高中数学知识点人教版总结(专题汇总)

专题一函数

【知识概要】

一、映射

●映射：映射是两个集合A、B间一种特殊的对应，:f A B

→表示对集合A中的任何一个元素，在集合B中有唯一确定的元素与之对应。如果a A

∈，且

∈，b B

元素a和元素b对应，那么，元素a叫做元素b的原像，元素b叫做元素a的像，记为()

=。

b f a

【特别提醒】：

（1）映射由三要素组成，集合A、B以及A到B的对应法则f，集合A、B 可以是数集，也可以是点集或其他集合。对于A中每一个元素，在B中有且只有一个元素和它对应。

（2）A中的不同元素允许对应B中的相同元素，即映射允许“多对一”、“一对一”，但不允许“一对多”。B中的元素可以在A中没有元素和它对应。

二、函数的概念

●1. 函数的定义：

如果A、B都是非空的数集，映射:f A B

→就叫做A到B的函数，记作：()

=，

y f x ∈，其中x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域，与x的值相对应x A

的y值叫做函数值，函数值的集合{}

f A表

|()

=∈叫做函数的值域．如果用()

y y f x x A

示值域，则有()

?。

f A B

通常()

=表示“y是x的函数”，简记作函数()

y f x

f x。

●2. 函数的三要素：定义域A，对应法则f，值域()

f A。

●3. 函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法．函数解析式的求法：

（1）待定系数法. 若已知函数的类型，可用待定系数法；

（2）换元法. 已知复合函数(())

f g x的解析式，可用换元法，要注意变量的取值范围；

（3）消参法. 若已知抽象函数的表达式，则常用解方程组消参的方法求出()

f x。

（4）直接法.变形后直接代换

【特别提醒】函数解析式是函数表示法的一种.求函数的解析式一定要注明定义域，特别是利用换元法求解析式时，不注明定义域往往导致错解。

分段函数：在定义域内不同部分上有不同的解析式，这样的函数通常叫分段函数，分段函数虽由几个部分构成，但它表示的是一个函数。

壹

贰

复合函数：如果(),()y f u u g x ==，则称函数(())y f g x =为f 和g 构成的复合函数，其中(),y f u =()u g x =分别叫做外层函数和内层函数，内层函数的值域是外层函数的定义域。

●4. 函数的基本性质：

（1）单调性：设函数的定义域为A ，区间I A ?。

如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有()()12f x f x >，那么就说()f x 在区间I 上是单调减函数．区间I 叫做()f x 的单调减区间；

如果对于任意1x ，2x ∈I ，当12x x <时，都有12()()f x f x <，那么就说()f x 在区间I 上是单调增函数．区间I 叫做()f x 的单调增区间；

单调增区间或单调减区间统称为单调区间。 单调性的求解方法：

①定义法:取值——作差——变形——定号——判断 ②复合函数：“同增异减”

（2）最大（小）值：设函数()f x 的定义域为I ，如果存在实数M 满足： ①对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤（或()f x M ≥）；

②存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么我们称M 是函数()y f x =的最大（或小）值。

求函数最大（小）值的常用方法：分析观察法、反函数法、分离常数法、配方法、不等式法、判别式法、利用函数的单调性法、换元法、数形结合法、导数法。

函数的单调性与最值在高考中常以选择填空题形式出现，但近几年高考常以导数为工具，研究函数的单调性问题在大题中是必考内容。

（3）奇偶性： 如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=-，那么函数()f x 就叫做奇函数。奇函数的图象关于原点对称。

如果对于函数()f x 的定义域内任意一个x ，都有()()f x f x -=，那么函数()f x 就叫做偶函数。偶函数的图象关于y 轴对称。

奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式：

()()f x f x -=±()()0f x f x ?-±=，也可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶

叁

性。

【特别提醒】（1）若()0f x =，则()f x 既是奇函数又是偶函数，()(0)f x a a =≠，则()f x 是偶函数；若()f x 是奇函数且在0x =处有定义，则(0)0f =.（3）函数的奇偶性常与函数的单调性、最值或周期结合考查，以选择填空题居多，且是高考考查的热点。

（4）周期性： 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数。非零常数T 叫做这个函数的周期。对于常数T ，如果存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做函数()f x 的最小正周期。

【特别提醒】：函数的图象是“形”与“数”的有机组合，由性质看图象，由图象研究性质是函数的永恒的主题，以图象考查函数性质是高考的常考点。

●5. 一些有用的结论：

①奇函数在对称区间上的单调性相同，偶函数在对称区间上的单调性相反。

②在公共定义域内：增函数()f x +增函数()g x 是增函数；减函数()f x +减函数

()g x 是减函数；

③函数(0,0)b y ax a b x

=+>>的单调性：

单调增区间是：(,]b a

-∞-和[,)b a

+∞；单调减区间是：[,0)b a

-和(0,]b a

。

④如果函数()y f x =对于一切x R ∈，都有()()f a x f a x +=-，那么函数()y f x =的图象关于直线x a =对称。

⑤函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =对称； 函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0y =对称； 函数()y f x =与函数()y f x =--的图象关于坐标原点对称。 三、初等函数 ●1. 二次函数

（1）二次函数的三种表示形式： ①标准式：()20y ax bx c a =++≠；

肆

②顶点式：()2y a x m n =-+，顶点(),m n ()0a ≠； ③零点式：()()12y a x x x x =-- ()0a ≠。 （2）二次函数的图象：

图象是抛物线，其对称轴方程为2b x a

=-．当0a >时，开口向上；当0a <时，

开口向下。

（3）二次函数的性质

①0a >时，单调递减区间(,]2b a -∞-；单调递增区间[,)2b a -+∞，2

min 44ac b

y a

-=。

②0a <时，单调递增区间(,]2b a -∞-；单调递减区间x 1x 2x 3x 4，2

max 44ac b y a

-=。 （4）求解二次函数在限定区间上的最大（小）值要抓住四点：

①图象的开口方向；②顶点；③区间与对称轴的位置关系；④区间端点函数值。

●2. 指数函数和对数函数 （1）指数和对数

指 数

对 数

定 义 n

x a =（a 叫做x 的n 次幂）

▲

y

x

a

b

y=f (x )（b 叫做以a 为底N 的对数） 关系

式

log b a a N N b =?= ()0, 1 , 0a a N >≠>

运算 性质

r s r s a a a +?=

()s

r rs a a =

()r r r ab a b =()0 , 0 , , a b r s Q >>∈

()log log log a a a MN M N =+

log log log a a a M M N N =-

log log n a a M n M =()0 , 0 , 0 , 1M N a a >>>≠ ①根式：如果n x a =（1n >，且*n N ∈），那么x 叫做a 的n 次方根，记作n a 。式子n a 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数．根式的性质有：

（i ）()n n a a =（1n >，且*n N ∈）；

（ii ）当n 为奇数时，n n a a =；当n 为偶数时，()

()

{

00n n a a a a a ≥=-<。

②分数指数幂

伍

1

1

（i ）m

n m n a a = （ii ）1m n

m n

a

a -=（*

0 , , a m n N >∈，且1n >）； （iii ）0的正分数指数幂等于0，0的负数指数幂、零指数幂没有意义。

③lg N 叫做常用对数，ln N 叫做自然对数，其底数分别为10和 2.71828e =L ④

对数的换底公式及它的变形：

log log ,log log (0,1,0,1,0)log n n c a a a c b

b b b a a

c c b a

=

=>≠>≠>。 ⑤对数恒等式：log (0,1,0)a

b a b a a b =>≠>。 （2）指数函数和对数函数 指数函数 对数函数

▲

x

y

a

标准正态分布曲线

S 阴=0.5S a =0.5+S

S

log (0 , 1)a y x a a =>≠

图 像

性

质

①定义域：R ②值域：(0,)+∞ ③过(0, 1)点，即0x =时，1y = ④当1a >时，在R 上是增函数； 当01a <<时，在R 是减函数．

①定义域：(0,)+∞ ②值域：R

③过(0, 1)点，即1x =时，0y = ④当1a >时，在(0,)+∞上是增函数； 当01a <<时，在(0,)+∞是减函数．

关

系

x y a =与log a y x =（0,1a a >≠）互为反函数，其图象关于y x =对称 ●3. 幂函数y x α=（x 是自变量，α是常数）

o

x

y

()

1x y a a =>()

01x y a a =<

y

o

()

log 1a y x a =>()

log 01a y x a =<<

陆

四、函数与方程

●1. 函数的零点：()y f x =有零点?()y f x =的图象与x 轴有交点?方程

()0f x =有实根。

●2. 函数零点的存在性：如果函数()y f x =在区间[,]a b 上的图象是连续不断的一条曲线，并且有()()0f a f b ?<，那么函数()y f x =在区间(,)a b 内有零点，即存在(,)c a b ∈，

使得()0f c =，这个c 就是方程的根． 注意：①上述判定方法中在(,)a b 内的零点不一定唯一；②逆命题不成立。

●3. 二分法求方程近似解

（1）确定区间[,]a b ，验证()()0f a f b ?<，给定精确度ε； （2）求区间(,)a b 的中点1x ；

（3）计算1()f x ：①若1()0f x =，则1x 就是函数的零点；

②若1()()0f a f x ?<，则令1b x =，此时零点01(,)x a x ∈； ③若1()()0f x f b ?<，则令1a x =，此时零点01(,)x x b ∈。

（4）判断是否达到精确度ε：

即若a b ε-<，则得到零点近似值a (或b )；否则重复(2)－(4)步。

●4. 二次方程根的分布

利用二次函数的图象讨论二次方程根的分布的关键：①开口方向；②区间的端点值；③对称轴；④判别式。 五、函数模型及其应用

求解函数应用问题（如增长率、利润、产量、银行存款、节水等）要注意解题的步骤。

（1）步骤：①设出未知数；②构建函数模型；③求解；④作答。 （2）常见函数模型：

①一次函数、正比例函数模型； ②二次函数模型；

③近似于指数函数模型；

④(0)p y x p x

=+>模型；

⑤分段函数模型； ⑥其它函数模型。

专题二 三角

柒

【知识概要】

一、角的概念的推广、弧度制 ●1．任意角：角是由射线绕端点旋转而成的，它有正角、负角与特殊的零角。 ●2．终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，称为终边相同的角，记为{360,}S k k Z ββα==+?∈o

●3．象限角：把角置于直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的正半轴重合，那么角的终边落在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。例如：第二象限角的集合：{36090360180,}S k k k Z αα=??+?<

终边在x 轴上的角的集合：{180,}S k k Z αα==??∈ 终边在y 轴上的角的集合：{18090,}S k k Z αα==??+?∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{90,}S k k Z αα==??∈

●5．角的度量：弧度制，角度制。

1rad 角：弧长与圆半径长相等的弧所对的圆心角的大小称为1rad 角。 弧度和角度的换算：180()rad π?=

10.01745180

rad rad π?=≈

1801()()57.305718rad π

'=?≈?=?

●6．弧长和扇形面积公式

l R α=? 2112

2

S l R R α=?=?

二、任意角的三角函数

●1．任意角的三角函数的定义：设点(,)P x y 是角α终边上一点，点O 是坐标原点，22||r OP x y ==+，那么角α的正弦、余弦、正切分别是

sin ,cos ,tan (0)y y

x x r r x

ααα===≠。

●2．三角函数值的符号：正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号是：

●3．三角函数线：正弦线sin MP α=，余弦线cos OM α=，正切线tan AT α=。

＋ ＋ － － x y ＋ － － ＋ x y ＋ － ＋ － x y sin α cos α tan α O

O O T

P

y

P

y α T

y y

捌

三、同角三角函数的基本关系式与诱导公式

●1．同角三角函数的基本关系式，注意公式的变形使用。 （1）22sin cos 1αα+= （2）sin tan cos ααα

=

●2．诱导公式：与角“32,,,,2

2

k πππααπααα+-±±±”有关的诱导公式的记

忆口诀是“奇变偶不变, 符号看象限”。应用诱导公式，重点是“函数名称”与“正负号”的判断。求任意角的三角函数值的问题，都可以通过诱导公式化归为锐角三角函数的求值问题，具体步骤为“负角化正角”→“正角化锐角”→求值。

四、正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质（以下k Z ∈） 函数名

sin y x = cos y x = tan y x = 图象

定义

域

R R {|}2x x k ππ≠+ 值域 [1,1]- [1,1]- R 奇偶

性 奇函数

偶函数

奇函数 单调

性 增 [2,2]22k k ππππ-+

[2,2]k k πππ- 增区间：

(,)22

k k ππππ-+

减 3[2,2]2

2

k k ππππ++

[2,2]k k πππ+

周期性 2T π=

2T π=

T π=

对称点 (,0)k π (,0)2

k ππ+

(,0)2

k π 对称轴 2

x k ππ=+

x k π= 不存在 最大值 22x k ππ=+

max 1y = 2x k π= max 1y = 不存在 最小值 22

x k ππ=-

min 1y =-

2x k ππ=+

min 1y =-

不存在

π- O π x y 2

π- O 2π x y

π O x y π-

玖

五、函数sin()y A x ω?=+的图象与性质

●1．图象的作法：

方法一：“五点法”。先找出确定图象形状起关键作用的五个点（强调：这五个点应该是使函数取得极大值、极小值和曲线与x 轴相交的点），找出它们的方法是作变量代换：设X x ω?=+，由X 取30,,,,22

2

ππππ来求出对应的x 的值，再

用光滑曲线将它们连接起来。 方法二：图象的初等变换

振幅变换：函数sin y x = 函数sin y A x =

周期变换：函数sin y x = 函数sin y x ω=

平移变换：函数sin y x = 函数sin()y x ?=+

一般地，由sin y x =的图象通过变换得到函数sin()y A x ω?=+图象的两种常见方法, 其步骤如下：（0,0)A ω>>

① sin y x = sin y x ω= sin()y x ω?=+

sin()y A x ω?=+

② sin y x =

sin()y x ?=+

sin()y x ω?=+

纵坐标伸长(0)A >

或缩短(01)A <<到原来的A 倍

横坐标伸长(01)ω<< 或缩短(1)ω>到原来的

1ω

倍

向右(0)?<或向左(0)?>

平移||?个单位 横坐标伸长(01)ω<<或

缩短()1>ω到原来的1

ω

倍

向左(0)?ω>或向右(0)?

ω< 平移?

ω个单位

纵坐标伸长(1A >) 或缩短(01A <<)到原来的A 倍 向左(0)?>或向右(0)?<

平移||?个单位 横坐标伸长x 1

x

2

x 3

x 4

或

缩短()1>ω到原来的1

ω

倍 纵坐标伸长(1A >)

或缩短(01A <<)到原来的A 倍

▲

y

x

a

b

y=f (x )

●2．性质：周期为2||

T πω=

六、和、差、倍、半公式

●1．两角和与差的三角函数公式：

:cos()cos cos sin sin C αβαβαβαβ±±=m :sin()sin cos cos sin S αβαβαβαβ±±=±

tan tan :tan()1tan tan T αβαβαβαβ

±±±=m

●2．二倍角公式： 2:sin 22sin cos S αααα=

22222:cos2cos sin 2cos 112sin C αααααα=-=-=- 22

2tan :tan 21tan T a

ααα=- ●3．降幂公式：

221cos 21cos 2sin ,cos 2

2

αααα-+==

七、正弦定理、余弦定理 ●1．正弦定理：

2sin sin sin a b c R

A B C

===（R 是三角形外接圆的半径）

●2．余弦定理：

2222cos a b c bc A =+-；2222cos b c a ca B =+-；2222cos c a b ab C =+-。 ●3．三角形面积公式：

111sin sin sin 2

2

2

S ab C bc A ca B ?===

正三角形的面积公式：234

S a 正△＝

●4．三角形中的边与角的关系：

22290a b c A >+?>?

22290a b c A =+?=? 22290a b c A <+?

专题三平面向量

【知识概要】

一、向量的概念及其运算

●1．向量：既有大小又有方向的量叫做向量。常用一条有向线段

AB 表示

向量，

AB 的长度表示向量的大小，记为AB ，长度为零的向量，记为0。

●2．平行向量：方向相同或相反的向量。平行向量也叫共线向量，且规定0

与任一向量平行。

●3．向量加法的定义及向量加法的三角形法则。

已知向量

b a ,，在平面内任取一点

A ，作

b BC a AB ==,，则向量AC 叫做a 与b 的和，

记作

b a +，即AC BC AB b a =+=+。

规定：

00+=+a a （a 为任意向量）

●4．向量加法的性质 （1）交换律：a b b a +=+

（2）结合律：

)()(c b a c b a ++=++

●5．向量加法的平行四边形法则 已知向量

b a ,，在平面内任取一点A ，作b AD a AB ==,，则以

AD AB ,为邻边的平行四边形ABCD 的对角线向量AC 就是b a +。

●6．向量减法的定义 （1）与向量a 长度相等，方向相反的向量叫做a 的相反向量。

（2）向量

a 加上

b 的相反向量，叫做a 与b 的差，记做b a -，即

)(b a b a -+=-。

●7．向量的数乘 实数λ与向量

a 的积是一个向量，记作a λ，它的长度和方向规定如下：

（1）

a a λλ=；

A

B

C

a b

壹拾贰

（2）a λ的方向与a 相同(0)λ>或与a 相反(0)λ<；

（3）

00=a 。

性质：若,R λμ∈，则 （1）a a )()(λμμλ=；

（2）a a a μλμλ+=+)(；

（3）

b a b a λλλ+=+)(。

●8．共线判定定理：向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个

实数λ，使得

a b λ=。

二、向量的坐标表示

●1．平面向量基本定理：

如果

2

1

,e

e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量

a ，有且只有一对实数1

λ

，2λ，使

2

2

1

1

e

e a λλ+=；不共线向量

2

1

,e

e 叫

做平面内所有向量的一组基底。

●2．平面向量的坐标表示

如果j y i x a +=，其中j i ,分别为与x 轴，y 轴方向相同的单位向量，

则有

),(y x a =

●3．平面向量的坐标运算 （1）),(2

1

2

1

y y x x b a ++=+；

（2）),(2

1

2

1

y y x x b a --=-；

（ （3）),(2

1

x x a λλλ=；

（4）

),(A

B

A

B

y y x x AB --=。

●4．数量积的坐标表示：若

),(),,(2

2

1

1

y x b y x a ==，则有

2

1

2

1

y y x x b a +=?

壹拾叁

●5．向量平行的判定定理：设

),(),,(2

2

1

1

y x b y x a ==，则

1

2

2

1

//y x y x b a =?。

●6．向量垂直判定定理：设

),(),,(2

2

1

1

y x b y x a ==，则

02

1

2

1

=+?⊥y y x x b a 。

●7．向量长计算公式

（1）若),(y x a =，则2

2

y x a +=

；

（2）若点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则2

1

2

2

1

2

2

1

)

()(y y x x p p -+-=。

●8．三角形不等式 定理：设是任意两个向量b a ,，则有b a b a b a +≤±≤-。

三、向量的数量积

●1．数量积的定义：设向量a 与b 的夹角为θ，我们将数值θcos b a 称

为向量

a 与

b 的数量积．记为b a ?，并规定00=?a ，因此得定义式

θcos b a b a =?：。

●2．数量积的运算律 （1）交换律：

a b b a ?=?

（2）数乘结合律：)()()(b a b a b a λλλ?=?=?

（3）分配律：

c b c a c b a ?+?=?+)(

●3．数量积的基本性质 （1）垂直条件：

0=??⊥b a b a

壹拾肆

（2）同向反向性：

a 与

b 同向b

a b a =??，

a 与

b 反向

b a b a -=??

（3）数量积表示模：

2

a

a a =?；或者

a a a ?

（4）夹角公式：设>=

a b

a ?=θcos

（5）数量积不等式：

b a b a ≤?

四、向量的应用

●1．平面几何中的向量问题

向量的运算与几何图形的性质密切相关，向量的运算可以用图形简明地表示，而图形的性质又可以反映到向量的运算上来。 ●2．向量在物理中的应用

物理学中有很多矢量，因此其研究过程若引入向量的基本方法，可以收到较好的效果。

专题四数列

【知识概要】 一、数列的概念 ●1. 数列的有关概念：

（1）定义：按一定的次序排列的一列数；它是定义域为N +（或N +的有限子集）的函数()f n 所对应的一列函数值(1),(2),,(),f f f n L L ，数列是自变量离散变化的函数。

（2）通项公式：数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，如果能用一个公式表示，这个公式叫做数列的通项公式。 ●2. 数列的表示法：

壹拾伍

（1）列表法：用列表法给出函数关系，自变量省略，仅列出函数值；如：

2,4,8,16,--L

（2）图象法：以序号为横坐标，相应项n a 为纵坐标，描点画图得到函数图象，用一群孤立点),(n a n 表示。

（3）解析法：一般用通项公式)(n f a n =表示，或用递推关系式表示。 如)1,1211=-=-a a a n n

●3. 数列}{n a 的通项n a 与前n 项和n S 的关系：

{

11(1)

(2)n n n S n a S S n -==-≥，其中n n

i i n a a a a S +++==∑=Λ211

●4. 两个重要的变形：

（1）)()()(123121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ （2）)2(1

23

121≥????=-n a a a a a a a a n n n Λ

二、等差数列和等比数列

等差数列

等比数列 ●1. 定

义

如果d a a n n =--1（常数）(2)n ≥，

那么}{n a 就称为等差数列，d 为公差。

如果

1

n

n a q a -=（常数）(2)n ≥，那么{}n a 就称为等比数列，q 为公比。

●2. 通

项

公式

,)1(1d n a a n -+=d m n a a m n )(-+= ,11-?=n n q a a m n m n q a a -?=

等差数列等比数列

●3.中项

公式

,,

a A b成等差数列2A a b

?=+

11

11

2

2

n n

n n n n

a a

a a a a

-+

-+

+

=?=+

(2)

n≥

,,

a G b成等比数列

2

G ab

?=(0)

ab≠

2

11

(2)

n n n

a a a n

-+

=?≥

前n

●4.项和

公式

2

)

(

1n

n

a

a

n

S

+

=

或

2

)1

(

1

d

n

n

na

S

n

-

+

=

?

?

?

?

?

≠

-

-

=

-

-

=

=

)1

(

1

1

)

1(

)1

(

1

1

1

q

q

q

a

a

q

q

a

q

na

S

n

n

n

●5.重要

性质1）若正自然数m、n、p、q满足

m n p q

+=+，则m n p q

a a a a

+=+。

2）若{}

n

a为等差数列，则

232

,,,

n n n n n

S S S S S

--L为等差数列。

3）若{}

n

a为等差数列，则

{}

n

pa q

+也是等差数列，公差为

pd。

1）若正自然数m、n、p、q满足

m n p q

+=+，则m n p q

a a a a

?=?。

2）若{}

n

a为等比数列，且

232

,,,

n n n n n

S S S S S

--L均不为零，

则

232

,,,

n n n n n

S S S S S

--L为等比数

列。

3）若{}

n

a为等比数列，则

{}2n a，{}1n a，{}n a，{}n aλ也是

等比数列，公比分别为

21

,,,

q q q

q

λ。

●6.充要

条件{}

n

a为等差数列2

n

S an bn

?=+

11

2(2)

n n n

a a a n

-+

?=+≥。

2

1111

(,,0)

n n n n n n

a a a a a a

-+-+

=?≠

{}

n

a

?为等比数列。

●7.相互

关系1）设0

a>且1

a≠，则,,,

x y z

a a a L成等比数列,,,

x y z

?L成等差数列。

2）{}

n

a是正项等比数列{log}

c n

a

?是等差数列。

三、数列通项公式的求法

壹拾陆

●1. 根据n S ，利用公式{11

(1)

(2)

n n

n S n a S S

n -==-≥求通项n a 。

●2. 根据数列的递推关系，叠加法、累乘法求通项n a ，其要点是： （1）121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++-L ；（2）32112

1

(2)n n n a a a a a n a a a -=????≥L

●3. 构造新的等差、等比数列，转化法求通项n a 。 四、特殊数列求和

●1. 利用等差、等比数列的公式求和。 ●2. 倒序相加法求和。

●3. 乘公比错位相减法求和. 适用于由一个等差数列和一个等比数列对应项乘积组成的数列。

●4. 裂项法求和. 它的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项（裂项），并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后相消.常见裂项公式： （1）

1111()()n n k k n n k =-++ （2）11()n k n k

n k n =+-++

●5. 分组求和. 通过拆和组的手段把问题化归为可求或易求的数列的问题。 五、数列应用题

在应用问题中，根据问题构造等差、等比数列的模型，然后再用数列的通项公式或求和公式等知识求解。

专题五不等式

【知识概要】

一、不等式的性质

●1. 两个实数大小的比较

（1）设a b R ∈、，则0a b a b >?->，0a b a b 则有1a a b b

>?>；1a a b b

●2. 不等式的性质 不等式的基本性质：

性质1：a b b a >?< 性质2：a b >，b c a c >?>

性质3：a b >，?a c b c +>+ 性质4：a b >，0c ac bc >?>; a b >，

0c ac bc

不等式的运算性质：

性质5：a b >，c d a c b d >?+>+ 性质6：0a b >>，0c d ac bd >>?> 性质7：0a b >>，*n n n N a b ∈?> 性质8：0a b >>，*n n n N a b ∈?> 对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一条性质的条件和结论，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面。单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的理论基础。 二、不等式的解法

解不等式的基本思路是等价转化. 分式不等式整式化，高次不等式低次化，使要求解的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式，进而获得解决。在转化的过程中一定要注意变换的等价性，因为不等式的解集多为无限集，不等价变换所产生的未知数取值范围扩大或缩小难以发现和控制，所以等价变换才能保证解题的正确性。

●1. 一元一次不等式解法的基本步骤： （1）化成ax b >的形式；

（2）求解集。(含字母系数要注意讨论) ●2. 一元二次不等式解法的基本步骤： （1）化成20ax bx c ++<或20ax bx c ++>的形式； （2）判断?，进一步求方程的根； （3）根据?及a 的正负，写解集。 ●3. 分式不等式解法的基本步骤： （1）化成

()0()f x g x >或()

0()

f x

g x <的形式； （2）同解变形为()()0f x g x ?>或()()0f x g x ?<； ●4. 含字母不等式解法要注意的问题

字母的不同取值范围，不等式的转化结果也会不同，因而必须对字母分类讨论。对字母分类讨论时，一要考虑字母总的取值范围，二要用同一标准对字母进

壹拾玖

行划分，三要使得划分后不等式的解集表达式是确定的。 三、简单线性规划与应用

●1. 二元一次不等式所表示的平面区域判定方法。

（1）特殊点代入检验法. 特殊点主要用原点、坐标轴上的点。

（2）系数判定法：0Ax By C ++> (0B >) 不等式表示直线上半部分平面区域。 0Ax By C ++< (0B >) 不等式表示直线下半部分平面区域。（当0B >时，简记为“大于号取上边，小于取下边”） ●2. 求解线性规划应用问题的基本步骤：

（1）分析题意，设出决策变量，找出所有线性约束条件和目标函数。 （2）做出可行域(注意边界及边界上的特殊点)。

（3）利用可行域和线性目标函数寻找最优解。(注意利用目标函数几何意义) （4）根据题设的实际需要调整最优解(如整数解)。 四、基本不等式及不等式应用 ●1. 基本不等式：(,0)2

a b

ab a b +≤

≥ ●2. 运用基本不等式解决最值问题，要注意“一正、二定、三相等”的条件. （1）当,a b R *∈，a b ?为定值且a b =时，a b +有最小值2ab ；

（2）当,a b R *∈，a b +为定值且a b =时, a b ?有最大值

()2

4

a b +；

（3）若等号取不到时，应改用函数的单调性解决最值问题。

专题六立体几何

【知识概要】 一、多面体

●1. 多面体——由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体。多面体有几个面就称为几面体。

棱柱

棱锥

棱台

定

义

由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间几何体。 当棱柱的一个底面收缩为一点时，得到的几何体。 棱锥被一个平行于底面的平面所截后，截面和底面之间的部分。

性 质 (1) 两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形； (2) 侧面都是平行四边形， 侧棱都相等；

(3) 过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形。 (1) 底面是多边形；

(2) 平行于底面的截面与底面相似；

(3) 侧面是有一个公共顶点的三角形。

(1) 两个底面是相似多边形；

(2) 两个底面以及平行于底面的截面是对应边互相平行的相似多边形；

(3) 侧面都是梯形。

●2.

二、中心投影和平行投影

●1. 投影——是光线（投射线）通过物体，向选定的面（投影面）投射，并在该面上得到图形的方法。投射线交于一点的投影称为中心投影。投射线相互平行的投影称为平行投影。 平行投影按投射方向是否正对着投影面，可分为斜投影和正投影。

●2. 视图——物体按正投影向投影面投射所得的图形。光线从物体的前面向后投射所得的投影称为主视图或正视图，自上向下的称为俯视图，自左向右的称为左视图。正视图、俯视图、左视图称为三视图；作图关键：按“长对正、高平齐、宽相等”。

●3. 空间几何体画在纸上，要体现立体感，底面常用斜二侧画法，画出它的直观图。三角形ABC 的面积为S ，用斜二测画法画得它的直观图三角形A B C '''的面积为S '，则24

S S '=。作图关键：倾斜45?，横“等”纵“半”。

三、平面基本性质：（三公理三推论） 名 称 内 容

公理1

如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内。

公理2

如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，这些公共点的

集合是一条直线。 公理3 经过不在一条直线上的三点，有且仅有一个平面。 推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且仅有一个平面。 推论2 经过两条相交直线，有且仅有一个平面。 推论3 经过两条平行线，有且仅有一个平面。

底面是平 行四边形 侧棱与 底面垂直

底面 是矩形

棱长 相等

四棱柱 平行六面体

直平行六面体

长方体

正方体