2010年北京市中考数学试卷(含答案)

2010年北京市高级中等学校招生考试

数学试卷

学校 姓名 准考证号

考 生 须 知

1. 本试卷共6页，共五道大题，25道小题，满分120分。考试时间120分钟。

2. 在试卷和答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号。

3. 试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。

4. 在答题卡上，选择题、作图题用2B 铅笔作答，其它试题用黑色字迹签字笔作答。

5. 考试结束，将本试卷、答题卡和草稿纸一并交回。

一、选择题 (本题共32分，每小题4分)

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的 1. -2的倒数是 (A) -

2

1 (B)

2

1 (C) -

2 (D) 2。

2. 2010年6月3日，人类首次模拟火星载人航天飞行试验 “火星-500”正式启动。包括中国志愿

者王跃在内的6名志愿者踏上了为期12480小时的 “火星之旅”。将12480用科学记数法表示

应为 (A) 12.48?103 (B) 0.1248?105 (C) 1.248?104 (D) 1.248?103。 3. 如图，在△ABC 中，点D 、E 分AB 、AC 边上，DE //BC ，若AD ：AB =3：4， AE =6，则AC 等于 (A) 3 (B) 4 (C) 6 (D) 8。

4. 若菱形两条对角线的长分别为6和8，则这个菱形的周长为 (A) 20 (B) 16 (C) 12 (D) 10。

5. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9、10这十个数中随机取出一个数，取出 的数是3的倍数的概率是 (A)

5

1 (B)

10

3 (C )

3

1 (D)

2

1。

6. 将二次函数y =x 2-2x +3化为y =(x -h )2+k 的形式，结果为 (A) y =(x +1)2+4 (B) y =(x -1)2+4 (C) y =(x +1)2+2 (D) y =(x -1)2+2。

7. 10名同学分成甲、乙两队进行篮球比赛，它们的身高(单位：cm )如下表所示：

设两队队员身高的平均数依次为甲x ，乙x ，身高的方差依次为2甲S ，2

乙S ，则下列关系中完

全正

队员1 队员2 队员3 队员4 队员5 甲队 177 176 175 172 175 乙对

170

175

173

174

183

A

B

C

D E

确的是 (A) 甲x =乙x ，2甲S >2乙S (B) 甲x =乙x ，2甲S <2乙S (C) 甲x >乙x ，2甲S >2

乙S (D)

甲x <乙x ，

2甲S >2乙S 。

8. 美术课上，老师要求同学们将右图所示的白纸只沿虚线剪开，用裁开 的纸片和白纸上的阴影部份围成一个立体模型，然后放在桌面上，下 面四个示意图中，只有一个符合上述要求，那么这个示意图是

当字母C 第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C 第2n +1次 出现时(n 为正整数)，恰好数到的数是 (用含n 的代数式表示)。 三、解答题 (本题共30分，每小题5分)

13. 计算：??

? ??31-1-20100

+|-43|-tan60?。

B

14. 解分式方程4

23-x -

2

-x x =

2

1。

15. 已知：如图，点A 、B 、C 、D 在同一条直线上，EA ⊥AD ， FD ⊥AD ，AE =DF ，AB =DC 。求证：∠ACE =∠DBF 。

16. 已知关于x 的一元二次方程x 2

-4x +m -1=0有两个相等的实数根，求m 的值及方程的根。

17. 列方程或方程组解应用题：

2009年北京市生产运营用水和居民家庭用水的总和为5.8亿立方米，其中居民家庭用水比生

产运营用水的3倍还多0.6亿立方米，问生产运营用水和居民家庭用水各多少亿立方米。

18. 如图，直线y =2x +3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 。 (1) 求A 、B 两点的坐标；

(2) 过B 点作直线BP 与x 轴交于点P ，且使OP =2OA ， 求△ABP 的面积。

四、解答题 (本题共20分，每小题5分)

19. 已知：如图，在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB =DC =AD =2， BC =4。求∠B 的度数及AC 的长。

20. 已知：如图，在△ABC 中，D 是AB 边上一点，圆O 过D 、B 、C 三点，

A

B D

E

F

A

B

C

D

A

D

∠DOC =2∠ACD =90?。

(1) 求证：直线AC 是圆O 的切线；

(2) 如果∠ACB =75?，圆O 的半径为2，求BD 的长。

21. 根据北京市统计局的2006-2009年空气质量的相关数据，绘制统计图如下： (1) 由统计图中的信息可知，北京全年

22. 阅读下列材料：

小贝遇到一个有趣的问题：在矩形ABCD 中，AD =8cm ，AB =6cm 。 现有一动点P 按下列方式在矩形内运动：它从A 点出发，沿着AB 边夹角为45?的方向作直线运动，每次碰到矩形的一边，就会改变 运动方向，沿着与这条边夹角为45?的方向作直线运动，并且它一 直按照这种方式不停地运动，即当P 点碰到BC 边，沿着BC 边夹

2006-2009年北京全年市区空气质量 圖1

1

P 2

角为45?的方向作直线运动，当P 点碰到CD 边，再沿着与CD 边 夹角为45?的方向作直线运动，…，如图1所示， 问P 点第一次与D 点重合前与边相碰几次，P 点第一次与D 点重合时所经过的路线的总长是多 少。小贝的思考是这样开始的：如图2，将矩形 ABCD 沿直线CD 折迭，得到矩形A 1B 1CD ，由 轴对称的知识，发现P 2P 3=P 2E ，P 1A =P 1E 。 请你参考小贝的思路解决下列问题：

(1) P 点第一次与D 点重合前与边相碰 次；

P 点从A 点出发到第一次与D 点重合时所经过的路径的总长是 cm ；

(2) 近一步探究：改变矩形ABCD 中AD 、AB 的长，且满足AD >AB ，动点P 从A 点出发， 按照阅读材料中动点的运动方式，并满足前后连续两次与边相碰的位置在矩形ABCD 相

邻的两边上。若P AB ：AD 的值为 。 五、解答题 (本题共22分) 23. 已知反比例函数y =

x

k (1) (2) 点O 是坐标原点，OB 。判断点B 是否在此

，过P 点作x 轴的垂线， 上存在一点Q ，使得△OQM 的面积是21

，设Q 点的纵坐标

24. 在平面直角坐标系xOy 中，抛物线y = -

4

1-m x 2+4

5m x +m 2-3m +2

与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条抛物线上。 (1) 求点B 的坐标；

(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的 垂线，与直线OB 交于点E 。延长PE 到点D 。使得ED =PE 。

A 1

1

B 1

圖2

以PD为斜边在PD右侧作等腰直角三角形PCD(当P点运动

时，C点、D点也随之运动)

当等腰直角三角形PCD的顶点C落在此抛物线上时，求OP的长；

若P点从O点出发向A点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA上另一

点Q从A点出发向O点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q点到达O点时停止运动，P点也同时停止运动)。过Q点作x轴的垂线，与直线AB交于点F。延长QF

到点M，使得FM=QF，以QM为斜边，在QM的左侧作等腰直角三角形QMN(当Q

点运动时，M点，N点也随之运动)。若P点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分

别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值。

25. 问题：已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。

探究∠DBC与∠ABC度数的比值。

请你完成下列探究过程：

先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。

(1) 当∠BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。

观察图形，AB与AC的数量关系为；

当推出∠DAC=15?时，可进一步推出∠DBC的度数为；

可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为；

(2) 当∠BAC≠90?时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值

是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。

2010年北京市高级中等学校招生考试

A C

B

数学试卷答案

一、选择题 1.A ， 2.C ， 3.D ， 4.A ， 5.B ， 6.D ， 7.B ， 8.B ， 二、填空题 9. x ≥2

1， 10. m (m +2)(m -2)， 11. 2， 12. B 、603、6n +3；

三、解答题

13. 解：原式=3-1+43-3=2+33。

14. 解：去分母，得3-2x =x -2。整理，得3x =5。解得x =3

5。经检验，x =

3

5是原方程式的解。

所以原方程式的解是x =

3

5。

15. 证明：∵AB =DC ，∴AC =DB ，∵EA ⊥AD ，FD ⊥AD ，∴∠A =∠D =90?。在△EAC 与△FDB 中，

。

。

得???+==+6

.038.5x y y x ，

y =3。∴B 点坐标为(0，

(2) 设P 点坐标为(x ,0)，依题意，得x =±3，∴P 点坐标分别为P 1(3，0)或P 2(-3，0)。 ∴1

ABP S ?=

2

1?(

2

3+3)?3=

4

27，2

ABP S ?=

2

1?(3-

2

3)?3=

4

9，∴△ABP 的面积为

4

27或

4

9。

四、解答题

19. 解法一：分别作AF ⊥BC ，DG ⊥BC ，F 、G 是垂足。 ∴∠AFB =∠DGC =90?，∵AD //BC ，∴四边形AFGD 是矩形。 ∴AF =DG ，∵AB =DC ，∴Rt △AFB ?Rt △DGC 。∴BF =CG ，

A

C

D

∵AD =2，BC =4，∴BF =1，在Rt △AFB 中，∵cos B =

AB

BF =

2

1，

∴∠B =60?，∵BF =1，∴AF =3，∵FC =3，由勾股定理， 得AC =23，∴∠B =60?，AC =23。 解法二：

过A 点作AE //DC 交BC 于点E ，∵AD //BC ，∴四边形 AECD 是平行四边形。∴AD =EC ，AE =DC ， ∵AB =DC =AD =2，BC =4，∴AE =BE =EC =AB 。 可证△BAC 是直角三角形，△ABE 是等边三角形， ∴∠BAC =90?，∠B =60?。在Rt △ABC 中， AC =AB ?tan60?=23，，∴∠B =60?，AC =23。

五、解答题：

23. 解：(1) 由题意得1=

3

-k ，解得k = -3，∴反比例函数的解析式为y = -

x

3；

(2) 过点A 作x 轴的垂线交x 轴于点C ，在Rt △AOC 中，OC =3， AC =1，可得OA =2

2

AC

OC

+=2，∠AOC =30?，由题意，∠AOB =30?，

OB =OA =2，∴∠BOC =60?，过点B 作x 轴的垂线交x 轴于点D 。

C

A

B

C

D E O

A 2

B 2

在Rt △BOD 中，可得BD =3，OD =1，∴B 点坐标为(-1，3)， 将x = -1代入y = -x

3中，得y =3，∴点B (-1，3)在反比例函

数y = -

x 3的图像上。

(3) 由y = -x

3得xy = -3，∵点P (m ，3m +6)在反比例函数y = -x

3的图像上，其中

m <0，

∴m (3m +6)= -3，∴m 2

+23m +1=0，∵PQ ⊥x 轴，∴Q

∵△OQM 的面积是2

1，∴

2

1OM ?QM =

2

1，∵m <0，∴mn = -1=0，

∴n 2-23n = -1，∴n 2-23n +9=8。

-3m +2=0，解得m 1=1，

m 2

5x ，∵点B (2，n )在拋

2=0

9

依题意作等腰直角三角形QMN ，设直线AB 的解析式为y =k 2x +b ，由点A (10，0)， 点B (2，4)，求得直线AB 的解析式为y = -2

1x +5，当P 点运动到t 秒时，两个等

腰

直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：

第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上。如图2所示。可证△DPQ 为等腰直角三

角形。此时OP 、DP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、2t 个单位。∴PQ =DP =4t ， ∴t +4t +2t =10，∴t =

7

10。

第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上。如图3所示。可证△PQM 为等腰直角三

角形。此时OP 、AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴OQ =10-2t ，∵F 点在

直线AB 上，∴FQ =t ，∴MQ =2t ，∴PQ =MQ =CQ =2t ，∴t +2t +2t =10，∴t =2。 第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM

OP 、

AQ 的长可依次表示为t 、2t 个单位。∴t +2t =10，∴t 的

∴∠BAC =2∠ACB =120?-2∠1，

∵∠1+(60?-∠1)+(120?-2∠1)+∠2=180?，∴∠2=2∠1， ∴∠DBC 与∠ABC 度数的比值为1：3。

A

图2