大学物理 刚体力学基础习题思考题及答案
习题5
5-1．如图，一轻绳跨过两个质量为m 、半径为r 的均匀圆盘状定滑轮，绳的两端分别挂着质量为m 2和m 的重物，绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴光滑，两个定滑轮的转动惯量均为2/2
mr ，将由两个定滑轮以及质量为m 2和m 的重物组成的系统从静止释放，求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。 解：受力分析如图，可建立方程：
ma T mg 222=-┄①
ma mg T =-1┄② 2()T T r J β-=┄③ βJ r T T =-)(1┄④
βr a = ，2/2J mr =┄⑤
联立，解得：g a 41=，mg T 8
11
= 。
5-2．如图所示，一均匀细杆长为l ，质量为m ，平放在摩擦系数为μ的水平桌面上，设开始时杆以角速度0ω绕过中心O 且垂直与桌面的轴转动，试求：（1）作用于杆的摩擦力矩；（2）经过多长时间杆才会停止转动。 解：（1）设杆的线密度为：l
m
=
λ，在杆上取一小质元dm d x λ=，有微元摩擦力：
d f dmg gd x μμλ==，
微元摩擦力矩：d M g xd x μλ=，
考虑对称性，有摩擦力矩：
20
1
24
l M g xd x mgl μλμ==?；
（2）根据转动定律d M J J
dt
ωβ==，有：000t Mdt Jd ωω-=??， 2011
412
mglt m l μω-=-，∴03l t g ωμ=。
或利用：0M t J J ωω-=-，考虑到0ω=，21
12
J ml =， 有：03l
t g
ωμ=。
T
5-3．如图所示，一个质量为m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联，绳子的质量可以忽略，它与定滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为M 、半径为
R ,其转动惯量为2/2MR ，试求该物体由静止开始下落的过程中，
下落速度与时间的关系。
解：受力分析如图，可建立方程：
m g T ma -=┄①
βJ TR =┄②
a R β= ，21
2
J mR =
┄③ 联立，解得：22mg a M m =+，2Mmg
T M m =+，
考虑到dv a dt =，∴0022v t mg dv dt M m =+??，有：22mg t
v M m =
+。
5-4．轻绳绕过一定滑轮，滑轮轴光滑，滑轮的质量为4/M ，均匀分布在其边缘上，绳子A 端有一质量为M 的人抓住了绳端，而在绳的另一端B 系了一质量为4/M 的重物，如图。已知滑轮对O 轴的转动惯量4/2
MR J =，设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时，绳与滑轮间无相对滑动，求B 端重物上升的加速度 解一：
分别对人、滑轮与重物列出动力学方程
A Ma T Mg =-1人
B a M g M T 4
42=-
物 αJ R T R T =-21滑轮
由约束方程: αR a a B A ==和4/2
MR J =,解上述方程组 得到2
g
a =
. 解二：
选人、滑轮与重物为系统，设u 为人相对绳的速度，v 为重
物上升的速度，注意到u 为匀速，
0d u
dt
=，系统对轴的角动量为：
213
()()442
M L M v R M u v R R M v R M u B A R
ω=
--+=-()()体人(物物体)
而力矩为：13
M 44M gR M gR M gR =-
+=v
， 根据角动量定理dt dL M =有：)23(43MuR MvR dt d MgR -=，∴2
g
a =。
5-5．计算质量为m 半径为R 的均质球体绕其轴线的转动惯量。 解：设球的半径为R ，总重量为m ，体密度3
34m
R
ρπ=
， 考虑均质球体内一个微元：2
sin d m r d rd d ρθθ?=， 由定义：考虑微元到轴的距离为sin r θ
2(sin )J r dm θ=?，有：
2220
(sin )sin R
J r r d rd d ππθρθθ?=??
??
5
20
1
2[(1cos )cos ]5
R r d π
πρθθ=??--?22
5
mR =
。
5-6．一轻弹簧与一均匀细棒连接，装置如图所示，已知弹簧的劲度系数40/k N m =，当0θ=时弹簧无形变，细棒的质量kg 0.5=m ，求在0θ=的位置上细棒至少应具有多大的角速度ω，才能转动到水平位置
解：以图示下方的三角桩为轴，从0
0~90θθ==时， 考虑机械能守恒，那么： 0θ=时的机械能为：
22()(2)11
23
l mg ml ω?+（重力势能转动动能），
090θ=时的机械能为：21
2
k x
有：222111
2232
l mg ml k x ω?
+=（） 根据几何关系：22215.1)5.0(+=+x ，得：1
28.3-?=s rad ω
5-7．如图所示，一质量为m 、半径为R 的圆盘，可绕O 轴在铅直面内转动。若盘自静止下落，略去轴承的摩擦，求：
（1）盘到虚线所示的铅直位置时，质心C 和盘缘A 点的速率； （2）在虚线位置轴对圆盘的作用力。 解：（1）设虚线位置的C 点为重力势能的零点，
下降过程机械能守恒，
有：221ωJ mgR =
，而22213
22J mR mR mR =+= ∴R g 34=ω 3
4Rg R v c ==ω 1623A Rg
v R ω==
（2）273
y F mg mR mg ω=+=（重力）（向心力），方向向上。
5-8．如图所示，长为l 的轻杆，两端各固定质量分别为m 和m 2的小球，杆可绕
水平光滑固定轴O 在竖直面内转动，转轴O 距两端分别为l 3
1
和l 3
2
．轻杆原来静止在竖直位置。今有一质量为m 的小球，以水平速度0v 与杆下端小球m 作对心
碰撞，碰后以02
1
v 的速度返回，试求碰撞后轻杆所获得的角速度。
解：根据角动量守恒，有：
22002122()2()32333l l
mv l m v l m m ωω?=-??++?
有：22004221()9933
l l v l v l ω+=+
∴032v l
ω=
5-9．一质量均匀分布的圆盘，质量为M ，半径为R ，放在一粗糙水平面上(圆盘与水平面之间的摩擦系数为μ)，圆盘可绕通过其中心O 的竖直固定光滑轴转动。开始时，圆盘静止，一质量为m 的子弹以水平速度v 垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上，求：（1）子弹击中圆盘后，盘所获得的角速度；（2）经过多少时间后，圆盘停止转动。(圆盘绕通过O 的竖直轴的转动惯量为
22
1
MR ，忽略子弹重力造成的摩擦阻力矩。) 解：（1）利用角动量守恒：ωω2
22
1mR MR mvR +=
得：2(2)mv
m M R
ω=+；
（2）选微分dm rdrd σθ=，其中：面密度2
M
R
σπ=， 202
2π3
R f M M grdm gr rdr M gR R μμμπ===?? ∴由f M t J ω??=??有：22
21()032
M gR t M R mR μω??=+-，
知：()
224M m t R Mg ωμ+?=
将()22m M m R
ω=+v 代入，即得：32mv
t M g μ?= 。
5-10．有一质量为1m 、长为l 的均匀细棒，静止平放在滑动摩擦系数为的水平桌面上，它可绕通过其端点O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动。另有一水平运动的质量为2m 的小滑块，从侧面垂直于棒与棒的另一端A 相碰撞，设碰撞时间极短。已知小滑块在碰撞前后
的速度分别为1v v 和2v v
，如图所示。求碰撞后从细棒开始转动到停止转动的过程所需的时间。
(已知棒绕O 点的转动惯量2131
l m J =
) 解：由碰撞时角动量守恒，考虑到1v v 和2v v
方向相反，以逆时针为正向，有：
2211221
3m v l m l m v l ω=-，得：l
m v v m 1212)(3+=
ω 又∵细棒运动起来所受到的摩擦力矩可由积分求得：
11012l
f m M
g xd x m gl l μ
μ==?，利用f d M J
dt ω
-=，有： 210011
312t m l d dt m g l ωωμ=-??，得：21212()23m v v l t g m g ωμμ+==。
5-11．如图所示，滑轮转动惯量为2
m kg 01.0?，半径为cm 7；物体的质量为kg 5，用一细绳与劲度系数N/m 200=k 的弹簧相连，若绳与滑轮间无相对滑动，滑轮轴上的摩擦忽略不计。求：（1）当绳拉直、弹簧无伸长时使物体由静止而下落的最大距离；（2）物体的速度达最大值时的位置及最大速率。 解：（1）设弹簧的形变量为x ，下落最大距离为max x 。 由机械能守恒：
2
max max 12
k x mg x =，有： max 20.49mg
x m k
=
=； （2）当物体下落时，由机械能守恒：222111
222
k x mv J mg x ω++=， 考虑到v R ω=，有：2222
111222
k x m R J mg x ωω++=，
欲求速度最大值，将上式两边对x 求导，且令0d d x
ω
=，有： 21()22d k x m R J mg d x ωω++?=，将0d d x ω=代入，有：)(245.0m k mg x ==，
∴当0.245x =m 时物体速度达最大值，有：
2
2
max 2121()2mgx kx v J m r
-=+，代入数值可算出：max 1.31/v m s = 。
5-12．设电风扇的功率恒定不变为P ，叶片受到的空气阻力矩与叶片旋转的角速度ω成正比，比例系数的k ，并已知叶片转子的总转动惯量为J 。（1）原来静止的电扇通电后t 秒时刻的角速度；（2）电扇稳定转动时的转速为多大（3）电扇以稳定转速旋转时，断开电源后风叶还能继续转多少角度 解：（1）已知f M k ω=-，而动力矩ωP M =，
通电时根据转动定律有：f d M M J dt
ω
+= 代入两边积分有：
ωω
ω
ω
d k P J dt t ?
?-=0
2
，可求得：)1(2t J k
e k P
--=ω； （2）见上式，当t →∞时，电扇稳定转动时的转速：P k
ω=稳定
（3）断开电源时，电扇的转速为0P
k ω=
f M 作用，那么： d k J dt ωω-=，考虑到d d dt d ωωωθ=，有：0
00k
d d J
θωθω-=??，
得：0J J P
k k k
θω=
= 。 5-13．如图所示，物体A 放在粗糙的水平面上，与水平桌面之间的摩擦系数为μ，细绳的一端系住物体A ，另一端缠绕在半径为R 的圆柱形转轮B 上，物体与转轮的质量相同。开始时，物体与转轮皆静止，细绳松弛，若转轮以0ω绕其转轴转动。试问：细绳刚绷紧的瞬时，物体A 的速度多大物体A
运动后，细绳的张力多大 解：（1）细绳刚绷紧的瞬时前后，把物体A 和转轮B 、绳看成一个系统，系统对转轴圆柱形中心角动量守恒，
A Rmv J J +=ωω0，又R v A ω=，22
1
mR J =
03
1
ωω=?
（2）物体A 运动后，由牛顿定律：ma mg T =-μ （1）
对转轮B ，由定轴转动定律： βJ TR =-，（2）约束关系：βR a =（3）
可求出：1
3
T mg μ=。
5-14. 质量为m 的小孩站在半径为R 、转动惯量为J 的可以自由转动的水平平台边缘上(平台可以无摩擦地绕通过中心的竖直轴转动)。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然一相对地面为v 的速率沿台边缘逆时针走动时，此平台相对地面旋转的角速度ω为多少
解：此过程角动量守恒：0m Rv J ω+=，有： mRv
J
ω=-
。
5-15．在半径为R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上，有一人静止站立在距转轴为
R 2
1
处，人的质量是圆盘质量的1/10．开始时盘载人对地以角速度0匀速转动，现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率v 沿与盘转动相反方向作圆周运动，如图所示． 已知圆盘对中心轴的转动惯量为
22
1
MR ．求： (1) 圆盘对地的角速度．
(2) 欲使圆盘对地静止，人应沿着R 2
1
圆周对圆盘的速
度v ?
的大小及方向
解：(1) 设当人以速率v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时，圆盘对地的绕轴角速度为，则人对与地固联的转轴的角速度为 R R v v
22
1-=-='ωωω ① 人与盘视为系统，所受对转轴合外力矩为零，系统的角动量守恒． 设盘的质量为M ，则人的质量为M / 10，有：
ωωω'??? ??+=?????
???? ??+2
2022211021211021R M MR R M MR ② 将①式代入②式得：R
2120v
+
=ωω ③ (2) 欲使盘对地静止，则式③必为零．即 0 +2v / (21R )＝0 得： v ＝－21R 0 / 2
式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．
答案：R
2120v
+
=ωω；v ＝－21R 0 / 2 式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反，即与盘的初始转动方向一致．
思考题
5-1．一轻绳跨过一具有水平光滑轴、质量为M 的定滑轮，绳的两端分别悬有质量1m 和2m 的物体 (1m <2m )，如图所示，绳与轮之间无相对滑动，某时刻滑轮沿逆时针方向转动，则绳的张力多大 解：
a m T g m 111=- （1）
a m g m T 222=- （2） βJ r T T =-)(21 （3） βr a = （4） 联立方程可得 1T 、2T ， 21T T > 。
5-2．一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴O 以角速度ω按图示方向转动，若如图所示的情况那样，将两个大小相等方向相反但不在同一条直线的力F 沿盘面方向同时作用到盘上，则盘的角速度ω怎样变化 答：增大
5-3．个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中，人、哑铃与转动平台组成的系统的： （A ）机械能守恒，角动量守恒；（B ）机械能守恒，角动量不守恒； （C ）机械能不守恒，角动量守恒；（D ）机械能不守恒，角动量不守恒。 答：（C ）
5-4．在边长为a 的六边形顶点上，分别固定有质量都是m 的6个质点，如图所示。试求此系统绕下列转轴的转动惯量：（1）设转轴Ⅰ、Ⅱ在质点所在的平面内，如图a 所示；（2）设转轴Ⅲ垂直于质点所在的平面，如图b 所示。
答：以Ⅰ为轴转动惯量 2
9ma J =；
以Ⅱ为轴转动惯量 2
3ma J =； 以Ⅲ为轴转动惯量 25.7ma J =。
5-5．如图a 所示，半径分别是1R 和2R 、转动惯量分别是1J 和2J 的两个圆柱体，可绕垂直于图面的轴转动，最初大圆柱体的角速度为0ω，现在将小圆柱体向左靠近，直到它碰到大圆柱体为止。由于相互间的摩擦力，小圆柱体被带着转动，最后，当相对滑动停止时，两圆柱体各以恒定角速度沿相反方向转动。
试问这种情况角动量是否守恒为什么小圆柱的最终角速度多大
答：角动量守恒，因为摩擦力的力矩为0。 由ωω201J J =，有小圆柱的最终角速度为：
2
01J J ωω= 。
5-6．均质细棒的质量为M ，长为L ，开始时处于水平方位，静止于支点O 上。
一锤子沿竖直方向在d x =处撞击细棒，给棒的冲量为0I j v
。试讨论细棒被球撞击后的运动情况。
答：撞击过程角动量守恒，棒获得一个角速度向上转动，当转到最大角度时，开始往下运动，最后回到平衡位置。