反比例函数与平行四边形
反比例函数与平行四边形专题训练三
一、【反比例函数与平行四边形结合】
例1：如图，已知四边形ABCD 是平行四边形，BC=2AB ，A,B 两点的坐标分别是（-1，0），（0，2），C ，D 两点在反比例函数()0<=
x x k y 的图象上，则求k 的值.
变式1：如图，□ABCD 的顶点A 、B 的坐标分别是A （-1，0）、B （0，-2），顶点C 、D 在双曲线x
k y =上，边AD 交y 轴于点E ，且四边形BCDE 的面积是△ABE 面积的5倍，则求k.
变式2：如图，直线3+=x y 交反比例函数x
k y =
的图象于点A,交x 轴于点B ，且过点C （-1，2），将直线AB 向下平移，线段CA 平行到线段OD ，当点D 也在反比例函数x
k y =的图象上时，求D 点坐标及k 的值.
例2：如图，直线221+-
=x y 与y x ,轴分别交于A,B 两点，四边形ABCD 为矩形，点C 在x 轴上，
点D 在双曲线()0>=
x x k y 上，求k 的值.
变式：如图，矩形ABCO ，点E 在AB 上，且BE=2AE ，点F 在BC 上，双曲线x
k y =正好过E 、F 两点，
4=?BOF S ，求k 的值.
例3：如图，点A 在双曲线x
y 32=上，点B 在双曲线x k y =上（点B 在点A 的右侧），且AB//x 轴，若四边形OABC 是菱形，且∠AOC=60°，则求k 的值。
变式：如图，在菱形OABC 中，A ()0,5，双曲线()0>=
x x
k y 经过点C ，且OB ·AC=40,求k 的值.
例4：如图，正方形A1B1P1P2的顶点P1P2在反比例函数x
y 2=
的图象上，顶点A1、B1分别在x 轴、y 轴的正半轴上，在其右侧作正方形P2P3A2B2，顶点P3在反比例函数()02>=x x
y 的图象上，顶点A2在x 轴的正半轴上，求点P2和P3的坐标.
变式：如图，点B （3，3）在双曲线()0>=x x k y 上，点D 在双曲线()04<-=x x
y 上，点A,C 分别在x 轴，y 轴的正半轴上，有ABCD 为正方形.
（1）求k 的值；
（2）求点A 的坐标.
平行四边形难题综合训练与一次函数训练
平行四边形难题综合训练与一次函数训练 一、课前回顾 平行四边形的定义：在同一平面内有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 平行四边形的定义、性质： （1）平行四边形对边平行且相等。 （2）平行四边形两条对角线互相平分。（菱形和正方形） （3）平行四边形的对角相等，两邻角互补 （4）连接任意四边形各边的中点所得图形是平行四边形。(推论） （5）平行四边形的面积等于底和高的积。（可视为矩形） （6）平行四边形是旋转对称图形，旋转中心是两条对角线的交点。 （7）过平行四边形对角线交点的直线，将平行四边形分成全等的两部分图形。 （8）平行四边形是中心对称图形，对称中心是两对角线的交点。 （9）一般的平行四边形不是轴对称图形，菱形是轴对称图形。 （10）平行四边形ABCD中，AC、BD是平行四边形ABCD的对角线，则各四边的平方和等于对角线的平方和（可用余弦定理证明）。 （11）平行四边形对角线把平行四边形面积分成四等分。 判定： （1）两组对边分别相等的四边形是平行四边形； （2）对角线互相平分的四边形是平行四边形； （3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （4）两组对边分别平行的四边形是平行四边形； （5）两组对角分别相等的四边形是平行四边形； （6）一组对边平行一组对角线互相平分的四边形是平行四边形； （7）一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形； 知识点一：平行四边形知识点 1如图，正方形ABCD中，AB=3，点E在边CD上，且CD=3DE．将 △ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG，CF．下 列结论：①点G是BC中点；②FG=FC；③S△FGC=9/10．其中正确 的是（） A．①②B．①③ C．②③D．①②③ 5、如图所示，正方形ABCD的边CD在正方形ECGF的边CE上，连接BEDG，．(1）求证：BEDG． (2）图中是否存在通过旋转能够互相重合的两个三角形？若存在，说出旋转过程；若不存在，请说明理由。
二次函数与相似三角形问题(含答案)
y x E Q P C B O A 综合题讲解 函数中因动点产生的相似三角形问题 练习1、如图，已知抛物线与x 交于A(－1，0)、E(3，0)两点，与y 轴交于点B(0，3)。 （1） 求抛物线的解析式； （2） 设抛物线顶点为D ，求四边形AEDB 的面积； （3） △AOB 与△DBE 是否相似？如果相似，请给以证明；如果不相似，请说明理由。 练习2、已知抛物线2 y ax bx c =++经过5330P E ? ???? ，， ，及原点(00)O ，． （1）求抛物线的解析式． （2）过P 点作平行于x 轴的直线PC 交y 轴于C 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线PC 下方的抛物线上，任取一点Q ，过点Q 作直线QA 平行于y 轴交x 轴于A 点，交直线PC 于B 点，直线QA 与直线PC 及两坐标轴围成矩形OABC ．是否存在点Q ，使得OPC △与PQB △相似？若存在，求出Q 点的坐标；若不存在，说明理由． （3）如果符合（2）中的Q 点在x 轴的上方，连结OQ ，矩形OABC 内的四个三角形 OPC PQB OQP OQA ，，，△△△△之间存在怎样的关系？为什么？
练习3 、如图所示，已知抛物线2 1y x =-与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ． （1）求A 、B 、C 三点的坐标． （2）过点A 作AP∥CB 交抛物线于点P ，求四边形ACBP 的面积． （3）在x 轴上方的抛物线上是否存在一点M ，过M 作MG ⊥x 轴于点G ，使以A 、M 、G 三点为顶点的三角形与?PCA 相似．若存在，请求出M 点的坐标；否则，请说明理由． 练习4、在平面直角坐标系xOy 中，已知二次函数2 (0)y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A B ，两点（点 A 在点 B 的左边） ，与y 轴交于点C ，其顶点的横坐标为1，且过点(23)，和(312)--，． （1）求此二次函数的表达式；（由一般式．．． 得抛物线的解析式为2 23y x x =-++） （2）若直线:(0)l y kx k =≠与线段BC 交于点D （不与点B C ，重合），则是否存在这样的直线l ，使得以B O D ，，为顶点的三角形与BAC △相似？若存在，求出该直线的函数表达式及点D 的坐标；若不存在，请说明理由；(10)(30),(03)A B C -，，，， （3）若点P 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角PCO ∠与ACO ∠的大小（不必证明），并写出此时点P 的横坐标p x 的取值范围．
专题：二次函数中的动点问题2(平行四边形存在性问题)
y x O 二次函数中的动点问题（二） 平行四边形的存在性问题 一、技巧提炼 1、二次函数y=ax 2 +bx+c 的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值是 当x ＝ 时，y 有最 值是 增减 性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2、平行四边形模型探究 如图1，点A ()11,x y 、B ()22,x y 、C ()33,x y 是坐标平面内不在同一直线上的三点。平面直角坐标系中是否存在点D ，使得以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形为平行四边形，如果存在，请求出点D 的坐标。 A B C x y 图1 图2 如图2，过A 、B 、C 分别作BC 、AC 、AB 的平行线，则以不在同一直线上的三点为顶点的平行四边形有三个。
由已知的三点坐标可根据图形平移的坐标性质，直接写出第四个顶点的坐标。 3、平面直角坐标系中直线和直线l2: 当l1∥l2时k1= k2;当l1⊥l2时k1·k2= -1 4、二次函数中平行四边形的存在性问题： 解题思路：（1）先分类（2）再画图（3）后计算 二、精讲精练 1、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于A、B两点（A、B分别在原点的左右两侧），与y轴正半轴相交于C 点，且OA：OB：OC=1：3：3，△ABC的面积为6，（如图1） （1）求抛物线的解析式； （2）坐标平面内是否存在点M，使得以点M、A、B、C为顶点四边形是平行四边形若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由； （3）如图2，在直线BC上方的抛物线上是否存在一动点P，△BCP面积最大如果存在，求出最大面积，并指出此时P点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．
八年级数学下册平行四边形和一次函数复习资料
精品文档人教版八年级数学下册平行四边形和一次函数复习 3分）一、选择题。（每题）1、菱形具有而矩形不具有的性质是（ D.四条边相等四个角相等 C.对角线相等 A.对角相等 B.. ）则与该菱形面积相等的正方形的边长是（2、若一个菱形的两条对角线长分别是5cm和10cm,5cm D.7.5cm A.6cm B.5cm C.3、下列函数中，点（2，－1）在其图像上的是（） 11 A． B． C． D．3?x?1y?xy?5x?xy??1y?2224、已知点（-2，y），（-1，y），（1，y）都在直线y=－3x＋2上，则y，y，y的值的大小关311223系是（） A．y
O，给出下列四组条件：AC、BD相交于点10. 在四边形ABCD中，对角线AO=CO BO=DO AB=CD AD=BC ③∥BC ②AB①∥CD AD. ）∥CD AD=BC 其中一定能判断这个四边形是平行四边形的共有（④AB 组 C.3组 D.4A.1组 B.2组. ）图象大致是下列的（ ,（m,n）在第四象限则直线y=nx+m11.已知点P y
二次函数与相似三角形结合问题
琢玉教育个性化辅导讲义 教师学科上课时间年月日学生年级讲义序号 课题名称 教学目标1.会根据题目条件求解相关点的坐标和线段的长度； 2.掌握用待定系数法求解二次函数的解析式； 3.能根据题目中的条件，画出与题目相关的图形，继而帮助解题； 教学重点 难点1.体会利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解的方法； 2.会应用分类讨论的数学思想和动态数学思维解决相关问题。 课前检查上次作业完成情况：优□良□中□差□建议_______________________________ 教学容知识结构： 一.二次函数知识点梳理：下图中0 a≠二.特殊的二次函数：下图中0 a≠
3 4 y x =与BC边交于D点． （1）求D点的坐标； （2）若抛物线2 y ax bx =+经过A、D两点，求此抛物线的表达式； （3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P． 方法总结： 1.已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数c bx x y+ + - =2 3 1 的图像经过点 A（－1，1）和点B（2，2），该函数图像的对称轴与直线OA、OB分别交于点C和点D．二次函数背景下相似三角形的解题方法和策略： 1.根据题意，先求解相关点的坐标和相关线段的长度； 2.待定系数法求解相关函数的解析式； 3.相似三角形中，注意寻找不变的量和相等的量（角和线段）； 4.当三角形的三边不能用题目中的未知量表示时，注意利用相似三角形的转化求解； 5.根据题目条件，注意快速、正确画图，用好数形结合思想； 6.注意利用好二次函数的对称性； 7.利用几何定理和性质或者代数方法建立方程求解都是常用方法。
二次函数-平行四边形存在性问题
专题：二次函数中的平行四边形存在性问题 类型一：已知三个定点，再找一个定点构成平行四边形（平面内有三个点满足） 1.已知抛物线b ax ax y ++-=22与x 轴的一个交点为A (-1,0)，与y 轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标； ⑵当点C 在以AB 为直径的⊙P 上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点M ,使得以点M 和⑵中抛物线上的三点A、B、C 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点M 的坐标；若不存在,请说明理由． 类型：已知两个定点，再找两个点构成平行四边形 1．已知，如图抛物线2 3(0)y ax ax c a =++>与y 轴交于C 点，与x 轴交于A、B 两点，A 点在B 点左侧。点B 的坐标为(1，0),OC=30B． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D 是线段AC 下方抛物线上的动点，求四边形ABCD 面积的最大值： (3)若点E 在x 轴上，点P 在抛物线上。是否存在以A、C、E、P 为顶点且以AC 为一边的平行四边形?若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
2、练习如图，抛物线：c bx x y ++=22 1与x 轴交于A、B（A 在B 左侧），顶点为C（1，﹣2）。（1）求此抛物线的关系式；并直接写出点A、B 的坐标； （2）求过A、B、C 三点的圆的半径； （3）在抛物线上找点P，在y 轴上找点E，使以A、B、P、E 为顶点的四边形是平行四边形，求点P、E 的坐标。 1．如图，抛物线2 23y x x =--与x 轴交A、B 两点（A 点在B 点左侧），直线l 与抛物线交于A、C 两点，其中C 点的横坐标为2． （1）求A、B 两点的坐标及直线AC 的函数表达式； （2）P 是线段AC 上的一个动点，过P 点作y 轴的平行线交抛物线于E 点，求线段PE 长度的最大值； （3）点G 抛物线上的动点，在x 轴上是否存在点F，使A、C、F、G 这样的四个点为顶点的四边形是平行 四边形？如果存在，求出所有满足条件的F 点坐标；如果不存在，请说明理由．
一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
二次函数与相似三角形综合
第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题? 二次函数中因动点产生的相彳以三角形问题一般有三个解题途径： ①求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ②或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 例题1：已知抛物线的顶点为A （2, 1）,且经过原点O,与X轴的另一个交点为B. 1 2 y = --x~ +x （1）求抛物线的解析式：（用顶点式求得抛物线的解析式为 4 ） （2）连接OA、AB.如图2,在x轴下方的抛物线上是否存在点P,使得二OBP与二OAB 相似？若存在，求出P点的坐标：若不存在，说明理由。 解：如图2,由抛物线的对称性可知:AO=AB二AOB=CABO. 若二BOP与匚A0B相似，必须有二POB = OBOA =匚BPO 设0P交抛物线的对称轴于A?点，显然AX2-1） 1 y = --x 二直线OP的解析式为2 一一x =一一x? + 由2 4 得x 1 = 0, x 2 =6 -JP(6,~3) 过P 作PE二x 轴，在RtZBEP 中,BE=2,PE=3, 二PB=厢拜. 二PB=OB,HBOP* 二BPO、 ZOPB0与匚BAO不相似， 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P点. 所以在该 抛物线上不存在点R使得ZBOP与ZAOB相似.
例题2：如图所示，已知抛物线与兀轴交于A、B两点，与y轴交于点c. （1）求A、B、C三点的坐标. （2）过点A作APZCB交抛物线于点P,求四边形ACBP的面积. （3）在x轴上方的抛物线上是否存在一点过M作MG丄兀轴于点G, 使以A、M. G 三点为顶点的三角形与APCA相似.若存在，请求岀M点的坐标; 解：（1）令尸°,得?-1=0 解得“±1 令x=o,得〉‘=一1 二A（70）B（I，°）c（°，j） （2）匚OA=OB=OC= 1 □ ZBAC=厶ACO= ZBCO= 45 ZAPZCB, E Z PAB=45 过点P作PE丄x轴于E,则△ APE为等腰直角三角形 令OE=" > 贝iJPE=Q + l + 0 ::点p在抛物线上“+1=/_i 解得5=2,心=一1 （不合题意，舍去）二PE=3 1 1 1 「1 ———x2xl + —x2x3 = 4 二四边形ACBP的而积S = 2 A B?OC+ 2 A B?PE=2 2 (3).假设存在 二Z PAB= Z BAC =45 匚PA 丄AC ZMG丄 * 轴于点G, □ Z MGA= Z PAC = 90 在Rt 二AOC 中，OA=OC= 1 二AC=Q 在Rt 二PAE 中， AE=PE= 3 ZAP= 3^2 设M点的横坐标为m ,则M(加，m~ -1) □点M在y轴左侧时，贝0VT 图2
二次函数中考平行四边形含答案
二次函数（平行四边形） 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=（x﹣m）2﹣m2+m的顶点为A，与y轴的交点为B，连结AB，AC⊥AB，交y轴于点C，延长CA到点D，使AD=AC，连结BD．作AE∥x轴，DE∥y轴．（1）当m=2时，求点B的坐标； （2）求DE的长？ （3）①设点D的坐标为（x，y），求y关于x的函数关系式？②过点D作AB的平行线，与第（3）①题确定的函数图象的另一个交点为P，当m为何值时，以，A，B，D，P为顶点的四边形是平行四边形？ 解答：解：（1）当m=2时，y=（x﹣2）2+1， 把x=0代入y=（x﹣2）2+1，得：y=2， ∴点B的坐标为（0，2）． （2）延长EA，交y轴于点F， ∵AD=AC，∠AFC=∠AED=90°，∠CAF=∠DAE， ∴△AFC≌△AED， ∴AF=AE， ∵点A（m，﹣m2+m），点B（0，m）， ∴AF=AE=|m|，BF=m﹣（﹣m2+m）=m2， ∵∠ABF=90°﹣∠BAF=∠DAE，∠AFB=∠DEA=90°， ∴△ABF∽△DAE， ∴=，即：=， ∴DE=4． （3）①∵点A的坐标为（m，﹣m2+m）， ∴点D的坐标为（2m，﹣m2+m+4）， ∴x=2m，y=﹣m2+m+4， ∴y=﹣?++4， ∴所求函数的解析式为：y=﹣x2+x+4， ②作PQ⊥DE于点Q，则△DPQ≌△BAF，
（Ⅰ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图1）， 点P的横坐标为3m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）﹣（m2）=﹣m2+m+4， 把P（3m，﹣m2+m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： ﹣m2+m+4=﹣×（3m）2+×（3m）+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=8．（Ⅱ）当四边形ABDP为平行四边形时（如图2）， 点P的横坐标为m， 点P的纵坐标为：（﹣m2+m+4）+（m2）=m+4， 把P（m，m+4）的坐标代入y=﹣x2+x+4得： m+4=﹣m2+m+4， 解得：m=0（此时A，B，D，P在同一直线上，舍去）或m=﹣8，综上所述：m的值为8或﹣8．
平行四边形与一次函数测验题
平行四边形与一次函数测验题 一．选择题（每题3分，共33分） 1．下列函数中，自变量x 的取值范围是x ≥2的是（ ） A ．y=2x - B ．y=12 x - C ．y=24x - D ．y=2x +·2x - 2．下面哪个点在函数y =12 x+1的图象上（ ） A ．（2，1） B ．（-2，1） C ．（2，0） D ．（-2，0） 3．下列函数中，y 是x 的正比例函数的是（ ） A ．y =2x-1 B ．y =3 x C ．y =2x 2 D ．y =-2x+1 4．若一次函数y =（3-k ）x-k 的图象经过第二、三、四象限，则k 的取值范围是（ ） A ．k>3 B ．0 第10讲：二次函数中因动点产生的相似三角形问题 二次函数中因动点产生的相似三角形问题一般有三个解题途径： 例题1：已知抛物线的顶点为A （2，1），且经过原点O ，与x 轴的另一个交点为B 。 （1）求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为x x 41 y 2+-=） （2）连接OA 、AB ，如图2，在x 轴下方的抛物线上是否存在点P ，使得△OBP 与△OAB 相似？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，说明理由。 解：如图2，由抛物线的对称性可知:AO ＝AB,△AOB ＝△ABO. 若△BOP 与△AOB 相似,必须有△POB ＝△BOA ＝△BPO 设OP 交抛物线的对称轴于A′点,显然A′(2,－1) △直线OP 的解析式为x 21y -= 由 x x 41 x 212+-=- , 得6x ,0x 21== .△P(6,－3) 过P 作PE△x 轴,在Rt△BEP 中,BE ＝2,PE ＝3, △PB ＝13≠4. △PB≠OB,△△BOP≠△BPO, △△PBO 与△BAO 不相似, 同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的P 点. 所以在该抛物线上不存在点P,使得△BOP 与△AOB 相似. 例1题图 图1 O A B y x O A B y x 图2 E A' O A B P y x 图2 ① 求相似三角形的第三个顶点时，先要分析已知三角形的边和角的特点，进而得出已知三角形是否为特殊三角形。根据未知三角形中已知边与已知三角形的可能对应边分类讨论。 ② 或利用已知三角形中对应角，在未知三角形中利用勾股定理、三角比、对称、旋转等知识来推导边的大小。 ③ 若两个三角形的各边均未给出，则应先设所求点的坐标进而用函数解析式来表示各边的长度，之后利用相似来列方程求解。 一次函数压轴题研究（六）特殊平行四边形存在性（讲义及答案）?课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为_________或者___________来分类，利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再做题，思路受阻时（某个 点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ?精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：24 =-与x轴交于点A，与y轴交于点B． y x （1）求点A，B的坐标． x=-上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，B，P，Q为顶点的四（2）若P是直线2 边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数与特殊平行四边形专题 1、如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴，y轴分别交于点A（4，0），B（0，3）．点C的坐标为（0，m），其中m＜2，过点C作CE⊥AB于点E，点D为x轴正半轴的一动点，且满足OD=2OC，连结DE，以DE，DA为边作?DEFA． （1）图中AB= ；BE= （用m的代数式表示）．（2）若?DEFA为矩形，求m的值； （3）是否存在m的值，使得?DEFA为菱形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 2、在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图1所示放置，已知OB=10，BC=6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD（含端点）交于点E，与边OB （含端点）或其延长线交于点F．请回答： （1）如图1，若点E的坐标为（0，4），求点A的坐标； （2）将矩形沿直线y=- 1 x/2+n折叠，求点A的坐标； （3）将矩形沿直线y=kx+n折叠，点F在边OB上（含端点），直接写出k的取值范围． 3、如图，在平面直角坐标系中，直线y=- 3 x/4+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且 点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形． （1）填空：b= ； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在 另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理 由；若存在，请求出点N的坐标． 4、如图，将矩形OABC放置在平面直角坐标系中，点D在边0C上，点E在边OA上，把矩形沿直线DE翻折，使点O落在边AB上的点F处，且AF/AE=4/3．若线段OA=8，又2AB=30A．请解答下 2018年04月28日187****6232的初中数学组卷 一．解答题（共5小题） 1．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0）和点C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点E的坐标； （2）点C是否在以BE为直径的圆上？请说明理由； （3）点Q是抛物线对称轴上一动点，点R是抛物线上一动点，是否存在点Q、R，使以Q、R、C、B为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q、R 的坐标，若不存在，请说明理由． 2．如图，已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），其顶点为D． （1）求抛物线的解析式； （2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值； （3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值；（4）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点N，E为直线AC上任意一点，过点E 作EF∥ND交抛物线于点F，以N，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由． 3．如图，抛物线y=x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），直线l与抛物线交于A，C两点，其中点C的横坐标为2． （1）求A，B两点的坐标及直线AC的函数表达式； （2）P是线段AC上的一个动点（P与A，C不重合），过P点作y轴的平行线交抛物线于点E，求△ACE面积的最大值； （3）若直线PE为抛物线的对称轴，抛物线与y轴交于点D，直线AC与y轴交于点Q，点M为直线PE上一动点，则在x轴上是否存在一点N，使四边形DMNQ 的周长最小？若存在，求出这个最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由． （4）点H是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使A、C、F、H四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的F点坐标；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x﹣3与x轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线y=x2+bx+c经过A，C两点，且与x轴交于另一点B（点B在点A右侧）． 一．解答题（共3小题） 1．如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E．（1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，四边形OABC是矩形，点A、C在坐标轴上，△ODE是△OCB绕点O 顺时针旋转90°得到的，点D在x轴上，直线BD交y轴于点F，交OE于点H，线段BC、OC的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根，且OC＞BC． （1）求直线BD的解析式； （2）求△OFH的面积； （3）点M在坐标轴上，平面内是否存在点N，使以点D、F、M、N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣x+8分别交两轴于点A、B，点C为线段AB的中点，点D在线段OA上，且CD的长是方程的根． （1）求点D的坐标； （2）求直线CD的解析式； （3）在平面内是否存在这样的点F，使以A、C、D、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，不必说明理由． 参考答案与试题解析 一．解答题（共3小题） 1．（2015?齐齐哈尔）如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上，且OA、OB的长满足|OA﹣8|+（OB ﹣6）2=0，∠ABO的平分线交x轴于点C过点C作AB的垂线，垂足为点D，交y轴于点E． （1）求线段AB的长； （2）求直线CE的解析式； （3）若M是射线BC上的一个动点，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、M、P为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵|OA﹣8|+（OB﹣6）2=0， ∴OA=8，OB=6， 在直角△AOB中，AB===10； （2）∵BC平分∠ABO， ∴OC=CD， 设OC=x，则AC=8﹣x，CD=x． ∵△ACD和△ABO中，∠CAD=∠BAO，∠ADC=∠AOB=90°， ∴△ACD∽△AOB， ∴，即， 解得：x=3． 即OC=3，则C的坐标是（﹣3，0）． 课题二次函数与相似三角形 教学目标知识与 技能 根据条件寻找或构造相似三角形，从而得出点的坐标。 过程与 方法 通过复习，掌握中考题型中二次函数的综合应用。 情感态 度与价 值观 培养学生的参与意识和探索精神。 教学重点根据条件寻找或构造相似三角形 教学难点根据条件寻找或构造相似三角形 教学准备课件，活页练习 教学课时1课时 教学过程个案修改 （手写）一、导入： 我们已经学完了二次函数的基础知识，从今天开始我们要学习二次函 数与其他知识的综合应用。首先，我们来学习中考中最常见的一种—— 二次韩数与相似三角形。 二、复习提问： 1、二次函数的一般形式是 2、如何确定一条抛物线与X轴和y轴的交点坐标？ 3、抛物线的顶点坐标如何确定？ 4、相似三角形的判断方法有哪些？ 三、例题讲解： .如图，已知抛物线y=–(x–2)2+1 的图像与x轴交于A、B 两点 （点A在点B左侧），与y轴交于点C. （1）求点A，点B，点C的坐标; （2）若点D是抛物线的顶点，DH垂直于x轴，垂足为H，试判断直角三角形DHA与直角三角形COB是否相似？说明理由． （3）若点M在抛物线上且在x轴上方，过点M作MG垂直于x轴， 垂足为点G，是否存在M，使得△AMG与△AOC相似。若存在，求出M 点坐标；若不存在，说明理由。 分析： （1）第一步是基础知识，可由学生自己解决，只对个别不会的学生加以辅导，可以由B号学生帮助解决 （2）第二步要判断两个直角三角形相似，可以证明夹着直角的四条边成比例；另外，还要注意强调格式——先回答问题，再书写证明过程（3）第三步要先设出点M的坐标，进一步表示出MG和AG的长度，然后再分两种情况利用四条线段成比例得方程，从而解得点M的坐标。另外，题目中“点M在抛物线上且在x轴上方”能给我们 什么信息，需要注意什么？ 教学组织： （1）学生自己分析题意，找出不会的地方； （2）小组内讨论，初步解决 （3）汇总不能解决的问题，教师分析解决 （4）书写第（3）问解答过程，A号展示 四、变式练习： 上题中，若点D是抛物线的顶点，点M在抛物线上且在x轴上方， 二次函数中的平行四边形存在性问题 目标：1、通过本节课的学习，提高学生分析问题，解决问题的能力。 2、能总结出解决平行四边形存在性问题的一般方法和思路。重点：解决平行四边形存在性问题的一般方法及思路。 难点：根据条件求平行四边形的顶点坐标。 过程： 一、复习 1、平行四边形的性质 角： 边； 对角线： 2、二次函数的相关知识点 表达式、顶点坐标、对称轴、增减性 二、探索新知 1、単动点（知3点求1点） （1）已知平面上有不在同一条直线上的三点A、B、C，点D是平面上任一点，若此四点能构成平行四边形则符合条件的D点有几个？ （） 学生画图说明 思考：如何找第四点？找第四点的方法？ (2)类题 （1）已知抛物线与坐标轴分别交于A（-1、0）、B （3、0）、C （0、3）三点，能否在平面内在找一点D使得它们四点围成的四边形为平行四边形？ 学生分析总结规律、思路。 ①、根据平行四边形的边、对角线的性质（对边平行且相等， 对角线互相平分）我们可以选择一种情况作为画图的依据。 ②、在求点的坐标时（以边为例）我们先满足对边平行再用对 边相等求出要求的点的坐标。 2、 双动点（知2点求2点） （1） 学生再次画图说明（给出两点画出另外两点） （2）类题 如图，抛物线y= 13 x 2-mx+n 与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C （0．-1）．且对称轴x=l ． ① 求出抛物线的解析式及A 、B 两点的坐标； ② 点Q 在y 轴上，点P 在抛物线上，要使Q 、P 、A 、B 为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P 的坐标。 点A，点B是定点 点P，点Q是动点 分两种情况：AB为边，AB为对角线 3、小结 4、布置作业 5、 一次函数与平行四边形 1.线段中点公式 平面直角坐标系中，点A 坐标为(x 1，y 1)，点B 坐标为(x 2，y 2)， 则线段AB 的中点P 的坐标为 （2,22121y y x x ++） 例：如图，已知点A (-2，1)，B (4，3)，则线段AB 的中点P 的坐标是________. 2.线段的平移 平面内，线段AB 平移得到线段A'B' ，则①AB ∥A'B' ，AB =A'B' ；②AA'∥BB'，AA'= BB'. 如图，线段AB 平移得到线段A'B' ，已知点A (-2，2)，B (-3，-1)， B' (3，1)，则点A'的坐标是________. 例：如图，在平面直角坐标系中，□ABCD 的顶点坐标分别为A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2)、C (x 3,y 3)、D (x 4,y 4)，已知其中3个顶点的坐标，如何确定第4个顶点的坐标？ 例：如图，已知□ABCD 中A (-2，2)，B (-3，-1)， C (3，1)，则点D 的坐标是________. 方法一：利用线段平移 总结：x 1-x 2= x 4-x 3，y 1-y 2= y 4-y 3 或者 x 4-x 1= x 3-x 2，y 4-y 1= y 3-y 2 等 方法二：利用中点公式 总结：x 1+x 3= x 2+x 4，y 1+y 3= y 2+y 4 类型一：三定一动 例1 、如图，平面直角坐标中，已知中A (-1，0)，B (1，-2)，C (3，1)，点D是平面内一动点，若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标是_________________________________. 总结：三定一动问题，可以通过构造中点三角形得以解决. 说明：若题中四边形ABCD是平行四边形，则点D的坐标只有一个结果________ 二次函数平行四边形存在性问题例题 一．解答题(共９小题) 1．如图，抛物线经过A（﹣1,0),B（５,0）,C(0，)三点. （１)求抛物线的解析式； （2)在抛物线的对称轴上有一点P，使PＡ＋ＰC的值最小,求点P的坐标;（３）点Ｍ为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C，Ｍ,Ｎ四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在,请说明理由. 2.如图,在平面直角坐标系中,直线ｙ＝﹣3x﹣3与ｘ轴交于点A，与y轴交于点C．抛物线ｙ=ｘ2+ｂｘ+c经过A,C两点,且与x轴交于另一点B（点Ｂ在点A右侧）. (1）求抛物线的解析式及点B坐标; （2)若点M是线段BC上一动点,过点Ｍ的直线EＦ平行y轴交ｘ轴于点Ｆ,交抛物线于点E．求ME长的最大值； （3）试探究当ME取最大值时,在x轴下方抛物线上是否存在点P,使以M,F，Ｂ,P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出点P的坐标;若不存在，试说明理由． 3．已知:如图,在平面直角坐标系xOｙ中，直线与x轴、y轴的交点分别为Ａ、B两点,将∠OBA对折,使点Ｏ的对应点Ｈ落在直线AB上，折痕交x轴于点 C. (1)直接写出点C的坐标,并求过A、Ｂ、C三点的抛物线的解析式； （2）若(1）中抛物线的顶点为D，在直线ＢC上是否存在点P，使得四边形ＯDAP 为平行四边形？若存在,求出点P的坐标;若不存在,说明理由； (3）若把(1)中的抛物线向左平移3．5个单位，则图象与x轴交于F、N(点F在点N的左侧)两点，交ｙ轴于E点，则在此抛物线的对称轴上是否存在一点Ｑ，使点Q到Ｅ、N两点的距离之差最大？若存在，请求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由． 4．已知:如图，在平面直角坐标系ｘＯy中，直线与x轴、y轴的交点分别为Ａ、B,将∠ＯBA对折,使点O的对应点H落在直线AＢ上,折痕交x轴于点Ｃ． （1)直接写出点C的坐标，并求过Ａ、B、C三点的抛物线的解析式； (2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点Ｐ，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在,求出点P的坐标；若不存在，说明理由； (3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Ｑ为线段BT上一点，直接写出|QA ﹣ＱＯ|的取值范围. 5.如图，Rt△OＡＢ如图所示放置在平面直角坐标系中，直角边OA与ｘ轴重合，∠OＡＢ=９0°，OA=４，AB=2,把Rt△OＡＢ绕点O逆时针旋转90°，点B旋转到 1．若等腰梯形两底之差的一半等于它的高，则此梯形的一个底角是…………………（ ） A ． 30 B ． 45 C ． 60 D ． 75 2.四边形ABCD 中，∠A:∠B:∠C:∠D=2:1:1:2,则四边形ABCD 的形状（ ） A.菱形 B.矩形 C.等腰梯形 D.平行四边形 3.若等腰梯形的三边长分别为3、4、11，则这个等腰梯形的周长为（ ） A ．21 B ．29 C ．21或29 D ．21或22或29 4.已知等腰梯形ABCD 中，AD BC ∥，60B ∠= ，28AD BC ==，，则此等腰梯形的周长为（ ） Ａ．19 Ｂ．20 Ｃ．21 Ｄ．22 5．梯形ABCD 中，AD ∥BC,AC 与BD 相交于点O,且AC ⊥BD,AC=4 cm,BD=3.5 cm,那么梯形ABCD 的面积为 。 6．在梯形ABCD 中，AD ∥BC,AD=8,BC=18,∠B=50,∠C=80，则CD 的长为 。 7．梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=CD,AC 与BD 相交于点O,且AC ⊥BD,高DH=42cm,那么 AC= cm,AD+BC= cm. 8.如图2-3，把矩形ABCD 沿直线BD 向上折叠，使点C 落在C ′的位置上，已知AB=?4，BC=8，重合部分△EBD 的面积为________． 第8题图 第9题图 第10题图 9．如图，在平行四边形ABCD 中，EF ∥BC ，GH ∥AB ，EF 、GH 的交点P 在BD 上，图中面积相等的四边形共有（ ） A ．2对； B ．3对； C ．4对； D ．5对． 10.如图，在平行四边形ABCD 中，AE ⊥BC 于E,AF ⊥CD 于F. （1）若∠ABC=75,则∠EAF 的度数是 ； （2）AE=4,AF=6, 在平行四边形ABCD 的周长是40，则在平行四边形ABCD 的面积S= . 11．（08温州）如图，方格纸中有三个点A ，B ，C ，要求作一个四边形使这三个点在这个四边形的边（包括顶点）上，且四边形的顶点在方格的顶点上． （1）在图甲中作出的四边形是中心对称图形但不是轴对称图形； （2）在图乙中作出的四边形是轴对称图形但不是中心对称图形； （3）在图丙中作出的四边形既是轴对称图形又是中心对称图形． 图-甲 图-乙 图-丙 （第11题图） （第11题图） （第11题图） E F G H D E C B A P二次函数与相似三角形综合
人教版八年级下数学一次函数压轴题研究(六)特殊平行四边形存在性(讲义及答案)
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