常用数值计算方法及仿真软件简介a

1.1.1 常用数值计算方法

自1864年麦克斯韦建立电磁场基本方程以来，电磁波理论与应用的发展已经过了100多年的历史。对电磁分布边值问题的求解从图解、模拟、解析到目前所采用的数值计算方法，经历了四个过程。解析方法只能解决一些经典问题，具体到复杂的实际环境，往往需要通过数值解得到具体环境中的电磁波特性。随着高速和大容量计算机技术的飞速发展，电磁数值计算已经发展成为一门新兴的重要学科，已提出多种实用有效的求解麦克斯韦方程的数值方法，主要有矩量法（MOM）、有限元法（FEM）、有限积分法（FIT）、和时域有限差分法（FDTD）等。基于这些数值计算方法开发出了许多优秀的电磁仿真软件。

一个好的数值算法可以很接近地模拟出微波器件的特性，这对于工程设计和研究而言，可以避免很多次的“cut-and-try”（试凑），节省时间从而提高了效率。

求解电磁问题的最终要求就是获得满足实际条件的Maxwell方程的解，借助于计算数学中的数值算法能够得到大多数电磁问题的近似解。数值算法的基本思想就是把连续变量函数离散化，把微分方程化为差分方程；把积分方程化为有限和的形式，从而建立起收敛的代数方程组，然后利用计算机技术进行求解。

目前常见的几种数值分析方法如表错误！文档中没有指定样式的文字。-1 电磁数值算法分类所示。针对本论文所应用到的方法，下面简要叙述常用的几种数值方法及相应的商业软件。

1.1.1.1 有限元法

基于有限元方法(FEM)计算电磁问题，其基本构想是将由偏微分方程表征的连续函数所在的封闭场域划分成有限个小区域，每个小区域用一个选定的近似函数来代替，于是整个场域上的函数被离散化，由此获得一组近似的代数方程，并联立求解，以获得该场域中函数的近似数值。

广义的来说，三维麦克斯韦方程是三维电磁问题的三维支配方程，但是，一般情况下为了方便求解和建模，大多选取由麦克斯韦方程组的前两个旋度方程导出的电场强度满足矢量亥姆赫兹方程作为支配方程。如Ansoft HFSS 软件[i]的支配方程为：

2010r r E k E εμ??????-= ???

(错误！文档中没有指定样式的文字。-1)

由变分原理，上式的泛函可以写为：

()()()

201r r F E E E k E E d εμΩ??=????????-?Ω???? (错误！文档中没有指定

样式的文字。-2)

将这一个三维问题的泛函通过多面体离散成单元小矩阵，矩形块、四面体和六面体等都可以被选用做基本的离散单元，但是，不同离散单元对于有限元运算的精度、速度和内存需求都有不同。Ansoft HFSS 软件采用四面体作为基本离散单元，如图 错误！文档中没有指定样式的文字。-1所示，并选用上一世纪80 年代以后才被应用于电磁学中的棱边元作为矢量基函数。

假设图 错误！文档中没有指定样式的文字。-1所示的四面体内的未知函数e φ能够近似为

z d y c x b a e e e e e +++=φ (错误！文档中没有指定样式的文

字。-3)

图 错误！文档中没有指定样式的文字。-1 四面体单元

则用四个顶点处的值i e

φ(4,3,2,1=i )来表示： ()()∑==4

1i e i e i e

z ,y ,x L z ,y ,x φφ (错误！文档中没有指定样式的文字。-4)

式中插值函数()z y x L e

i ,,为

()()

z d y c x b a V z ,y ,x L e i e i e i e i e e

i +++=61 (错误！文档中没有指定样式的文字。-5)

而e i e i e i e i d ,c ,b ,a 有下列等式获得：

()

e e e e e e e e e e a a a a V a 4433221161φφφφ+++= (错误！文档中没有指定样式的文字。-6)

()

e e e e e e e e e e b b b b V b 4433221161φφφφ+++= (错误！文档中没有指定样式的文字。-7)

()

e e e e e e e e e e c c c c V c 4433221161φφφφ+++= (错误！文档中没有指定样式的文字。-8)

()

e e e e e e e e e e d d d d V d 4433221161φφφφ+++= (错误！文档中没有指定样式的文字。-9)

其中

(错误！文档中没有指定样式的文字。-10)

在利用变分原理和离散化方法建立了有限元矩阵方程后，我们就面临着求解以结点值为未知数的矩阵方程。将方程写为

b Ax = (错误！文档中没有指定样式的文字。-11)

式中系数矩阵A 是一个n ×n 方阵，x 是待求解的未知量，b 表示已知向量。求得这个矩阵方程得到问题空间的电磁场解，并进而求得所需参数，例如散射参数等。

1.1.1.2 有限积分法

有限积分法(FIT)法早在1977年由托马斯· 魏兰特教授 (Prof. Thomas Weiland) [ii]提出，进而成为其后在电磁仿真领域中一个重要算法的基石。由FIT 所导出的矩阵方程保持了解析麦克斯韦方程各种固有的特性，如：电荷守恒性和能量守恒性。解析下的梯度、散度和旋度算子在FIT 下具有一一对应的矩阵。这些矩阵满足解析形式下的算子恒等式。故FIT 保证了非常好的数值收敛性。另一个区别于其它算法的关键之处在于FIT 可被用于所有频段的电磁仿真问题中。软件CST Microwave Studio 是由德国CST 公司开发的一种商用电磁仿真软件，主要是是采用这种数值计算方法。

CST 空间离散化也是建立在Yee 网格基础之上，典型划分方法如图 错误！文档中没有指定样式的文字。-2示[iii]：

e e e e e e e e

e e e e e z z z z y y y y x x x x V 4

321432143211111

61=

图 错误！文档中没有指定样式的文字。-2 麦克斯韦积分方程离散化图

通过这种离散方法，导出相对应的麦克斯韦网格方程：

??????-=??A A S d B t S d E ? b

Ce -= (错误！文档中没有指定样式的文字。-12)

S d )J t D (S d H A A ?+??=????? ? j d

h C ~+= (错误！文档中没有指定样式的文字。-13)

???=?V A d B 0

? q d S ~= (错误！文档中没有指定样

式的文字。-14)

???=?A Q A d D

? 0=Sb (错误！文档中没有指定样

式的文字。-15)

经过这些步骤，将积分方程转化为线形方程组来求解，得出问题空间的电磁场量。CST 软件包含了四种求解器：瞬态求解器，频域求解器，本征模求解器，模式分析求解器，都有各自最适合的应用范围。瞬态求解器由于其时域算法，只需要进行一次计算就可以得到在整个频带内的响应，该求解器适合于大部分高频应用领域，对宽带问题优点尤为突出。对于高谐振结构，例如滤波器，需要求得本征模式，可以使用本征模求解器，结合模式分析求解器可以得到散射参量。对结构尺寸远小于最短波长的低频问题，其频域求解器最为有效。

1.1.2 各算法比较

对于众多求解电磁问题的算法和应用软件，需要针对求解目标的实际情况来选择合适的方法，这一步骤往往起到事半功倍的效果。显然，计算机硬件能力是要考虑的因素，求解问题的大小、复杂程度等对软硬件的要求不同。图错误！文档中没有指定样式的文字。-3给出了多种算法占用CPU计算时间的比较，当结构简单且电尺寸较小时，需要划分网格数也少，多种算法占用时间相当，但随着计算问题网格数的增加，矩量法(MOM)占用时间与网格数呈三次方的关系增加，有限元法(FM)是平方关系，而时域有限积分方法(FITD)则其CPU时间与网格数几乎呈线形关系。

另外，高频近似法适合计算电大导电体的电磁场问题，对于电小结构及介质或者其他非金属材料构成的系统则存在困难。相反，各种频域方法和时域方法则适合在低频或者谐振频率附近使用，可以用于近场和远场的计算。

图错误！文档中没有指定样式的文字。-3 各算法比较

1.1.3 常用仿真软件

作为目前电磁问题主要分析手段，电磁场数值计算方法为国内外广大工作者所研究，并且随着这些数值方法研究的日趋成熟，大量商业化计算软件工具不断涌现。随着应用开发的深入，其功能越来越强大，使用也越来越方便，这为具体电磁问题的设计分析提供了极大的方便，也使包括天线在内的微波器件的设计周期大为缩减。这对工程应用类的研究设计人员来说如虎添翼，可以很快地实现和

验证自己的创新设计思想。

由于电磁场仿真软件与其核心的数值计算方法密切相关，不同的软件其适用的问题也不同。目前，可供选择的电磁仿真软件种类众多，每种软件都有自己的优势和劣势，可以根据软件的特点和设计的不同要求来选择软件。

表错误！文档中没有指定样式的文字。-2列出了目前最为常用的几种电磁仿真分析软件的功能和应用，为合理选取软件分析实际问题提供依据。这些软件的出现，使得微波电磁结构的设计可以在电脑上进行，不但简化了之前的工作难度，而且减少了重复加工测试的步骤，大大降低了元器件的设计成本。微波工程师在设计各种器件并使用电磁仿真软件时，应该预先了解各种软件的基本的算法，适用场合以及软件设置，以便达到最好的仿真效果，提高工作效率。

本文研究所采用的工具是基于有限元法的Ansoft HFSS和基于有限积分法的CST Microwave Studio，下面对这两种数值算法进行介绍。

1.1.3.1 基于时域有限积分的软件CST MICROWAVE STUDIO

CST MICROWA VE STUDIO[iii]是德国CST（Computer Simulation Technology）公司推出的高频三维电磁场仿真软件，广泛应用于移动通信、无线通信（蓝牙系统）、信号集成和电磁兼容等领域。微波工作室使用简洁，能为用户的高频设计提供直观的电磁特性。微波工作室除了主要的时域求解器模块外，还为某些特殊应用提供本征模及频域求解器模块。CAD文件的导入功能及SPICE参量的提取增强了设计的可能性并缩短了设计时间。另外，由于CST设计工作室的开放性体系结构能为其它仿真软件提供链接，使微波工作室与其它设计环境相集成。

另外在CST微波工作室中，还引入了CST的专有技术－理想边界拟合（Perfect Boundary Approximation －PBA）。它使得长方形网格中材料的填充形式可以任意（单连通或复连通）。由于此技术，CST软件不但保持了通常FDTD 的快速，而且还使其精度大为提高。即，带PBA的FIT即快又准。

具体地讲，CST MICROWA VE STUDIO采用FITD，即先在时域计算，用一个宽频谱的激励信号（方波或者高斯波都有）去激励模型，在时域计算然后去反演到频域。系统的网络参数和场参数基本上是反演后的得到的。特点是可以计算相当大的带宽结果，而不需要像用HFSS，可能要把大带宽分割后分别仿真。CST 计算过程中，由于没有FEM计算过程中矩阵求逆过程，计算时间和网格数成线性增长关系，而FEM的是指数增长关系。CST的MWS从4.3版起，开始有了大小网格嵌套技术，在曲面上细化六面体网格逼进曲面。这是其它FDTD套件

所没有的。传统的电路仿真软件仿真是快速的，但是，当考虑趋肤效应损耗和材料的复杂性时，结果的准确性将受到大幅度的影响。像CST的3D仿真软件克服了这种限制，可以解决任意几何形状的下所建立的麦克斯韦方程，包括复杂的材料模式。软件最新版本为CST 2008。

1.1.3.2 基于有限元的软件Ansoft HFSS

Ansoft HFSS[i]是美国Ansoft公司推出的三维电磁仿真软件，是世界上第一个商业化的三维结构电磁场仿真软件，业界公认的三维电磁场设计和分析的电子设计工业标准。它可以分析仿真任意三维无源结构的高频电磁场，可直接得到特征阻抗、传播常数、S参数及电磁场、辐射场、天线方向图等结果。该软件被广泛应用于无线和有线通信、计算机、卫星、雷达、半导体和微波集成电路、航空航天等领域。

Ansoft HFSS采用自适应网格剖分，ALPS快速扫频，切向元等专利技术，集成了工业标准的建模系统，提供了功能强大、使用灵活的宏语言，直观的后处理器及独有的场计算器，可计算分析显示各种复杂的电磁场，并利用Optometric 可对任意的参数进行优化和扫描分析。

HFSS提供了一简洁直观的用户设计界面、精确自适应的场求解器、拥有空前电性能分析能力的功能强大后处理器，能计算任意形状三维无源结构的S参数和全波电磁场。HFSS软件拥有强大的天线设计功能，它可以计算天线参量，如增益、方向性、远场方向图剖面、远场3D图和3dB带宽；绘制极化特性，包括球形场分量、圆极化场分量、Ludwig第三定义场分量和轴比。使用HFSS，可以计算：1）基本电磁场数值解和开边界问题，近远场辐射问题。2）端口特征阻抗和传输常数。3）S参数和相应端口阻抗的归一化S参数。4）结构的本征模或谐振解。而且，由Ansoft HFSS和Ansoft Designer构成的Ansoft高频解决方案，是目前唯一以物理原型为基础的高频设计解决方案，提供了从系统到电路直至部件级的快速而精确的设计手段，覆盖了高频设计的所有环节。软件最新版本为ansoft HFSS 12。

目前，随着电子计算机技术的发展，相对于经典电磁理论而言，数值方法受边界形状的约束大为减少，可以解决各种类型的复杂问题，但各种数值计算方法

都各有优缺点，一个复杂的问题往往难以依靠一种单一方法解决，常需要将多种方法结合起来，互相取长补短，因此混和方法日益受到人们的重视，很多软件也开始逐渐集成利用各种算法进行优化计算，这也是未来电磁场EDA软件发展的趋势。其实对于实际的工程仿真来说，有一个FEM＋FDTD＋MOM的仿真软件组合最好。

由于商业软件竞争激烈，各公司对各自的软件追求更快、更精确、更方便，在结构建模、自适应网格划分、友好的界面、结果的后期处理和数据导出等方面都逐渐完善，并且允许软件计算结果的调用，例如在CST中设计计算得到天线结果，可以作为一个已知参数的器件，由ADS电路仿真软件调用，与其它无源和有元器件集成，实现系统级分析等。

各种功能强大的电磁场分析软件的涌现，给广大电磁场工程研究人员带来极大的便利，可以很快地验证实现自己的设计构想。但需要指出的是，有效使用这些软件必须建立在对电磁场理论的深刻理解和丰富的工程设计经验基础之上，只有对电磁理论和使用工具深刻的了解，才能进入工程设计的自由空间。