浅谈中学数学教学中学生创新思维的培养

浅谈中学数学教学中学生创新思维的培养

吴菲

（湖南省长沙市周南中学中国长沙 410081）摘要：数学教学重要的是培养学生的思维能力，是未来的高科技信息社会中，具有开拓、创新意识的人才所必须具有的思维品质。本文就如何在数学教学中，培养学生的创新思维能力提出了一些见解。

一、在数学教学中，要精心设计，创设一定的思维情境，巧设悬念，使学生对所要解决的问题产生浓厚的兴趣，诱发学生的创造欲。二、要启迪学生的直觉思维，学生大胆猜想，发现结论，培养学生的创造机智。三、通过数学教学中的一题多解、一题多变，多题归一等训练，培养学生的发散思维，提高学生的创造思维能力。

关键词：创新思维、直觉思维、发散思维、教学过程、现代教育技术、最近发展区

“实施素质教育，培养学生创新能力”已成为我国教育教学改革的主旋律。创新思维的培养是高中阶段落实素质教育的重要标志，又是我们在每一个教学环节中应该贯彻的指导思想。从心理学与知识论的角度来看，教学的过程非常适合素质教育的要求，它能创造出培养创新能力的条件，能担当起培养学生创新意识，创新精神和创新能力的重任。笔者就中学数学教学中对学生创新思维的培养，谈一点自己的浅见。

一、设置问题情境，引发学生创新思维的意识

在数学教学中，学生的创造性思维的产生和发展，动机的形成，知识的获得，智能的提高，都离不开一定的数学情境。所以，精心设计数学情境，是培养学生创造性思维的重要途径。通过“过程”教学，学生的学习过程再也不是一个被动吸取知识、记忆、反复练习、强化储存的过程，而是一种主动参与，调动原有知识和经验尝试解决问题，

同化新知识，构建自己知识体系的过程。学生在获得数学概念、定理、法则、公式、解题方法等数学知识的同时，发展了抽象概括的思维能力和归纳能力，获得了参与创新性思考的机会，能力就在这一过程中得到了培养。

如“复数”概念的教学，先回顾总结从自然数集到实数集所经历

的几次数集的扩充历程及规律：自然数 非负有理数 有理数 实数。这个认识过程体现了如下规律：（1）扩充数集是解决社会生产与数学问题的需要；（2）每次扩充都是增加规定了性质的新元素；（3）在原数集内成立的主要规律在数集扩充后的更大范围内继续成立；（4）在每次扩充后的新数集里能解决原数集不能解决的问题。然后展示一个一元二次方程x 2 + 4 = 3x 由学生求解。学生：无解。老师：早在1484年法国学者舒开在

求出x=273-+和x=2

73--时，声明这两个根是不可能的，为什么？ 学生：7-没有意义，因为负数没有平方根。老师：看来，他和我们的看法一样，但是意大利学者卡当在1545年解一元三次方程x 3 = 15x +4时，首先他用自己得到的一元三次方程的求根公式得到x=31212-+ +31212--，然后他又用分解因式的方法找到了这个方程的三个解x 1 = 4，x 2= -2+3 ，x 3= -2-3 ,令人十分困惑，121- 使他好不容易得到的一元三次方程的求根公式蒙上了一层阴影。（那么他怎么办呢？好奇心得到激发）这一矛盾的出现迫使他进行大量的研究，最后他大胆地作出了一个猜想：一定有一种新型的数存在，也就是说在实数中添进一类型的数后，这个矛盾就可以解决了。直到二百年后，瑞士数学家欧拉首次使用i 2来表示-1，使负数没有平方根的历史结束了。后来又通过很多数学家的努力，终于在实数集内添进了卡当所预见的新型数----虚数。我们引入新的元素i 并规定：（1）它的平方等于-1，即i 2=-1;（2）实数可与它们进行四则混合运算，且原有的加、乘运算仍成立。由i 的性质，i 可以与实数b 相乘，再添进正分数 添进负整数、负分数 添进无理数

与实数a相加，因此可得到形如a + bi的数，这就是复数。当b=0时，它为实数；当b≠0时，它就是我们新添加的一类数----虚数。这样，使学生急于想了解复数到底是怎样的一种数，使学生有了追根求源之感，求知的热情被激发起来。

又如，在讲解“等比数列求和公式”时，先给学生讲了一个故事：从前有一个财主，为人刻薄吝啬，常常扣克在他家打工的人的工钱，因此，附近村民都不愿到他那里打工。有一天，这个财主家来了一位年轻人，要求打工一个月，同时讲了打工的报酬是：第一天的工钱只要一分钱，第二天是二分钱，第三天是四分钱......以后每天的工钱数是前一天的2倍，直到30天期满。这个财主听了，心想这工钱也真便宜，就马上与这个年轻人签订了合同。可是一个月后，这个财主却破产了，因为他付不了那么多的工钱。那么这工钱到底有多少呢？由于问题富有趣味性，学生们顿时活跃起来，纷纷猜测结论。这时，教师及时点题：这就是我们今天要研究的课题——等比数列的求和公式。同时，告诉学生，通过等比数列求和公式可算出，这个财主应付给打工者的工钱应为1073741824分≈1073（万元），学生听到这个数学，都不约而同地“啊”了一声，非常惊讶。这样巧设悬念，使学生开始就对问题产生了浓厚的兴趣，启发学生积极思维。

以上两个例子说明，在课堂数学中，创设问题情境，设置悬念能充分调动学生的学习积极性，使学生迫切地想要了解所学内容，也为学生发现新问题，解决新问题创造了理想的环境。同时，让学生从活生生的具体材料中明白：要有新的发现，首先要积极地思考问题，多角度地解决问题；其次应具备丰富的知识，掌握科学的研究方法。

二、培养直觉思维，发展创造性思维能力

著名数学家吴文俊说：“只会推理，缺乏数学直觉是不会有创造性的。”直觉思维在创造的关键阶段上，起着重要作用。爱因斯坦根据自己亲身经历的科学创造实际得出结论，“我相信直觉和灵感。”他

一再强调，在科学创造过程中，从经验材料到提出新思想之间，没有

“逻辑的桥梁”，必须诉诸灵感和直觉。被誉为“纯粹之皇冠”的数论，

实际上也是在观察的基础上发展起来的一门科学，因此在学生直觉思

维能力的培养中，观察能力的培养甚为重要；要使他们敢于怀疑，敢

于突破，只有这样才能在观察中有所发现，观察是创造的基础，因为

只有通过观察才会出现问题，思考问题。同时，对观察到的现象进行

适当分析，也容易触发对一般结果的猜测，对深层次关系的预感，这

是一种可贵的创造性素质。学生在民主、平等、和谐的学习氛围中积

极动手、动脑、动口，在活动中获取知识，形成技能，发展能力，提

高思维创新水平。

比如，在立体几何中，设计等体积的正方体、等边圆柱体、球体

哪一个表面积最小？让学生凭直觉回答而后再证明。再比如讲“等差

数列”的概念时，可以让学生填空：（1）1，4，7，＿，13，＿；（2）

3，0，＿，-6，＿，＿；这样观察与思维有机结合，分析与猜测同

步进行。另一方面，观察也可发现错误，观察错误又可能发现其他合

理因素，并由此找到修正错误的方法途径。如，对问题“方程

x2+4x+p=0的两根为α、β，且│α－β│＝3，求实数P。”，一位学生是

这样板演的：│α－β│＝3 <=>│α－β│2＝9 <=> （α－β）2 =9 <=>

（α +β）2－4αβ=9<=>（-4）2-4P=9<=> 。我没有直接指出其错误，

而是充分肯定其转化得很巧妙，因为出现这一错误的人不在少数。我

要求学生对这一过程重新审视一遍；特别留意X1，X2∈C时，其每一

步推理是否正确。通过观察分析，不少学生发现：当X1，X2∈C时，│α

－β│2＝9与（α－β）2=9并不等价，弄明白错因后，并未罢手，而是

要求学生继续观察与分析；这里是否有合理的因素，不少学生发现只

要Δ≥0就行了，Δ<0另行处理；还有的学生发现│α－β│2＝9 <=> （α－β）2=9尽管不成立，但只要改为│（α－β）2│＝9就成立了。

从而得到更一般的思路：即使P∈C 此法也成立。这里将│α－β│2＝9

与（α－β）2=9对照起来观察，使学生有所发现，同时也学会了“对比观察”这一科学的研究方法。

三、培养发散思维，促进创新思维的发展

发散思维是创新思维的重要支点，是学生将来成为创造性人才的基础。一个人的创新，无非是想到别人还未想到的可能性，或者说，就是别人思维尚未扩散到的领域，被你的思维扩散到了。比如在数学解题教学中，对同一个数学问题，有的学生可能冥思苦想，百思不得其解，什么原因？归根到底，就是他的思维尚未扩散到能够完成解题的思路上来。所以说，我们实施创新教育，大量培养创造型人才，就必须将发散思维的训练，发散思维能力的培养放在重要地位上。发散思维的本质就是想象力的充分自由，发散思维是最为活跃的思维方式，具有很大的创造性。数学上的许多重大发明，发现都离不开数学家的发散思维。比如数学史上的三次危机哪一次不是众多数学家想尽各种办法，利用各种手段，通过各种渠道，采取各种方式，最后渡过危机，并使数学有大的发展？数学发展史，融会了众多数学家通过发散思维研究和解决数学问题的光辉例证。

加强对学生发散思维的培养，对造就一代开拓型人才具有十分重要的意义。在数学教学中可通过典型例题的解题教学及解题训练，尤其是一题多解、一题多变、一题多用及多题归一等变式训练，达到使学生巩固与深化所学知识，提高解题技巧及分析问题、解决问题的能力，增强思维的灵活性、变通性和独创性的目的。一题多解，培养学生求异创新的发散思维，实现和提高思维的流畅性。通过一题多解的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路。使不同的知识得以综合运用，并能从多种解法的对比中优选最佳解法，总结解题规律，使分析问题、解决问题的能力提高，使思维的发散性和创造性增强。一题多变，培养学生的转向机智及思维的应变性，实现提高发散思维的变通性。把习题通过变

换条件，变换结论，变换命题等，使之变为更有价值，有新意的新问题，从而应用更多的知识来解决问题，获得“一题多练”、“一题多得”的效果。使学生的思维能力随问题的不断变换，不断解决而得到不断提高，有效地增强思维的敏捷性和应变性，使创造性思维得到培养和发展。多题归一，培养学生的思维收敛性。任何一个创造过程，都是发散思维和收敛思维的优秀结合。因此，收敛性思维是创造性思维的重要组成部分，加强对学生收敛性思维能力的培养是非常必要的，而多题归一的训练，则是培养收敛性思维的重要途径。很多数学习题，虽然题型各异，研究对象不同，但问题的实质相同，若能对这些“型异质同”或“型近质同”的问题归类分析，抓共同的本质特征，掌握解答此类问题的规律，就能弄通一题而旁通一批，达到举一反三、事半功倍的教学效果，从而摆脱“题海”的束缚。

如：用数学归纳法证明： 1+

21+31+…+n 1<2n (n ∈N*) 通过分析、综合，问题的关键是证明：2k +11+k <21+k ( k ∈N*) 学生1：21+k -(2k +

11

+k )=11)1(2)1(2+-+-+k k k k =1)1(2+-+k k k >0 老师：比较大小，运用作差比较法，思路自然。 学生2：2k +11+k =

1112+++k k k <11)1(++++k k k =21+k 老师：运用基本不等式，快速、简练。好！ 学生3：2k +11+k =1112+++k k k <1141)1(2++++k k k =11)21(2+++k k =21+k 老 师：怎么想到要添加1/4呢？请说一说。

学生3：我想去掉根号，加1/4后就把k 2+k 凑成了一个完全平方

数，计算一下，恰好等于12+k 。

学生4：我想用分析法做，要证：21211+<++

k k k 成立,

即证：k k k 21211-+<+ 也就是证1

211++<+k k k ，显然成立。 通过展示不同学生的原始思维过程，形成一题多解，可以培养学

生思维的流畅性；对比学生2、学生3的思维过程，他们从同一点出发，一个用基本不等式，一个凑平方展示了思维的变通性；学生4在常规思考方式（分析法）的基础上得出令人耳目一新的放缩法，发展了思维的独特性。从上可以看出教学过程中发散思维的三性（流畅性、变通性、独特性）的训练得到了彻底的落实。所以数学的创新教育不光是为了传授现有的数学结论，更重要的是在老师的引导下，学生积极主动探索知识，形成技能和能力。要体现课堂教学中的新奇性。启发性和趣味性，就必须改变传统教育中只注重知识传授的弊端，引导学生主动探索，从亲历知识的发生、发展、变化过程中发现快乐，激发兴趣，启发他们对已经解决的数学问题加以引申、变化、促进思维的发展，通过变式训练，让学生养成用观察、联想、类比的方法去解决问题的习惯，提高思维的创新能力。

四、培养学生的创新思维，要求教师在教法上有创新

教师应改变讲清楚、讲透彻的传统教学观念。上课时，应在教学重点、难点、学生疑点处提出富有启发性的问题，引导学生积极地、主动地思考，要让学生感受、理解知识产生和发展的过程。旧知识是获取新知识的基础，新知识是旧知识符合逻辑的发展。在现有的知识基础上，让学生通过联想、类比，得到新的知识，是通过引导、启发，而不是直接“传授”，更不是“灌输”；是“授之以渔”，而不是“授之以鱼”，我们所进行的高中数学“由教到导”课堂教学实践，就是通过对教法的创新来培养学生的创新思维能力的。

首先，在学习基础知识时，采用提纲阅读法，即教师先拟出阅读提纲或思考题，称之为导；学生根据提纲或思考题边阅读边思考，还允许学生讨论，教师巡回指导并答疑，重点辅导学习困难的学生，最后师生一起小结。即按“引导一阅读一思考一讨论一小结”等步骤让学生完成基础知识的学习。其次，上习题课时，大致按“审题

一试作一评讲一演变一提炼”等程序进行。再次，上复习课时，按“回顾一提炼一典型例题分析一精选习题训练一变式训练”等环节进行。

总之，无论是新课、习题深还是复习课，始终坚持以学生活动为主，教师只起指导学法，解答疑难的引导作用。学生学得生动活泼，积极主动，锻炼了思维品质，提高了心理素质，促进了创新能力的培养。

比如学习三角函数的图象变换：y＝sin（x＋ф）的图象是由 y ＝sinx的图象平移而得到的。我们启发学生联想到y=lg（x＋a）的图象是由y=lgx的图象平移而得，进而抽象出y=f(x＋a)的图象是由y=f(x)的图象平移而得到的。这样，就做到了触类旁通，并由特殊现象抽象出了一般规律，并可以用这一般规律去处理各种特殊情况。这样，学生就达到了创造性理解的程度，自然提高了创新思维的能力。

五、培养学生的创新思维，应善于应用现代教育技术

改变一支粉笔，一块黑板的现状，实现教育手段的现代化，是教育发展的必然趋势。充分运用现代教育技术，不仅能增大课堂教学容量，优化教学结构，实现资源共享，还能增强学生兴趣，激发探索精神。比如在学习函数、立体几何、解析几何等内容时，能做到静动结合，给学生以实感、美感。如在学习立体几何中的旋转体时，利用现代教育技术演示旋转体的形成过程，这样，就将抽象概念转化了形象直观的三维动画。学生易于接受，印象深，效果好。如果能根据课程内容，通过让学生自己设计制作课件等，不仅能提高实践能力，而且有利于创新精神的培养。

六、培养学生的创新思维，要将学生由接受型发展为自学型

数学是一门非常严谨的学科。对中学生来说，只要获得了自己头脑中没有的知识，就可算创新。如从未知到已知，从旧知到新知；

或新的见解的产生，新的结论的得到，新的问题的提出，新的解法的发现等，对学生来说都是很有意义的。因此，在数学教学中，培养创新思维能力，只要立足对学生来说是“新”就行了。不过，这个“新”的得到，不应是由老师“传授”的，而应该是由学生自己实践探索得到的。

比如学习平面解析几何“曲线的交点”这节内容，完全可以由学生自学。因为所讲的内容学生很容易看懂，两个例题也容易解答（例1是求直线被抛物线截得的线段长，例2是讨论直线和圆的位置关系）。通过自学，学生培养了自学能力，而且获得了新知。对他们而言，应该算是一种创新。然而，问题有待于深化。如何让学生自己从例1中抽象出不解方程组求直线被二次曲线截得的线段长的规律，从例2中探索出用直线和圆的位置关系的几何性质来解此题的方法，那就是另一层次的创新。

对老师来说，这无疑一点不新；而对学生来说，显然是“新的”。这“新”的规律、“新”的方法，学生靠在教师的引导下，自己探索得到，这就是“创新”。然后，将此二例的方法迁移到一般二次曲线，对学生来说也是一种创新。

七、培养学生创新思维，教学应建立在“最近发展区”水平上

维果茨基指出：“只有走在发展前面的教学才是好的教学”。赞科夫认为，教学要不断创造“最近发展区”，然后把它转化为“现有发展水平”之中。只有建立在“最近发展区”之上的学生心理过程，才是积极有效的过程。因此，培养创新思维能力，应将教学建立在“最近发展区”水平之上，这样，才有利于灵感性、流畅性、灵活性、独创性、再定义性、洞察性等创新思维特征的体现。

“最近发展区”学说构成了“以高难度进行教学”原则的理论基础。因此，在数学教学中要有一定的难度。当然，有一定的难度并不是说难度越大越好，而是要让学生跳一跳就能摘到桃子，即要

让学生通过自己主动的努力或者在教师的指导下解决面临的难题。

八、培养学生的创新思维，应跳出教材

比如在立体几何中学习“两条异面直线所成的角和距离”的有关例题或作习题时，可以不按教材，就让学生先画出一个正方体并任意连对角线（包括面对角线），再编出若干求异面直线所成角和距离的题目，最后自己去寻求解法。学生既感兴趣，乐于参与，又学得主动积极，创新思维的培养无疑已蕴含其中。

关于数学教学中培养学生创新思维途径和方法很多，总之，要培养学生的创新能力，并非一朝一夕之功，应贯彻教学过程中的每一个环节，立足于对教材的深刻理解，着眼于对教材内容的艺术化处理，而这些教学基本功正是有待于我们不断总结提高的。

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