高中数学立体几何空间点线面的位置关系讲义及练习

课 题： 2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、内容讲解

知识点1 平面的概念: 平面是没有厚薄的，可以无限延伸，这是平面最基本的属性 常见的桌面，黑板面都是平面的局部形象 指出: 平面的两个特征：①_薄厚一致___ ②_无限延伸_。 平面的表示：__1.在每个顶点处写大写字母____2.小写的希腊字母,,αβχ______________。 点的表示：大写字母 点A 点B

线的表示：小写英文字母 线l,线a 线b

平面的画法：在立体几何中，通常画成水平放置的平行四边形来表示平面;锐角画成45ο, 2倍长。

两个相交平面：画两个相交平面时，若一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画。

图形 符号语言 文字语言（读法）

A a A ∈a 点A 在直线a 上

A a

A ?a 点A 在直线a 外 A

α A ∈α 点A 在平面α上（内） A α

A ?α 点A 在平面α外 b a A a b A =I

直线a,b 交于点A a α

a α?

线a 在面α内 a

α a α? 线a 在面α外

a A

α a A α=I 直线a 交α于点A

l αβ=I

平面α交β于线l

与平面、平面与平面的关系，虽然借用于集合符号，但在读法上仍用几何语言。

知识点2 公理1 ：如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内

指出：（1）符号语言：____________________________________．

（2）应用：这条公理是判定直线是否在平面内的依据，也可用于验证一个面是否是平面。

知识点3 公理2 ：如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线

指出：（1）符号语言：____________________________________

（2）应用：确定两相交平面的交线位置；判定点在直线上 知识点4 公理3 ：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面 指出：（1）符号语言：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ??∈???∈?

不共线与β重合

推论1 经过一条直线和直线外的一点有且只有一个平面.

指出：推论1的符号语言：_____________________________-

推论2 经过两条相交直线有且只有一个平面

指出：推论2的符号语言：____________________________________

推论3 经过两条平行直线有且只有一个平面

指出：推论3的符号语言：________________________________

三、典例解析

例1 用符号语言表示下列图形中点、直线、平面之间的位置关系.

例2 正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，对角线A 1C∩平面BDC 1=O ，

AC 、BC 交于点M ，求证：点C 1、O 、M 共线．

五、备选习题

1. 画图表示下列由集合符号给出的关系：

(1) A ∈α,B ?α,A ∈l ,B ∈l ; (2) a ?α,b ?β,a ∥c ,b ∩c =P ,α∩β=c .

2. 根据下列条件，画出图形.

（1）平面α∩平面β=l ，直线AB ?α，AB ∥l ，E ∈AB ，直线EF∩β=F ，F ?l ;

（2）平面α∩平面β=a ，△ABC 的三个顶点满足条件:A ∈a ，B ∈α，B ?a ，C ∈β，C ?a .

3. 画一个正方体ABCD —A′B′C′D′，再画出平面ACD′与平面BDC′的交线，并且说明理由.

4. 正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱长为8 cm ，M 、N 、P 分别是AB 、A 1D 1、BB 1的中点，

(1) 画出过M 、N 、P 三点的平面与平面A 1B 1C 1D 1的交线，以及与平面

BB 1C 1C 的交线.

(2) 设过M 、N 、P 三点的平面与B 1C 1交于点Q ，求PQ 的长.

5.已知△ABC 三边所在直线分别与平面α交于P 、Q 、R 三点，求证：P 、Q 、R 三点共线.

6. 点A ?平面BCD ，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 上的点，

若EH 与FG 交于P （这样的四边形ABCD 就叫做空间四边形）

求证：P 在直线BD 上

G H A

C D E P

空间点、线、面位置关系练习题

1、下列命题：其中正确的个数为（ ）

①若直线l 平行于平面α内的无数条直线，则l ∥α；②若直线a 在平面α外，则a ∥α； ③若a ∥b ，α?b ，那么直线a 平行于平面α内的无数条直线；

A ．1

B ．2

C ．3

D ．0

2、若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的直线（ ）

A ．平行

B ．异面

C ．相交

D ．平行或异面

3、如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中判断下列位置关系：

（1）AD 1所在直线与平面BCC 1的位置关系是 ；

（2）平面A 1BC 1与平面ABCD 的位置关系是 ；

4、如果直线l 在平面α外，那么直线l 与平面α（ ）

A ．没有公共点

B ．至多有一个公共点

C ．至少有一个公共点

D ．有且只有一个公共点

5、以下四个命题：其中正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①③ ①三个平面最多可以把空间分成八部分；

②若直线?a 平面α，直线?b 平面β，则“a 与b 相交”等价于“α与β相交”；

③若l =?βα，直线?a 平面α，直线?b 平面β，且P b a =?，则l P ∈；

④若n 条直线中任意两条共面，则它们共面，

6、若一条直线上有两点到一个平面的距离相等，那么这条直线和这个平面的位置关系是（ ）

A ．在平面内

B ．相交

C ．平行

D ．以上均有可能

7、若直线m 不平行于平面α，且α?m ，则下列结论中正确的是（ ）

A ．α内的所有直线与m 异面

B ．α内不存在与m 平行的直线

C ．α内存在唯一一条直线与m 平行

D ．α内的直线与m 都相交

8、在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的六个表面与六个对角面（面AA 1C 1C ，面BB 1D 1D ，面ABC 1D 1，面ADC 1B 1，面A 1BCD 1及面A 1B 1CD ）所在平面中，与棱AA 1平行的平面共有（ ）

A ．2个

B ．3个

C ．4个

D ．5个

9、两条直线都与一个平面平行，则这两条直线的位置关系是（ ）

A ．平行

B ．相交

C ．异面

D ．以上均有可能

10、下列命题：其中正确的个数是（ ）A ．0 B ．1 C ．2 D ．3

①如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；

②如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线异面；

③过平面外一点有且只有一条直线与平面平行；

④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面，

11、下列命题中正确的个数是（ ）A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

①四边相等的四边形是菱形；②若四边形有两个对角都是直角，则这个四边形是圆内接四边形； ③“直线不在平面内”的等价说法是“直线上至多有一个点在平面内”；

④若两平面有一条公共直线，则这两个平面的所有公共点都在这条公共直线上；

12、若P 是两条异面直线l 、m 外的任意一点，则（ ）

A ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都平行

B ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都垂直

C ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都相交

D ．过点P 有且仅有一条直线与l 、m 都异面

13、与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是

14、经过平面外两点可作这个平面的平行平面的个数是

15、设有不同的直线a ，b 和不同的平面γβα,,，给出下列三个命题：其中正确命题的序号是 ①若a ∥α，b ∥α，则a ∥b ；②若a ∥α，a ∥β，则α∥β；③若α∥β，β∥γ，则α∥γ