创新设计2020高考数学一轮复习不等式(课件+随堂演练)打包下载4均值不等式doc高中数学
创新设计2020高考数学一轮复习不等式（课件+随堂
演练）打包下载4均值不等式doc 高中数学
一、选择题
1．假设实数a 、b 满足0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，那么以下四个数中最大的是( ) A.12
B ．a 2＋b 2
C ．2ab
D ．a
解析：∵a ＋b ＝1，a ＋b ＞2ab ，∴2ab ＜12.由a 2＋b 2＞2·? ??
??a ＋b 22＝2·14＝1
2， 又0＜a ＜b ，且a ＋b ＝1，∴a ＜1
2，∴a 2＋b 2最大．
答案：B
2．(2018·重庆)a ＞0，b ＞0，那么1a ＋1
b ＋2ab 的最小值是( )
A ．2
B ．2 2
C ．4
D ．5
解析：1a ＋1
b ＋2ab ≥2
1
ab ＋2ab ≥4
1
ab ·
ab ＝4 当?????
a ＝
b 1ab
＝ab ，即a ＝b ＝1时，等号成立，因此1a ＋1b
＋2
ab 的最小值为4.
答案：C
3．设a 、b ∈(0，＋∞)，假设a ＋b ＝2，那么1a ＋1
b 的最小值等于( )
A ．1
B ．3
C ．2
D ．4
解析：因为(a ＋b )????
1a ＋1b ≥2ab ·
21ab ，即(a ＋b )·????1a ＋1b ≥4，其中a ＋b ＝2，因此1a ＋1b ≥2.当1a ＝1b ，且a ＝b 即a ＝b ＝1时，1a ＋1b 取得最小值2. 答案：C
4．(2018·天津)设x ，y ∈R ，a ＞1，b ＞1，假设a x ＝b y ＝3，a ＋b ＝2 3，那么1x ＋1y
的最大
值为( ) A ．2
B.3
2
C ．1 D.12
解析：由a x ＝b y ＝3得：x ＝log a 3，y ＝log b 3，由a ＞1，b ＞1知x ＞0，y ＞0，1x ＋1
y ＝log 3a
＋log 3b ＝log 3ab ≤log 3? ??
??a ＋b 22＝1，当且仅当a ＝b ＝ 3时〝＝〞号成立，那么1x ＋1
y 的最
大值为1.
答案：C 二、填空题
5．a ＞b ＞c ，那么(a －b )(b －c )与
a －c
2
的大小关系是________． 解析：∵a －b ＞0，b －c ＞0，∴
(a －b )(b －c )≤(a －b )＋(b －c )2＝a －c
2
，
当且仅当a －b ＝b －c 即2b ＝a ＋c 时，取〝＝〞．∴(a －b )(b －c )≤a －c 2
.
答案：(a －b )(b －c )≤a －c
2
6．(2018·潍坊质检)设a ＞b ＞c ，且1a －b ＋1
b －
c ≥m a －c
恒成立，那么m 的取值范畴是________．
解析：∵a ＞b ＞c ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，a －c ＞0.又(a －c )? ??
??
1a －b ＋1b －c ＝[(a －b )＋(b
－c )]×? ????1a －b ＋1b －c ≥2 (a －b )(b －c )·21a －b ·1b －c ＝4.当且仅当a －b ＝b －c 且1
a －b
＝
1
b －
c ，即a ＋c ＝2b 时，等号成立．∴m ≤4. 答案：m ≤4
7．a ＞0，b ＞0，且2b ＋ab ＋a ＝30，那么ab 的最大值为________．
解析：∵a ＞0，b ＞0，∴2b ＋a ≥22ab ，又2b ＋ab ＋a ＝30，∴22ab ＋ab ≤30，即ab ＋22ab －30≤0，解得ab ≤32，即ab ≤18，当且仅当2b ＝a ，即a ＝6，b ＝3时等号成立，那么ab 的最大值为18. 答案：18 三、解答题 8．设x ∈R ＋
且
x 2＋
y 2
2
＝1，求x 1＋y 2的最大值． 解答：∵x >0，∴x 2＋(
12＋y 2
2)＝(x 2
＋y 22)＋12＝32 而x 1＋y 2＝2·x 2(
12＋y 2
2
)≤2[x 2＋(
12＋y 22
)]2
∴x
1＋y 2≤2(12·32)＝32
4
即(x
1＋y 2)max ＝
32
4
. 9．x >0，y >0，x ＋y ＝1，求证：x 4＋y 4≥1
8
.
证明：∵x >0，y >0，x ＋y ＝1，∴x 2＋y 2≥2xy ，两边同加上x 2＋y 2得，2(x 2＋y 2)≥(x ＋y )2＝1.
又x 4＋y 4≥2x 2y 2，两边同加上x 4＋y 4得，2(x 4＋y 4)≥(x 2＋y 2)2≥14，∴x 4＋y 4≥1
8.
10．x ，y ，z 是互不相等的正数，且x ＋y ＋z ＝1， 求证：(1x －1)(1y －1)(1
z
－1)＞8.
证明：(1x －1)(1y －1)(1
z －1)＝y ＋z x ·x ＋z y ·x ＋y z ＞8yz xz xy xyz
＝8.
1．假设0＜a 1＜a 2,0＜b 1＜b 2，且a 1＋a 2＝b 1＋b 2＝1，那么以下代数式中值最大的是( ) A ．a 1b 1＋a 2b 2 B ．a 1a 2＋b 1b 2 C ．a 1b 2＋a 2b 1 D.12
解析：(a 1b 1＋a 2b 2)－(a 1b 2＋a 2b 1)＝a 1(b 1－b 2)＋a 2(b 2－b 1) ＝(a 1－a 2)(b 1－b 2)＞0，那么a 1b 1＋a 2b 2＞a 1b 2＋a 2b 1；
a 1a 2＋
b 1b 2≤? ????a 1＋a 222＋? ??
??b 1＋b 222＝12，又a 1＜a 2，b 1＜b 2，那么a 1a 2＋b 1b 2＜1
2；
(a 1＋a 2)(b 1＋b 2)＝a 1b 1＋a 1b 2＋a 2b 1＋a 2b 2＜2(a 1b 1＋a 2b 2) 即2(a 1b 1＋a 2b 2)＞1，∴a 1b 1＋a 2b 2＞1
2.
答案：A
2．在△ABC 中，a ，b ，c 分不是角A 、B 、C 的对边，S 是其面积． 求证：a 2＋b 2＋c 2≥43·S .
证明：依照余弦定理，得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，S ＝1
2
bc sin A ，
因此有a 2＋b 2＋c 2－43S ＝2(b 2＋c 2)－2bc cos A －43·1
2
bc sin A ＝2(b 2＋c 2)－2bc (cos A ＋
3sin A )＝2(b 2＋c 2)－4bc sin(A ＋30°)≥2(b 2＋c 2)－4bc ＝2(b －c )2≥0， ∴a 2＋b 2＋c 2≥43S .
广东省高考数学复习专题汇编 不等式(试题)
不等式 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 2014 22分 12分 10分 5分 5分 5分 (2008年高考广东卷第10小题) 设a 、b ∈R ，若a － |b | > 0，则下列不等式中正确的是（D ） A. b － a > 0 B. a 3 + b 3 < 0 C. a 2 － b 2 < 0 D. b + a > 0 (2008年高考广东卷第12小题) 若变量x 、y 满足24025000 x y x y x y +≤??+≤? ?≥??≥?，则32z x y =+的最大值是__70_____。 (2008年高考广东卷第17小题)某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房。经测算，如果将楼房建为x （x ≥10）层，则每平方米的平均建筑费用为560 + 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用 = 平均建筑费用 + 平均购地费用，平均购地费用 = 购地总费用/建筑总面积）。 【解析】设楼房每平方米的平均综合费为f （x ）元，则 ()()21601000010800 56048560482000f x x x x x ?=++=++()10,x x Z +≥∈ ()2 10800 48f x x '=- , 令 ()0f x '= 得 15x = 当 15x > 时，()0f x '> ；当 015x <<时，()0f x '< 因此 当15x =时，f （x ）取最小值()152000f =； 答：为了楼房每平方米的平均综合费最少，该楼房应建为15层。 (2010年高考广东卷第19小题) 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C ；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C .另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C .如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐? 19．解：设应当为该儿童分别预订x 个单位的午餐，y 个单位的晚餐，所花的费用为z ，则依题意得：
【高中数学】公式总结(均值不等式)
均值不等式归纳总结 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥ +2 (2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则1 1122-2x x x x x x +≥+ ≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当 b a =时取“=”） 若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 『ps.(1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和 为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用』
例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4 x <，求函数14245 y x x =-+ -的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络
其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，
高考数学压轴专题专题备战高考《不等式》真题汇编附答案
【高中数学】数学《不等式》复习资料 一、选择题 1．已知ABC V 是边长为1的等边三角形，若对任意实数k ，不等式||1k AB tBC +>u u u r u u u r 恒 成立，则实数t 的取值范围是（ ）. A ．33 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? B ．2323 ,,????-∞- ?+∞ ? ? ? ????? C ．23,3?? +∞ ? ??? D ．3,3?? +∞ ? ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 根据向量的数量积运算，将目标式转化为关于k 的二次不等式恒成立的问题，由0
当且仅当 时，等号成立，故选C. 点睛：本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件． 3．若33 log (2)1log a b ab +=+42a b +的最小值为（ ） A ．6 B ．83 C ． 163 D ． 173 【答案】C 【解析】 【分析】 由33 log (2)1log a b ab +=+21 3b a +=，且0,0a b >>，又由 12142(42)3a b a b b a ?? +=++ ??? ，展开之后利用基本不等式，即可得到本题答案. 【详解】 因为33 log (2)1log a b ab +=+()()3333log 2log 3log log 3a b ab ab +=+=， 所以，23a b ab +=，等式两边同时除以ab 得21 3b a +=，且0,0a b >>， 所以12118211642(42)()(8)(8216)3333 a b a b a b b a b a +=++=++≥+=， 当且仅当82a b b a =，即2b a =时取等号，所以42a b +的最小值为163. 故选：C. 【点睛】 本题主要考查利用基本不等式求最值，其中涉及对数的运算，考查计算能力，属于中等题. 4．设x ，y 满足约束条件21210 x y x y x y +≤??+≥-??-≤? ，若32z x y =-+的最大值为n ，则2n x x ? ?的展开式中2x 项的系数为( ) A ．60 B ．80 C ．90 D ．120 【答案】B 【解析】 【分析】 画出可行域和目标函数，根据平移得到5n =，再利用二项式定理计算得到答案.
高考数学百大经典例题——不等式解法
典型例题一 例1 解不等式：（1）01522 3>--x x x ；（2）0)2()5)(4(3 2 <-++x x x ． 分析：如果多项式)(x f 可分解为n 个一次式的积，则一元高次不等式0)(>x f （或 0)( ①0 ) ( ) ( ) ( ) ( < ? ? < x g x f x g x f ②0 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( < ? = ? ≤ ? ? ? ≠ ≤ ? ? ≤x g x f x f x g x f x g x g x f x g x f 或 或 （1）解：原不等式等价于 ? ? ? ≠ - + ≥ + - + - ? ≥ + - + - ? ≤ + - + + - ? ≤ + - - - + ? ≤ + - - ? + ≤ - )2 )( 2 ( )2 )( 2 )( 1 )( 6 ( )2 )( 2 ( )1 )( 6 ( )2 )( 2 ( 6 5 )2 )( 2 ( )2 ( )2 (3 2 2 3 2 2 3 2 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为[)[) +∞ ? - ? - -∞,6 2,1 )2 , (。 （2）解法一：原不等式等价于0 2 7 3 1 3 2 2 2 > + - + - x x x x 2 1 2 1 3 1 2 7 3 1 3 2 2 7 3 1 3 2 )2 7 3 )( 1 3 2( 2 2 2 2 2 2 > < < < ? ?? ? ? ? < + - < + - ?? ? ? ? > + - > + - ? > + - + - ? x x x x x x x x x x x x x x x 或 或 或 ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞。 解法二：原不等式等价于0 )2 )(1 3( )1 )(1 2( > - - - - x x x x )2 ( )1 3 )( 1 )( 1 2(> - ? - - - ?x x x x 用“穿根法” ∴原不等式解集为) ,2( )1, 2 1 ( ) 3 1 , (+∞ ? ? -∞ 典型例题三 微专题45 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >=L （1）调和平均数：12111n n n H a a a = +++L （2）几何平均数：12n n n G a a a =L （3）代数平均数：12n n a a a A n +++= L （4）平方平均数：222 12n n a a a Q n +++=L 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a ===L 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b ab +≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）)2,0a b ab a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 324y x x x =+≥右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两个2x ，则2223 342222334y x x x x x x x x =+=++≥??= 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 均值不等式应用全面总结+题型总结（含详细解析） 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则 2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈ ，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正 所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x -- 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴-> ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--??231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。 技巧二：凑系数 例1. 当时，求(82)y x x =-的最大值。 解析：由知，，利用均值不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值。注意到2(82)8x x +-=为定值，故只需将(82)y x x =-凑上一个系数即可。 当，即x ＝2时取等号 当x ＝2时，(82)y x x =-的最大值为8。 评注：本题无法直接运用均值不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用均值不等式求最大值。 变式：设2 3 0< 2015年全国各地高考数学试题及解答分类汇编大全 （05不等式） 一、选择题： 1.（2015文）已知x，y满足约束条件 40 1 x y x y y -≥ ? ? +-≤ ? ?≥ ? ，则y x z+ - =2的最大值是（）（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）1 2.（2015理）若x，y满足 1 x y x y x - ? ? + ? ? ? ≤， ≤， ≥， 则2 z x y =+的最大值为（） A．0 B．1 C． 3 2 D．2 【答案】D 【解析】试题分析：如图，先画出可行域，由于2 z x y =+，则 11 22 y x z =-+，令0 Z=， 作直线 1 2 y x =-，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z取得最小值2. 考点：线性规划； 3．（2015文）若直线1(0,0) x y a b a b +=>>过点(1,1)，则a b +的最小值等于（）A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 考点：基本不等式． 4．（2015理）若变量,x y满足约束条件 20, 0, 220, x y x y x y +≥ ? ? -≤ ? ?-+≥ ? 则2 z x y =-的最小值等于 ( ) A． 5 2 - B．2- C． 3 2 - D．2 【答案】A 【解析】 试题分析：画出可行域，如图所示，目标函数变形为2 y x z =-，当z最小时，直线2 y x z =-的纵截距最大，故将直线2 y x =经过可行域，尽可能向上移到过点 1 (1,) 2 B-时，z取到最小值，最小值为 15 2(1) 22 z=?--=-，故选A． 考点：线性规划． 5．（2015文）变量,x y满足约束条件 220 x y x y mx y +≥ ? ? -+≥ ? ?-≤ ? ，若2 z x y =-的最大值为2，则实数m等于（）A．2 - B．1 -C．1 D．2 【答案】C 【解析】 第45炼 利用均值不等式求最值 一、基础知识： 1、高中阶段涉及的几个平均数：设()01,2,,i a i n >= （1）调和平均数：12 111n n n H a a a = ++ + （2 ）几何平均数：n G = （3）代数平均数：12n n a a a A n ++ + = （4）平方平均数： n Q = 2、均值不等式：n n n n H G A Q ≤≤≤，等号成立的条件均为：12n a a a === 特别的，当2n =时，22G A ≤?2 a b + ≤ 即基本不等式 3、基本不等式的几个变形： （1）),0a b a b +≥>：多用在求和式的最小值且涉及求和的项存在乘积为定值的情况 （2）2 2a b ab +?? ≤ ??? ：多用在求乘积式的最大值且涉及乘积的项存在和为定值的情况 （3）2 2 2a b ab +≥，本公式虽然可由基本不等式推出，但本身化成完全平方式也可证明，要注意此不等式的适用范围,a b R ∈ 4、利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等” （1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法 （2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量，例如：当0,x >求 23y x x =+ 的最小值。此时若直接使用均值不等式，则2 3y x x =+≥，右侧依然含有x ，则无法找到最值。 ① 求和的式子→乘积为定值。例如：上式中2 4y x x =+ 为了乘积消掉x ，则要将3 x 拆为两 个 2x ，则22422y x x x x x =+=++≥= ② 乘积的式子→和为定值，例如3 02 x << ，求()()32f x x x =-的最大值。则考虑变积为和后保证x 能够消掉，所以()()()2 112329 322322228 x x f x x x x x +-??=-=?-≤= ???（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点： ① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲突） ② 若涉及的变量有初始范围要求，则使用均值不等式后要解出等号成立时变量的值，并验证是否符合初始范围。 5、常见求最值的题目类型 （1）构造乘积与和为定值的情况，如上面所举的两个例子 （2）已知1ax by +=（a 为常数），求 m n x y +的最值， 此类问题的特点在于已知条件中变量位于分子（或分母）位置上，所求表达式变量的位置恰好相反，位于分母（或分子）上，则可利用常数“1”将已知与所求进行相乘，从而得到常数项与互为倒数的两项，然后利用均值不等式求解。 例如：已知0,0,231x y x y >>+=，求 32 x y +的最小值 解： ()3232942366y x x y x y x y x y ??+=++=+++ ??? 94121224y x x y =+ +≥+= （3）运用均值不等式将方程转为所求式子的不等式，通过解不等式求解： 例如：已知0,0,24x y x y xy >>++=，求2x y +的最小值 解：()2 2 21 1222 228 x y x y xy x y ++??=??≤ = ? ?? 所以()() 2 224248 x y x y xy x y +++=?++ ≥ 即()()2 282320x y x y +++-≥，可解得24x y +≥，即()min 24x y += 2020高考数学模拟试题（理）《不等式》分类汇编 1．（2020?桥东区校级模拟）已知函数()2|1|f x x mx =-+，m R ∈． （1）当3m =-时，求不等式()40f x +<的解集； （2）若函数()f x 的图象与x 轴恰好围成一个直角三角形，求m 的值． 2．（2020?眉山模拟）已知函数()|1||21|f x x x =++-． （1）解不等式()2f x x +…； （2）若函数()|2019||2021|g x x x a =+++-，若对于任意的1x R ∈，都存在2x R ∈，使得12()()f x g x =成立，求实数a 的取值范围． 3．（2020?内蒙古模拟）已知函数()4()f x ax a R =+∈，()|2||1|g x x x =++-． （1）若1a =，求不等式()()f x g x >的解集； （2）若不等式()()f x g x >解集中包含(2,1)-，求a 的取值范围． 4．（2020?五华区校级模拟）已知()|4||8|f x ax ax =--+． （1）当2a =时，解不等式()2f x <； （2）求()f x 的最大值． 5．（2020?龙岩一模）已知函数()|1||2|f x x x a =++-． （1）若1a =，解不等式()4f x <； （2）对任意的实数m ，若总存在实数x ，使得224()m m f x -+=，求实数a 的取值范围． 6．（2020?芮城县模拟）已知函数()|1||2|f x x a x a =+-+-． （1）若f （1）2<，求实数a 的取值范围； （2）若1a -?，x R ∈，求证：()4f x …． 7．（2020?临汾模拟）设函数()|2|f x x a =+（其中0)a <． （1）解不等式：()3f x …； （2）若1a =-，解不等式1 ()||2f x x a +-<． 8．（2020?长治一模）设函数()|22||2|f x x x =+-的最大值m ． （1）求m 的值． （2）若正实数a ，b 满足a b m +=，求22 11 a b b a + ++的最小值． 9．（2020?吉林二模）已知函数()16|21|f x x =--． （1）解不等式()|2|f x x +?； （2）若函数()y f x a =-存在零点，求a 的求值范围． 不等式应试技巧总结 1、不等式的性质： （1）同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若,a b c d >>，则a c b d +>+（若,a b c d ><，则 a c b d ->-），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减； （2）左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若 0,0a b c d >>>>，则ac bd >（若0,0a b c d >><<，则 a b c d >）； （3）左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若0a b >>，则n n a b > >（4）若0ab >，a b >，则11a b <；若0ab <，a b >，则11a b >。 【例】（1）对于实数c b a ,,中，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若；②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若；④b a b a 11,0< <<则若；⑤b a a b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0；⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0；⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。其中正确的命题是______（答：②③⑥⑦⑧）； （2）已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是______（答：137x y ≤-≤）； （3）已知c b a >>，且,0=++c b a 则 a c 的取值范围是______（答：12,2? ?-- ?? ?） 2. 不等式大小比较的常用方法： （1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法 ；(8)图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。 【例】（1）设0,10>≠>t a a 且，比较 21log log 21+t t a a 和的大小（答：当1a >时，11log log 22 a a t t +≤（1t =时取等号）；当01a <<时，11 log log 22 a a t t +≥（1t =时取等号））； （2）设2a >，1 2 p a a =+-，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小（答：p q >）； （3）比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小（答：当01x <<或4 3 x >时，1+3log x ＞2log 2x ；当 413x <<时，1+3log x ＜2log 2x ；当4 3 x =时，1+3log x ＝2log 2x ） 3. 利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方 针。 【例】（1）下列命题中正确的是A 、1y x x =+的最小值是 2 B 、2y =的最小值是 2 C 、 423(0)y x x x =--> 的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =--> 的最小值是2-（答：C ）； （2）若21x y +=，则24x y +的最小值是______ （答：； （3）正数,x y 满足21x y +=，则y x 1 1+的最小值为______ （答：3+； 4.常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）； （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 【例】如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞） 题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－ 1，1］，m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x + 21)＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 21∈［－1，1］，1 1-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方 均值不等式复习（学案） 基础知识回顾 1．均值不等式：ab ≤ a ＋b 2 (1)均值不等式成立的条件：_______________. (2)等号成立的条件：当且仅当____________时取等号． 2．几个重要的不等式 (1)a 2 ＋b 2 ≥2ab (a ，b ∈R )． (2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤? ????a ＋b 22(a ，b ∈R )． (4) a 2＋ b 22≥? ?? ??a ＋b 22 (a ，b ∈R )． 注意：使用均值不等式求最值，前提是“一正、二定、三相等” 3．算术平均数与几何平均数 设a ＞0，b ＞0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2 ，几何平均数为ab ，均值不等式可叙述为两个正数的 算术平均数大于或等于它的几何平均数． 4．利用均值不等式求最值问题 已知x ＞0，y ＞0，则 (1) 如果积xy 是定值p ，那么当且仅当________时，__________有最_____值是_____(简记：积定和 最小) (2)如果和x ＋y 是定值s ，那么当且仅当_____时，____有最______值是_______.(简记：和定积最大) 双基自测 1．函数y ＝x ＋1 x (x ＞0)的值域为( )． A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞) B ．(0，＋∞) C ．[2，＋∞) D ．(2，＋∞) 2．下列不等式：①a 2＋1＞2a ；②a ＋b ab ≤2；③x 2 ＋1x 2＋1≥1.其中正确的个数是( )． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 3．若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则( )． A.1a ＋1 b 有最大值4 B ．ab 有最小值1 4 C.a ＋b 有最大值 2 D ．a 2 ＋b 2 有最小值 22 4.若实数b a ,满足2=+b a ，则b a 33+的最小值是( ) A ．18 B. 6 C. 32 D. 432 5.若正数b a ,满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是 . 6.若+ ∈R y x ,,且12=+y x ，则 y x 1 1+的最小值为 . 典型例题 类型一 利用均值不等式求最值 1．若函数f (x )＝x ＋1 x －2 (x ＞2)的最小值为____________. 2．已知t ＞0，则函数y ＝t 2－4t ＋1 t 的最小值为________． 高考：均值不等式专题 ◆知识梳理 1．常见基本不等式 2 ,0, a R a ∈≥0 a ≥222 ()22 a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++ 若a>b>0,m>0,则 b b m a a m +< +； 若a,b 同号且a>b 则11 a b <。 ab b a R b a 2,,2 2≥+∈则;.2,,22ab b a R b a -≥+∈ 2．均值不等式: 两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，2 2a b ab +?? ≤ ???, ab b a 222≥+等。 3．最值定理:设,0,x y x y >+ ≥由 （1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则 时,22 S xy 积有最大值（） 4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤≤ 2 2 2b a +。 ◆课前热身 1. 已知,x y R + ∈，且41x y +=，则x y ?的最大值为 . 2. 2. 若0,0x y >>1x y +=,则 41 x y +的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22 x y x y +-的最小值是 . 4. 4. 已知下列四个结论 ①当2 lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时； ③x x x 1,2+ ≥时当的最小值为2；④当x x x 1 ,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为 ◆考点剖析 一、基础题型。 1.直接利用均值不等式求解最值。 例1：（2010年高考山东文科卷第14题）已知,x y R + ∈，且满足 134 x y +=，则xy 的最大值为 。 2017年高考数学试题分类汇编：不等式 1（2017北京文）已知，，且x +y =1，则的取值范围是__________． 【考点】3W ：二次函数的性质． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】利用已知条件转化所求表达式，通过二次函数的性质求解即可． 【解答】解：x ≥0，y ≥0，且x +y=1，则x 2+y 2=x 2+（1﹣x ）2=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]， 则令f （x ）=2x 2﹣2x +1，x ∈[0，1]，函数的对称轴为：x=，开口向上， 所以函数的最小值为：f （）= =． 最大值为：f （1）=2﹣2+1=1． 则x 2+y 2的取值范围是：[，1]． 故答案为：[，1]． 【点评】本题考查二次函数的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力． 2（2017浙江）已知a R ，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则的取值范围是___________． 【考点】3H ：函数的最值及其几何意义． 【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；51 ：函数的性质及应用． 【分析】通过转化可知|x +﹣a |+a ≤5且a ≤5，进而解绝对值不等式可知2a ﹣5≤x +≤5，进而计算可得结论． 0x ≥0y ≥22x y +∈4()||f x x a a x =+ -+a 【解答】解：由题可知|x+﹣a|+a≤5，即|x+﹣a|≤5﹣a，所以a≤5， 又因为|x+﹣a|≤5﹣a， 所以a﹣5≤x+﹣a≤5﹣a， 所以2a﹣5≤x+≤5， 又因为1≤x≤4，4≤x+≤5， 所以2a﹣5≤4，解得a≤， 故答案为：（﹣∞，]． 【点评】本题考查函数的最值，考查绝对值函数，考查转化与化归思想，注意解题方法的积累，属于中档题． 3（2017新课标Ⅲ文数）[选修4—5：不等式选讲]（10分） f x=│x+1│–│x–2│. 已知函数() f x≥1的解集； （1）求不等式() f x≥x2–x +m的解集非空，求实数m的取值范围. （2）若不等式() 【考点】R4：绝对值三角不等式；R5：绝对值不等式的解法． 【专题】32 ：分类讨论；33 ：函数思想；4C ：分类法；4R：转化法；51 ：函数的性质及应用；5T ：不等式． 【分析】（1）由于f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，解不等式f（x）≥1可分﹣1≤x≤2与x＞2两类讨论即可解得不等式f（x）≥1的解集；（2）依题意可得m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x，分x≤1、﹣1高中数学讲义 均值不等式
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