2018届闵行区高考数学一模(含答案)

上海市闵行区2018届高三一模数学试卷

2017.12

一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）

1. 集合{|03,}P x x x Z =≤<∈，2{|9}M x x =≤，则P

M =

2. 计算22lim 1n n C n →∞=+

3. 方程1lg 3lg 011

x x +-=的根是 4. 已知3

4(sin )(cos )55i αα-+-是纯虚数（i 是虚数单位），则sin()4π

α+=

5. 已知直线l 的一个法向量是(3,1)n =-，则l 的倾斜角的大小是

6. 从4名男同学和6名女同学中选取3人参加某社团活动，选出的3人中男女同学都有的不同选法种数 是 （用数字作答）

7. 在5(12)x +的展开式中，2x 项系数为 （用数字作答）

8. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90ACB ∠=?，4AC =，3BC =，1AB BB =， 则异面直线1A B 与11B C 所成角的大小是 （结果用反三角函数表示）

9. 已知数列{}n a 、{}n b 满足ln n n b a =，*n N ∈，其中{}n b 是等差数列，

且431007a a e ?=，则121009b b b ++???+=

10. 如图，向量OA 与OB 的夹角为120°，||2OA =，||1OB =，P 是以O 为圆心，

||OB 为半径的弧BC 上的动点，若OP OA OB λμ=+，则λμ的最大值是

11. 已知1F 、2F 分别是双曲线22

221x y a b

-=（0a >，0b >）的左右焦点，过1F 且倾斜角为 30°的直线交双曲线的右支于P ，若212PF F F ⊥，则该双曲线的渐近线方程是

12. 如图，在折线ABCD 中，4AB BC CD ===，120ABC BCD ∠=∠=?，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，若折线上满足条件PE PF k ?=的点P 至少有4个，则实数k 的取值范围是

二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）

13. 若空间中三条不同的直线1l 、2l 、3l ，满足12l l ⊥，2l ∥3l ，则下列结论一定正确的是（ ）

A. 13l l ⊥

B. 1l ∥3l

C. 1l 、3l 既不平行也不垂直

D. 1l 、3l 相交且垂直

14. 若0a b >>，0c d <<，则一定有（ ）

A. ad bc >

B. ad bc <

C. ac bd <

D. ac bd >

15. 无穷等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，前n 项和为n S （*n N ∈），则“10a d +>”是“{}n S 为递增数列”的（ ）条件

A. 充分非必要

B. 必要非充分

C. 充要

D. 既非充分也非必要

16. 已知函数122|1|log (1)1()2

3x x x n f x n x m ----≤≤??=??-<≤?（n m <）的值域是[1,1]-，有下列结论：

① 当0n =时，(0,2]m ∈；② 当12n =时，1(,2]2m ∈；③ 当1[0,)2

n ∈时，[1,2]m ∈； ④ 当1[0,)2

n ∈时，(,2]m n ∈； 其中结论正确的所有的序号是（ ）

A. ①②

B. ③④

C. ②③

D. ②④

三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）

17.

已知函数3()sin 2f x x x ωω=

（其中0ω>）. （1）若函数()f x 的最小正周期为3π，求ω的值，并求函数()f x 的单调递增区间；

（2）若2ω=，0απ<<，且3()2f α=，求α的值.

18. 如图，已知AB 是圆锥SO 的底面直径，O

是底面圆心，SO =，4AB =，P 是母线SA 的中点，C 是底面圆周上一点，60AOC ∠=?.

（1）求圆锥的侧面积；

（2）求直线PC 与底面所成的角的大小.

19. 某公司举办捐步公益活动，参与者通过捐赠每天的运动步数获得公司提供的牛奶，再将牛奶捐赠给留守儿童，此活动不但为公益事业作出了较大的贡献，公司还获得了相应的广告效益，据测算，首日参与活动人数为10000人，以后每天人数比前一天都增加15%，30天后捐步人数稳定在第30天的水平，假设此项活动的启动资金为30万元，每位捐步者每天可以使公司收益0.05元（以下人数精确到1人，收益精确到1元）.

（1）求活动开始后第5天的捐步人数，及前5天公司的捐步总收益；

（2）活动开始第几天以后公司的捐步总收益可以收回启动资金并有盈余？

20. 已知椭圆22

1109

x y +=的右焦点是抛物线2:2y px Γ=的焦点，直线l 与Γ相交于不同的 两点11(,)A x y 、22(,)B x y .

（1）求Γ的方程；

（2）若直线l 经过点(2,0)P ，求OAB ?的面积的最小值（O 为坐标原点）；

（3）已知点(1,2)C ，直线l 经过点(5,2)Q -，D 为线段AB 的中点，求证：||2||AB CD =.

21. 对于函数()y f x =（x D ∈），如果存在实数a 、b （0a ≠，且1a =，0b =不同时成立），使得()()f x f ax b =+对x D ∈恒成立，则称函数()f x 为“(,)a b 映像函数”.

（1）判断函数2()2f x x =-是否是“(,)a b 映像函数”，如果是，请求出相应的a 、b 的值，若不是，请说明理由；

（2）已知函数()y f x =是定义在[0,)+∞上的“(2,1)映像函数”，且当[0,1)x ∈时，()2x f x =，求函数()y f x =（[3,7)x ∈）的反函数；

（3）在（2）的条件下，试构造一个数列{}n a ，使得当1[,)n n x a a +∈（*n N ∈）时，1221[,)n n x a a +++∈，并求1[,)n n x a a +∈（*n N ∈）时，函数()y f x =的解析式，及()y f x =（[0,)x ∈+∞）的值域.

参考答案

一. 填空题

1. {0,1,2}

2. 12

3. 10x =

4.

5. 3π

6. 96

7. 40

8.

9. 2018

10. 12 11. y = 12. 9{,2}4--

二. 选择题

13. A 14.C 15. B 16. C

三. 解答题

17.（1）2())36f x x π=+，[3,3]2k k ππππ-++，k ∈Z ；（2）4π或12π. 18.（1）8π；（2）4

π. 19.（1）17490，3371；（2）第33天.

20.（1）24y x =；（2）（3）证0CA CB ?=，略.

21.（1）1a =-，0b =；（2）3

4()2x f x -=，[3,7)x ∈，12()4log 3f x x -=+，[1,2)x ∈；

（3）121n n a -=-，当1[,)n n x a a +∈，11(21)

2()2n n x f x ----=，值域[1,2).