韩信点兵与中国剩余定理

趣题――找次品： 1）有5个外形相同的乒乓球，其中只有1个重量不标准的次品乒乓球。现再给你一个标准球；请用一架不带砝码的天平，最多两次使用该天平，找出上述次品乒乓球。第四节韩信点兵与中国剩余定理一、“韩信点兵”的故事和《孙子算经》中的题目 1.“韩信点兵”的故事韩信阅兵时，让一队士兵5人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（1人）；再让这队士兵6人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（5人）；再让这队士兵7人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（4人），再让这队士兵11人一行排队从他面前走过，他记下最后一行士兵的人数（10人）。然后韩信就凭这些数，可以求得这队士兵的总人数。这里面有什么秘密呢？韩信好像非常重视作除法时的余数 2.《孙子算经》中的题目我国古代数学名著《孙子算经》中有“物不知数”的题目：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？这里面又有什么秘密呢？题目给出的条件，也仅仅是作除法时的余数《孙子算经》二．问题的解答 1．从另一个问题入手问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？ 1）筛法

1，3，5，7，9，11，13，15，17，19， 21，23，25，…（用2除余1） 5， 11， 17， 23，…（用3除余2） 11， 23，…（用4除余3）再从中挑“用5除余4”的数，…一直筛选下去，

style='color:black;background-color:#A0FFFF'>舍得下功夫，就一定可得结果。并且看起来，解，还不是唯一的；可能有无穷多个解。化繁为简的思想当问题中有很多类似的条件时，我们先只看其中两三个条件，这就是化繁为简。一个复杂的问题，如果在简化时仍然保留了原来问题的特点和本质，那么简化就“不失一般性”。学会“简化问题”与学会“推广问题”一样，是一种重要的数学能力。寻找规律的思想把我们的解题方法总结为筛法，是重要的进步，是质的飞跃：――找到规律了。筛法是一般性方法，还可以用来解决其他类似的问题。所谓“带余除法”，是指整数的如下“除法”：被除数，除数 , 必唯一存在商和余，使当余时，则，称为“整除”，或“整除”，这是通常除法“”的另一种表达形式。所以，带余除法是通常除法的推广。回到求“用2除余1的数”的问题。设这样的数为，则。这里是被除数，2是除数，是商，1是余，且。

这就是“带余除法”的式子。当取时，用上式求得的正好组成上述数列 1，3，5，7，9，11，13，15， 17，19，21，23，25，…接着从中筛选出“用3除余2”的数，就是挑出符合下面“带余除法”表达式的数，这里可取0，1，2，3，4，…再继续做下去。。。。。。如果我们不分上面两步，而是一上来就综合考虑两者，则就是要解联立方程组于是把上边每个方程两边都加上1，成为这说明，既是2的倍数，又是3的倍数，因此，它是2与3的公倍数。由此想到对整个问题寻找规律问题：今有物不知其数，二二数之剩1，三三数之剩2，四四数之剩3，五五数之剩4，六六数之剩5，七七数之剩6，八八数之剩7，九九数之剩8，问物几何？②寻找规律设问题中，需要求的数是，则被2，3，4，5，6，7，8，9去除，所得的余数都是比除数少1，于是我们把被除数再加1，则就可被2，3，4，5，6，7，8，9均整除。也就是说，是2,3,4,5,6,7,8,9的公倍数，从而是其最小公倍数[2,3,4,5,6,7,8,9]的倍数。即这就是原问题的全部解，有无穷多个解，其中第一个解是2519；我们只取正数解，因为“物体的个数”总是正整数。[思]：①求“用2除余1，3除余2，…用m除余 m－1”的数。②求“用a除余a －1，用b除余b－1，用c除余c－1”的数。（a,b,c是任意大于1的自然数）③

求“用2，3，4，5，6，7，8，9除都余1”的数。④求“用5，7，9，11 除都余2”的数。 2．《孙子算经》中“有物不知其数”问题的解答问题：今有物不知其数，三三数之剩2，五五数之剩3，七七数之剩2，问物几何？ 1）筛法. 2，5，8，11，14，17，20，23，26，29，…（用3除余2）8，23，…（用5除余3）23，…（用7除余2）由此得到，23是最小的一个解。至于下一个解是什么，要把“…”写出来才知道；实践以后发现，是要费一点儿功夫的。 2）公倍数法现在仿照上边用过的“公倍数法”，设要求的数为，则依题意，得联立方程组一种试算的方法

从第三个等式入手，两边加5（或减2）则得则右边是7的倍数了，但两边加5（或减2）并不能使前两式的右边分别是3的倍数和5的倍数，所以两边加5（或减2）并不能使右边成为3，5，7的公倍数。再继续从第三个等式入手，为使第三个等式右边仍然保持是7的倍数，可再加（或再减），则（或）将代入试算、分析，最后发现，为达到目的（三个等式的右边分别是3，5，7的倍数），最小的加数是82（时）（或最小

的减数是23，即时）。用等式两边加82来求解，有用等式两边减23来求解，有多了一个“”，因这时也是正数，合要求。这两组解是一样的，都是“23，23+105，23+2×105，……”。原因是82+23=105，故令第一组解就成为便转化成第二组解。但是，这82和23来之不易；并且如果题目中的余数变了，就得重新试算，所以这方法缺少一般性，为使它具有一般性，要做根本的修改。 3）单因子构件凑成法我们先对前几页（*）式作两个方面的简化：一方面是每次只考虑“一个除式”有余数的情况（即另两个除式都是整除的情况）；另一方面是把余数都简化为最简单的1。这样得到三组方程。（1）式意味着，在5和7的公倍数中（35，70，105，…）寻找被3除余1的数；（2）式意味着，在3和7的公倍数中（21，42，63，…）寻找被5除余1的数；（3）式意味着，在3和5的公倍数中（15，30，45，…）寻找被7除余1的数。对（1）式而言，这个数可以取70，对（2）式而言，这个数可以取21，对（3）式而言，这个数可以取15。于是（1）式两边同减70变为这样：第二式右边仍是5的倍数，第三式右边仍是7的倍数，而第一式右边因为减的70是“用3除余1”的数，正好原来也多一个1，减没了。第一式右边也成为了倍数，是3的倍数。（2）式两边同减21变为（3）式两边同减15变为于是得

到现在重复一下：所得的x是被3除余1，

被5和7除余0的数；y是被5除余1，被3和7除余0的数；z是

被7除余1，被3和5除余0的数。那么，凑

出， s 不就是我

们需要求的数吗？因为，用3去除s时，

除y及除z均余0 除

3y及除2z均余0，又除x余1 除2x余2，∴用3

除s时余2。用5去除s时，除x及除z均余0 除2x及除2z均余0，又除y余1 除3y余3，∴

用5除s时余3。用7去除s时，除x及除y均余0 除2x及除3y均余0，又除z余1 除2z余2，∴用

7除s时余2。于是我们要求的数是这就是《孙

子算经》中“物不知其数”一题的解，有无穷多解，最小的正整数

解是 23（时）。这里，（1），（2），（3）三式分

别叫三个“单子因构件”，分别解得

中国剩余定理(孙子定理)

中国剩余定理（孙子定理）问题：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？简单点说就是，存在一个数x，除以3余2，除以5余三，除以7余二，然后求这个数。上面给出了解法。再明白这个解法的原理之前，需要先知道一下两个定理。定理1：几个数相加，如果存在一个加数，不能被整数a整除，那么它们的和，就不能被整数a整除。定理2：两数不能整除，若除数扩大（或缩小）了几倍，而被除数不变，则其商和余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。以上两个定理随便个例子即可证明！现给出求解该问题的具体步骤： 1、求出最小公倍数 lcm=3*5*7=105 2、求各个数所对应的基础数（1）105÷3=35 35÷3=11......2 //基础数35 （2）105÷5=21 21÷5=4 (1) 定理2把1扩大3倍得到3，那么被除数也扩大3倍，得到21*3=63//基础数63 3、105÷7=15 15÷7=2 (1) 定理2把1扩大2倍得到2，那么被除数也扩大2倍，得到15*2=30//基础数30 把得到的基础数加和（注意：基础数不一定就是正数） 35+63+30=128 4、减去最小公倍数lcm（在比最小公倍数大的情况下） x=128-105=23 那么满足题意得最小的数就是23了。一共有四个步骤。下面详细解释每一步的原因。（1）最小公倍数就不解释了，跳过（记住，这里讨论的都是两两互质的情况）（2）观察求每个数对应的基础数时候的步骤，比如第一个。105÷3=35。显然这个35是除了当前这个数不能整除以外都能够被其他数整除，就是其他数的最小公倍数。相当于找到了最小的起始值，用它去除以3发现正好余2。那么这个基础数就是35。记住35的特征，可以整除其他数但是不能被3整除，并且余数是2。体现的还不够明显，再看下5对应的基础数。21是其他数的最小公倍数，但是不能被5整除，用21除以5得到的余数是1，而要求的数除以5应该是余1的。所以余数被扩大，就得到了相应的基础数63。记住这个数的特征，可以被其他数整除但是被5除应该余三。同理，我们得到了第三个基础数23，那么他的特征就是：可以被其他数整除，但是不能被7整除，并且余数为2。（3）第三步基础数加和，为什么要这样做呢？利用就是上面提到的定理1。 35+63+30=128。对于3来说，可以把63+30的和看作一个整体，应该他们都可以被3整除。看着上面写出的三个数的特征，运用定理1来说，就是在35的基础上加上一个可以被3整除的倍数，那么得到的结果依然还是满足原先的性质的，就是128除以同样还是余2的。同理，对于5还说，这个数被除之后会剩余3；对于7来说，被除之后剩余2。所以说，我们当前得到的这个数是满足题目要求的一个数。但是这个数是不是最小的，那就不一定了。（4）应该不能确定是不是最小的数，这个时候就要用到他们的最小公倍数了。最小公倍数顾名思义，一定是一个同时被几个数整除的最小的一个数，所以减去它剩余下来的余数还是符合题

韩信点兵下一句

韩信点兵下一句韩信点兵下一句参考资料一：韩信点兵-多多益善;越多越好参考资料二：韩信点兵歇后语下一句：多多益善qq个网名故事：汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！”刘邦心中又添了三分不高兴，勉强说：“将军如此大才，我很佩服。此刻，我有一个小小的问题向将军请教，凭将军的大才，答起来必须不费吹灰之力的。”韩信满不在乎地说：“能够能够。”刘邦狡黠地一笑，传令叫来一小队士兵隔墙站队，刘邦发令：“每三人站成一排。”队站好后，小队长进来报告：“最后一排只有二人。”“刘邦又传令：“每五人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有三人。”刘邦再传令：“每七人站成一排。”小队长报告：“最后一排只有二人。”刘邦转脸问韩信：“敢问将军，这队士兵有多少人？”韩信脱口而出：“二十三人。”刘邦大惊，心中的不快已增至十分，心想：1 ————来源网络整理，仅供供参考

“此人本事太大，我得想法找个岔子把他杀掉，免生后患。”一面则佯装笑脸夸了几句，并问：“你是怎样算的？”韩信说：“臣幼得黄石公传授《孙子算经》，这孙子乃鬼谷子的弟子，算经中载有此题之算法。传说：韩信点兵的成语来源学习呀网淮安民间传说：刘邦以前问他：“你觉得我能够带兵多少？”韩信：“最多十万。”刘邦不解的问：“那你呢？”韩信自豪地说：“越多越好，多多益善嘛！”刘邦半开玩笑半认真的说：“那我不是打但是你？”韩信说：“不，主公是驾驭将军的人才，不是驾驭士兵的，而将士们是专门训练士兵的。” 参考资料三：韩信点兵的下一句:多多益善歌颂老师完整语句: 韩信点兵，多多益善出自: 汉高祖刘邦曾问大将韩信：“你看我能带多少兵？”韩信斜了刘邦一眼说：“你顶多能带十万兵吧！”汉高祖心中有三分不悦，心想：你竟敢小看我！“那你呢？”韩信傲气十足地说：“我呀，当然是多多益善啰！” ————来源网络整理，仅供供参考 2

什么是中国剩余定理

什么是中国剩余定理？

剩余定理详细解法中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？意思是说：现在有一堆东西，不知道它的数量，如果三个三个的数最后剩二个，如果五个五个的数最后剩三个，如果七个七个的数最后剩二个，问这堆东西有多少个？你知道这个数目吗？《孙子算经》这道著名的数学题是我国古代数学思想“大衍求一术”的具体体现，针对这道题给出的解法是：N=70×2＋21×3＋15×2-2×105＝23 如此巧妙的解法的关键是数字70、21和15的选择： 70是可以被5、7整除且被3除余1的最小正整数，当70×2时被3除余2 21是可以被3、7整除且被5除余1的最小正整数，当21×3时被5除余3 15是可以被3、5整除且被7除余1的最小正整数，当15×2时被7除余2 通过这种构造方法得到的N就可以满足题目的要求而减去2×105 后得到的是满足这一条件的最小正整数。韩信点兵又称为中国剩余定理，相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。我们先考虑下列的问题：假设兵不满一万，每5人一列、9人一列、13人一列、17人一列都剩3人，则兵有多少？首先我们先求5、9、13、17之最小公倍数9945（注：因为5、9、13、17为两两互质的整数，故其最小公倍数为这些数的积），然后再加3，得9948（人）。中国有一本数学古书「孙子算经」也有类似的问题：「今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？」答曰：「二十三」术曰：「三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数之剩一，则置二十一，七七数之剩一，则置十五，即得。」孙子算经的作者及确实着作年代均不可考，不过根据考证，着作年代不会在晋朝之后，以这个考证来说上面这种问题的解法，中国人发现得比西方早，所以这个问题的推广及其解法，被称为中国剩余定理。中国剩余定理（Chinese Remainder Theorem）在近代抽象代数学中占有一席非常重要的地位。

韩信点兵歇后语下一句

[标签:标题] 篇一：俗语谚语歇后语第三讲常用俗语、谚语、歇后语积累一、【常见俗语】比上不足，比下有余不是冤家不聚头兵来将挡，水来土掩不听老人言，吃亏在眼前冰冻三尺，非一日之寒拆东墙，补西墙哑巴吃黄连，有苦说不出常在河边走，哪有不湿鞋不当家不知柴米贵车到山前必有路不到黄河心不死撑死胆大的，饿死胆小的不费吹灰之力成事不足，败事有余不分青红皂白不管三七二十一打开天窗说亮话不见棺材不落泪打破砂锅问到底不看僧面看佛面不怕一万，就怕万一不怕贼偷，就怕贼惦记不入虎穴，焉得虎子不是鱼死，就是网破二、【常见谚语】动形象，增强文字的表现力。一、知识学习实践经验 1.知识是智慧的火炬。学如逆水行舟，不进则退。 2.14.只要功夫深，铁杵磨成针。理。15.拳不离手，曲不离口。 3.16.师傅领进门，修行靠个人。 4.17.一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。5. 18.少壮不努力，老大徒伤悲。6. 19.记得少年骑竹马，转身便是白头翁。7. 20.节约时间就是延长寿命。8. 21.你和时间开玩笑，它却对你很认真。9. 22.把握一个今天，胜似两个明天。23.黑发不知勤学早，白头方悔读书迟。24.一日无二晨，时过不再临。12. 2.没有松柏性，难得雪中青。 3.三军可以夺帅，匹夫不可夺志。 4.刀在石上磨，人在世上练。 5.艺高人胆大。 6.身经百战，浑身是胆。 7.雨淋青松松更青，雪打红梅梅更红。8.夜越黑珍珠越亮，天越冷梅花越香。9.能力同肌肉一样，锻炼才能生长。三、智慧、策略、方法 1.鸟靠翅膀，人靠智慧。 2.打虎要力，捉猴要智。 3.想捉孙悟空，就得有比孙悟空更大的神通。 4.智慧好比登山，登山便可望远。（法国谚语） 5.什么钥匙开什么锁。 6.不见兔子不撒鹰。 7.放长线，钓大鱼。 8.好处着手，坏处着想。 9.人无远虑，必有近忧。 10.鱼在水中不知水，人在风中不知风11.熟能生巧，巧能生妙。 12.师傅领进门，修练在个人。三、【常用歇后语】如：四两棉花——免谈（弹）姜太公钓鱼——愿者上钩饺子破皮——露了馅老虎屁股——摸不得东北的二人转——一唱一和擀面杖吹火——一窍不通狗拿耗子——多管闲事狗咬吕洞宾——不识好人心唐僧念佛——一本正经窗户边吹喇叭——名声在外铁公鸡——一毛不拔打开天窗——说亮话铜钣上钉铆钉——一是一，二是二打破砂锅——问到底偷鸡不成——蚀把米大姑娘坐轿——头一回兔子尾巴——长不了大海捞针——没处寻外甥打灯笼——照旧（舅）王八吃秤砣——铁了心王婆卖瓜——自卖自夸瞎子点灯——白费蜡小葱拌豆腐——一清二白小和尚念经——有口无心秀才遇到兵——有理讲不清徐庶进曹营——一言不发张飞穿针——大眼瞪小眼张飞绣花——粗中有细周瑜打黄盖——一个愿打一个挨猴子捞月亮——空忙一场画蛇添足——多此一举千里送鹅毛——礼轻情意重墙上茅草——随风两边倒肉包子打狗——有去无回黄鼠狼给鸡拜年——不安好心鸡蛋碰石头——不自量力箭在弦上——不得不发猪八戒照镜子——里外不是人猪鼻子里插葱-——装象菜篮子打水——一场空麻雀虽小

韩信点兵

简介：韩信点兵又称为中国剩余定理，乃由于相传汉高祖刘邦问大将军韩信统御兵士多少，韩信答说，每3人一列余1人、5人一列余2 人、7人一列余4人、13人一列余6人……。刘邦茫然而不知其数。韩信点兵是一个很有趣的猜数游戏，随便抓一把蚕豆粒，假若3个一数余1粒，5个一数余2粒，7个一数余2粒，那么所抓的蚕豆有多少粒?这类题目看起来是很难计算的，可是中国古时却流传着一种算法，它的名称也很多，宋朝周密叫它「鬼谷算」，又名「隔墙算」；杨辉叫它「剪管术」；而比较通行的名称是「韩信点兵」。最初记述这类算法的是一本名叫「孙子算经」的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做「大衍求一术」，流传到西洋以后，外国化称它是「中国剩余定理」，在数学史上是极有名的问题。至于它的算法，在「孙子算经」上就已经有了说明：“凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五”，而且还流传着这么一首歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。这就是韩信点兵的计算方法，《孙子算经》中给出了其中关键的步骤是：但在《孙子算经》中并没有说明求乘数的方法，直到1247 年宋代数学家秦九韶在《数书九章》中才给出具体求法：70是5与 7最小公倍的2倍，21、15分别是3与7、3与5最小公倍数的1倍。秦九韶称这2、1、1的倍数为“乘率”，求出乘率，就可知乘数，意思是说：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70 是5与7的倍数，而又是以3去除余1的），5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的），

浅析中国剩余定理及其应用

浅析中国剩余定理及其应用李辉（井冈山学院数理学院信息与计算科学 343009）指导老师颜昌元 [摘要]：本文阐述了中国剩余定理的由来，介绍了它的几种解法，及其它在多项式，现代密码学，生活方面的应用. [关键词]：中国剩余定理；解法;多项式；现代密码学引言在中国,以剩余定理为代表的同余理论源远流长,可追溯到《周易》中的卜筮古法.秦九韶说:“圣有大衍,微寓于《易》”,即指此意.另外,同余理论的另一个来源是古代制定历法的需要.实际上,从汉末到宋末1000余年的时间中,有很多天文学家熟悉一次同余式的解法,他们在编制历法时利用它来推算“上元积年”.中国剩余定理对现代数学的研究有很强的启迪意义.特别是在多项式，密码学中的应用非常关键. 一中国剩余定理的由来我国古代《孙子算经》中有一著名而又重要的问题:“今有物不知其数,三三数之剩二、五五数之剩三,七七数之剩二,问物几何.答曰:二十三”.这一问题可译为:一个数除以3余2,除以5余3,除以7余2.求适合条件的最小的数.题中还介绍了它的解法:“术曰:三三数之剩二,置一百四十;五五数之剩三,置六十三;七七数之剩二,置三十;并之,得二百三十三,以二百十减之,即得.”意即:物数W=70×2+21×3+15×2-2×105=23.接下来又给出了这类题的一般解法(余数为一的情况):术文说:“凡三三数之剩一,则置七十;五五数之剩一,则置二十一;七七数之剩一,则置十五.一百六以上,以一百五减之,即得.”这个问题及其解法,在世界数学史上占有重要的地位,因此,中外数学家都尊称为“孙子定理”或“中国剩余定理”. 为了比较清楚地了解“中国剩余定理”这一名称的由来,我们不妨先引进同余定义:一般地,若两个整数a、b被同一个大于1的整数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余.记作: a≡b (mod m）应用同余原理,我们把“物不知其数”问题用整数的同余式符号表达出来,是:设N≡2 (mod 3)≡3 (mod 5)≡2 (mod 7),求最小的数N.答案是N=23. 书中问题及其解法,建立起数学模型就是: 设a、b、c为余数, P为整数,则N≡a(mod 3)≡b(mod 5)≡c(mod 7) 的解是: N=70a+21b+15c-105P (1) 现在,我们把上述解法中的a,b,c作一分析:设M=3×5×7,则 70=2×5×7=2×(3×5×7)/3=2×M/3

高一年级竞赛数学数论专题讲义：10.中国剩余定理

高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理 1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,, ,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m ==∏的意义下解101 (mod )k j j j j x x M M a m - =≡=∑唯一. 其中1,j j j m M M m -= 是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡ 2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡??≡??≡? . 3.设*,n N ∈证明：存在* ,m N ∈使得同余方程21(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根. (请对比拉格朗日定理). 4.证明：对任意给定的正整数n ,均有连续n 个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子.

5.证明：对任意正整数n ,存在n 个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂. 6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数. 7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.l m n =

高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理解答 1.(中国剩余定理)设12,,,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,, ,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m ==∏的意义下解101 (mod )k j j j j x x M M a m - =≡=∑唯一. 其中1,j j j m M M m -= 是j M 关于模j m 的数论倒数即11(mod ).j j j M M m -≡ 证明：因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm += 1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s - =于是11(mod ).j j j M M m -≡另一方面,,j j m M m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是111(mod )(1,2,,).k j j j i i i i i j M M a M M a a m i k --=≡≡=∑即11(mod )k j j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解. 若00 ,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00 (mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00 |m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证. 2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡??≡??≡? . 解：7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解. 123789504,72,63,56.M M M M =??==== 1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡ 2631(mod8),M =≡-取12 1(mod8).M -≡- 3562(mod 9),M =≡取135(mod 9).M -≡

小学奥数：中国剩余定理

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数。这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中的解同余式。 ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？解：除以3余2的数有：2， 5， 8， 11，14， 17， 20，23… 它们除以12的余数是：2，5，8，11，2，5，8，11… 除以4余1的数有：1， 5， 9， 13， 17， 21， 25，29… 它们除以12的余数是：1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5。如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是5+12×整数，整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数。解：先列出除以3余2的数：2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23，26… 再列出除以5余3的数：3， 8， 13， 18， 23，28… 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8+15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23，30… 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，可能是105×10+23=1073人问题：“今有物，不知其数，三三数之，剩二，五五数之，剩三，七七数之，剩二，问物几何？”答曰：“二十三”术曰：三三数剩一置几何？答曰：五乘七乘二得之七十。五五数剩一复置几何？答曰，三乘七得之二十一是也。七七数剩一又置几何？答曰，三乘五得之十五是也。三乘五乘七，又得一百零五。则可知已，又三三数之剩二，置一百四十，五五数之剩三，置六十三，七七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十，五五数

数学运算“中国剩余定理”的应用

数学运算“中国剩余定理”的应用例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则…4，5?=20；…3，5?=15；…3，4?=12；…3，4，5?=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则…7，8?=56；…3，8?=24；…3，7?=21；…3，7，8?=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。

题中5、8、11三个数两两互质。则…8，11?=88；…5，11?=55；…5，8?=40；…5，8，11?=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？题中9、7、5三个数两两互质。则…7，5?=35；…9，5?=45；…9，7?=63；…9，7，5?=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人？题中9、7、5三个数两两互质。则…7，5?=35；…9，5?=45；…9，7?=63；…9，7，5?=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；

秦九韶与中国剩余定理

秦九韶与中国剩余定理报告人：宋文法一、前言：中国人的三大发明：指南针、造纸术及火药，影响整个世界既深且广。中国古代的数学成就，更是在整个世界的数学知识历史发展中，占有举足轻重的角色，甚至是领先外国发现很久很久的，除了商高定理、圆周率的逼近、刘徽的极限割圆术，还有中国人的中国剩余定理，而谈到这个世界闻名的数论问题，更不能不谈南宋末年秦九韶的贡献。二、自小勤奋好学的秦九韶：秦九韶（1202--1261年），南宋末期人物。秦九韶性敏慧，勤奋好学，幼年随父居中都（今北京），受到名师指导，学习日益增进，在建筑方面也极有才能。宋朝绍定四年（公元1231年），秦九韶考中进士，先后担任县尉、通判、参议官、州守、司农、寺丞等职。他虽置身政治，但对数学的研究并未放弃。在政务之余，还广泛搜集历学、数学、星象、音律、营造等数据，进行分类研究。宋朝淳祜四至七年间（1244--1247），把长期研究积累的数学知识加以编辑，以四年的时间，在1247年九月，在浙江湖州完成了《数书九章》十八卷，此时中国的局势，正是在蒙古入侵中原，兵荒马乱的动荡时期，秦九韶因此书而名留千古。三、孙子问题：在《孙子算经1》下卷第二十六题是一个举世闻名的数学问题，一般人称它为「孙子问题」2：今有物，不知其数。三三数之，剩二；五五数之，剩三；七七数之，剩二。问物几何？《孙子算经》所给的答案是： 1清代戴震根據該書中有出現長安、洛陽、佛書等用語，排除該書作者為春秋軍事家孫武，近人錢寶琮認為《孫子算經》成書在西元400年(南北朝時期)左右。《孫子算經》是一部在古代供數學初學者使用的入門書，包括度量衡制度、大數進位法、籌算記數法、九九乘法表及整數乘除法等。困擾現在小學生的雞兔同籠問題，也早就出現在此書。 2也稱「物不知數」問題，中國後來的「韓信點兵」、「鬼谷算」、「隔墻算」、「剪管術」、「秦王暗點兵」之名，皆是指同一類的數論命題別名。

中国剩余定理问题的解题技巧

【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？这种问题称为“中国剩余定理”问题。我一般用两种方法解决这类问题。第一种是逐步满足法，方法麻烦一点，但适合所有这类题目。第二种是最小共倍法，方法简单，但只适合特殊类型的题目。还有“中国剩余定理”的方法，但它不完善且解法较为复杂，普及应用有一定难度，还不稳定。所以一般不用。下面分别介绍一下常用的两种方法。通用的方法：逐步满足法【问题】一个数，除以5余1，除以3余2。问这个数最小是多少？把除以5余1的数从小到大排列：1，6，11，16，21，26，…… 然后从小到大找除以3余2的，发现最小的是11. 所以11就是所求的数。先满足一个条件，再满足另一个条件，所以称之为“逐步满足法”。好多数学题目都可以用逐步满足的思想解决。特殊的方法：最小公倍法情况一【问题】一个数除以5余1，除以3也余1。问这个数最小是多少？（1除外）除以5余1：说明这个数减去1后是5的倍数。除以3余1：说明这个数减去1后也是3的倍数。所以，这个数减去1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数减去1后就是3和5的最小公倍数。即这个数减去1后是15，所以这个数是15＋1=16. 情况二

【问题】一个数除以5余4，除以3余2。问这个数最小是多少？这种情况也可以用特殊法。数除以5余4，说明这个数加上1后是5的倍数。数除以3余2，说明这个数加上1后也是3的倍数。所以，这个数加上1后是3和5的公倍数。要求最小，所以这个数加上1后就是3和5的最小公倍数。即这个数加上1后是15，所以这个数是15－1=14. 多个数的，比如3个数的，有时候其中两个可以用特殊法，那就先用特殊法，用特殊法求出满足两个条件的数后再用通用的方法求满足最后一个条件的数。所以有时候特殊法和通用法混合使用。在使用的过程中如果能灵活运用余数问题的技巧，会非常有利于解题。我们接下来分析最开始的那个问题。【问题】有１个数，除以７余２．除以８余４，除以９余３，这个数至少是多少？这道题目不能用特殊法，我们用通用法，解题过程中注意余数知识的运用。除以７余２的数可以写成7n＋2。 7n＋2这样的数除以8余4，由于2除以8余2，所以要求7n除以8余2。（余数知识） 7n除以8余2，7除以8余7，要求n除以8余6（余数知识），则n最小取6。所以满足“除以７余２，除以8余4”的最小的数是7×6＋2=44. 所有满足“除以７余２，除以8余4”的数都可以写成44＋56×m。（想想为什么？）要求44＋56×m除以９余３，由于44除以9余8，所以要求56×m除以9余4。（余数知识） 56×m除以9余4，由于56除以9余2，所以要求m除以9余2（余数知识），则m最小取2。所以满足“除以７余２，除以8余4，除以9余3”的最小的数是44＋56×2=156.

韩信点兵解法

韩信点兵解法韩信点兵是一个有趣的猜数游戏。如果你随便拿一把蚕豆（数目约在100粒左右），先3粒3粒地数，直到不满3粒时，把余数记下来；第二次再5粒5粒地数，最后把余数记下来；第三次是7粒一数，把余数记下来。然后根据每次的余数，就可以知道你原来拿了多少粒蚕豆了。不信的话，你还可以试验一下。例如，假如3粒一数余1粒，5粒一数余2粒，7粒一数余2粒，那么，原有蚕豆有多少粒呢？这类题目看起来是很难计算的，可是我国古时候却流传着一种算法，名称也很多，宋朝周密叫它“鬼谷算”，又名“隔墙算”；杨辉叫它“剪管术”；而比较通行的名称是“韩信点兵”。最初记述这类算法的是一本名叫《孙子算经》的书，后来在宋朝经过数学家秦九韶的推广，又发现了一种算法，叫做“大衍求一术”。这在数学史上是极有名的问题，外国人一般把它称为“中国剩余定理”。至于它的算法，在《孙子算经》上就已经有了说明，而且后来还流传着这么一道歌诀：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。这就是韩信点兵的计算方法，它的意思是：凡是用3个一数剩下的余数，将它用70去乘（因为70是5与7的倍数，而又是以3去除余1的数）；5个一数剩下的余数，将它用21去乘（因为21是3与7的倍数，又是以5去除余1的数）；7个一数剩下的余数，将它用15去乘（因为15是3与5的倍数，又是以7去除余1的数），将这些数加起来，若超过105，就减掉105，如果剩下来的数目还是比105大，就再减去105，直到得数比105小为止。这样，所得的数就是原来的数了。根据这个道理，你可以很容易地把前面的五个题目列成算式：1×70＋2×21＋2×15－105 ＝142－105 ＝37 因此，你可以知道，原来这一堆蚕豆有37粒。1900年，德国大数学家大卫·希尔伯特归纳了当时世界上尚未解决的最困难的23个难题。后来，其中的第十问题在70年代被解决了，这是近代数学的五个重大成就。据证明人说，在解决问题的过程中，他是受到了“中国剩余定理”

中国剩余定理及应用

“中国剩余定理”算理及其应用 “中国剩余定理”算理及其应用：为什么这样解呢？因为70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？题中3、4、5三个数两两互质。则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。为了使20被3除余1，用20×2=40；使15被4除余1，用15×3=45；使12被5除余1，用12×3=36。然后，40×1＋45×2＋36×4=274，因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？题中3、7、8三个数两两互质。则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。为了使56被3除余1，用56×2=112；使24被7除余1，用24×5=120。使21被8除余1，用21×5=105；然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。题中5、8、11三个数两两互质。则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。为了使88被5除余1，用88×2=176；使55被8除余1，用55×7=385；使40被11除余1，用40×8=320。然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人？（幸福123老师问的题目）题中9、7、5三个数两两互质。则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。为了使35被9除余1，用35×8=280；使45被7除余1，用45×5=225；使63被5除余1，用63×2=126。

中国剩余定理

中国剩余定理孙子定理是中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国余数定理。一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。中文名孙子定理外文名 Chinese remainder theorem(CRT) 分类数学提出孙子问题一元线性同余方程组又名余数定理目录 .1公式 .2文献 .3交换环上推广 .?主理想整环

.?一般的交换环 .4数论相关 .5例题解析公式用现代数学的语言来说明的话，中国剩余定理给出了以下的一元线性同余方程组：有解的判定条件，并用构造法给出了在有解情况下解的具体形式。中国剩余定理说明：假设整数m1,m2, ... ,m n两两互质，则对任意的整数：a1,a2, ... ,a n，方程组有解，并且通解可以用如下方式构造得到：设是整数m1,m2, ... ,m n的乘积，并设是除了m i以外的n- 1个整数的乘积。设为模

的数论倒数( 为模意义下的逆元) 方程组的通解形式为在模的意义下，方程组只有一个解：证明 [1]：从假设可知，对任何，由于

，所以这说明存在整数使得这样的叫做模的数论倒数。考察乘积可知：所以满足：这说明

歇后语大全

【关于一年级的歇后语大全及答案】竹篮子打水——一场空丈二的和尚——摸不着头脑岳飞背刺字——精忠报国头顶生疮，脚底流脓——坏透了孙大圣听了紧箍咒——头疼四两棉花——免谈（弹）生姜——老的辣门缝里看人——把人看扁了猫哭耗子——假慈悲卢沟桥上的狮子——数不清老太婆开了口——一望无涯（牙）老奶奶吃稀饭——无耻(齿)下流好泥巴打好灶———好心讨不到好报滚油锅里撒了一把盐——炸开了粪坑里的石头——又臭又硬滴水石穿——非一日之功灯盏油干——火烧芯（心）打破沙锅——问到底朝着窗外吹喇叭——名（鸣）声在外八仙过海——各显神通；能行风的行风，能下雨的下雨白娘子喝了雄黄酒——现了原形茶壶里煮饺子——肚里有货倒不出；肚里有货船头上跑马——走投无路打翻了五味瓶——不知啥滋味；酸甜苦辣咸，样样都有电线杆上绑鸡毛——胆（掸）子不小；好大的胆（掸）子丢了西瓜捡芝麻——大处不算小处算；不知大小；得不偿失

冬水田里种麦子——怪哉（栽）擀面杖吹火——一窍不通高射炮打蚊子——小题大作（大材小用）（比喻把小事当作大事来处理。）蛤蟆跳井——不懂（不通）韩信点兵——多多益善猴子捞月亮——一场空黄鼠狼给鸡拜年——没安好心；来者不善姜太公钓鱼——愿者上钩脚踩两只船——三心二意。九曲桥上散步——走弯路；拐弯抹角开封府的包公——铁面无私孔夫子搬家——净是书（输）（比喻总是失败。）孔夫子的砚台——黑心老虎的屁股——拍不得；摸不得老鼠过街——人人喊打聋子的耳朵——摆设；爱打岔；没用处鲁智深出家——无牵无挂泥菩萨过河——自身难保骑驴看唱本——走着瞧砌墙的砖头——后来居上千里送鹅毛——礼轻情意重；礼薄情意重；物轻人意重十五个吊桶打水——七上八下寺里起火——妙哉（庙灾）；慌了神天文台上的望远镜——好高鹜远外甥打灯笼——照旧（舅）下雪天穿裙子——美丽又动（冻）人小葱拌豆腐——一清（青）二白哑巴吃黄连——有苦说不出

成都市第七中学高一年级竞赛数学数论专题讲义：10.中国剩余定理

成都七中高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理 1.(中国剩余定理)设12,, ,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,,,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1 k j j m m == ∏的意义下解101 (mod )k j j j j x x M M a m -=≡= ∑唯一. 其中1,j j j m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1 1(mod ).j j j M M m -≡

2.解同余方程组1(mod 7)1(mod8)3(mod 9)x x x ≡?? ≡??≡? . 3.设*,n N ∈证明：存在* ,m N ∈使得同余方程2 1(mod )x m ≡在模m 的意义下至少有n 个根. (请对比拉格朗日定理).

4.证明：对任意给定的正整数n,均有连续n个正整数,其中每一个都有大于1的平方因子. 5.证明：对任意正整数n,存在n个连续正整数,它们中每一个数都不是素数的幂.

6.证明：存在任意长的由不同正整数组成的等差数列,它的项都是正整数的幂,幂指数是大于1的整数. 7.设,m n 是自然数,满足对任意自然数,k (,111)(,111)m k n k -=-.证明存在某个整数l 使得11.l m n =

高一竞赛数论专题 10.中国剩余定理解答 1.(中国剩余定理)设12,, ,k m m m 是k 个两两互素的正整数,证明对任意整数12,, ,k a a a ,一次同余方程组 (mod ),j j x a m ≡1.j k ≤≤必有解,在模1k j j m m == ∏的意义下解1 01 (mod )k j j j j x x M M a m -=≡=∑唯一. 其中1,j j j m M M m -=是j M 关于模j m 的数论倒数即1 1(mod ).j j j M M m -≡ 证明：因为(,)1,,i j m m i j =≠所以(,) 1.j j M m =由Bezout 定理知道存在整数,s t 使得 1.j j sM tm += 1(mod ).j j sM m ≡取1.j M s -=于是1 1(mod ).j j j M M m -≡另一方面, ,j j m M m =所以|,.i j m M i j ≠ 于是 111 (mod )(1,2, ,).k j j j i i i i i j M M a M M a a m i k --=≡≡=∑即1 1 (mod )k j j j j x M M a m -=≡∑是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的解. 若00 ,x x '是是一次同余方程组(mod ),j j x a m ≡1j k ≤≤的两个解. 则00 (mod ),(mod ).j j j j x a m x a m '≡≡于是00(mod ).j x x m '≡即00|j m x x '-.因为(,)1,.i j m m i j =≠ 所以00 |m x x '-,即00(mod ).x x m '≡ 所以中国剩余定理的得证. 2.解同余方程组1(mod 7) 1(mod8)3(mod 9)x x x ≡?? ≡??≡? . 解：7,8,9两两互素,则由中国剩余定理知道有唯一解. 123789504,72,63,56.M M M M =??==== 1722(mod 7),M =≡取114(mod 7).M -≡ 2631(mod8),M =≡-取1 21(mod8).M -≡-

六下奥数1中国剩余定理

六下奥数1 论述中国剩余定理的形成及对教育的影响摘要：“中国剩余定理”是由秦九韶从“孙子定理”的基础上推广而来的，本文从论述中国剩余定理的形成到中国剩余定理的主要方法和对现代教育的影响来写。中国剩余定理在高中有初步的基础应用，在大学中的初等数论中该定理得到了仔细的讲解。中国剩余定理的思想方法和原则不仅有光辉的历史意义,而且在近代数学中仍然有着重大影响和作用。引言随着数学学科的发展，数学方面的知识得到了不断的更新和强化。在数学发展史上，剩余问题（即：在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，要求适合条件的这个被除数。这类问题统称剩余问题）曾经困扰过人们很长一段时间。这个问题的解决，是我们中国人迈出了开拓性的第一步。如果说，一部中国数学发展史像一条源远流长的河流，那么几千年来祖先们取得的辉煌成就，就是这河流中耀眼的浪花。在祖先取得的成就中有一个“中国剩余定理”。大家都知道，“勾股定理”最早是由我国西周时期的商高发现的，但国外却称其为“毕达哥拉斯定理”，法国称为“驴桥定理”，埃及称为“埃及三角形”等。还有“增乘开方法”，最早是由我国宋代的贾宪发明的，但现代数学却称其为“霍纳法”，贾宪的发明比霍纳早了800年。而中国剩余定理则是唯一一个以我国国名命名的定理，大家一定对这个定理很感兴趣，很想知道关于这个定理的故事。现在我就为大家简单介绍一下“中国剩余定理”。 1、中国剩余定理的简介及形成在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”，甚至远渡重洋，输入日本：“三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知。”这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。“孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》是算经十书之一，又作《孙子算术》。现有传本《孙子算经》分上、中、下共3卷。该书作者和确切成书年代均无法考证，大约成书于公元400年前后。中国古代求解一次同余式组（见同余）的方法。是数论中一个重要定理。又称中国剩余定理。一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个数。《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。在中国数学史上，广泛流传着一个“韩信点兵”的故事：韩信是汉高祖刘邦手下的大将，他英勇善战，智谋超群，为汉朝的建立立下了卓绝的功劳。据说韩信的数学水平也非常高超，他在点兵的时候，为了保住军事机密，不让敌人知道自己部队的实力，先令士兵从1至3报数，然后记下最后一个士兵所报之数；再令士兵从1至5报数，也记下最后一个士兵所报之数；最后令士兵从1至7报数，又记下最后一个士兵所报之数；这样，他很快就算出了自己部队士兵的总人数，而敌人则始终无法弄清他的部队究竟有多少名士兵？因为《孙子算经》对这类问题的研究只是初具雏形，还远远谈不上完整，其不足之处在于：（1 ）没有把解法总结成文，致使后人研究多凭猜测；