用导数的几何意义与两直线垂直的判定进行求解；（II ）求导，讨论二次方程的根的个数、根的大小关系，进而判定其单调性；（III ）分离常数，转化为求函数的求值问题.

试题解析：（I ）函数)(x f 定义域为),0(+∞,x a x x f 1

22)(/+

-=， 1分 a f 23)1(/-=，由题意12

1

)23(21)1(/-=?-=?a f ，解得25=a . 4分

（II ）x

ax x x a x x f 1

22122)(2/

+-=+-=，

令

1

22)(2+-=ax x x g ，

8

42-=?a ，

（i ）当22<<-a 时，

842<-=?a ，

)(>x g ,0)(/>x f ，函数f(x) 在),0(+∞上

单调递增； （ii ）当22-=或a 时，

842

=-=?a ，

)(≥x g ,0)(/≥x f 函数f(x) 在),0(+∞上

单调递增；

（iii ）当2>a 时，02

2

,022,012222212

>-+=>--==+-a a x a a x ax x ，

在区间

)

,0(1x 上，

)(>x g ,0)(/>x f ，函数f(x)单调递增；在区间

)

,(21x x 上，

)(

)

,(2+∞x 上，

)(>x g ,0)(/>x f ，函数

f(x)单调递增；

（iv ）当2-

=+-ax x 02

,0221<=<=x x ，在区间),0(+∞上，0)(>x g ，0)(/>x f ，函数f(x)单调递增. 8分 综上所述：当2≤

a 时，函数f(x)在区间),0(+∞上是单调递增；

当2>a 时，函数f(x)在区间)2

2

,0(2--a a 上单调递增；在区间

)2

2

,22(22-+--a a a a 上单调递减；在区间),22(

2+∞-+a a 上单调递增. 9分

法二：（i ）当0≤a 时，0)(/>x f 恒成立，函数f(x)在),0(+∞上单调递增；

x

ax x x a x x f 1

22122)(2/

+-=+-=，令122)(2+-=ax x x g ，842-=?a ， （ii ）当20≤

0842≤-=?a 0

)(≥x g ，0)(/≥x f ，函数f(x)在),0(+∞上单

调递增；

（iii ）当2>a 时，02

2

,022,012222212

>-+=>--==+-a a x a a x ax x ，

在区间

)

,0(1x 上

)(>x g ，0)(/>x f ，函数f(x) 单调递增；在区间

)

,(21x x 上，

)(

0)(/

)

,(2+∞x 上

)(>x g ，0)(/>x f ，函数f(x) 单调

递增. 8分 综上所述：当2≤

a 时，函数f(x)在区间),0(+∞上是单调递增；

当2>a 时，函数f(x)在区间)2

2

,0(2--a a 上单调递增；在区间

)2

2

,22(22-+--a a a a 上单调递减；在区间),22(

2+∞-+a a 上单调递增. 9分

法三：因为x>0，221

2≥+∴x

x . （i ）当2≤

a 时，在区间),0(+∞上0)(/≥x f 函数f(x) 单调递增；

（ii ）当2>a 时，02

,02,0122212

>=>==+-x x ax x ，

在区间

)

,0(1x 上，0)(/>x f ，函数f(x) 单调递增；在区间

)

,(21x x 上，0)(/

单调递减；在区间)

,(2+∞x 上，0)(/>x f ，函数f(x) 单调递增. 8分

综上所述：当2≤

a 时，函数f(x)在区间),0(+∞上是单调递增；

当2>a 时，函数f(x)在区间)2

2

,0(2--a a 上单调递增；在区间

)2

2

,22(22-+--a a a a 上单调递减；在区间),22(

2+∞-+a a 上单调递增. 9分

（III ）不等式3ln 22-+-≥ax x x x 在区间],0(e 上恒成立等价于x

a x x 3

ln 2-+-≥. 10分

令x

a x x x g 3ln 2)(+

-+=， 2

222/

)

1)(3(32312)(x x x x x x x x x g -+=

-+=-+=， 在区间)1,0(上，0)(/

在区间],1(e 上，0)(/>x g ，函数g(x)为增函数； 12分

031)1()(min ≥+-==a g x g 得4≤a ，

所以实数a 的范围是4≤a ．

考点：1.导数的几何意义；2.函数的单调性；3.不等式很犀利问题；4.分类讨论思想. 22．（1）奇函数 （2）见解析 （3）[－6,6] （4）(

9

8

，＋∞) 【解析】解：(1)取x ＝y ＝0，则f(0＋0)＝2f(0)，∴f(0)＝0. 取y ＝－x ，则f(x －x)＝f(x)＋f(－x)，

∴f(－x)＝－f(x)对任意x ∈R 恒成立，∴f(x)为奇函数．

(2)证明：任取x1，x2∈(－∞，＋∞)，且x10，f(x2)＋f(－x1)＝f(x2－x1)<0，∴f(x2)<－f(－x1)，又f(x)为奇函数，

∴f(x1)>f(x2)．

∴f(x)是R上的减函数．

(3)由(2)知f(x)在R上为减函数，

∴对任意x∈[－3,3]，恒有f(3)≤f(x)≤f(－3)，

∵f(3)＝f(2)＋f(1)＝f(1)＋f(1)＋f(1)＝－2×3＝－6，

∴f(－3)＝－f(3)＝6，f(x)在[－3,3]上的值域为[－6,6]．

(4)f(x)为奇函数，整理原式得f(ax2)＋f(－2x)

则f(ax2－2x)

∵f(x)在(－∞，＋∞)上是减函数，∴ax2－2x>x－2，

当a＝0时，－2x>x－2在R上不是恒成立，与题意矛盾；

当a>0时，ax2－2x－x＋2>0，要使不等式恒成立，则Δ＝9－8a<0，即a>9

8

；

当a<0时，ax2－3x＋2>0在R上不是恒成立，不合题意．

综上所述，a的取值范围为(9

8

，＋∞)．