人教版中考数学压轴题检测试题

一、中考数学压轴题

1．已知：在平面直角坐标系中，抛物线2

23y ax ax a =--与x 轴交于点A ，B （点B 在

点A 的右侧），点C 为抛物线的顶点，点C 的纵坐标为-2． （1）如图1，求此抛物线的解析式；

（2）如图2，点P 是第一象限抛物线上一点，连接AP ，过点C 作//CD y 轴交AP 于点

D ，设点P 的横坐标为t ，CD 的长为m ，求m 与t 的函数关系式（不要求写出自变量t

的取值范围）；

（3）如图3，在（2）的条件下，点E 在DP 上，且ED AD =，点F 的横坐标大于3，连接EF ，BF ，PF ，且EP EF BF ==，过点C 作//CG PF 交DP 于点G ，若

72

8

CG AG =

，求点P 的坐标．

2．如图所示，在平面直角坐标系中，点(),C m m 在一三象限角平分线上，点(),0B n 在x 轴上，且m=2n -+2n -+4，点A 在y 轴的正半轴上；四边形AOBC 的面积为6 （1）求点A 的坐标；

（2）P 为AB 延长线上一点，//PQ OC ，交CB 延长线于Q ，探究OAP ∠、ABQ ∠、

Q ∠的数量关系并说明理由；

（3）作AD 平行CB 交CO 延长线于D ，BE 平分CBx ∠，BE 反向延长线交CO 延长线于，若设ADO α∠=，F β∠=，试求2αβ+的值．

3．如图，在梯形ABCD 中，AD//BC ，AB=CD=AD=5，cos 4

5

B =，点O 是边B

C 上的动点，以OB 为半径的

O 与射线BA 和边BC 分别交于点E 和点M ，联结AM ，作

∠CMN=∠BAM ，射线MN 与边AD 、射线CD 分别交于点F 、N ．

（1）当点E 为边AB 的中点时，求DF 的长；

（2）分别联结AN 、MD ，当AN//MD 时，求MN 的长； （3）将

O 绕着点M 旋转180°得到'O ，如果以点N 为圆心的N 与'O 都内切，求

O 的半径长．

4．“阅读素养的培养是构建核心素养的重要基础，重庆十一中学校以‘大阅读’特色课程实施为突破口，着力提升学生的核心素养．”全校师生积极响应和配合，开展各种活动丰富其课余生活．在数学兴趣小组中，同学们从书上认识了很多有趣的数．其中有一个“和平数”引起了同学们的兴趣．描述如下：一个四位数，记千位上和百位上的数字之和为x ，十位上和个位上的数字之和为y ，如果x y =，那么称这个四位数为“和平数”． 例如：1423，14x =+，23y =+，因为x y =，所以1423是“和平数”． （1）直接写出：最小的“和平数”是________，最大的“和平数”是__________； （2）求同时满足下列条件的所有“和平数”： ①个位上的数字是千位上的数字的两倍； ②百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数；

（3）将一个“和平数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将百位上与千位上的数字交换位置，称交换前后这两个“和平数”为“相关和平数”． 例如：1423于4132为“相关和平数”

求证：任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．

5．如图，矩形ABCD 中，AB =8，BC =12，E 是BC 边的中点，点P 在线段AD 上，过P 作PF ⊥AE 于F ，设PA =x ． （1）求证：△PFA ∽△ABE ；

（2）当点P 在线段AD 上运动时，是否存在实数x ，使得以点P ，F ，E 为顶点的三角形也与△ABE 相似？若存在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由；

（3）探究：当以D 为圆心，DP 为半径的⊙D 与线段AE 只有一个公共点时，请直接写出DP 满足的条件： ．

6．如图，在平面直角坐标系中，Rt ABC ?的斜边AB 在y 轴上，边AC 与x 轴交于点

D ，A

E 平分BAC ∠交边BC 于点E ，经过点A D E 、、的圆的圆心

F 恰好在y 轴上，

⊙F 与y 里面相交于另一点G ． （1）求证：BC 是⊙F 的切线 ；

（2）若点A D 、的坐标分别为(0,1),(2,0)A D -，求⊙F 的半径及线段AC 的长； （3）试探究线段AG AD CD 、、三者之间满足的等量关系，并证明你的结论．

7．如图，在等边ABC ?中，延长AB 至点D ，延长AC 交BD 的中垂线于点E ，连接

BE ，DE ．

（1）如图1，若310DE =，23BC =，求CE 的长；

（2）如图2，连接CD 交BE 于点M ，在CE 上取一点F ，连接DF 交BE 于点N ，且

DF CD =，求证：12

AB EF =；

（3）在（2）的条件下，若45AED ∠=?直接写出线段BD ，EF ，ED 的等量关系

8．在平面直角坐标系xOy 中，对于点A 和图形M ，若图形M 上存在两点P ，Q ，使得

3AP AQ =，则称点A 是图形M 的“倍增点”．

（1）若图形M 为线段BC ，其中点()2,0B

-，点()2,0C ，则下列三个点()1,2D -，

()1,1E -，()0,2F 是线段BC 的倍增点的是_____________；

（2）若O 的半径为4，直线l ：2y x =-+，求直线l 上O 倍增点的横坐标的取值范

围；

（3）设直线1y x =-+与两坐标轴分别交于G ，H ，OT 的半径为4，圆心T 是x 轴上的动点，若线段GH 上存在T 的倍增点，直接写出圆心T 的横坐标的取值范围． 9．问题提出

（1）如图①，在ABC 中，42,6,135AB AC BAC ==∠=，求ABC 的面积．

问题探究

（2）如图②，半圆O 的直径10AB =，C 是半圆AB 的中点，点D 在BC 上，且

2CD BD =，点P 是AB 上的动点，试求PC PD +的最小值．

问题解决

（3）如图③，扇形AOB 的半径为20,45AOB ∠=在AB 选点P ，在边OA 上选点E ，在边OB 上选点F ，求PE EF FP ++的长度的最小值．

10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y ＝ax 2+bx+c 的图象与x 轴交于A （﹣3，0）、B （2，0）两点，与y 轴交于点C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；

（2）点E （m ，2）是直线AC 上方的抛物线上一点，连接EA 、EB 、EC ，EB 与y 轴交于D ．

①点F 是x 轴上一动点，连接EF ，当以A 、E 、F 为顶点的三角形与△BOD 相似时，求出线段EF 的长；

②点G 为y 轴左侧抛物线上一点，过点G 作直线CE 的垂线，垂足为H ，若∠GCH ＝∠EBA ，请直接写出点H 的坐标．

11．对于平面直角坐标系xOy 中的图形W 1和图形W 2．给出如下定义：在图形W 1上存在两点A ，B （点A ，B 可以重合），在图形W 2上存在两点M ，N ，（点M 于点N 可以重合）使得AM=2BN ，则称图形W 1和图形W 2满足限距关系

(1)如图1，点C(1，0)，D(-1，0)，E(0，3)，点P 在线段DE 上运动(点P 可以与点D ，E 重合)，连接OP ，CP ．

①线段OP 的最小值为_______，最大值为_______；线段CP 的取值范直范围是_____； ②在点O ，点C 中，点____________与线段DE 满足限距关系；

(2)如图2，⊙O 的半径为1，直线3y x b =+(b>0)与x 轴、y 轴分别交于点F ，G ．若线段

FG 与⊙O 满足限距关系，求b 的取值范围；

(3)⊙O 的半径为r(r>0)，点H ，K 是⊙O 上的两个点，分别以H ，K 为圆心，1为半径作圆得到⊙H 和 K ，若对于任意点H ，K ，⊙H 和⊙K 都满足限距关系，直接写出r 的取值范围．

12．如图，已知抛物线y ＝2ax bx c ++与x 轴交于A 3,0-（），B 33,0（）两点，与

y 轴交于点C 0,3（）．

（1）求抛物线的解析式及顶点M 坐标；

（2）在抛物线的对称轴上找到点P ，使得PAC 的周长最小，并求出点P 的坐标； （3）在（2）的条件下，若点D 是线段OC 上的一个动点（不与点O 、C 重合）．过点

D 作D

E //PC 交x 轴于点E ．设CD 的长为m ，问当m 取何值时，

PDE

ABMC 1

S

S 9

=四边形． 13．如图，直角三角形ABC ?中，90460ACB AC A ∠?=∠?＝，，＝，O 为BC 中点，将

ABC ?绕O 点旋转180?得到DCB ?．一动点P 从A 出发，以每秒1的速度沿

A B D →→的路线匀速运动，过点P 作直线PM ，使PM AC ⊥．

（1）当点P 运动2秒时，另一动点Q 也从A 出发沿A B D →→的路线运动，且在AB 上以每秒1的速度匀速运动，在BD 上以每秒2的速度匀速运动，过Q 作直线QN 使

//QN PM ，设点Q 的运动时间为t 秒，(0

图形的面积为S ，求S 关于t 的函数关系式，并求出S 的最大值．

（2）当点P 开始运动的同时，另一动点R 从B 处出发沿B C D →→的路线运动，且在

BC 上以每秒

3

2

的速度匀速运动，在CD 上以每秒2的速度匀度运动，是否存在这样的P R 、，使BPR ?为等腰三角形？若存在，直接写出点P 运动的时间m 的值，若不存在请

说明理由．

14．已知，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ∥DC ，点E 在BC 延长线上，连接DE ，∠A ＋∠E ＝180°．

（1）如图1，求证：CD=DE；

（2）如图2，过点C作BE的垂线，交AD于点F，请直接写出BE、AF、DF 之间的数量关系_______________________；

（3）如图3，在（2）的条件下，∠ABC的平分线，交CD于G，交CF于H，连接FG，若∠FGH=45°，DF=8，CH=9，求BE的长．

15．已知：矩形ABCD内接于⊙O，连接 BD，点E在⊙O上，连接 BE交 AD于点F，

∠BDC+45°=∠BFD，连接ED．

（1）如图 1，求证：∠EBD=∠EDB；

（2）如图2，点G是 AB上一点，过点G作 AB的垂线分别交BE和 BD于点H和点K，若HK=BG+AF，求证：AB=KG；

（3）如图 3，在（2）的条件下，⊙O上有一点N，连接 CN分别交BD和 AD于10点 M 和点 P，连接 OP，∠APO=∠CPO，若 MD=8，MC= 3，求线段 GB的长．

16．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=-x+ m交 y轴的正半轴于点A，交x轴的正半轴于点B，过点A的直线AF交x轴的负半轴于点F，∠AFO=45°．

（1）求∠FAB的度数；

（2）点 P是线段OB上一点，过点P作 PQ⊥OB交直线 FA于点Q，连接 BQ，取 BQ的中点C，连接AP、AC、CP，过点C作 CR⊥AP于点R，设 BQ的长为d，CR的长为h，求d与h的函数关系式（不要求写出自变量h的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，过点 C 作 CE⊥OB于点E，CE交 AB于点D，连接 AE，

∠AEC=2∠DAP，EP=2，作线段 CD 关于直线AB的对称线段DS，求直线PS与直线 AF的交点K的坐标．

17．如图，四边形AOBC 是正方形，点C 的坐标是(82,0)．

（1）正方形AOBC 的边长为 ，点A 的坐标是 ；

（2）将正方形AOBC 绕点O 顺时针旋转45?，点A ，B ，C 旋转后的对应点为A '，

B '，

C '，求点A '的坐标及旋转后的正方形与原正方形的重叠部分的面积；

（3）动点P 从点O 出发，沿折线OACB 方向以1个单位/秒的速度匀速运动，同时，另一动点Q 从点O 出发，沿折线OBCA 方向以2个单位/秒的速度匀速运动，运动时间为t

秒，当它们相遇时同时停止运动，当OPQ △为等腰三角形时，求出t 的值（直接写出结果即可）．

18．已知抛物线2

y ax bx c =++过点(6,0)A -，(2,0)B ，(0,3)C -． （1）求此抛物线的解析式；

（2）若点H 是该抛物线第三象限的任意一点，求四边形OCHA 的最大面积； （3）若点Q 在y 轴上，点G 为该抛物线的顶点，且45GQA ∠=?，求点Q 的坐标． 19．如图，在长方形ABCD 中，AB ＝4cm ，BE ＝5cm ，点E 是AD 边上的一点，AE 、DE 分别长acm ．bcm ，满足(a －3)2＋|2a ＋b －9|＝0．动点P 从B 点出发，以2cm/s 的速度沿B→C→D 运动，最终到达点D ，设运动时间为t s ． （1）a ＝______cm ，b ＝______cm ；

（2）t 为何值时，EP 把四边形BCDE 的周长平分？

（3）另有一点Q 从点E 出发，按照E→D→C 的路径运动，且速度为1cm/s ，若P 、Q 两点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．求t 为何值时，△BPQ 的面积等于6cm 2．

20．阅读材料：等腰三角形具有性质“等边对等角”．事实上，不等边三角形也具有类似性质“大边对大角”：如图1．在△ABC 中，如果AB ＞AC ，那么∠ACB ＞∠ABC ．证明如下：将AB 沿△ABC 的角平分线AD 翻折（如图2），因为AB ＞AC ，所以点B 落在AC 的延长线上的点B '处．于是，由∠ACB ＞∠B '，∠ABC =∠B '，可得∠ACB ＞∠ABC ．

（1）灵活运用：从上面的证法可以看出，折纸常常能为证明一个命题提供思路和方法．由此小明想到可用类似方法证明“大角对大边”：如图3．在△ABC 中，如果∠ACB ＞∠ABC ，那么AB ＞AC ．小明的思路是：沿BC 的垂直平分线翻折……请你帮助小明完成后面的证明过程．

（2）拓展延伸：请运用上述方法或结论解决如下问题：

如图4，已知M 为正方形ABCD 的边CD 上一点（不含端点），连接AM 并延长，交BC 的延长线于点N ．求证：AM ＋AN ＞2BD ．

21．（问题探究）课堂上老师提出了这样的问题：“如图①，在ABC 中，

108BAC ∠=?，点D 是BC 边上的一点，7224BAD BD CD AD ∠=?==，，，求AC 的

长”．某同学做了如下的思考：如图②，过点C 作CE AB ∥，交AD 的延长线于点E ，进而求解，请回答下列问题： （1）ACE ∠=___________度； （2）求AC 的长．

（拓展应用）如图③，在四边形ABCD 中，12075BAD ADC ∠=?∠=?，，对角线

AC BD 、相交于点E ，且AC AB ⊥，22EB ED AE ==，，则BC 的长为_____________．

22．（1）（发现）如图1，在ABC 中，//DE BC 分别交AB 于D ，交AC 于E ．已知

CD BE ⊥，3CD =，5BE =，求BC DE +的值．

思考发现，过点E 作//EF DC ，交BC 延长线于点F ，构造BEF ，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

请回答：BC DE +的值为______．

（2）（应用）如图3，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AD 与BC 不平行且

AD BC =，对角线AC BD ⊥，垂足为O ．若3CD =，5AB =，DAB CBA ∠=∠，

求AC 的长．

（3）（拓展）如图4，已知平行四边形ABCD 和矩形ABEF ，AC 与DF 交于点G ，

FD FB =，且30BFD ∠=?，60EBF ∠=?，判断AC 与DF 的数量关系并证明．

23．在菱形ABCD 中，点P 是对角线BD 上一点，点M 在CB 的延长线上，且

PC PM =， 连接PA ．

()1如图①，求证：PA PM =；

()2如图②，连接,AM PM 与AB 交于点,120O ADC ?∠=求证 =PC AM ；

()3连接AM ，当 90ADC ?∠=时，PC 与AM 的数量关系是

24．如图①，在ABC ?中，90C ∠=?，10,8AB BC ==．点,D E 分别是边,AC BC 上的动点，连接DE ．设CD x =（0x >），BE y =，y 与x 之间的函数关系如图②所示．

（1）求出图②中线段PQ 所在直线的函数表达式； （2）将DCE 沿DE 翻折，得DME ．

①点M 是否可以落在ABC ?的某条角平分线上?如果可以，求出相应x 的值；如果不可以，说明理由；

②直接写出．．．．DME 与ABC ?重叠部分面积的最大值及相应x 的值．

25．对于平面直角坐标系xOy 中的任意点()P x y ，

，如果满足x y a += (x ≥0，a 为常数)，那么我们称这样的点叫做“特征点”． （1）当2≤a ≤3时，

①在点(1,2),(1,3),(2.5,0)A B C 中，满足此条件的特征点为__________________； ②⊙W 的圆心为(,0)W m ，半径为1，如果⊙W 上始终存在满足条件的特征点，请画出示意图，并直接写出m 的取值范围； （2）已知函数()1

0Z x x x

=

+>，请利用特征点求出该函数的最小值．

【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除

一、中考数学压轴题 1．C

解析：（1）21322y x x =--；（2）1m t =-；（3）933,28P ?? ???

【解析】 【分析】

（1）将抛物线解析式化为顶点式可得y=a （x-1）2-4a ，则C 点为（1，-4a ），再由-4a=-2即可求a 的值，进而确定函数解析式；

（2）由已知分别求出点P 和点A 的坐标，可得AP 的直线解析式，求出D 点坐标则可求CD ；

（3）设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，由三角形中位线的性质可求BE=2（t-3）=2t-6；过点F 作FN ⊥BE 于点N ，过点P 作PM ⊥BE 交BE 的延长线于点M ，可证明

Rt △PME ≌Rt △ENF （HL ），从而推导出∠EPF=∠EFP=45°；过点C 作CK ⊥CG 交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ，能够进一步证明△ACK ≌△BCG （SAS ），得到∠KGB=90°；令AG=8m ，则CG=72BG=6m ，过点G 作GL ⊥x 轴于点L ，在Rt △ABG 中，AG=10m=4，求出m 值，利用等积法可求G 点的坐标，再将G 点坐标代入33

22

t t y x --=+，求出t ，即可求出点P 坐标. 【详解】 解：（1）

22223(23)(1)4y ax ax a a x x a x a =--=--=--，

∴顶点C 的坐标为(1,4)a -，

点C 的纵坐标为2-， 42a ∴-=-，

1

2

a ∴=

，

21322

y x x ∴=

--； （2）

点P 的横坐标为t ，

213

(,)22P t t t ∴--，

213

22

y x x =

--与x 轴的交点为(1,0)A -，(3,0)B ， ∴设AP 的直线解析式为y kx b =+，

则有201322k b kt b t t -+=???+=--??，

解得3232t k t b -?=???-?=??

，

33

22

t t y x --∴=

+， //CD y 轴交AP 于点D ，

(1,3)D t ∴-， 321CD t t ∴=-+=-， 1m t ∴=-；

（3）如图：设CD 与x 轴的交点为H ，连接BE ，

CD 垂直平分AB ，ED AD =，

//DH BE ∴，1

2

DH BE =， BE x ∴⊥轴，

2(3)26BE t t ∴=-=-，

过点F 作FN BE ⊥于点N ，过点P 作PM BE ⊥交BE 的延长线于点M ，

EF BF =，

1

32

EN BN BE t PM ∴==

=-=， EP FE =，

Rt PME Rt ENF(HL)∴???， MPE FEN ∴∠=∠，

90FEN MEP MPE MEP ∴∠+∠=∠+∠=?，

90PEF ∴∠=?， 45EPF EFP ∴∠=∠=?，

过点C 作CK CG ⊥交PA 的延长线于点K ，连接AC 、BC ， 90KCG ∴∠=?，

45K KGC ∴∠=∠=?，

CK CG ∴=，

90AHC BHC ∠=∠=?，2AH BH CH ===， 45CAH ACH HBC HCB ∴∠=∠=∠=∠=?，

90ACB ∴∠=?，AC CB =，

90KCA ACG GCB ∴∠=?-∠=∠，

()ACK BCG SAS ∴???， 45BGC K AGC ∴∠=∠=∠=?，AK BG =，

90KGB ∴∠=?，

令8AG m =，则CG =， CK CG =，90KCG ∠=?，

14KG m ∴=，

6BG AK KG AG m ∴==-=，

过点G 作GL x ⊥轴于点L ，

在Rt ABG ?中，104AB m ===，

25

m ∴=，

165

AG ∴=

， 11

861022ABG S m m m GL ?=??=??，

4825

GL ∴=

，

AL ∴= 3925

OL AL AO ∴=-=， 39(

25G ∴，48

)25

， AG 的解析式为33

22

t t y x --=

+， ∴

483393

252252

t t --=?+， 9

2

t ∴=

， 9(2P ∴，33

)8

．

【点睛】

本题考查二次函数的综合题．熟练掌握二次函数的图象及性质，通过辅助线构造三角形全等，逐步求出G点的坐标从而求出t的值是解题的关键．

2．A

解析：（1）A（0，1）

（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°.

（3）α+2β＝45°．

【解析】

【分析】

（1）利用二次根式的性质求出m、n的值，求出B、C两点坐标，由S四边形AOBC＝

S△OBC+S△AOC，推出

1

2

×2×4+

1

2

×OA×4＝6，求出OA即可；

（2）如图2中，结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．根据三角形内角和定理，三角形的外角的性质即可解决问题；

（3）由AD∥BC，推出∠ADC＝∠DCB＝α，由BE平分∠CBx，推出∠CBE＝∠EBx，由

∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，推出∠OBF＝∠EBx＝α+β，由OC平分∠AOB，可得∠COB＝45°＝∠F+∠OBF＝α+（α+β），由此即可解决问题；

【详解】

解：（1）由题意

20

20

n

n

-≥

?

?

-≥

?

，

，得

，

解得n＝2，

∴m＝4，B（2，0），C（4，4）．如图：

∵S四边形AOBC＝S△OBC+S△AOC，

∴1

2

×2×4+

1

2

×OA×4＝6，

∴OA＝1，

∴A（0，1）．

（2）结论：∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．如图：

理由如下：

∵OC∥PQ，

∴∠Q＝∠OCB，

∵∠ABQ＝∠1+∠OCB＝∠1+∠Q，∠1＝180°﹣∠OAB﹣∠AOC＝180°﹣∠OAB﹣45°＝135°﹣∠OAB，

∴∠ABQ＝∠Q+135°﹣∠OAB，

∴∠ABQ+∠OAB﹣∠Q＝135°．

（3）如图：

∵AD∥BC，

∴∠ADC＝∠DCB＝α，

∵BE平分∠CBx，

∴∠CBE＝∠EBx，

∵∠CBE＝∠F+∠OCB＝α+β，

∴∠OBF＝∠EBx＝α+β，

∵C（4，4），

∴OC 平分∠AOB ，

∴∠COB ＝45°＝∠F +∠OBF ＝α+（α+β）， ∴α+2β＝45°． 【点睛】

本题考查平行线的判定和性质、角平分线的定义、三角形的内角和定理、三角形的外角性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于压轴题．

3．D

解析：（1）DF 的长为15

8；（2）MN 的长为5；（3）O 的半径长为258

． 【解析】 【分析】

（1）作EH BM ⊥于H ，根据中位线定理得出四边形BMFA 是平行四边形，从而利用

cos 4

5

B =

解直角三角形即可求算半径，再根据平行四边形的性质求FD 即可； （2）先证AMB CNM ∠=∠，再证MAD CNM ∠=∠，从而证明AFM NFD ?~?，得到

AF MF

AF DF NF MF NF DF =?=，再通过平行证明AFN DFM ?~?，从而得到AF NF

AF MF NF DF DF MF

=?=，通过两式相乘得出AF NF =再根据平行得出NF DF =， 从而得出答案．

（3）通过图形得出MN 垂直平分'OO ,从而得出90BAM CMN ∠=∠=?，再利用

cos 4

5

B =

解三角函数即可得出答案． 【详解】

（1）如图，作EH BM ⊥于H ：

∵E 为AB 中点，45,cos 5

AB AD DC B ====

∴52AE BE ==

∴cos 4

5

BH B BE =

= ∴2BH =

∴2

253222EH ??=-= ???

设半径为r ，在Rt OEH ?中：

()2

2

2322r r ??

=-+ ???

解得：2516

r =

∵,E O 分别为,BA BM 中点

∴BAM BEO OBE ∠=∠=∠ 又∵CMN BAM ∠=∠ ∴CMN OBE ∠=∠ ∴//MF AB

∴四边形BMFA 是平行四边形

∴2528

AF BM r === ∴2515588

FD AD AF =-=-= （2）如图：连接MD AN ，

∵,B C BAM CMN ∠=∠∠=∠ ∴AMB CNM ∠=∠ 又∵AMB MAD ∠=∠ ∴MAD CNM ∠=∠ 又∵AFM NFD ∠=∠ ∴AFM NFD ?~?

∴

AF MF

AF DF NF MF NF DF =?=① 又∵//MD AN

∴AFN DFM ?~?

∴

AF NF

AF MF NF DF DF MF =?=② 由①?②得;

22AF NF AF NF =?= ∴NF DF = ∴5MN AD == 故MN 的长为5； （3）作如图：

∵圆O 与圆'O 外切且均与圆N 内切 设圆N 半径为R ，圆O 半径为r ∴'=NO R r NO -= ∴N 在'OO 的中垂线上 ∴MN 垂直平分'OO ∴90NMC ∠=? ∵90BAM CMN ∠=∠=? ∴A 点在圆上

∴54

cos 5AB B BM BM =

== 解得：25

4

BM =

O 的半径长为

258

【点睛】

本题是一道圆的综合题目，难度较大，掌握相似之间的关系转化以及相关线段角度的关系转化是解题关键．

4．（1）1001；9999；（2）2754和4848；（3）见解析 【解析】 【分析】

（1）根据“和平数”的定义可直接得出最小的“和平数”是1001，最大的“和平数”是9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤，则个位数字是2a ，又由029a ≤≤得到a 的可能取值为1，2，3，4；根据百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数，可知

m +n =12，得到12

2

a m +=，由a 的可能取值可得m 的取值，即可求得符合条件的“和平数”；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ，计算它们的和，根据“和平数”的定义可知a+b=c+d ，因式分解可得原式= 1111(a+b )，即可证明． 【详解】

解：（1）根据“和平数”的定义可得： 最小的“和平数”1001，最大的“和平数”9999， 故答案为1001；9999；

（2）设这个“和平数”的千位数字是a ，百位数字是m ，十位数字是n ，其中a ，m ，n 均是正整数且19a ≤≤，09m ≤≤，09n ≤≤， 则个位数字是2a ， 又∵029a ≤≤，

∴a 的可能取值为1，2，3，4；

∵百位上的数字与十位上的数字之和是12的倍数， ∴m+n =0或m+n =12， ∵“和平数”中a+m =n+2a ，

当m+n =0时，即m=n =0，则此时a =0，不符合题意， ∴m+n =12，

∴a+m =12?m +2a ，解得：12

2

a m +=

， ∵a 的可能取值为1，2，3，4；且m 为正整数， ∴m 的可能取值为7，8；

当a =2时，m =7，这个“和平数”是2754； 当a =4时，m =8，这个“和平数”是4848； 综上所述，满足条件的“和平数”是2754和4848；

（3）设任意一个“和平数”千位数字为a ，百位数字为b ，十位数字为c ，个位数字为d ，则它的“相关和平数”千位数字为b ，百位数字为a ，十位数字为d ，个位数字为c ， ∴(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++ 110011001111a b c d =+++

1100()11()a b c d =+++

由“和平数”的定义可知：a+b =c+d ， ∴原式1100()11()a b a b =+++ 1111()a b =+，

∵a ，b 为正整数，则1111()a b +能被1111整除，

即(100010010)(100010010)a b c d b a d c +++++++能被1111整除， ∴任意的两个“相关和平数”之和是1111的倍数．