高数第五版答案1-4

习题1-4

1. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.

解 不一定.

例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim

0=→x x x βα, )

()(x x βα不是无穷小. 2. 根据定义证明:

(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小; (2)x

x y 1sin =当x →0时为无穷小. 证明 (1)当x ≠3时|3|3

9||2-=+-=x x x y . 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有 εδ=<-=+-=|3|3

9||2x x x y , 所以当x →3时3

92+-=x x y 为无穷小. (2)当x ≠0时|0||1sin |||||-≤=x x

x y . 因为?ε >0, ?δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有 εδ=<-≤=|0||1sin |||||x x

x y , 所以当x →0时x

x y 1sin =为无穷小.

3. 根据定义证明: 函数x x y 21+=

为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？

证明 分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+0, ?21+=

M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M x x >+21, 所以当x →0时, 函数x

x y 21+=是无穷大. 取M =104, 则21014+=δ. 当2

101|0|04+<-104. 4. 求下列极限并说明理由:

(1)x

x n 12lim +∞→; (2)x

x x --→11lim 2

0.

解 (1)因为x

x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→x x n . (2)因为x x

x +=--1112

(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x . 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:

6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？

解 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.

这是因为?M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如

y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ? ? ?),

当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .

当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.

这是因为?M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如

0)2

2cos()22()22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ? ? ?), 对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22π

π, 但|y (x )|=0

x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大. 证明 函数x

x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为 ?M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当

221

π

π+=k x k (k =0, 1, 2, ? ? ?)

时, 有

22)(ππ+

=k x y k ,

当k 充分大时, y (x k )>M . 当x →0+ 时, 函数x

x y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为 ?M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0

π

k x k 21=(k =0, 1, 2, ? ? ?), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0