数学建模教学(给教师)

谈如何在高中阶段合理开展数学建模教学

数学建模是对实际问题本质属性进行抽象而又简洁刻划的数学符号、数学式子、程序或图形，它或能解释某些客观现象，或能预测未来的发展规律，或能为控制某一现象的发展提供某种意义下的最优策略或较好策略。而应用各种知识从实际问题中抽象、提炼出数学模型的过程，我们称之为数学建模。它的灵魂是数学的运用。它就象阵阵微风，不断地将数学的种子吹撒在时间和空间的每一个角落，从而让数学之花处处绽放。

高中数学课程新标准要求把数学文化内容与各模块的内容有机结合，数学建模是其中十分重要的一部分。作为基础教育阶段――高中，我们更应该重视学生的数学应用意识的早期培养，我们应该通过各种各样的形式来增强学生的应用意识，提高他们将数学理论知识结合实际生活的能力，进而激发他们学习数学的兴趣和热情。我们教数学不仅要让他们知道“课本里有数学”，更要让他们知道“生活中也有数学”；不仅要让他们知道“数学是什么？”，更要让他们知道“数学有什么用？”；不仅让他们知道了“数学有什么用”，还要教会他们“数学可以用在哪里？”为此，我觉得十分有必要从基础教育阶段就将数学建模的思想、理念渗透到数学教学中去，打造一种和谐的良性循环：“学数学－用数学－再学数学”。

于是，任教期间，本人一直热衷于开展数学建模教学的尝试，我曾经多次在高一，高二开设《数学建模》选修课教学。学生反映，数学建模内容很丰富，很有趣，很能激发他们学习数学的兴趣。通过不断的教学反思，我认为在目前的中学阶段，将数学建模这种特殊的思想，可以尝试从以下三个方面渗透到我们的日常数学教学中去。

1、首先，中学数学教师必须提高自己的建模意识、积累自己的建模知识。

这是前提。这不仅意味着我们在教学内容和要求上的变化，更意味着教育思想和教学观念的更新。数学建模源于生活，用于生活。中学数学教师除需要了解数学科学的发展历史和发展动态之外，还需要不断地学习一些新的

数学建模理论，并且努力钻研如何把中学数学知识应用于现实生活。作为中学数学教师，在日常生活上必须做数学的有心人，不断积累与数学相关的实际问题。

下面介绍本人在生活中积累的一些建模实例：

例1：篮球是一项不错的运动（起码我这样认为），我喜爱它，空闲时也经常和同事们一起打篮球。究竟如何提高进球率？是每一个篮球运动爱好者梦寐以求的问题。篮球中有一种进球叫“打板”，就是将球打在篮板上，利用球

的反弹进入篮筐。经过本人多次实践证明，这样的进球率确实相当高。于是我就将这个问题，在忽略一切外界条件（球的变形、风、空气阻力等），并假定：

①球在篮板上的反射严格遵照光的反射原理，即入射角等于反射角。

②在二维空间（俯视）内进行问题的研究。

③同时假设篮球在空中的飞行轨迹是标准抛物线。

在此基础上，尝试利用二次函数的性质建立相应的数学模型，最终取得了很好的效果。

例2：本人在就餐时，通过观察，了解到本校食堂学生的用餐排队问题，可以进行数学建模的尝试：根据就餐学生人数、放学时间以及食堂工作人员的打菜速度等因素建立数学模型，指导食堂开设合理的窗口数以及窗口与餐桌的空间距离等问题。关于这个问题我在一堂《数学建模》选修课上与同学们作了分析讨论，并指导学生写了小论文。

这些是一般人所忽略的事，却是数学教师运用数学建模进行教学的良好机会。

2、其次，在数学课堂上，要适时地结合实际，将数学建模思想引入课本知识。

这是关键。新课程标准在教学建议中指出：“在数学教学中，应注重发展学生的应用意识：通过丰富的实例引入数学知识，引导学生应用数学知识解决实际问题，经历探索、解决问题的过程，体会数学的应用价值。帮助学生认识到：数学与我有关，与实际生活有关，数学是有用的，我要用数学，我能用数学，我要学数学。”因此，教师要多创设教学情境，从现实生活中引入数学知识，使数学

知识生活化。让学生带着生活问题进入课堂，使原本觉得十分枯燥的数学问题一下变得鲜活起来。

因此，作为授课的数学教师，必须在课前精心备课，在掌握基础知识的基础上，将例题，练习精心设计。其中，能与实际生活相结合的，应尽量设计进去，突出应用理念。培养学生将课堂知识活学活用，从课堂上渗透数学建模思想。

以下举一些本人的教学案例加以说明：

例如在《数列》一章中，为了让学生进一步熟悉掌握等比数列的通项公式，我们会这样举一简例：

例1：已知在等比数列中，，求

此题目的无非是让学生直接应用等比数列的通项公式，代入求解。

我们不防将此例进一步变形为：

例2：某城市2005年底有人口100万，已知人口年增长率为1%，求到2025年该市的人口数。

此例赋予例1一定的实际背景，将等比数列这个条件隐藏其中，其实质还是考察等比数列的通项公式，但具有一定的实际意义。

而作为渗透数学建模的课堂教学，我们可以让学生解决下面这一问题：

例3：某市2005年初有常住人口100万，流动人口20万，已知流动人口的年增长率为1%，常住人口的年增长率为0.5%,请你预测到2055年初该市拥有的人口数。

这样的问题涵盖了课本要求的知识点，但同时，在解决这类问题的过程当中，不知不觉使学生提高了动手能力,培养了学生应用数学的意识,激发了学生学习的兴趣和动机,有利于提高学生分析和解决问题的能力。从而真正体现了数学建模与课本知识的融合。

又如在《不等式的应用》一节中，我们可以就学校即将建造的科技综合大楼作一建模教学探讨。

例4：房屋建筑成本由土地使用权取得费和材料工程费两部分组成。某市今年的土地使用权取得费为2000元/m2；材料工程费在建造第一层时为400元/m2，以后每增加一层费用增加40元/m2，请你帮助设计学校科技综合大楼的层数，使每层每平方米建筑面积的平均成本费最省。

此题考察的核心内容是基本不等式的运用。这样设计使学生的思维与问题情景的距离拉近了，学生可以设想问题涉及的具体模型，充分发挥自己的创造性思维，享受学数学和用数学的乐趣。这对于渗透数学建模思想，改进传统数学教学模式，推进数学教学改革是十分有利的。

但是同时，通过数学课堂渗透建模思想，将建模思想带进课堂时，还应特别注意知识联系的合理性。作为教师必须把握好尺度，该结合实际的地方应大胆渗透，而对于有些与实际联系不大的内容，那就不必联系实际。不能过于牵强，为建模而建模。

3、再次，我们还可以开设类似《数学建模》这样的选修课，从侧面来组织数学建模教学，巩固教学效果

这是数学建模理念教学最终得以完善的保证。新课程标准对数学文化的渗透十分重视：高中数学课程设立“数学探究”、“数学建模”等学习活动，为学生形成积极主动的、多样的学习方式进一步创造有利的条件，以激发学生的数学学习兴趣，鼓励学生在学习过程中，养成独立思考、积极探索的习惯。高中数学课程应力求通过各种不同形式的自主学习、探究活动，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。

高中数学课程应提供基本内容的实际背景，反映数学的应用价值，开展“数学建模”的学习活动，设立体现数学某些重要应用的专题课程。高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学生逐步形成和发展数学应用意识，提高实践能力。实践表明，开展数学建模的教学活动符合社会需要，有利于激发学生学习数学的兴趣，有利于增强学生的应用意识，有利于扩展学生的视野。

关于组织数学建模活动和开设数学建模课程，例举如下本人的几个案例：

例1：上述例1又可以设计成下面活动：

请你到有关部门查询你所在城市2005年初的常住人口数与流动人口数，以及它们相应的人口年增长率，然后预测按这样的增长率，到2055年初该市拥用的人口数。（把整个活动过程写成小论文形式交流）

例2：在等比数列教学中，可以设计以下活动以促进学生的发展：

请你利用课余时间到附近的银行调查降息前后银行的利息变化，并考虑向银行以按揭贷款20年的方式归还款项的5年期和10年期的月均还款额、还款总额和利息负担总和各降低了多少。（要求以小论文形式做出，每组推荐一名同学在课堂上发言）

例3：交通灯在绿灯转换成红灯时，有一个过渡状态——亮一段时间的黄灯。请分析黄灯应当亮多久。

分析：设想一下黄灯的作用是什么，不难看出，黄灯起的是警告的作用，意思是马上要转红灯了，假如你能停住，请立即停车。停车是需要时间的，在这段时间内，车辆仍将向前行驶一段距离L。这就是说，在离街口距离为L处存在着一条停车线（尽管它没被画在地上），见右图。对于那些黄灯亮时已过线的车辆，则应当保证它们仍能穿过马路。

马路的宽度D是容易测得的，问题的关键在于L的确定。为确定L，还应当将L划分为两段：和，其中是司机在发现黄灯亮及判断应当刹车的反应时间内驶过的路程，为刹车制动后车辆驶过的路程。较容易计算，交通部门对司机的平均反应时间早有测算，反应时间过长将考不出驾照），而此街道的行驶速度v 也是交管部门早已定好的，目的是使交通流量最大，可另建模型研究，从而=v×。刹车距离既可用曲线拟合方法得出，也可利用牛顿第二定律计算出来（留作习题）。

黄灯究竟应当亮多久现在已经变得清楚多了。第一步，先计算出L应多大才能使看见黄灯的司机停得住车。第二步，黄灯亮的时间应当让已过线的车顺利穿过马路，即T 至少应当达到（L+D）/v。

例4：生活中的数学也相当有趣，关于用均值不等式求最值，下例一关于《洗衣问题》的数学建模课源于生活，根于数学，归于生活。

问题的提出：在洗衣服时，衣服已打好了肥皂，揉搓得很充分了，再拧一拧，当然不可能把水拧干。衣服上还残留含有污物的水1kg，用20kg清水来漂洗，问题是怎样才能漂洗得更干净？

问题的分析：如果把衣服一下放到这20kg清水中，那么，连同衣服上那1kg污水，一共21kg。污物均匀分布在这21kg水里。拧“干”后，衣服上还有1kg水，所以污物残存量是原来的。一般，我们会把这20kg水分两次用。比如，第一此用5kg水，可使污物减少到；再用15kg水，污物又减少到的，即。分两次漂洗，效果好多了!同样分两次漂洗，也可

以每次用10kg水。每次都使污物减少到原有量的，两次漂洗后污物减少到原来的。

问题的一般化：这个效果是否最好呢？我们将问题一般化来研究。

设衣服经洗涤充分拧干后残存水量为ωkg，其中含污物kg,漂洗用的清水为Akg。我们把Akg水分成n次使用，每次用量依次是。经过n次漂洗后，衣服上还有多少污物呢？怎样合理使用这Akg水，才能把衣服洗的干净？（残留污物量最少）

问题的假设：（1）设衣服上的污物能均匀地溶于水中

（2）设在漂洗的过程中水没有外溢

（3）设每次都漂洗得很充分，且程度相同。模型的建立：第一次，把带有kg污物及ωkg水的衣服放到kg水中，充分搓洗，使kg污物溶解或均匀悬浮于kg水中，把污水倒掉，衣服甩干后，由于kg污物均匀分布于kg水中，所以衣服上残留的污物量与残存的水量ω成正比。设当第n次漂洗完后，设衣服上残留的污物量为，则有

（※）

式子（※）就是所研究的问题的数学模型。

模型的评价：让学生观察、分析这个洗衣的数学模型（※），并感受出下面的效果：

（1）原来衣服上残留污物越多，最后残留的污物也会越多。（衣服越脏越难洗，与实际感受一致，因此衣服要勤洗为好！）

（2）ω越小，就越小。即每次拧得越“干”，最后残留污物会越少，这与我们生活常识是一致的。

模型的进一步研究：在教师的指导与帮助下，学生完成了把实际问题转化为数学问题的过程，并体会到其中的思想、方法。

接下来，就是运用数学模型解决问题。教师进一步设计问题，并引导学生进入问题情境，进行思考，分析：

（1）是不是把水分得越均匀，洗得会越干净？

（2）是不是洗的次数n越多越干净？

最后，使学生通过自己的分析努力，利用算术－平均值不等式等已学的数学知识，能够对这两个问题加以解决。由此，一次完整的数学建模过程完成了。当然，教师最后还可以提出问题：如果洗很多的衣服，是一次泡在水中洗呢？还是分几批

洗？给学生留有回味思索的余地。从而使学生感觉到生活的无穷奥妙，感悟到课本知识的无限魅力，感受到数学之花的万般美丽。

我认为，这三方面的工作是今后我们在中学数学教学中加强建模思想教育的必经之路。希望更多的相关部门和有关人士进一步研究探讨这个问题：重视数学、重视应用。

最后，我想再提一点，要真正培养学生的创新能力，光凭传授知识是远远不够的，重要的是在教学中必须坚持以学生为主体，不能脱离学生搞一些不切实际的建模教学，我们的一切教学活动必须以调动学生的主观能动性，培养学生的创新思维为出发点，引导学生自主活动，自觉的在学习过程中构建数学建模意识。只有这样才能使学生分析问题、解决问题的能力得到长足的进步，也只有这样才能真正提高学生的创新能力，使学生学到有用的数学，只有这样我们才能在世界的许多地方，许多领域欣赏到数学之花的无比美丽与灿烂。