北师大版数学高二选修2-3学案第二章2超几何分布

§2

超几何分布

[对应学生用书P23]

超几何分布

已知在8件产品中有3件次品，现从这8件产品中任取2件，用X 表示取得的次品数． 问题1：X 可能取哪些值？ 提示：0,1,2.

问题2：“X ＝1”表示的试验结果是什么？P (X ＝1)的值呢？ 提示：任取2件产品中恰有1件次品．

P (X ＝1)＝C 13C 1

5

C 28

.

问题3：如何求P (X ＝k )？(k ＝0,1,2)

提示：P (X ＝k )＝C k 3C 2－

k 5C 28

.

超几何分布

一般地，设有N 件产品，其中有M (M ≤N )件是次品．从中任取n (n ≤N )件产品，用X 表示取出的n 件产品中次品的件数，那么

P (X ＝k )＝C k M C n －

k

N －M

C n

N

(其中k 为非负整数)． 如果一个随机变量的分布列由上式确定，则称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．

(1)超几何分布，实质上就是有总数为N 件的两类物品，其中一类有M (M ≤N )件，从所有物品中任取n 件，这n 件中所含这类物品的件数X 是一个离散型随机变量，它取值为k

时的概率为P (X ＝k )＝C k M C n －

k N －M

C n N

①(k ≤l ，l 是n 和M 中较小的一个)．

(2)在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式①求出X 取不同值时的概率P ，从而写出X 的分布列．

[对应学生用书P23]

利用超几何分布公式求概率

[例1] 个红球，20个白球，这些球除颜色外完全相同．现一次从中摸出5个球，若摸到4个红球1个白球的就中一等奖，求中一等奖的概率．

[思路点拨] 若以30个球为一批产品，则球的总数30可与产品总数N 对应，红球数10可与产品中总的不合格产品数对应，一次从中摸出5个球，即n ＝5，这5个球中红球的个数X 是一个离散型随机变量，X 服从超几何分布．

[精解详析] 若以30个球为一批产品，其中红球为不合格产品，随机抽取5个球，X 表示取到的红球数，则X 服从超几何分布．

由公式得P (X ＝4)＝C 410C 5－

420C 530

＝70023751≈0.0295，

所以获一等奖的概率约为2.95%.

[一点通] 解决此类问题的关键是先判断所给问题是否属于超几何分布问题，若是，则可直接利用公式求解，要注意M ，N ，n ，k 的取值．

1．一批产品共10件，次品率为20%，从中任取2件，则正好取到1件次品的概率是( ) A.28

45 B.1645 C.1145

D.1745

解析：由题意10件产品中有2件次品，故所求概率为P ＝C 12C 18

C 210＝1645

.

答案：B

2．设10件产品中，有3件次品，现从中抽取5件，用X 表示抽得次品的件数，则X 服从参数为________(即定义中的N ，M ，n )的超几何分布．

答案：10,3,5

3．从6名男同学和4名女同学中随机选出3名同学参加一项竞技测试．试求出选3名同学中，至少有一名女同学的概率．

解：设选出的女同学人数为X ，则X 的可能取值为0,1,2,3，且X 服从参数为N ＝10，M

＝4，n ＝3的超几何分布，于是选出的3名同学中，至少有一名女同学的概率为：P (X ≥1)

＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝C 14C 26C 310＋C 24C 16C 310＋C 34C 06C 310＝56或P (X ≥1)＝1－P (X ＝0)＝1－C 04C 36

C 3

10

＝5

6

.

超几何分布的分布列

[例2] (10分)从5名男生和3名女生中任选3人参加某运动会火炬接力活动，若随机变量X 表示所选3人中女生的人数，求X 的分布列及P (X <2)．

[思路点拨] 可以将8人看作8件“产品”，3名女生看作3件“次品”，任选3人中女生的人数可看作是任取3件“产品”中所含的“次品”数．

[精解详析] 由题意分析可知，随机变量X 服从超几何分布．其中N ＝8，M ＝3，n ＝3，

(2分)

所以P (X ＝0)＝C 35C 03C 38＝528，P (X ＝1)＝C 25C 13C 38＝1528，P (X ＝2)＝C 15C 23C 38＝1556，P (X ＝3)＝C 05C 3

3

C 38

＝

1

56

. (8分)

从而随机变量X 的分布列为

X ＝k 0 1 2 3 P (X ＝k )

528

1528

1556

156

所以P (X <2)＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝528＋1528＝5

7

.

(10分)

[一点通] 解答此类题目的关键在于先分析随机变量是否服从超几何分布，如果满足超几何分布的条件，则直接利用超几何分布概率公式来解．当然，本例也可通过古典概型解决．

4．(重庆高考改编)一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．

(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；

(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X 的分布列．(注：若三个数a ，b ，c 满足a ≤b ≤c ，则称b 为这三个数的中位数．)

解：(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p ＝C 34＋C 3

3C 3

9＝5

84

.

(2)X 的所有可能值为1,2,3，且P (X ＝1)＝C 24C 15＋C 34C 39

＝17

42，P (X ＝2)＝C 13C 14C 12＋C 23C 16＋C 33C 3

9＝43

84

， P (X ＝3)＝C 22C 17

C 39＝112

，

故X 的分布列为

5．某饮料公司招聘了一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别．公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求其员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料．若4杯都选对，则月工资定为3 500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2 800元；否则月工资定为2 100元．令X 表示此人选对A 饮料的杯数．假设此人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力．

(1)求X 的分布列；

(2)用Y 表示新录用员工的月工资，求Y 的分布列． 解：(1)X 的所有可能取值为0,1,2,3,4.

P (X ＝k )＝C k 4C 4－

k 4C 48

(k ＝0,1,2,3,4)． 则X 的分布列为

(2)令Y 表示新录用员工的月工资，则Y 的所有可能取值为2 100,2 800,3 500. 则P (Y ＝3 500)＝P (X ＝4)＝

170

， P (Y ＝2 800)＝P (X ＝3)＝8

35，

P (Y ＝2 100)＝P (X ≤2)＝53

70，

则Y 的分布列为

Y ＝k 2 100 2 800 3 500 P (Y ＝k )

5370

835

170

1．超几何分布描述的是不放回抽样问题，从形式上看超几何分布的模型，其产品有较明显的两部分组成．

2．在超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出随机变量X 取k 时的概率P (X ＝k )，从而列出随机变量X 的分布列．

[对应课时跟踪训练(十)]

1．一个小组有6人，任选2名代表，求其中甲当选的概率是( ) A.1

2 B.1

3 C.14

D.15

解析：设X 表示2名代表中有甲的个数，X 的可能取值为0,1， 由题意知X 服从超几何分布，其中参数为N ＝6，M ＝1，n ＝2，

则P (X ＝1)＝C 11C 15

C 26＝13

.

答案：B

2．在一个口袋中装有5个白球和3个黑球，这些球除颜色外完全相同，从中摸出3个球，至少摸到2个黑球的概率等于( )

A.2

7 B.38 C.37

D.928

解析：黑球的个数X 服从超几何分布，则至少摸到2个黑球的概率P (X ≥2)＝P (X ＝2)

＋P (X ＝3)＝C 23C 15C 38＋C 33C 05

C 38＝27

.

答案：A

3．某12人的兴趣小组中，有5名“三好生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X 表

示这6人中“三好生”的人数，则C 35C 3

7

C 612

是表示的概率是( )

A ．P (X ＝2)

B ．P (X ＝3)

C ．P (X ≤2)

D ．P (X ≤3)

解析：6人中“三好生”的人数X 服从超几何分布，其中参数为N ＝12，M ＝5，n ＝6，

所以P (X ＝3)＝C 35C 37

C 612

.

答案：B

4．从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A 的概率为( )

A.C 34C 248C 552

B.C 348C 2

4C 552

C ．1－C 148C 44

C 552

D.C 34C 248＋C 44C 148C 5

52

解析：设X 为抽出的5张扑克牌中含A 的张数．

则P (X ≥3)＝P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 34C 248C 552＋C 44C 148

C 552

.

答案：D

5．某小组共有10名学生，其中女生3名，现选举2名代表，至少有1名女生当选的概率为________．

解析：至少有1名女生当选包括1男1女，2女两种情况，概率为C 13C 17＋C 2

3C 210＝8

15

. 答案：815

6．知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，小张抽4题，则小张抽到选择题至少2道的概率为________．

解析：由题意知小张抽到选择题数X 服从超几何分布(N ＝10，M ＝6，n ＝4)， 小张抽到选择题至少2道的概率为：

P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝C 26C 24C 410＋C 36C 14C 410＋C 46C 04

C 410＝3742

.

答案：37

42

7．一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X 是一个随机变量，求X 的分布列．

解：由题意知，旧球个数X 的所有可能取值为3,4,5,6.

则P (X ＝3)＝C 33C 312＝1220，P (X ＝4)＝C 23C 1

9

C 312＝27220，

P (X ＝5)＝C 29C 13C 312＝108220＝2755，P (X ＝6)＝C 39

C 312＝84220＝2155

.

所以X 的分布列为

8．在一次购物抽奖活动中，假设10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品，有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品，其余6张没有奖品．

(1)顾客甲从10张奖券中任意抽取1张，求中奖次数X 的分布列． (2)顾客乙从10张奖券中任意抽取2张． ①求顾客乙中奖的概率；

②设顾客乙获得的奖品总价值Y 元，求Y 的分布列．

解：(1)抽奖一次，只有中奖和不中奖两种情况，故X 的取值只有0和1两种情况． P (X ＝1)＝C 14

C 110＝410＝25

，

则P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)＝1－25＝3

5.

因此X 的分布列为

(2)①顾客乙中奖可分为互斥的两类：所抽取的2张奖券中有1张中奖或2张都中奖．

故所求概率P ＝C 14C 16＋C 24C 06C 2

10＝3045＝2

3

. ②Y 的所有可能取值为0,10,20,50,60，且

P (Y ＝0)＝C 04C 26

C 210＝1545＝13，

P (Y ＝10)＝C 13C 16

C 210＝1845＝25，

P (Y ＝20)＝C 23C 06

C 210＝345＝115，

P (Y ＝50)＝C 11C 16

C 210＝645＝215，

P (Y ＝60)＝C 11C 13

C 210＝345＝115

.

因此随机变量Y的分布列为