(完整版)证明切线的两种方法
证明切线的两种方法
朱元生
判定直线与圆相切是有关圆的问题中经常会遇到的问题,现将常用的两种思路与方法说明如下： 一、运用判定定理是证明切线最常用的方法,即如果直线与圆有交点,则连接交点与圆心得半径,只要证明这条半径与该直线垂直即可.这种方法可简单概括为:连半径,证垂直.
例1 如图1,在△ABC 中,AB=AC,以AB 为直径的⊙O 交BC 于点D,过点D 作DE ⊥AC 于E. 求证:DE 是⊙O 的切线.
分析:由题设可知,DE 与⊙O 有交点D,要证明DE 是⊙O 的切线,只要连接OD,证明OD ⊥DE 即可. 证明:连接OD.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠ODB.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∴∠ODB=∠ACB. ∴OD ∥AC.
∴∠ODE=∠DEC.
∵DE ⊥AC,
∴∠DEC=900.
∴∠ODE=900, 即OD ⊥DE .
∴DE 是⊙O 的切线.
二 、当不明确直线与圆的交点个数或交点的位置时,可以经过圆心作直线的垂线,然后证明圆心到直线的距离等于圆的半径即可.这种方法可简单概括为:作垂线,证半径.
例2 如图2,在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,以点O 为圆心,6为半径作⊙O.
求证:AB 是⊙O 的切线.
分析:由题设知,⊙O 与直线AB 是独立的,既没有指明交点个数,也没有指明交点位置,这时要证明AB 是⊙O 的切线,只能证明圆心O 到直线AB 的距离等于圆的半径6即可.
证明:过点O 作OC ⊥AB 于点C.
在Rt △AOB 中,AO=53,BO=56,由勾股定理,得
AB=()()1556532222=+=+OB OA .
根据三角形面积公式,得OB OA OC AB ?=?2
121. ∴OC=615
5653=?=?AB OB OA . ∴点O 到直线AB 的距离等于⊙O 的半径.
∴AB 是⊙O 的切线.
[牛刀小试]
如图3,,点O 是等腰三角形ABC 底边BC 的中点,若AB 是⊙O 的切线,试证明AC 也是⊙O 的切线.
提示: 设点D 为AB 与⊙O 的切点,连接OD,过点O 作OE ⊥AC 于点E,证明OE=OD 即可.
图3
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类型 类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线
如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点.求证：AC 与⊙D 相切. 练习4 如图，O 为正方形ABCD 对角线AC 上一点，以O 为圆心，OA 长为半径的⊙O 与BC 相切于点M ，与AB 、AD 分别相交于点E 、F. 求证：CD 与⊙O 相切. 练习5 如图，在Rt △ABC 中，∠B=90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ， E 为AB 上的一点，DE=DC ，以D 为圆心，DB 长为半径作⊙D ，AB=5，EB=3. （1）求证：AC 是⊙D 的切线; （2）求线段AC 的长. 圆的有关计算 类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题 练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m ，半圆的直径为4 m ，则圆心O 所经过的路线长是______m.(结果用π表示) 练习2 如图所示，Rt △ABC 的边BC 位于直线l 上， AC=, ∠ACB=90°,∠A=30°,若Rt △ ABC 由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A 第3次落在直线l 上时，点A 所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示) 3
与圆的切线有关的计算与证明25712
与圆的切线有关的计算与证明（1） 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小． 图Z12－2
解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. (1)求证：AP＝AB； (2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长． 图Z12－3 中考预测答图 解：(1)证明：∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC， ∵AB是⊙O的切线，∴OB⊥AB，
29-3与切线有关的计算与证明
与切线有关的计算与证明 1.若正四边形的内切圆半径为r ，外接圆半径为R ，边长为a ，则=a R r :: ( ) A:22:2:1 B.2:2:1 C.4:2:1 D.2:2:1 2.正三角形的边长、边心距。外接圆半径之比为 （ ） A.32:2:1 B.2:1:32 C.1:32:2 D.1:2:32 3.如图所示，三个半径为3的圆两两外切，且ABC ?的每一边都与其中的两个圆相切，那 么ABC ?的周长是 ( ) A.3612+ B.31212+ C.3618+ D.31218+ 4.如图所示，点D C B A 、、、在同一个圆上，BC AD 、延长线相交于点DC AB Q 、，延长线相交于点P ,若?=∠50A ,?=∠35P ,则______=∠Q . 5.如图所示，已知⊙O 与⊙O 内切，半径B O A O 21、分别切⊙O 于点D C 、，若两圆半径分别为9和3，则______2=∠D CO . 6.已知⊙1O 与⊙2O 交于B A 、两点，⊙1O 的半径2=R ，⊙2O 的半径2=r ，2=AB ， 则_________21=O O . 7.如图所示，PB PA 、与⊙O 分别切于B A 、两点， 50=∠AOP ,则=∠PAB ， =∠OPB ,如果,22=OC 28=CP ，则=AO .
8.（10·道里一模）如图，ABC ?中，AB =AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ，直线 DE 交AC 于E ；DE 与AC 具有怎样的位置关系时才能保证DE 与⊙O 相切？请你证 明你的结论； 9.(09道里一模）如图，已知AB 是半圆⊙O 的直径，过O 作弦AC 的垂线交半⊙O 于D ， 交切线 AE 于E ，连接BD 、CD . 求证：BDC ∠=E ∠. 10.如图，在 Rt ABC ?中，C ∠= ?90，以BC 为直径 OE DE E AC D AB O 、连结的中点取于点交⊙作,, （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）如果的长。，求，的半径是⊙AB ED O cm 2cm 2 3 =
圆切线的有关证明和计算
圆切线的有关证明和计算 已知：如图，在Rt ABC △中，90C ∠= ，点O 在AB 上，以O 为圆心，OA 长为半径的圆与AC AB ，分别交于点D E ，，且CBD A ∠=∠． （1）判断直线BD 与O 的位置关系，并证明你的结论； （2）若:8:5AD AO =，2BC =，求BD 的长． 解：（1） （2） 已知：如图，在△ABC 中，AB=AC,AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交AE 于点M,经过 B,M 两点的⊙O 交BC 于点G,交AB 于点F,FB 恰为⊙O 的直径. （1）求证：AE 与⊙O 相切； （2）当BC=4,cosC= 1 3 时，求⊙O 的半径. （１）通过平行找垂直。如果以下几种题型 如图，已知△ABC ，以AB 为直径的⊙O 经过BC 的中点D ，DE ⊥AC 于E . (1)求证:DE 是⊙O 的切线； (2)若2 1 cos = C , 6DE =, 求⊙O 的直径. 已知：如图，⊙O 为ΔABC 的外接圆，BC 为⊙O 的直径，作射线BF 使得BA 平分 ∠CBF ，过点A 作A D ⊥BF 于D （１）求证：DA 为⊙O 的切线 （２）若BD=1,⊙O 的半径为2 5 ，求tan ∠BAD F A D B O C (2)通过计算角的度数找垂直 如果以下题型 D C O A B E
10.已知，A 是⊙O 上一点，半径的延长线与过点A 的直线交于B 点，OC=BC,AC= 2 1 OB 。 （１）求证：AB 是⊙O 的切线 （２）若∠ACD=４５°,OC=2,求弦CD 的长 D O C A B 已知如图，点D 是⊙O 的直径延长线上一点，点B 在⊙O 上，且OA=AB=AD (1)求证：BD 是⊙O 的切线 (2)若点E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ，且BE=８,tan ∠BFA= 2 5 ,求⊙O 的半径 B F E D A O C 已知：如图，在⊿ABC 中，D 是AB 边上一点，⊙O 过 A,B,C 三点，∠DOC=2∠ACD=90° A (1)求证：直线AC 是⊙O 的切线； D (2)如果∠ACB=75°,⊙O 的半径为２,求BD 的长 B C O (3)根据角与角的关系推导 已知：如图，AB 是O 的直径，BC 切O 于B ，AC 交O 于P ，D 为BC 边的中点，连结DP ． (1) DP 是O 的切线； (2) 若3 cos 5 A ， O 的半径为5， 求DP 的长. 如图，D 是⊙O 的直径CA 延长线上一点，点 B 在⊙O 上， 且AB ＝AD ＝AO ． （1）求证：BD 是⊙O 的切线； （2）若E 是劣弧BC 上一点，AE 与BC 相交于点F ， O P C D B A
有关切线的几种常见的证明方法
有关切线的几种常见的证明方法与计算 一、与等腰三角形、平形线的性质有关 1.已知：如图7，在△ABC 中，∠BAC =120°，AB =AC ，BC =43，以A 为圆心，2为半径作⊙A ，试问：直线BC 与⊙A 的关系如何并证明你的结论. A B C D O 2．如图，点D 在O ⊙的直径AB 的延长线上，点C 在O ⊙上，AC CD =，30D ∠=°， 求证：CD 是O ⊙的切线； 3．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为 直径的⊙O 交BC 于点D AC 于点E ． 求证：DE 是⊙O O B
4．已知：如图，△ABC中，AC=BC，以BC为直径的⊙O交AB于E点，直线EF⊥AC于F．求证：EF与⊙O相切． 5. 已知：如图，AB为O⊙的直径，AB AC BC =，交O⊙于 点D，AC交O⊙于点45 ，°． E BAC ∠= （1）求EBC =． ∠的度数；（2）求证：BD CD 6．已知：如图，PA切⊙O于A点，PO∥AC，BC是⊙O的直径．请问：直线PB是否与⊙
O 相切说明你的理由． 二、与等弧、垂径定理有关 7.如图，AB 是⊙O 的的直径，BC ⊥AB 于点B ，连接OC 交⊙O 于点E ，弦AD ⊥（1）求证：点E 是 ⌒ BD 的中点；（2）求证：CD 是⊙O 的切线； 8.（2010年浙江杭州）已知：如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 为圆上两点，且弧⌒ CB ＝ ⌒ CD 弧 CD ，CF ⊥AB 于点F ，CE ⊥AD 的延长线于点E ．求 证：DE ＝BF ； A O F E D
证明圆的切线方法
证明圆的切线方法 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠ BDE, ⌒ ⌒
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类型 类型1已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB 垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C 是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB 交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
类型2未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切. 练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切. 练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线; （2）求线段AC的长.
23、（本题满分7分）（2014-2015学年（上）厦门市数学九年级质量检测） 如图8，已知AB 是⊙O 的直径，点D 在⊙O 上，C 是⊙O 外一点。 若AD ∥OC ，直线BC 与⊙O 相交，判断直线CD 与⊙O 的位置关系，并说明理由。 23．（本题满分7分）（2015—2016学年(上)厦门市九年级质量检测） 如图7，在□ABCD 中，∠ABC ＝70°，半径为r 的⊙O 经过点A ，B ，D ，︵AD 的长是πr 2 ，延长CB 至点P ，使得PB ＝AB ．判断直线PA 与⊙O 的位置关系，并说明理由． 图7B O B A C 图8D
切线证明及计算
倒线段。 如图，AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，连接BC ，AC ，作OD ∥BC 与过点A 的切线交于点D ，连接DC 并延长交AB 的延长线于点E ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 =，求cos ∠ABC 的值． 倒角，圆心角与圆周角 已知：如图，△ABC 内接于⊙O ，OH AC ⊥于H ，30B ∠=0 ，过A 点的直线与OC 的延长 线交于点D ，0 30CAD ∠= ，AD = （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若E 为⊙O 上一动点，连接AE 交直线OD 于点P ，问：是否存在点P ,使得P A+PH 的值最小，若存在求P A+PH 的最小值，若不存在，说明理由 . 一、圆的基本知识： 怎样证切线？垂径定理 如图，AB 为⊙O 直径，C 、D 为⊙O 上不同于A 、B 的两点，∠ABD=2∠BAC ，连接CD .过点C 作CE ⊥DB ，垂足为E ，直线AB 与CE 相交于F 点. （1）求证：CF 为⊙O 的切线； （2）当BF =5,3 sin 5F =时，求BD 的长. 3 2 A
同弧所对圆周角 如图，AB 为⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于点H ，过点B 作⊙O 的切线与AD 的延长线交于F ． （1）求证：ABC F ∠=∠ （2）若sinC=3 5 ，DF=6，求⊙O 的半径． . 圆内接四边形 如图，已知BC 为⊙O 的直径， EC 是⊙O 的切线，C 是切点，EP 交⊙O 于点A ，D ，交 CB 延长线于点P . 连接CD ，CA ，AB . （1）求证：∠ECD =∠EAC ； （2）若PB =OB=2，CD =3，求P A 的长. 直径对直角 如图，已知⊙O 的直径AB 与弦CD 互相垂直，垂足为点E ．⊙O 的切线BF 与弦AC 的延长线相交于点 F ，且AC=8，tan ∠BDC=． （1）求⊙O 的半径长； （2）求线段CF 长． 圆心是中点 如图，线段BC 切⊙O 于点C ，以AC 为直径，连接AB 交⊙O 于点D ，点E 是BC 的中点， 交AB 于点D ，连结OB 、DE 交于点F ． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若4 AC =，BC =求EF FD 的值． B
(完整版)圆的切线的证明复习(教案)
专题复习----圆的切线证明教案 积石山县吹麻滩中学秦明礼 一、温习梳理 1、切线的定义:直线和圆有公共点时，这条直线叫圆的切线。 2、切线的性质:圆的切线于过切点的半径。 3、切线的判定:⑴和圆只有公共点的直线是圆的切线。 ⑵到圆心距离半径的直线是圆的切线。 ⑶经过半径的外端并且于这条半径的直线是圆的切线。 4、证明直线与圆相切，一般有两种情况： ⑴已知直线与圆有公共点，则连，证明。 ⑵不知直线与圆有公共点，则作，证明垂线段的长等于。
二、课前检测: 1.如图，AC为⊙O直径，B为AC延长线上的一点，BD交⊙O于点D， ∠BAD=∠B=30° （1）求证：BD是⊙O的切线； （2）请问：BC与BA有什么数量关系？写出这个关系式，并说明理由。 三、活动于探究: 1．如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD的中点.求证：GE是⊙O的切线.
2．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，以AB 为直径作⊙O 交BC 于D ， DE ⊥AC 于E ．求证：DE 是⊙O 的切线． 3．如图，点O 在∠APB 的平分线上，⊙O 与PA 相切于点C ． (1) 求证：直线PB 与⊙O 相切； (2) PO 的延长线与⊙O 交于点E ．若⊙O 的半径为3，PC=4．求弦CE 的长． O A E B C D
4．如图，RT ?ABC 中，∠ABC=90O ，以 AB 为直径作⊙O 交边于点D ，E 是BC 边的中点，连接DE ． （1）求证：直线DE 是⊙O 的切线； （2）连接OC 交DE 于点F ，若OF=CF ， 求tan ∠ACO 的值． 四、反馈检测: 如图，AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC ． 求证：DE 是⊙O 的切线． 五、小结回顾： 1、本节课我们学习了：圆的切线的判定。 2、证明圆的切线的基本思路是：如果切点已知，需连接圆心做半径，证明半径和要证的切线垂直即可。而要证明垂直则需三种方法——平行、互余、全等。 B C E B A O F D
圆的切线计算与证明题
圆的切线证明与计算专题训练 1.如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于E，B为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF与⊙O相切. 2.如图，AD是∠BAC的平分线，P为BC延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA与⊙O相切. 3.如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 4.如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，且∠CAB=30O，BD=OB，D在AB的延长线上. 求证：DC是⊙O的切线.
5.如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于点E. 求证：AC是⊙D的切线. 6.如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点D是弧BC的中点，DP⊥AC，垂足为点P. 求证：PD是⊙O的切线. 7.已经⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连接CO，若AD//OC交⊙O于D. 求证：CD是⊙O的切线. 8.如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90O，弦BD=BA，AB=12，BC=5,BE⊥DC交DC的延长线与点E. 求证：BE是⊙O的切线.
9.如图，在△ABC中，∠C=90O，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经过点 D. （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BD=5，求AC的长. 10.如图，已知CD是△ABC中AB边上的高，以CD为直径的⊙O分别交CA，CB于点E，F，点G是AD的中点. （1）求证：GE是⊙O的切线； （2）若OC=5，CE=6，求AE的长. 11.如图，在Rt△ABC中，∠A的平分线交BC于D，E为AB上一点，DE=DC，以D为圆心，以DB的长为半径作圆. （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）求证：AB+EB=AC. 12.如图，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于D，作DE⊥BC于E. （1）求证：DE为⊙O的切线； （2）作DG⊥AB交⊙O于G，垂足为F，∠A=30O，AB=8，求DG的长.
与圆的切线有关的计算与证明(2)
与圆的切线有关的计算与证明(1) 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12- 1,0 O的切线PC交直径AB的延长线于点P, C为切点，若/ P =30°,0 O的半径为1,贝U PB的长为1 . 图Z12- 1 经典母题答图 【解析】如答图，连结0C. ??PC 为O O 的切线，.?./PC0 = 90 在RtSCP 中，??OC= 1,/P = 30°, ??0P= 20C= 2, ??PB= OP- 0B= 2- 1= 1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；⑵已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直. 【中考变形】 [2017天津]已知AB是O 0的直径，AT是O 0的切线，/ ABT= 50°, BT交O0于点C, E是AB上一点，延长CE交O 0于点D. (1) 如图Z12-2①，求/ T和/CDB的大小； (2) 如图②，当BE= BC时，求/ CD0的大小.
解：⑴如答图①，连结AC , ??AT 是。O 的切线，AB 是。O 的直径, ??AT 丄 AB ,即/ TAB = 90°, ? 50°,?d 90°-/ ABT = 40 由AB 是O O 的直径，得/ ACB = 90° ? Q AB = 90°』ABC = 40°,/-CDB =/CAB = 40°; ⑵如答图②，连结AD , 在厶 BCE 中，BE = BC ,/ EBC = 50 ? / BCE =/BEC = 65°, ?/ BAD = /BCD = 65 ? OA = OD ，?/ ODA =/ OAD = 65 ? / ADC =/ ABC = 50°, ? / CDO =/ ODA -/ADC = 65°- 50°= 15 【中考预测】 [2017宿迁]如图Z12-3, AB 与。O 相切于点B , BC 为。O 的弦，OC 丄OA , OA 与BC 相交于点 P. 图 Z12- 2 中考变形答图① 中考变形答图②
圆证明切线的练习题
圆证明切线的练习题 1. 如图，AB是⊙O的直径，⊙O交BC的中点 于D，DE⊥AC，E是垂足. 求证：DE是⊙O的切线；如果AB=5,tan∠B=的长. 2．如图，△ABC中，AB=AE，以AB为直径作⊙O交BE 于C，过C作CD⊥AE于D， 1C ,求CE B DC的延长线与AB的延长线交于点P . 求证：PD是⊙O的切线；若AE=5，BE=6，求DC的长. 3.在Rt△ABC 中，∠C=90 ? ， BC=9， CA=12，∠ABC的平分线 BD交AC于点D， DE⊥DB交AB于点E，⊙O是△BDE的外接圆， 交BC于点F 求证:AC是⊙O的切线; 联结EF，求 4.已知：如图，△ABC中，AB=AC=5，BC=6，以AB为直径作⊙O交AC于点D，交BC于点E，EF⊥AC于F交AB的延长线于G. 求证：FG是⊙O的切线；求AD的长.
证明： 1 A EF 的值. AC 5．如图，点A、B、F在?O上，?AFB?30?，OB的延长线交直线AD于点D，过点 B作BC?AD于C，?CBD?60?，连接AB. 求证：AD是?O 的切线； 若AB?6，求阴影部分的面积. 6．已知：如图，AB是⊙O的直径，E是AB延长线上的一点，D是⊙O上的一点，且AD平分∠FAE，ED⊥AF交AF 的延长线于点C．判断直线CE与⊙O的位置关系，并证明你的结论； A 若AF∶FC=5∶3，AE=16，求⊙O的直径AB的长． 7．如图，以等腰?ABC中的腰AB为直径作⊙O，交底边BC于点D．过点D作DE?AC，垂足为E．求证：DE为⊙O的切线； 8.如图，已知R t△ABC，∠ABC＝90°，以直角边 AB为直径作O，交斜边AC于点D，连结BD．
证明圆的切线的两种常用方法教案
证明圆的切线的两种常用方法 一、教学目的要求： 1.知识目的： （1）掌握切线的判定定理. （2）应用切线的判定定理证明直线是圆的切线，掌握圆的切线证明问题中辅助线的添加方法. ２.能力目的： （1）培养学生动手操作能力. （2）培养学生观察、探索、分析、总结、推理论证等能力. 3.情感目的： 通过直观教具的演示和指导学生动手操作的过程，激发学生学习几何的积极性。 二、教学重点、难点 1.重点：切线的判定定理. 2.难点：圆的切线证明问题中，辅助线的添加方法. 三、教学过程： （一）复习引入 回答下列问题：（口述） 1.直线和圆有哪三种位置关系？这三种位置关系是如何定义？如何判定的？ 2.什么叫做圆的切线？根据这个定义我们可以怎样来判定一条直
线是不是一个圆的切线？ ①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线. ②与圆心的距离等于半径的直线是圆的切线. ③经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. （要求学生举手回答，教师用教具演示） （二）新课讲解 证明直线与圆相切是一类常见题目，解决这类问题常用的方法有两种。 方法一、连接半径，证明垂直 若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直。 例1 如图（1）所示，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交于BC于D，作DE⊥AC于E。求证：DE为⊙O的切线。 证明：连结OD ∵OB=OD ∴∠B=∠ODB ∵AB=AC ∴∠B=∠C ∴∠ODB=∠C ∵DE⊥AC ∴∠C+∠CDE=90° ∴∠ODB+∠CDE=90°
∴∠ODE=90°，即DE⊥OD ∴DE是⊙O的切线。 例2 如图（2）所示，AB是⊙O的直径，过A点作⊙O的切线，在切线上任取一点C，连结OC交⊙O于D，连结BD并延长交AC 于E，求证：CD是△ADE外接圆的切线。 证明：取AE的中点F，连结FD。 ∵AB为直径， ∴AD⊥BD ∵FD=FE(=FA) ∴∠FED=∠FDE ∵∠CDE=∠BDO=∠B ∠FEB+∠B=90° ∴∠FDE+∠CDE=90° 即FD⊥CD ∴CD是△ADE的外接圆的切线。 方法二、作垂线，证明半径 若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径。 例3 如图（3）所示，已知AB是⊙O的直径，AC⊥L于C，BD ⊥L于D，且AC+BD=AB。求证：直线L与⊙O相切。 证明：过O作OE⊥L于E。 ∵AC⊥L，BD⊥L，
[全]中考数学与圆的切线相关的证明与计算
中考数学与圆的切线相关的证明与计算 圆的切线：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. 一、圆的切线的判定及相关计算 1.如图，以△ABC 的边AB 为直径作⊙O，与BC 交于点D，点E 是弧BD 的中点， 连接AE 交BC 于点F，∠ACB＝2∠BAE . 求证：AC 是⊙O 的切线． 例题1图 【分析】连接AD，利用等弧所对圆周角相等及∠ACB＝2∠BAE 可得到∠BAD ＝∠BCA， 再结合直径所对圆周角为直角即可得证． 证明：如解图，连接AD.
例题1解图 ∵点E 是弧BD 的中点， ∴弧BE ＝弧DE， ∴∠1＝∠2 . ∵∠BAD＝2∠1, ∠ACB＝2∠1， ∴∠ACB＝∠BAD. ∵ AB为⊙O 直径， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∴∠DAC＋∠C＝90°. ∵∠C＝∠BAD， ∴∠DAC＋∠BAD＝90°. ∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC. 又∵ AB 是⊙O 的直径， ∴ AC 是⊙O 的切线． 证明切线的常用方法： 1．直线与圆有交点，“连半径，证垂直”． (1) 图中有90°角时，证垂直的方法如下： ① 利用等角代换： 通过互余的两个角之间的等量代换得证； ② 利用平行线性质证明垂直： 如果有与要证的切线垂直的直线，则证明半径与这条直线平行即可；
③ 利用三角形全等或相似： 通过证明切线和其他两边围成的三角形与含90°的三角形全等或相似得证． (2)图中无90°角时： 利用等腰三角形的性质，通过证明半径为所在等腰三角形底边的中线或角平分线， 再根据“ 三线合一” 的性质得证． 2．直线与圆无交点，“作垂线，证相等”． 2.如图，在Rt△ABC 中，∠C＝90°，⊙O 是△ABC 的外接圆，点D 在⊙O 上，且弧AD＝弧CD , 过点D 作CB 的垂线，与CB 的延长线相交于点E，并与AB 的延长线相交于点F . (1) 求证：DF 是⊙O 的切线； (2) 若⊙O 的半径R＝5，AC＝8，求DF 的长． 例题2图 【解析】 (1) 证明：如解图，连接DO 并延长，与AC 相交于点P. 例题2解图
九年级数学下册小专题七与圆的切线有关的计算与证明练习新版湘教版
小专题(七) 与圆的切线有关的计算与证明 1．如图，已知Rt△ABC，∠ABC＝90°，以直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于点D，连接BD.取BC的中点E，连接ED，求证：ED与⊙O相切． 证明：连接OD. ∵OD＝OB， ∴∠OBD＝∠BDO. ∵AB是直径(已知)， ∴∠ADB＝90°. ∴∠ADB＝∠BDC＝90°. 在Rt△BDC中，E是BC的中点， ∴BE＝CE＝DE.∴∠DBE＝∠BDE. 又∵∠ABC＝∠OBD＋∠DBE＝90°， ∴∠ODE＝∠BDO＋∠BDE＝90°. ∵OD是⊙O的半径， ∴ED与⊙O相切． 2．如图，四边形ABCD为菱形，△ABD的外接圆⊙O与CD相切于点D，交AC于点E. (1)判断⊙O与BC的位置关系，并说明理由； (2)若CE＝2，求⊙O的半径r. 解：(1)⊙O与BC相切． 理由：连接OD，OB， ∵⊙O与CD相切于点D， ∴OD⊥CD，∠ODC＝90°.
∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ＝CD ＝CB. ∵OD ＝OB ，OC ＝OC ，CB ＝CD. ∴△OBC ≌△ODC.∴∠OBC ＝∠ODC ＝90°. 又∵OB 为半径，∴⊙O 与BC 相切． (2)∵AD ＝CD ，∴∠ACD ＝∠CAD. ∵AO ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ODA. ∵∠COD ＝∠OAD ＋∠ADO ， ∴∠COD ＝2∠ACD. 又∵∠COD ＋∠ACD ＝90°， ∴∠ACD ＝30°.∴OD ＝12 OC ， 即r ＝12 (r ＋2)． ∴r ＝2. 3．如图，已知AB 是⊙O 的直径，且AB ＝12，AP 是半圆的切线，点C 是半圆上的一动点(不与点A ，B 重合)，过点C 作CD ⊥AP 于点D ，记∠COA ＝α. (1)当α＝60°时，求CD 的长； (2)当α为何值时，CD 与⊙O 相切？说明理由． 解：(1)过点C 作CE ⊥AB 于点E. 在Rt △OCE 中， OE ＝OC ·cos ∠COA ＝12 ×6＝3， 则CD ＝OA －OE ＝6－3＝3. (2)当∠α＝90°时，CD 与⊙O 相切． 理由：∠α＝90°，则在四边形OCDA 中， ∠COA ＝∠OAD ＝∠CDA ＝90°，
证明圆的切线的七种常用方法
证明圆的切线的七种常用方法 类型1、有公共点：连半径，证垂直 方法1、勾股定理逆定理法证垂直 1.如图，⊙O的直径AB =12，点P 是AB 延长线上一点，且PB =4，点C是⊙O上一点，PC=8. 求证：PC是⊙O的切线. 方法2、特殊角计算法证垂直 2. 如图，△ABC内接于⊙O，∠B =60°，CD是⊙O 的直径，点P是CD延长线上一点，且AP=AC. （1）求证：P A是⊙O的切线； （2）若PD=5，求⊙O的直径. 方法3、等角代换法证垂直 3.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC的中点，以AC为直径的⊙O交AB于点E. 求证：DE是⊙O的切线. 方法4、平行线性质法证垂直 4.如图，已知四边形OABC的三个顶点A，B，C在以O为圆心的半圆上，过点C作CD⊥AB，分别交AB，AO的延长线于点D，E，AE交半圆O于点F，连接CF，且∠E=30°， 点B是︵ AC的中点. (1)判断直线DE与半圆O的位置关系，并说明理由； (2)求证：CF=OC； (3)若⊙O的半径是6，求DC的长. A B P O C A C B P D O A E B D O C A O F E C D B
方法5、全等三角形法证垂直 5.如图，AB 是⊙O 的直径，点C ，D 在⊙O 上，且四边形AOCD 是平行四边形，过点D 作⊙O 的切线，交OC 的延长线于点F ，连接BF . 求证：BF 是⊙O 的切线. 类型2、无公共点：作垂直，证半径 方法6、角平分线性质法证半径 6.如图，在Rt △ABC 中，∠B =90°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 是AB 上一点，DE =DC ，以点D 为圆心，BD 长为半径作OD ，AB =5，EB =2. (1)求证：AC 是OD 的切线； (2)求线段AC 的长. 方法7、全等三角形法证半径 7.如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD +BC =CD ，以AB 为直径作⊙O . 求证：⊙O 与边CD 相切. A O B C D F A B C D E A O B C D
(完整版)证明圆的切线经典例题(最新整理)
证明圆的切线方法及例题 证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l 过⊙O 上某一点A ，证明l 是⊙O 的切线，只需连OA ，证明OA ⊥l 就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径的⊙O 交BC 于D ，交AC 于E ，B 为切点的切线交OD 延长线于F. 求证：EF 与⊙O 相切. 证明：连结OE ，AD. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴AD ⊥BC. 又∵AB=BC ， ∴∠3=∠4. ∴BD=DE ，∠1=∠2. 又∵OB=OE ，OF=OF ， ∴△BOF ≌△EOF （SAS ）. ∴∠OBF=∠OEF. ∵BF 与⊙O 相切， ∴OB ⊥BF. ∴∠OEF=900. ∴EF 与⊙O 相切. 说明：此题是通过证明三角形全等证明垂直的 ⌒ ⌒
例2 如图，AD 是∠BAC 的平分线，P 为BC 延长线上一点，且PA=PD. 求证：PA 与⊙O 相切. 证明一：作直径AE ，连结EC. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠DAB=∠DAC. ∵PA=PD ， ∴∠2=∠1+∠DAC. ∵∠2=∠B+∠DAB ， ∴∠1=∠B. 又∵∠B=∠E ， ∴∠1=∠E ∵AE 是⊙O 的直径， ∴AC ⊥EC ，∠E+∠EAC=900. ∴∠1+∠EAC=900. 即OA ⊥PA. ∴PA 与⊙O 相切. 证明二：延长AD 交⊙O 于E ，连结OA ，OE. ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴BE=CE ， ∴OE ⊥BC. ∴∠E+∠BDE=900. ∵OA=OE ， ∴∠E=∠1. ∵PA=PD ， ∴∠PAD=∠PDA. 又∵∠PDA=∠BDE, ⌒ ⌒
与圆的切线有关的计算与证明
与圆的切线有关的计算与证明 类型之一与切线的性质有关的计算或证明 【经典母题】 如图Z12－1，⊙O的切线PC交直径AB的延长线于点P，C为切点，若∠P ＝30°，⊙O的半径为1，则PB的长为__1__． 图Z12－1 经典母题答图 【解析】如答图，连结OC. ∵PC为⊙O的切线，∴∠PCO＝90°， 在Rt△OCP中，∵OC＝1，∠P＝30°， ∴OP＝2OC＝2， ∴PB＝OP－OB＝2－1＝1. 【思想方法】(1)已知圆的切线，可得切线垂直于过切点的半径；(2)已知圆的切线，常作过切点的半径，得到切线与半径垂直． 【中考变形】 [2017·天津]已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，∠ABT＝50°，BT交⊙O于点C，E是AB上一点，延长CE交⊙O于点D. (1)如图Z12－2①，求∠T和∠CDB的大小； (2)如图②，当BE＝BC时，求∠CDO的大小．
图Z12－2 解：(1)如答图①，连结AC， ∵AT是⊙O的切线，AB是⊙O的直径， ∴AT⊥AB，即∠TAB＝90°， ∵∠ABT＝50°，∴∠T＝90°－∠ABT＝40°， 由AB是⊙O的直径，得∠ACB＝90°， ∴∠CAB＝90°－∠ABC＝40°，∴∠CDB＝∠CAB＝40°； 中考变形答图①中考变形答图② (2)如答图②，连结AD， 在△BCE中，BE＝BC，∠EBC＝50°， ∴∠BCE＝∠BEC＝65°，∴∠BAD＝∠BCD＝65°， ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD＝65°， ∵∠ADC＝∠ABC＝50°， ∴∠CDO＝∠ODA－∠ADC＝65°－50°＝15°. 【中考预测】 [2017·宿迁]如图Z12－3，AB与⊙O相切于点B，BC为⊙O的弦，OC⊥OA，OA与BC相交于点P. (1)求证：AP＝AB； (2)若OB＝4，AB＝3，求线段BP的长．
证明圆的切线的两种类型训练
证明圆的切线的两种类 型训练 https://www.360docs.net/doc/729660780.html,work Information Technology Company.2020YEAR
证明圆的切线的两种类型 类型1 已知直线与圆的交点【方法】“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直” 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 练习1 (湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C， OC=CP=2，弦AB垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 练习2 (德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O 的切线，C是AD的中点，AE交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 练习3 (临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积.
类型2 未知直线与圆的交点【方法】作垂直，证半径，得切线 如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切. 练习4 如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切. 练习5 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB 上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线; （2）求线段AC的长. 圆的有关计算 类型1 动态几何中弧长或扇形的面积问题 练习1 已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50 m，半圆的直径为4 m，则圆心O所经过的路线长是______m.(结果用π表示) 练习2 如图所示，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC=3,∠ACB=90°,∠ A=30°,若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动地翻转，当点A第3次落在直线l 上时，点A所经过的路线长为______.(结果用含π的式子表示)
九年级数学： 证明圆的切线的两种类型习题
小专题证明圆的切线的两种类型 类型1已知直线与圆的交点 【例1】如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M. 求证：DM与⊙O相切. 【方法总结】直线过圆上某一点，证明直线是圆的切线时，只需“连半径，证垂直，得切线”.“证垂直”时通常利用圆中的关系得到90°的角，如直径所对的圆周角等于90°等. 变式练习1(湖州中考改编)如图，已知P是⊙O外一点，PO交⊙O于点C，OC=CP=2，弦AB垂直平分OC. (1)求BC的长； (2)求证：PB是⊙O的切线. 变式练习2(德州中考)如图，已知⊙O的半径为1，DE是⊙O的直径，过D作⊙O的切线，C是AD的中点，AE 交⊙O于B点，四边形BCOE是平行四边形. (1)求AD的长； (2)BC是⊙O的切线吗？若是，给出证明，若不是，说明理由. 变式练习3(临沂中考)如图，已知等腰三角形ABC的底角为30°，以BC为直径的⊙O与底边AB交于点D，过D 作DE⊥AC，垂足为E. (1)证明：DE为⊙O的切线； (2)连接OE，若BC=4，求△OEC的面积. 类型2未知直线与圆的交点 【例2】如图，AB=AC，D为BC中点，⊙D与AB切于E点.求证：AC与⊙D相切.
【方法总结】直线与圆没有已知的公共点时，通常“作垂直，证半径，得切线”.证明垂线段的长等于半径常用的方法是利用三角形全等或者利用角平分线上的点到角的两边的距离相等. 变式练习4如图，O为正方形ABCD对角线AC上一点，以O为圆心，OA长为半径的⊙O与BC相切于点M，与AB、AD分别相交于点E、F. 求证：CD与⊙O相切. 变式练习5如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠BAC的平分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE=DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D，AB=5，EB=3. （1）求证：AC是⊙D的切线; （2）求线段AC的长. 参考答案 类型1已知直线与圆的交点 【例1】 法一：连接OD. ∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠BDO=∠B. ∴∠BDO=∠C. ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC，∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切. 法二：连接OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC.∵AB=AC, ∴∠BAD=∠CAD. ∵DM⊥AC，∴∠CAD+∠ADM=90°. ∵OA=OD，∴∠BAD=∠ODA. ∴∠ODA+∠ADM=90°.即OD⊥DM， ∴DM是⊙O的切线. 变式练习1(1)