高中数学-数列总复习教案
高中数学-数列总复习教案下册
第五章数列
【知识图解】
【方法点拨】
1．学会从特殊到一般的观察、分析、思考，学会归纳、猜想、验证．
2．强化基本量思想，并在确定基本量时注重设变量的技巧与解方程组的技巧．3．在重点掌握等差、等比数列的通项公式、求和公式、中项等基础知识的同时，会针对可化为等差（比）数列的比较简单的数列进行化归与转化．
4．一些简单特殊数列的求通项与求和问题，应注重通性通法的复习．如错位相减法、迭加法、迭乘法等．
5．增强用数学的意识，会针对有关应用问题，建立数学模型，并求出其解．
第1课 数列的概念 【考点导读】
1．了解数列（含等差数列、等比数列）的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），了解数列是一种特殊的函数； 2．理解数列的通项公式的意义和一些基本量之间的关系； 3．能通过一些基本的转化解决数列的通项公式和前n 项和的问题。 【基础练习】
1.已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则20a =3-。
分析:由a 1=0,)(1
331++∈+-=
N n a a a n n n 得??????==-=,0,3,3432a a a 由此可知:
数列}{n a 是周期变化的,且三个一循环,所以可得: .3220-==a a
2．在数列{}n a 中，若11a =，12(1)n n a a n +=+≥，则该数列的通项n a = 2n-1 。
3．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，*1(31)
()2
n n a S n N -=
∈ ，且454a =，则1a =____2__.
4．已知数列{}n a 的前n 项和(51)
2
n n n S +=-，则其通项n a = 52n -+． 【范例导析】
例1．设数列{}n a 的通项公式是285n a n n =-+，则 （1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？ （2）写出这个数列的前5项，并作出前5项的图象； （3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？
分析：70是否是数列的项，只要通过解方程27085n n =-+就可以知道；而作图时则要注意数列与函数的区别，数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。 解：（1）由27085n n =-+得：13n =或5n =-
所以70是这个数列中的项，是第13项。
（2）这个数列的前5项是2,7,10,11,10-----；（图象略）
（3）由函数2()85f x x x =-+的单调性：(,4)-∞是减区间，(4,)+∞是增区间， 所以当4n =时，n a 最小，即4a 最小。
点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属，要注重函数与数列之间的联系，用函数的观点解决数列的问题有时非常方便。 例2．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,)()n
S n n N n
*∈均在函数y ＝3x －2的图像上,求数列{}n a 的通项公式。
分析：根据题目的条件利用n S 与n a 的关系： n a =1(1)(2)
n S n S n =??≥?当时当时，（要特别注意
讨论n=1的情况）求出数列{}n a 的通项。 解：依题意得，32,n n n
S =-即232n n n S =-。
当n ≥2时，()2
2(32)312(1)651n a n n n n n n n S S ??==-----=--??
-;
当n=1时，111a S == 所以*65()n a n n N =-∈。 例3．已知数列｛a n ｝满足11=a ,)(12*1N n a a n n ∈+=+ （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若数列{}n b 满足12111*
44...4(1).()n n b b b b n a n N ---=+∈,证明：{}n b 是等差数
列;
分析：本题第1问采用构造等比数列来求通项问题，第2问依然是构造问题。
解：（I ）*121(),n n a a n N +=+∈Q
112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。12.n n a ∴+= 即 *21().n n a n N =-∈
（II ）12111
44...4(1).n n b b b b n a ---=+Q
12(...)42.n n b b b n nb +++-∴= 122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ②；
②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+- 即1(1)20,n n n b nb +--+=③ ∴21(1)20.n n nb n b ++-++= ④
③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即
2120,n n n b b b ++-+=*211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈{}n b ∴是等差数列。
点评：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 【反馈演练】
1．若数列{}n a 前8项的值各异，且8n n a a +=对任意n ∈N *都成立，则下列数列中可取遍{}n a 前8项值的数列为 （2） 。
（1）{}21k a + （2）{}31k a + （3）{}41k a + （4）
{}61k a +
2．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且S n =n 2，则{}n a 是 等差数列，但不是等比数列 。 3．设f （n ）=n
n n n 21
312111+
---++++++（n ∈N ），那么f （n +1）－f （n ）等于
2
21
121+-
+n n 。 4．根据市场调查结果，预测某种家用商品从年初开始的n 个月内累积的需求量
S n （万件）近似地满足S n =
90
n
（21n －n 2－5）（n =1，2，……，12）.按此预测，在本年度内，需求量超过1.5万件的月份是 7月、8月 。 5．在数列{}n a 中，12341,23,456,78910,a a a a ==+=++=+++则10a = 505 。
6．数列{}n a 中，已知21
()3
n n n a n N ++-=
∈， （1）写出10a ，1n a +，2n a ； （2）2
793是否是数列中的项？若是，是第几项？
解：（1）∵21()3n n n a n N ++-=∈，∴10a 210101109
33
+-==， 1
n a +()()2
2
11131
3
3
n n n
n +++-++=
=，2n a ()2
22421
1
3
3
n n n n +-+-==
； （2）令2793
21
3n n +-=，解方程得15,16n n ==-或，
∵n N +∈，∴15n =， 即2
793
为该数列的第15项。
第2课 等差、等比数列 【考点导读】
1．掌握等差、等比数列的通项公式、前n 项和公式，能运用公式解决一些简单的问题；
2．理解等差、等比数列的性质，了解等差、等比数列与函数之间的关系； 3．注意函数与方程思想方法的运用。 【基础练习】
1．在等差数列{a n }中，已知a 5＝10，a 12＝31，首项a 1= -2 ，公差d = 3 。
2．一个等比数列的第3项与第4项分别是12与18，则它的第1项是16
3
，第2项是 8 。
3．设{}n a 是公差为正数的等差数列，若12315a a a ++=，12380a a a =，则
111213a a a ++=105。
4．公差不为0的等差数列{a n }中，a 2，a 3，a 6依次成等比数列，则公比等于 3 。 【范例导析】
例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的
和为390，则这个数列有 13 项。
（2）设数列{a n }是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项是 2 。 解：（1）答案：13 法1：设这个数列有n 项
∵????
?????
-+=-+=-='
?+=-d
n n n a S d nd a S S S d a S n n n 2)1(6332
233113313
∴???
?
???
=-+=-+=+390
2)1(146)2(3334)(3111d n n n a n d a d a ∴n ＝13
法2：设这个数列有n 项
∵1231234,146n n n a a a a a a --++=++=
∴121321()()()3()34146180n n n n a a a a a a a a --+++++=+=+= ∴160n a a += 又
1()
3902
n n a a += ∴n ＝13 （2）答案：2 因为前三项和为12，∴a 1＋a 2＋a 3＝12，∴a 2＝3
3
S ＝4 又a 1·a 2·a 3＝48， ∵a 2＝4，∴a 1·a 3＝12，a 1＋a 3＝8， 把a 1，a 3作为方程的两根且a 1＜a 3，
∴x 2－8x ＋12＝0，x 1＝6，x 2＝2，∴a 1＝2，a 3＝6，∴选B.
点评：本题考查了等差数列的通项公式及前n 项和公式的运用和学生分析问题、解决问题的能力。
例2．（1）已知数列))}1({log *2N n a n ∈-为等差数列，且.9,331==a a （Ⅰ）求数列}{n a 的通项公式；（Ⅱ）证明
.11
1112312<-+---+-+-+n
n a a a a a a
分析：（1）借助.9,331==a a 通过等差数列的定义求出数列)
)}1({log *2N n a n ∈-
的公差，再求出数列}{n a 的通项公式，（2）求和还是要先求出数列}1
{1n
n a a -+的
通项公式，再利用通项公式进行求和。 解：（1）设等差数列)}1({log 2-n a 的公差为d ，
由,8log 2log )2(log 2:9,322231+=+==d a a 得 即d =1。 所以,1)1(1)1(log 2n n a n =?-+=-即.12+=n n a （II ）证明：因为
n
n n n n a a 2
1
221111=-=-++， 所以
n n n a a a a a a 2
1
21212111132112312++++=-+---+-+-+L
.12112
1121212
1<-=-?
-=n n 点评：该题通过求通项公式，最终通过通项公式解释复杂的不等问题，属于综合性的题目，解题过程中注意观察规律。
例3．已知数列{}n a 的首项121a a =+（a 是常数，且1a ≠-），
24221+-+=-n n a a n n （2n ≥），数列{}n b 的首项1b a =，2n a b n n +=（2n ≥）。
（1）证明：{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列；
（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项和，且{}n S 是等比数列，求实数a 的值。 分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出。
解：（1）∵2n a b n n += ∴22211)1(2)1(4)1(2)1(++++-++=++=++n n n a n a b n n n
n n b n a 2222=+=(n ≥2)
由121a a =+得24a a =，22444b a a =+=+，∵1a ≠-，∴ 20b ≠， 即{}n b 从第2项起是以2为公比的等比数列。
（2）1(44)(12)
34(22)212
n n n a S a a a -+-=+
=--++-
当n ≥2时，11
1(22)23434
2(22)234(1)234
n n n n n S a a a S a a a a ---+--+==++--+-- ∵}{n S 是等比数列, ∴1
-n n S S (n ≥2)是常数， ∴3a+4=0，即4
3a =- 。
点评：本题考查了用定义证明等比数列，分类讨论的数学思想，有一定的综合性。 【反馈演练】
1．已知等差数列{}n a 中，247,15a a ==，则前10项的和10S ＝ 210 。 2．在等差数列{}n a 中，已知1232,13,a a a =+=则456a a a ++＝ 42 。 3．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 3 。
4．如果1,,,,9a b c --成等比数列，则b = 3 ， ac = -9 。 5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；
(2)指出S 1、S 2、…、S 12中哪一个值最大，并说明理由.
解：(1)依题意有：??
?
?
?
?
???
?+==+=0212131302111212,12211311213d a S d a S d a a 解之得公差d 的取值范围为－
7
24
＜d ＜－3. (2)解法一：由d ＜0可知a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13,因此，在S 1，S 2，…，S 12中S k 为最大值的条件为：a k ≥0且a k +1＜0,即??
?<-+≥-+0
)2(0
)3(33d k a d k a
∵a 3=12, ∴???-<-≥12
2123d kd d kd ， ∵d ＜0, ∴2－d 12＜k ≤3－d 12
∵－
724＜d ＜－3,∴27＜－d
12
＜4,得5.5＜k ＜7.
因为k 是正整数，所以k =6,即在S 1，S 2，…，S 12中，S 6最大. 解法二：由d ＜0得a 1>a 2>…>a 12>a 13，
因此若在1≤k ≤12中有自然数k ,使得a k ≥0,且a k +1＜0,则S k 是S 1，S 2，…，S 12
中的最大值。又2a 7=a 1+a 13=
132S 13＜0, ∴a 7＜0, a 7+a 6=a 1+a 12=6
1
S 12>0, ∴a 6≥－a 7>0
故在S 1，S 2，…，S 12中S 6最大.
解法三：依题意得：)(2
)212()1(2
2
1n n d d n d n n na S n -+
-=-+= 222)]24
5(21[,0,)245(8)]245(21[2d n d d d d n d --∴<----=
Θ最小时，S n 最大； ∵－724＜d ＜－3, ∴6＜21(5－d
24
)＜6.5.
从而，在正整数中，当n =6时，［n －21 (5－d
24
)］2最小，所以S 6最大.
点评：该题的第(1)问通过建立不等式组求解属基本要求，难度不高，入手容易. 第(2)问难度较高，为求{S n }中的最大值S k （1≤k ≤12）：思路之一是知道S k 为最大值的充要条件是a k ≥0且a k +1＜0；而思路之二则是通过等差数列的性质等和性探寻数列的分布规律，找出“分水岭”，从而得解；思路之三是可视S n 为n 的二次函数，借助配方法可求解，它考查了等价转化的数学思想、逻辑思维能力和计算能力，较好地体现了高考试题注重能力考查的特点. 第3课 数列的求和 【考点导读】
对于一般数列求和是很困难的，在推导等差、等比数列的和时出现了一些方法可以迁移到一般数列的求和上，掌握数列求和的常见方法有： （1）公式法：⑴ 等差数列的求和公式，⑵ 等比数列的求和公式
（2）分组求和法：在直接运用公式求和有困难时常，将“和式”中的“同类项”
先合并在一起，再运用公式法求和（如：通项中含n (-1)因式，周期数列等等）
（3）倒序相加法：如果一个数列｛a n ｝，与首末两项等距的两项之和等于首末
两项之和，则可用把正着写和与倒着写和的两个和式相加，就得到了一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。特征：a n +a 1=a n-1+a 2
（4）错项相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项相乘所组成，此时求和可采用错位相减法。
（5）裂项相消法：把一个数列的各项拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项之和变成首尾若干少数项之和。 【基础练习】
1．已知公差不为0的正项等差数列｛a n ｝中,S n 为前n 项之和,lga 1、lga 2、lga 4成等差数列，若a 5=10,
则S 5 = 30 。
2．已知数列｛a n ｝是等差数列,且a 2=8,a 8=26,从｛a n ｝中依次取出第3项,第9项,第27项…,第3n 项,按原来的顺序构成一个新的数列｛b n ｝, 则bn=__3n+1+2___ 3．若数列{}n a 满足：1,2,111===+n a a a n n ，2，3….则=+++n a a a Λ2121n -. 【范例导析】
例1.已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；
（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解：（I ）依题意032),(32244342=+--+=a a a a a a a 即 03213131=+-∴q a q a q a 2
1
101322=
=?=+-∴q q q q 或
211=
∴≠q q Θ 1)2
1
(64-?=n n a 故
（II ）n b n n n -==?=--72log ])21
(64[log 7212 ??
?>-≤-=∴7
77
7||n n n n b n
2)
13(2)76(,6||,71n n n n T b n n -=
-+=
=≤∴时当 2
)
7)(6(212)7)(71(,1||,778--+=--++==>n n n n T T b n n 时当
???
????>+--≤-=∴)7(212)7)(6()7(2
)
13(n n n n n n T n
点评：本题考查了等比数列的基本性质和等差数列的求和，本题还考查了转化的思想。
例2．数列}{n a 前n 项之和n S 满足：*1(1)(21)(,0)n n t S t S n N t +?+=+∈≠ （1） 求证：数列}{n a 是等比数列(2)n ≥；
（2） 若数列}{n a 的公比为()f t ,数列}{n b 满足：111
1,()n n
b b f b +==，求数列}
{n b 的通项公式； （3） 定义数列}{n c 为1
1
n n n c b b +=
，
，求数列}{n c 的前n 项之和n T 。 解：（1）由*1(1)(21)(,0)n n t S t S n N t +?+=+∈≠得：1(1)(21)(2)n n t S t S n -?+=+≥ 两式相减得：1(21),(2)n n t a t a n +?=+≥ 即1211
2,(2)n n a t n a t t
++==+≥, ∴数列}{n a 是等比数列(2)n ≥。
（2）11
()2n n n b f b b +==+，则有12n n b b +-= ∴21n b n =-。
（3）111111
()(21)(21)22121
n n n c b b n n n n +=
==?-+--+， ∴1111111111
(1)(1)2335572121221
n T n n n =?-+-+-++-=--++L
点评：本题考查了n a 与n S 之间的转化问题，考查了基本等差数列的定义，还有裂项相消法求和问题。 例3．已知数列{}n a 满足41
1=
a ，()),2(2
111N n n a a a n n
n n ∈≥--=--． （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （Ⅱ）设2
1n
n a b =，求数列{}n b 的前n 项
和n S ；
（Ⅲ）设2
)12(sin
π
-=n a c n n ，数列{}n c 的前n 项和为n T ．求证：对任意的*∈N n ，7
4
<
n T ． 分析：本题所给的递推关系式是要分别“取倒”再转化成等比型的数列，对数列
中不等式的证明通常是放缩通项以利于求和。 解：（Ⅰ）1
2
)1(1--
-=n n n a a Θ
，])1(1)[2()1(111---+-=-+∴n n n n a a ， 又3)1(11=-+a Θ
，∴数列()?
??
???-+n n a 11是首项为3，公比为2-的等比数列． 1
)2(3)1(1--=-+n n n
a ， 即123)1(1
1+?-=--n n n a . （Ⅱ）12649)123(1121+?+?=+?=---n n n n b ．
926432
1)
21(1641)41(19-+?+?=+--??+--??=n n S n n n n n ．
（Ⅲ）1
)1(2)12(sin --=-n n πΘ， 1
231)1()2(3)1(1
11+?=----=∴---n n n n n c ． 当3≥n 时，则1
231
123112311311
2+?+++?++?++=
-n n T Λ <2
12
2
112
1
1321])(1[28
11
2312312317141--+=?+?+?+
+--n n
7
484488447612811])21(1[6128112=<=+<-+=
-n ． 321T T T <<Θ， ∴对任意的*∈N n ，7
4
点评：本题利用转化思想将递推关系式转化成我们熟悉的结构求得数列{}n a 的通项n a ，第二问分组求和法是非常常见的方法，第三问不等式的证明要用到放缩的办法，放缩的目的是利于求和，所以通常会放成等差、等比数列求和，或者放缩之后可以裂项相消求和。 【反馈演练】 1．已知数列}{n a 的通项公式*21()n a n n N =+∈，其前n 项和为n S ，则数列}{ n S n 的前10项的和为 75 。 2．已知数列}{n a 的通项公式12(21) *21(2) { ()n n k n n n k a k N -=--==∈，其前n 项和为n S ，则9S = 377 。 3．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且21n n S a =+，则数列}{n a 的通项公式为 12n n a -=-。 4．已知数列}{n a 中，11,a =且有*1(21)(23)(,2)n n n a n a n N n -+=-∈≥，则数列}{n a 的通项公式为 311()22121 n a n n =--+，前n 项和为321n n +。 5．数列{a n }满足a 1=2，对于任意的n ∈N *都有a n ＞0, 且(n +1)a n 2+a n ·a n +1－na n +12=0， 又知数列{b n }的通项为b n =2n －1+1. (1)求数列{a n }的通项a n 及它的前n 项和S n ； (2)求数列{b n }的前n 项和T n ； 解：(1）可解得 n n a a n n 1 1+= +，从而a n =2n ，有S n =n 2+n ， (2)T n =2n +n －1. 6．数列{a n }中，a 1=8,a 4=2且满足a n +2=2a n +1－a n ,(n ∈N *). (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设S n =｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a n ｜,求S n ; (3)设b n = ) 12(1 n a n -(n ∈N *),T n =b 1+b 2+……+b n (n ∈N *),是否存在最大的整数 m ，使得对任意n ∈N *均有T n ＞32 m 成立？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由. 解：(1）由a n +2=2a n +1－a n ?a n +2－a n +1=a n +1－a n 可知{a n }成等差数列， d = 1 41 4--a a =－2,∴a n =10－2n . (2)由a n =10－2n ≥0可得n ≤5，当n ≤5时，S n =－n 2+9n ，当n ＞5时，S n =n 2 －9n +40， 故S n =?????>+-≤≤+-5 40951 922n n n n n n (3)b n = )1 1 1(21)22(1)12(1+-=+=-n n n n a n n )1(2)]111()3121()211[(2121+= +-++-+-=+++=∴n n n n b b b T n n ΛΛ；要使T n ＞32m 总成立，需32 m ＜T 1=41 成立，即m ＜8且m ∈Z ，故适合条件的m 的最大值为7. 第4课 数列的应用 【考点导读】 1．能在具体的问题情景中发现数列的等差、等比关系，并能用有关知识解决相应的问题。 2．注意基本数学思想方法的运用，构造思想：已知数列构造新数列，转化思想：将非等差、等比数列转化为等差、等比数列。 【基础练习】 1．若数列{}n a 中，3 1 1= a ，且对任意的正整数p 、q 都有q p q p a a a =+，则=n a 1 3n . 2．设等比数列{}n a 的公比为q ，前n 项和为n S ，若12,,n n n S S S ++成等差数列，则q 的值为 2- 。 3．已知等差数列{}n a 的公差为2，若134,,a a a 成等比数列，则2a = 6- 。 【范例导析】 例1．已知正数组成的两个数列}{},{n n b a ，若1,+n n a a 是关于x 的方程 0212 2=+-+n n n n b b a x b x 的两根 （1）求证：}{n b 为等差数列； （2）已知,6,221==a a 分别求数列}{},{n n b a 的通项公式； （3）求数n n n s n b 项和的前}2{ 。 （1）证明：由02,12 21=++++n n n n n n b b a x b x x a a 的方程是关于的两根得： 1121,2+++==+n n n n n n n n b b a a a b a a ,2112 +-+=∴n n n n n b b b b b 0>n b Θ )1(2112>+=∴+-n b b b n n n }{n b ∴是等差数列 （2）由（1）知,822121=+=a a b ,21=∴b n b n b b b b a n =∴+=∴=∴=12212,1,3,Θ ∴)1)(1(1>+==-n n n b b a n n n 又21=a 也符合该式， )1(+=∴n n a n （3）n n n s 2 1 24232232+++++= Λ ① 1322 1 242321+++++=n n n s Λ ② ①—②得 14322121212121121++-+++++=n n n n s Λ1 1212 11) 21 1(411++----+=n n n 1121)211(211+----+=n n n n n n s 2 3 3+-=∴. 点评：本题考查了等差、等比数列的性质，数列的构造，数列的转化思想，乘公比错项相减法求和等。 例2．设数列{}{}n n b a ,满足3,4,6332211======b a b a b a ，且数列 {}()++∈-N n a a n n 1是等差数列，数列{}()+∈-N n b n 2是等比数列。 （I ）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式； （II ）是否存在*N k ∈，使??? ??∈-21,0k k b a ，若存在，求出k ，若不存在，说明 理由。 解：由题意得： )()()(113121--++-+-+=n n n a a a a a a a a Λ)4(0)1()2(6-+++-+-+=n Λ []2 )1()4()2(6--+-+=n n ＝2 1872+-n n ； 由已知22,4221=-=-b b 得公比21=q ()1 1 12142122--? ? ? ???=? ? ? ??-=-∴n n n b b n n b ?? ? ???+=∴2182 （2）k k b a k f -=)(k 2171928222k k ?? ????=-+-+??? ? ??????? ?? 2k 17491872242k ?????? =---?+?? ? ????????? ，所以当4≥k 时，)(k f 是增函数。 又21)4(=f Θ， 所以当4≥k 时2 1 )(≥k f ， 又0)3()2()1(===f f f Θ， 所以不存在k ，使??? ??∈21,0)(k f 。 【反馈演练】 1．制造某种产品，计划经过两年要使成本降低36%，则平均每年应降低成本 20% 。 2．等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，5102,6S S ==，则1617181920a a a a a ++++= 54 。 3．设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知7157,75S S ==，n T 为数 列｛n S n ｝的前n 项和，则n T =294n n -． 4.已知数列.4,3,,}{422S S a n S a n n ==且项和为其前为等差数列 （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）求证数列}2{n a 是等比数列； （3）求使得n S S n n 的成立的22>+的集合. 解：（1）设数列d a a n 公差为的首项为,}{1，由题意得：???+=+?=+d a d a d a 64)2(43 111 解得：122,11-=∴==n a d a n （2）由题意知：4222 2321 21==---n n a a n n ， }2{n a 数列∴为首项为2，公比为4的等比数列 （3）由21,12,2,1n S n a d a n n =-===得 } 4,3,2,1{:4 ,3,2,18)2(2)2(22222的集合为故n n n n n S S n n =∴<-?>+?>∴+ 5.已知数列{}n a 的各项均为正数，n S 为其前n 项和，对于任意*N n ∈，满足关系22-=n n a S . 证明：{}n a 是等比数列； 证明：∵*)(22N n a S n n ∈-= ① ∴*)(2211N n a S n n ∈-=++ ② ②－①，得*)(2211N n a a a n n n ∈-=++ ∵*)( 2, 01 N n a a a n n n ∈=∴ ≠+ 故:数列{a n }是等比数列 等差数列的性质总结 1.等差数列的定义：d a a n n =--1（d 为常数）（2≥n ）； 2．等差数列通项公式： *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ ， 首项:1a ，公差:d ，末项:n a 推广： d m n a a m n )(-+=． 从而m n a a d m n --= ； 3．等差中项 （1）如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项．即：2b a A += 或b a A +=2 . （2）等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4．等差数列的前n 项和公式： 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ （其中A 、B 是常数，所以当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0） 特别地，当项数为奇数21n +时，1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项） 5．等差数列的判定方法 （1） 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． ` （2） 等差中项：数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a ． ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=（其中b k ,是常数）。 （4）数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,（其中A 、B 是常数）。 6．等差数列的证明方法 定义法：若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列． 7.提醒： （1）等差数列的通项公式及前n 和公式中，涉及到5个元素：1a 、d 、n 、n a 及n S ，其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。 （2）设项技巧： ： ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差，可设为…，2,,,,2a d a d a a d a d --++…（公差为d ）； ③偶数个数成等差，可设为…，3,,,3a d a d a d a d --++,…（注意；公差为2d ） 8..等差数列的性质： （1）当公差0d ≠时， 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ； 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. （2）若公差0d >，则为递增等差数列，若公差0d <，则为递减等差数列，若公差0d =，则为常数列。 ？ （3）当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+，特别地，当2m n p +=时，则有2m n p a a a +=. 数列求和的基本方法和技巧 除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、 等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 自然数方幂和公式： 3、 )1(211 +==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例] 求和1＋x 2＋x 4＋x 6＋…x 2n+4(x≠0) 解： ∵x≠0 ∴该数列是首项为1，公比为x 2的等比数列而且有n+3项 当x 2＝1 即x ＝±1时 和为n+3 评注： (1)利用等比数列求和公式．当公比是用字母表示时，应对其是否为1进行讨论，如本 题若为“等比”的形式而并未指明其为等比数列，还应对x 是否为0进行讨论． (2)要弄清数列共有多少项，末项不一定是第n 项． 对应高考考题：设数列1，（1+2），…，（1+2+1 2 2 2-?+n ），……的前顶和为 n s ，则 n s 的值。 二、错位相减法求和 错位相减法求和在高考中占有相当重要的位置，近几年来的高考题其中的数列方面都出 了这方面的内容。需要我们的学生认真掌握好这种方法。这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. 求和时一般在已知和式的两边都乘以组成这个数列的等比数列 的公比q ；然后再将得到的新和式和原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和，这种方法就是错位相减法。 [例] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S （ 1≠x ）………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1) 1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ 注意、1 要考虑 当公比x 为值1时为特殊情况 2 错位相减时要注意末项 此类题的特点是所求数列是由一个等差数列与一个等比数列对应项相乘。 对应高考考题：设正项等比数列{}n a 的首项2 1 1= a ，前n 项和为n S ，且0)12(21020103010=++-S S S 。（Ⅰ）求{}n a 的通项； （Ⅱ）求{}n nS 的前n 项和n T 。 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例] 求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++ 证明： 设n n n n n n C n C C C S )12(53210++???+++=………………………….. ① 把①式右边倒转过来得 113)12()12(n n n n n n n C C C n C n S ++???+-++=- （反序） 课题：等差数列的前n 项和 教材：人教版数学必修5 一、 教学目标 知识目标：掌握等差数列前n 项和公式，能较熟练应用等差数列前n 项和公式求和。 能力目标：通过对公式的推导提高学生研究问题、分析问题、解决问题的能力。 情感目标：通过公式的推导与简单应用，激发学生的求知欲，鼓励学生大胆尝试，培养学生敢于探索、创新的学习品质。 二、教学重点、难点 重点：等差数列的前n 项和公式 难点：获得等差数列的前n 项和公式推导的思路 三、教学方法与手段 启发引导、合作学习、多媒体辅助等多种手段相结合 四、教学过程 1、问题呈现 泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有100层，奢靡之程度，可见一斑。 你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 2、探索发现 1+2+3 +…+99+100 =(1+100) +(2+99)+ …+(50+51) =101 ×50 = 5050 问题1：图案中，第1层到第21层一共有多少颗宝石？ 问题2：求1到n 的正整数之和。123(1)n s n n =+++ +-+即 问题3：{}?n n a n 如何求等差数列的前项和S 3、公式应用 例1、选用公式 例2、变用公式 等差数列－10，－6，－2，2，…的前多少项的和为54？ 变式练习： {}120,54,999,.n n n a a a s n ===在等差数列中，求 例3、知三求二 {}120,37,629,.n n n a n s a a ===在等差数列中，已知d 求及 4、课堂小结 1()12 n n n a a S +=公式 1(1)22 n n n S na d -=+公式 5、作业布置 必做题：课本52页，练习１、２、３； 选做题：在等差数列中， 512156136,; 220,a a a a a +++==21611、已知求s 、已知求s 一、 过关练习： 1、在等差数列{}n a 中，2,365-==a a ，则1054a a a Λ++= 2、已知数列{}n a 中，() *+∈+==N n a a a n n 3 111,111，则50a = 3、在等差数列{}n a 中，,0,019181=+>a a a 则{}n a 的前n 项和n S 中最大的是 4、设数列{}n a 的通项为()*∈-=N n n a n 72，则1521a a a +++Λ= 二、 典例赏析： 例1、在等差数列{}n a 中，前n 项和记为n S ，已知50,302010==a a （1）求通项n a ；（2）若242=n S ，求n 例2、在等差数列 {}n a 中， （1）941,0S S a =>，求n S 取最大值时，n 的值； （2）1241,15S S a ==，求n S 的最大值。 例3、已知数列{}n a 满足()22,21 2 1≥-==-n a a a a a a n n ，其中a 是不为零的常数，令a a b n n -=1 （1） 求证：数列{}n b 是等差数列 （2）求数列{}n a 的通项公式 三、强化训练： 1、等差数列{}n a 中，40,19552==+S a a ，则1a = 2、等差数列{}n a 的前m 项和为30，前2m 项和为100，则前3m 项和为 3、等差数列{}n a 中，,4,84111073=-=-+a a a a a 记n n a a a S +++=Λ21，则13S 等于 4、已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10,10010010==S S ，则110S = 。 5、在ABC ?中，已知A 、B 、C 成等差数列，求2tan 2tan 32tan 2tan C A C A ++的值 作业 A 组： 1、 在a 和b 两个数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为 2、 已知方程 ()()02222=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则n m -等于 B 组： 3、 已知一元二次方程()()()02=-+-+-b a c x a c b x c b a 有两个相等的实根， 求证： c b a 1,1,1成等差数列 4、 已知数列 {}n a 的通项公式是254-=n a n ，求数列{}n a 的前n 项和 知识框架 111111(2)(2)(1)( 1)()22()n n n n n n m p q n n n n a q n a a a q a a d n a a n d n n n S a a na d a a a a m n p q --=≥=?? ←???-=≥?? =+-??-?=+=+??+=++=+??两个基等比数列的定义本数列等比数列的通项公式等比数列数列数列的分类数列数列的通项公式函数角度理解 的概念数列的递推关系等差数列的定义等差数列的通项公式等差数列等差数列的求和公式等差数列的性质1111(1)(1) 11(1)() n n n n m p q a a q a q q q q S na q a a a a m n p q ---=≠--===+=+???? ? ???????????????? ??? ???????????? ???? ????????????? ?????? ? ?? ?? ?? ?? ??? ???????? 等比数列的求和公式等比数列的性质公式法分组求和错位相减求和数列裂项求和求和倒序相加求和累加累积 归纳猜想证明分期付款数列的应用其他??????? ? ? 掌握了数列的基本知识，特别是等差、等比数列的定义、通项公式、求和公式及性质，掌握了典型题型的解法和数学思想法的应用，就有可能在高考中顺利地解决数列问题。 一、典型题的技巧解法 1、求通项公式 （1）观察法。（2）由递推公式求通项。 对于由递推公式所确定的数列的求解，通常可通过对递推公式的变换转化成等差数列或等比数列问题。 (1)递推式为a n+1=a n +d 及a n+1=qa n （d ，q 为常数） 例1、 已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 例1、解 ∵a n+1-a n =2为常数 ∴{a n }是首项为1，公差为2的等差数列 ∴a n =1+2（n-1） 即a n =2n-1 例2、已知{}n a 满足11 2 n n a a +=，而12a =，求n a =？ （2）递推式为a n+1=a n +f （n ） 例3、已知{}n a 中112a = ，121 41 n n a a n +=+-，求n a . 解： 由已知可知)12)(12(11-+= -+n n a a n n )1 21 121(21+--=n n 令n=1，2，…，（n-1），代入得（n-1）个等式累加，即（a 2-a 1）+（a 3-a 2）+…+（a n -a n-1） 2 43 4)1211(211--= --+=n n n a a n ★ 说明 只要和f （1）+f （2）+…+f （n-1）是可求的，就可以由a n+1=a n +f （n ）以n=1，2，…，（n-1）代 入，可得n-1个等式累加而求a n 。 (3)递推式为a n+1=pa n +q （p ，q 为常数） 例4、{}n a 中，11a =，对于n ＞1（n ∈N ）有132n n a a -=+，求n a . 解法一： 由已知递推式得a n+1=3a n +2，a n =3a n-1+2。两式相减：a n+1-a n =3（a n -a n-1） 因此数列{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，其首项为a 2-a 1=（3×1+2）-1=4 ∴a n+1-a n =4·3n-1 ∵a n+1=3a n +2 ∴3a n +2-a n =4·3n-1 即 a n =2·3n-1 -1 解法二： 上法得{a n+1-a n }是公比为3的等比数列，于是有：a 2-a 1=4，a 3-a 2=4·3，a 4-a 3=4·32，…，a n -a n-1=4·3n-2 ， 把n-1个等式累加得： ∴an=2·3n-1-1 (4)递推式为a n+1=p a n +q n （p ，q 为常数） )(3211-+-= -n n n n b b b b 由上题的解法，得：n n b )32(23-= ∴n n n n n b a )31(2)21(32-== (5)递推式为21n n n a pa qa ++=+ 数列的概念与简单表示法 【学习目标】 1.掌握数列的概念与简单表示方法，能处理简单的数列问题. 2.掌握数列及通项公式的概念，理解数列的表示方法与函数表示方法之间的关系. 3.了解数列的通项公式的意义并能根据通项公式写出数列的任一项. 4.理解数列的顺序性、感受数列是刻画自然规律的数学模型，体会数列之间的变量依赖关系. 【学习策略】 数列是自变量为正整数的一类特殊的离散函数，因此，学习数列，可类比函数来理解。关于数列的一些问题也常通过函数的相关知识和方法来解决. 【要点梳理】 要点一、数列的概念 数列概念： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列. 要点诠释： ⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项： 数列中的每一个数叫做这个数列的项.各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…；排在第n 位的数称为这个数列的第n 项.其中数列的第1项也叫作首项. 要点诠释：数列的项与项数是两个不同的概念。数列的项是指数列中的某一个确定的数，而项数是指这个数在数列中的位置序号. 类比集合中元素的三要素，数列中的项也有相应的三个性质： （1）确定性：一个数是否数列中的项是确定的； （2）可重复性：数列中的数可以重复； （3）有序性：数列中的数的排列是有次序的. 数列的一般形式： 数列的一般形式可以写成： ,,,,,321n a a a a ，或简记为{}n a .其中n a 是数列的第n 项. 要点诠释：{}n a 与n a 的含义完全不同，{}n a 表示一个数列，n a 表示数列的第n 项. 要点二、数列的分类 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 要点三、数列的通项公式与前n 项和 数列的通项公式 如果数列{}n a 的第n 项n a 与n 之间的关系可以用一个公式()n a f n =来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 课 题： 3.1 等差数列（一） 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 本节是等差数列这一部分，在讲等差数列的概念时，突出了它与一次函数的联系，这样就便于利用所学过的一次函数的知识来认识等差数列的性质：从图象上看，为什么表示等差数列的各点都均匀地分布在一条直线上，为什么两项可以决定一个等差数列(从几何上看两点可以决定一条直线) 教学过程： 一、复习引入： 上两节课我们学习了数列的定义及给出数列和表示的数列的几种方法——列举法、通项公式、递推公式、图象法和前n 项和公式..这些方法从不同的角度反映数列的特点下面我们看这样一些例子 1．小明觉得自己英语成绩很差，目前他的单词量只 yes,no,you,me,he 5个他 决定从今天起每天背记10个单词，那么从今天开始，他的单词量逐日增加，依次为：5，15，25，35，… （问：多少天后他的单词量达到3000？） 2．小芳觉得自己英语成绩很棒，她目前的单词量多达3000她打算从今天起不 再背单词了，结果不知不觉地每天忘掉5个单词，那么从今天开始，她的单词量逐日递减，依次为：3000，2995，2990，2985，… （问：多少天后她那3000个单词全部忘光？） 从上面两例中，我们分别得到两个数列 ① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2980，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ ·共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等——应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N +，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得{}n a 的首项 是1a ，公差是d ，则据其定义可得： d a a =-12即：d a a +=12 高中数学等差数列教案3篇 教案是教师为顺利而有效地开展教学活动，根据课程标准，教学大纲和教科书要求及学生的实际情况，以课时或课题为单位，对教学内容、教学步骤、教学方法等进行的具体设计和安排的一种实用性教学文书。下面是为大家收集等差数列教案，希望你们能喜欢。 等差数列教案一 【教学目标】 1. 知识与技能 (1)理解等差数列的定义，会应用定义判断一个数列是否是等差数列： (2)账务等差数列的通项公式及其推导过程： (3)会应用等差数列通项公式解决简单问题。 2.过程与方法 在定义的理解和通项公式的推导、应用过程中，培养学生的观察、分析、归纳能力和严密的逻辑思维的能力，体验从特殊 到一般，一般到特殊的认知规律，提高熟悉猜想和归纳的能力，渗透函数与方程的思想。 3.情感、态度与价值观 通过教师指导下学生的自主学习、相互交流和探索活动，培养学生主动探索、用于发现的求知精神，激发学生的学习兴趣，让学生感受到成功的喜悦。在解决问题的过程中，使学生养成细心观察、认真分析、善于总结的良好习惯。 【教学重点】 ①等差数列的概念;②等差数列的通项公式 【教学难点】 ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义;②等差数列的通项公式的推导过程. 【学情分析】 我所教学的学生是我校高一(7)班的学生(平行班学生)，经过一年的高中数学学习，大部分学生知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我在授课时注重从具体的生活实例出发，注重 引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展. 【设计思路】 1.教法 ①启发引导法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构;有利于突出重点，突破难点;有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性. ②分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积极性. ③讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点. 2.学法 引导学生首先从三个现实问题(数数问题、水库水位问题、储蓄问题)概括出数组特点并抽象出等差数列的概念;接着就等差数列概念的特点，推导出等差数列的通项公式;可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方法. 【教学过程】 一：创设情境，引入新课 2019-2019高考数学数列答题技巧解析 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。下面是查字典数学网整理的数学数列答题技巧，请考生学习。 高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。 有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。 探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。 近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面； (1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。 (2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。 (3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。 试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。 1、在掌握等差数列、等比数列的定义、性质、通项公式、前n项和公式的基础上，系统掌握解等差数列与等比数列综合题的规律，深化数学思想方法在解题实践中的指导作用，灵活地运用数列知识和方法解决数学和实际生活中的有关 问题。 2、在解决综合题和探索性问题实践中加深对基础知识、基本技能和基本数学思想方法的认识，沟通各类知识的联系，形成更完整的知识网络，提高分析问题和解决问题的能力。进一步培养学生阅读理解和创新能力，综合运用数学思想方法分析问题与解决问题的能力。 单靠“死”记还不行，还得“活”用，姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来，摒弃那些假话套话空话，写出自己的真情实感，篇幅可长可短，并要求运用积累的成语、名言警句等，定期检查点评，选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样，即巩固了所学的材料，又锻炼了学生的写作能力，同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等，达到“一石多鸟”的效果。 3、培养学生善于分析题意，富于联想，以适应新的背景，新的设问方式，提高学生用函数的思想、方程的思想研究数列问题的自觉性、培养学生主动探索的精神和科学理性的思维方法. 其实，任何一门学科都离不开死记硬背，关键是记忆有技巧， 等差数列 教学目的： 1．明确等差数列的定义，掌握等差数列的通项公式； 2．会解决知道n d a a n ,,,1中的三个，求另外一个的问题 教学重点：等差数列的概念，等差数列的通项公式 教学难点：等差数列的性质 教学过程： 引入：① 5，15，25，35，… 和 ② 3000，2995，2990，2985，… 请同学们仔细观察一下，看看以上两个数列有什么共同特征？？ 共同特征：从第二项起，每一项与它前面一项的差等于同一个常数（即等差）；（误：每相邻两项的差相等-----应指明作差的顺序是后项减前项），我们给具有这种特征的数列一个名字——等差数列 二、讲解新课： 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的 差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） ⑴．公差d 一定是由后项减前项所得，而不能用前项减后项来求； ⑵．对于数列{n a },若n a －1-n a =d (与n 无关的数或字母)，n ≥2，n ∈N + ，则此数列是等差数列，d 为公差 2．等差数列的通项公式：d n a a n )1(1-+=【或=n a d m n a m )(-+】 等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则据其定义可 得：d a a =-12即：d a a +=12 d a a =-23即：d a d a a 2123+=+= d a a =-34即：d a d a a 3134+=+= …… 由此归纳等差数列的通项公式可得：d n a a n )1(1-+= ∴已知一数列为等差数列，则只要知其首项1a 和公差d ，便可求得其通项a 如数列①1，2，3，4，5，6； n n a n =?-+=1)1(1（1≤n ≤6） 数列②10，8，6，4，2，…； n n a n 212)2()1(10-=-?-+=（n ≥1） 数列③ ;,1,54 ;53,52;51Λ 5 51)1(51n n a n =?-+=（n ≥1） 由上述关系还可得：d m a a m )1(1-+= 即：d m a a m )1(1--= 则：=n a d n a )1(1-+=d m n a d n d m a m m )()1()1(-+=-+-- 即的第二通项公式 =n a d m n a m )(-+ ∴ d=n m a a n m -- 如：d a d a d a d a a 43212345+=+=+=+= 三、例题讲解 例1 ⑴求等差数列8，5，2…的第20项 ⑵ -401是不是等差数列-5，-9，-13…的项？如果是，是第几项？ 数列 一、等差数列与等比数列 1.基本量的思想： 常设首项、（公差）比为基本量，借助于消元思想及解方程组思想等。转化为“基本量”是解决问题的基本方法。 2.等差数列与等比数列的联系 1）若数列{}n a 是等差数列，则数列}{n a a 是等比数列，公比为d a ，其中a 是常数，d 是{}n a 的公差。 （a>0且a ≠1）； 2）若数列{}n a 是等比数列，且0n a >，则数列{}log a n a 是等差数列，公差为log a q ，其中a 是常数且 0,1a a >≠，q 是{}n a 的公比。 3）若{}n a 既是等差数列又是等比数列,则{}n a 是非零常数数列。 3.等差与等比数列的比较 4、典型例题分析 【题型1】等差数列与等比数列的联系 例1 （2010陕西文16）已知{}是公差不为零的等差数列，a1＝1，且a1，a3，a9成等比数列.（Ⅰ）求数列{}的通项;（Ⅱ）求数列{2}的前n项和. 解：（Ⅰ）由题设知公差d≠0， 由a1＝1，a1，a3，a9成等比数列得12 1 d + ＝ 18 12 d d + + ， 解得d＝1，d＝0（舍去），故{}的通项＝1+（n－1）×1＝n. (Ⅱ)由（Ⅰ）知2m a=2n，由等比数列前n项和公式得 2+22+23+…+22(12) 12 n - - 21-2. 小结与拓展：数列{}n a是等差数列，则数列} {n a a是等比数列，公比为d a，其中a是常数，d是{}n a的公差。（a>0且a≠1）. 【题型2】与“前n项和与通项”、常用求通项公式的结合 例2 已知数列{}的前三项与数列{}的前三项对应相同，且a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n对任意的n∈N*都成立，数列{＋1－}是等差数列．求数列{}与{}的通项公式。 解：a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1＝8n(n∈N*) ① 当n≥2时，a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－2－1＝8(n－1)(n∈N*) ② ①－②得2n－1＝8，求得＝24－n， 在①中令n＝1，可得a1＝8＝24－1， ∴＝24－n(n∈N*)．由题意知b1＝8，b2＝4，b3＝2，∴b2－b1＝－4，b3－b2＝－2， ∴数列{＋1－}的公差为－2－(－4)＝2，∴＋1－＝－4＋(n－1)×2＝2n－6， 高中数学数列教学课件 高中数学数列教学课件 一、教材分析 1、教材的地位和作用： 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后的作用。一方面，数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面，学习数列也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关概念和给出数列的两种方法——通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了学习对比的依据。 2、教学目标 根据教学大纲的要求和学生的实际水平，确定了本次课的教学目标 a在知识上：理解并掌握等差数列的概念；了解等差数列的通项公式的推导过程及思想；初步引入"数学建模"的思想方法并能运用。 b在能力上：培养学生观察、分析、归纳、推理的能力；在领会函数与数列关系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力；通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。 c在情感上：通过对等差数列的研究，培养学生主动探索、勇于 发现的求知精神；养成细心观察、认真分析、善于总结的良好思维习惯。 3、教学重点和难点 根据教学大纲的要求我确定本节课的教学重点为： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 由于学生第一次接触不完全归纳法，对此并不熟悉因此用不完全归纳法推导等差数列的同项公式是这节课的一个难点。同时，学生对"数学建模"的思想方法较为陌生，因此用数学思想解决实际问题是本节课的另一个难点。 二、学情教法分析： 对于三中的高一学生，知识经验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了教强的抽象思维能力和演绎推理能力，所以我在授课时注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。 针对高中生这一思维特点和心理特征，本节课我采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题。 三、学法指导： 在引导分析时，留出学生的思考空间，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的 等差数列复习 知识归纳 1. 等差数列这单元学习了哪些内容？ 2. 等差数列的定义、用途及使用时需注意的问题: n ≥2，a n －a n －1＝d (常数) 3. 等差数列的通项公式如何？结构有什么特点？ a n ＝a 1＋(n －1) d a n ＝An ＋B (d ＝A ∈R ) 4. 等差数列图象有什么特点？单调性如何确定？ 5. 用什么方法推导等差数列前n 项和公式的?公式内容? 使用时需注意的问题? 前n 项和公式结构有什么特点? 2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= S n ＝An 2＋Bn (A ∈R) 注意: d ＝2A ! 6. 你知道等差数列的哪些性质? 等差数列{a n }中，(m 、 n 、p 、q ∈N+): ①a n ＝a m ＋(n －m )d ； ②若 m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； 等差数列 d ＜ 0d ＞0 ③由项数成等差数列的项组成的数列仍是等差数列； ④每n项和S n, S2n－S n , S3n－S2n…组成的数列仍是等差数列. 知识运用 1.下列说法: (1)若{a n}为等差数列,则{a n2}也为等差数列 (2)若{a n} 为等差数列,则{a n＋a n＋1}也为等差数列 (3)若a n＝1－3n,则{a n}为等差数列. (4)若{a n}的前n和S n＝n2＋2n＋1, 则{a n}为等差数列. 其中正确的有( (2)(3) ) 2. 等差数列{a n}前三项分别为a－1,a＋2, 2a＋3, 则a n＝3n－2 . 3.等差数列{an}中, a1＋a4＋a7＝39, a2＋a5＋a8＝33, 则a3＋a6＋a9＝27 . 4.等差数列{a n}中, a5＝10, a10＝5, a15＝0 . 5.等差数列{a n}, a1－a5＋a9－a13＋a17＝10, a3＋a15＝20 . 6. 等差数列{a n}, S15＝90, a8＝ 6 . 7.等差数列{an}, a1= －5, 前11项平均值为5, 从中抽去一项,余下的平均值为4, 则抽取的项为( A ) A. a11 B. a10 C. a9 D. a8 8.等差数列{a n}, Sn＝3n－2n2, 则( B) A. na1＜S n＜na n B. na n＜S n＜na1 C. na n＜na1＜S n D. S n＜na n＜na1 能力提高 1. 等差数列{a n}中, S10＝100, S100＝10, 求S110. 2. 等差数列{a n}中, a1＞0, S12＞0, S13＜0,S1、S2、…S12哪一个最大？ 课后作业《习案》作业十九. 二、题型选析： 题型一、计算求值（等差数列基本概念的应用） 1、.等差数列{a n }的前三项依次为 a-6 ，2a -5 ， -3a +2 ，则 a A . -1 B . 1 C .-2 D. 2 2．在数列 {a n } 中， a 1=2，2a n+1=2a n +1，则 a 101的值为 （ ） A ．49 B ．50 C ． 51 D ．52 3．等差数列 1，－ 1，－ 3，?，－ 89的项数是（ ） 等差数列 一．等差数列知识点： 知识点 1、等差数列的定义 : ①如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列 就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示 知识点 2、等差数列的判定方法 : ②定义法：对于数列 a n ，若a n 1 a n d （常数） ，则数列 a n 是等差数列 ③等差中项：对于数列 a n ，若2a n 1 a n a n 2，则数列 a n 是等差数列 知识点 3、等差数列的通项公式 : 的首项是 a 1 ，公差是 d ，则等差数列的通项为 该公式整理后是关于 n 的一次函数 n 项和 : n （n 1） ⑥ S n na 1 d 2 ④如果等差数列 a n a n a 1 （n 1）d 知识点 4、等差数列的前 ⑤ Sn n （a 1 a n ） 2 对于公式 2整理后是关于 n 的没有常数项的二次函数 知识点 5、等差中项 : ⑥如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与b 的等差中项即： A a b 或2A a b 在一个等差数列中，从第 2 项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项 与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项 知识点 6、等差数列的性质 : ⑦等差数列任意两项间的关系：如果 且 m n ，公差为 d ，则有 a n a m （n ⑧ 对于等差数列 a n ，若 n m p a n 是等差数列的第 n 项， a m 是等差数列的第 m 项， m ）d q ，则 a n a m a p a q 也就是： a 1 a n a 2 a n 1 a 3 a n 2 ⑨若数列 a n 是等差数列， 等差数列如下图所示： S n 是其前 n 项的和， k N ，那么 S k ， S 2k S k ， S 3k S 2k 成 S 3k a 1 a 2 a 3 S k a k a k 1 S 2k a 2k S k a 2k 1 S 3k S 2k a 3k ①若项数为 2n n * ， 则 S 2n n a n a n 1 ， 且 S 偶 S 奇 S 奇 nd ， 奇 an ． ②若项数为 2n 1 n S 偶 a n 1 S 奇 n （其中 S 奇 na n ， S 偶 n 1 a n ）． S 偶 n 1 奇 等差数列的前 n 项和的性质： 10、 ，则 S 2n 1 2n 1 a n ，且 S 奇 S 偶 a n ， 等于（ ） 高中数学50个解题小技巧 XX：__________ 指导：__________ 日期：__________ 1 . 适用条件 [直线过焦点]，必有ecosA=(x-1)/(x+1)，其中A为直线与焦点所在轴夹角，是锐角。x为分离比，必须大于1。 注：上述公式适合一切圆锥曲线。如果焦点内分(指的是焦点在所截线段上)，用该公式;如果外分(焦点在所截线段延长线上)，右边为(x+1)/(x-1)，其他不变。 2 . 函数的周期性问题(记忆三个) (1)若f(x)=-f(x+k)，则T=2k;(2)若f(x)=m/(x+k)(m不为0)，则T=2k;(3)若f(x)=f(x+k)+f(x-k)，则T=6k。 注意点：a.周期函数，周期必无限b.周期函数未必存在最小周期，如：常数函数。 c.周期函数加周期函数未必是周期函数，如：y=sinxy=sin派x相加不是周期函数。 3 . 关于对称问题(无数人搞不懂的问题)总结如下 (1)若在R上(下同)满足：f(a+x)=f(b-x)恒成立，对称轴为x=(a+b)/2(2)函数y=f(a+x)与y=f(b-x)的图像关于x=(b-a)/2对称;(3)若f(a+x)+f(a-x)=2b，则f(x)图像关于(a， b)中心对称 4 . 函数奇偶性 (1)对于属于R上的奇函数有f(0)=0;(2)对于含参函数，奇函数没有偶次方项，偶函数没有奇次方项(3)奇偶性作用不大，一般用于选择填空 5 . 数列爆强定律 (1)等差数列中：S奇=na中，例如S13=13a7(13和7为下角标);(2)等差数列中： S(n)、S(2n)-S(n)、S(3n)-S(2n)成等差(3)等比数列中，上述2中各项在公比不为负一时成等比，在q=-1时，未必成立(4)等比数列爆强公式：S(n+m)=S(m)+q2mS(n)可以迅速求q 6 . 数列的终极利器，特征根方程 首先介绍公式：对于an+1=pan+q(n+1为下角标，n为下角标)，a1已知，那么特征根x=q/(1-p)，则数列通项公式为an=(a1-x)p2(n-1)+x，这是一阶特征根方程的运用。 二阶有点麻烦，且不常用。所以不赘述。希望同学们牢记上述公式。当然这种类型的数列可以构造(两边同时加数) 7 . 函数详解补充 1、复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外 2、复合函数单调性：同增异减 3、重点知识关于三次函数：恐怕没有多少人知道三次函数曲线其实是中心对称图形。它有一个对称中心，求法为二阶导后导数为0，根x即为中心横坐标，纵坐标可以用x带入原函数界定。另外，必有唯一一条过该中心的直线与两旁相切。 8 . 常用数列bn=n×(22n)求和Sn=(n-1)×(22(n+1))+2记忆方法 前面减去一个1，后面加一个，再整体加一个2 9 . 适用于标准方程(焦点在x轴)爆强公式 k椭=-{(b2)xo｝/{(a2)yo｝k双={(b2)xo｝/{(a2)yo｝k抛=p/yo 注：(xo，yo)均为直线过圆锥曲线所截段的中点。 10 . 强烈推荐一个两直线垂直或平行的必杀技 已知直线L1：a1x+b1y+c1=0直线L2：a2x+b2y+c2=0若它们垂直：(充要条件)a1a2+b1b2=0;若它们平行：(充要条件)a1b2=a2b1且a1c2≠a2c1[这个条件为了 澳瀚教育 学习是一个不断积累的过程，不积跬步无以至千里，不积小流无以 成江海，在学习中一定要持之以恒，相信自己，你一定可以获得成功！ 高中数学 一、定义 1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d ”表示） 2．等差数列的通项公式： d n a a n )1(1-+= (=n a d m n a m )(-+) 3．有几种方法可以计算公差d ① d=n a －1-n a ② d = 11--n a a n ③ d =m n a a m n -- 定义：若a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中 5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，73645142,a a a a a a a a +=++=+ 性质1：在等差数列{}n a 中，若m+n=p+q ，则，q p n m a a a a +=+ 即 m+n=p+q ?q p n m a a a a +=+ (m, n, p, q ∈N ) 二．例题讲解。 一.基本问题 例1：在等差数列{}n a 中 111111(1)(1)2()2, (1)(1)2()2, .m n p q m n p q a a a m d a n d a n m d d a a a p d a q d a p q d d a a a a +=+-++-=++-+=+-++-=++-∴+=+证明：高中数学等差数列性质总结大全
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