浅谈多元函数的极值问题
浅谈多元函数的极值问题
摘要：最优化问题是近代应用数学的一个新的分支，是一门应用相
当广泛的学科，多元函数极值问题是一种简单的最优化问题，一般说来多元函数的极值问题分为无约束极值和有约束极值两大类。
关键词：无约束极值、条件极值、汉森（Hessian ）矩阵。 引言：极值问题分为两类：无约束极值问题和条件极值问题，无约
束极值问题又称为无条件极值问题。
例如 求函数61065),(22++-+=y x y x y x f 的极值，就属于无条件极值的问题。但在实际中我们常会遇到这样的问题，如要设计一个容量为V 的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少？为此设水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则表面积为 S xy yz xz z y x ++=)(2),,(
依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求（0,0,0>>>z y x ），而且还必须满足条件 V xyz =
这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题）
一：无约束极值与条件极值的关系
一些简单的条件极值可以转化成无条件极值，如引言中的条件
V xyz =，将z 用V 、x 、y 表示出来即xy
V
z =
，并将其代入表面积公式得 xy x
V y V z y x S ++=)(2),,(
这样就把条件极值转化成了条件极值了，一些条件极值带有多个条件，按上面方法进行可得到一个多元函数方程组，将其转化成无条件极值，我们可以通过解方程组得到解答，但有一些方程组我们不容易解出，甚至解不出来，这就要利用下面将要的拉格朗日乘数法。
二：无约束极值
定义：设n 元函数u=f(X)定义在开集Ω?n R 上，如果存在的某邻域
U(0X ,δ)?Ω，恒有
f(X)≤f(0X )，则称点0X 为f 的极大值点； f(X)≥f(0X )，则称点0X 为f 的极小值点。
极大值、极小值统称为极值。函数取得极值的点称为极值点。
定理1 （极值点的必要条件） 如果n 元函数u=f(X)在 U(0X ,δ)
有定义，在0X 处取极值，且f 在0X 存在偏导数，则'i
x f （0X ）=0
（i=1，…,n ）
证明:若u=f(1x ,2x ,...,n x )在0X 取极值,则只随i x (i=1，...,n)而变
的函数f(01x ,...,0i x ,...,0
n x )在点0i x 有极值,于是由一元函数极值的
必要条件,可知有
i
x f ??0
i x =0(i=1，...,n) 与一元函数类似,我们把u=f(1x ,2x ,…,n x )的一阶偏导数全为0的点称为f 的驻点（稳定点），定理1告诉我们多元函数的极值点必须在驻点处取得，但驻点并不一定能取得极值，有些函数在偏导数不存在处也可能取得极值。
下面引入汉森（Hessian ）矩阵
设,,(21x x x =…n x ,)，则)(x f 为n 维空间中的n 元函数，同一元函数类似，可得n 元函数极值的相应定理。
定理2 设n 元函数)(x f 在点0x 的偏导数存在，且是)(x f 的极
值点，则必有0)(0=?x f 其中)(x f ?为函数)(x f 在点x 处的梯度，即
)(x f ?=),,,(
21n
x f x f x f ?????? 。 定义 称满足)(x f ?=0的点为函数)(x f 的驻点，即方程组
???????????=??=??=??.0,0,02
1n
x f
x f
x f
的解为)(x f 的驻点。
为建立多元函数极值的充分条件，我们假设)(x f 具有二阶连续偏导数并且引入下列矩阵
)(x H f =?????
????
?
??????????????????????????????????222
21
2222221
22122122
12n n n n n x f x x f x x f x x f x f x x f x x f x x f
x f
称为)(x f 的汉森（Hessian ）矩阵，由于具有二阶连续偏导数，故
)(x H f 为对称矩阵。
定理3（多元函数极值的充分条件）设n 元函数)(x f 在其定义
域内具有二阶连续偏导数，且0x 为)(x f 的驻点，)(0x H f 为)(x f 在点0x 处的汉森矩阵，则
（1）若)(0x H f 是正定的，则)(0x f 为)(x f 的极小值； （2）若)(0x H f 是负定的，则)(0x f 为)(x f 的极大值。
特别地，对二元函数),(y x f z =，若点（00,y x ）为),(y x f 的驻点，并记 A=),(00y x f xx ，B=),(00y x f xy ，C=),(00y x f yy ，则),(y x f 在点（00,y x ）处的汉森矩阵为 ),(00y x H f =???
?
??C B B A ,, 根据矩阵正定、负定和不定的判别法，即得大家熟知的二元函数极值的充分性判别法。
例1 设),(y x f =xy y x y x βαα224322---+试问：参数βα,满足什么
条件时，),(y x f 有唯一最大值？有唯一极小值？ 解 由极值的必要条件，得方程组
???????=--=??=--=??.0244,0223x y y
f y x x
f
βαβα
系数行列式)2(422βα-=?，所以当?≠0时，),(y x f 有唯一驻点 220223βαβα--=x ， )
2(234220
βαβ
α--=y 。 记
A==??22x f -2α，B=y x f ???2=β2-，C=α422-=??y
f
.
则 2B -AC=4)2(482222βααβ--=-. 当2B -AC<0，即222βα->0时，),(y x f 有极值； 当A=-2α>0，即0<α时有极小值；
当A=-2α<0,即0>α时有极大值； 综上所述，得
当222βα->0且0<α时，有唯一极小值； 当222βα-<0且0>α时，有唯一极大值。
例2 求),,(z y x f u ==z xy z y x 26223++++的极值点。
解 先求f 的驻点，解方程组
?????????=+=??=+=??=+=??022*******
z z
u
x y y u
y x x u
得f 得两个驻点1P (6，-18，-1),2P （0,0，-1），而f 在P 处的黑森矩阵为
f H (P)=2
00026066x .
于是
f H (1P )=2000260
636.
f H (2P )=2
000260
60.
易知 H (1P ) 正定、H (2P ) 不定,所以 1P 是极小值点,2P 不是极值点.
三：条件极值
以上讨论的多元函数无条件极值问题，各自变量是相互独立变化
的，然而，更为普遍的是，极值问题常常附加一些约束条件。附加某些条件的极值称为条件极值。相应地，前面讨论的极值问题叫做无条件极值或普遍极值。有的条件极值可以化成无条件极值，但跟多的条件极值无法化成无条件极值。条件极值常记作
min (或max)=u （x ，y ，z ），（1） s.t ?（x ，y ，z ）=0， （2）
其中（1）式中函数u （x ，y ，z ）称为目标函数，式中的 ?（x ，y ，z ）=0约束条件。
通常求解条件极值问题，都采用下述的拉格朗日乘数法
定理4 设n 元函数f(1
x ,2
x
,…,n x )，?(1x ,2x ,…,n x )在开集n
R ?Ω内是1C 类函数，且
i
x ???
（i=1,2，…,n ）不全为零,则函数u=f(1x ,2x ,…,n x )在条?(1x ,2x ,…,n x )=0下的极值点,必为拉格朗日函数
L=f(1x ,2x ,…,n x )+λ?(1x ,2x ,…,n x ) (3) 的驻点,其中λ叫做拉格朗日乘数. 证 不妨设
0≠??n
x ?
,根据隐函数存在定理,方程?(1x ,2x ,…,n x )=0确定了一个函数),,,(121-=n n x x x g x .于是u=f(1x ,2x ,…,n x )在条件极值问题,就转化成为u=f(1x ,2x ,…,1-n x ,),...,,(121-n x x x g )的无条件极值问题.由极值的必要条件,得
i
n
n i i x x x f x f x u ?????+??=??(i=1,2,...,n-1), 再对方程?(1x ,2x ,...,n x )=0用隐函数求导公式,得
n
i i n x x x x ????-
=???
?
. 将其代入前式,有 n
i
n i x x x f x f ???????-???
?=0, 即
n
n
i i
x x f
x x f ????=?????
? (i=1,2,...,n-1) 令其比值为-λ,即得n 个方程
0=??+??i
i x x f ?λ (i=1,2,...,n) 构造拉格朗日函数
L=f(1x ,2x ,...,n x )+λ?(1x ,2x ,…,n x ), 定理4得证.
注:定理
4的结论可以推广到多个约束条件下的条件极值问题,如
min (或max)=u （1x ,2x ,…,n x ），
s.t ??
?
??
==0),...,,(......
0),...,,(21211n m n x x x x x x ?? (m 其中,u,1?,2?,…,m ?是开集Ω?n R 上的1C 类函数,约束条件中m 个函数关于它的其中m 个变量的雅可比行列式等于零,则u （1x ,2x ,…,n x ）在条件1?（1x ,2x ,…,n x ）=0,…,m ?（1x ,2x ,…,n x ）=0下的极值点必为拉格朗日函数 L=u(1x ,2x ,…,n x )+1λ1?(1x ,2x ,…,n x )+…+m λm ?（1x ,2x ,…,n x ）的驻点. 例3： 已知矩形的周长为24cm ，将它绕其一边旋转而构成一圆柱体， 试求所得圆柱体体积最大时的矩形面积。 解 设矩形相邻两边长为x 和y ，则问题归结为求目标函数V=πy x 2（0,0>>y x ）在约束条件12=+y x 下的极值。构造拉格朗日函数 )12(2-++=y x y x L λπ 由方程组 ???? ?????=+=+=??=+=??,12,0,02y x x y L xy x L λπλπ 解得 .4,8==y x 由问题的实际意义，最大体积必存在，即在唯一驻点（8,4）处取得最大值，因此矩形面积S=32（2cm ）. 以上是求多元函数的几种方法,不管是有条件极值还是无条件极值,只要我们灵活应用,都可以通过它们得到解答. 参考文献 （1）数学分析.华东师范大学数学系.编.下册第三版.高等教育出版社； （2）高等数学专题十二讲.李心灿、宋瑞霞唐旭辉等编.化学工业出版社； （3）高等数学多元微积分学.刘开宇、周利彪等编.科学出版社； （4）高等数学.高纯一、周勇主编.复旦大学出版社。 多元函数的极值与最值 1.求函数z=x3+y3?3xy的极值。 步骤： 1)先求驻点(另偏导数等于0，联立) 2)再求ABC A=f xx(x0, y0) B=f xy(x0, y0) C=f yy(x0, y0) 3)(1)当B2-AC<0时，f(x，y)在点(x o，y o)处取得极值， 且当A<0时取得极大值f(x o，y o)，当A>0时取得极小值f(x o，y o),当A<0时取得极大值f(x o，y o); (2)当B2-AC>0时，f(x o, y o )不是极值; (3)当B2-AC=0时，f(x o,y o)是否为极值不能确定，需另做讨论. =3x2?3y=0 解：?z ?x ?z =3y2?3x=0 ?y 联立得驻点为(0,0),(1,1) A=f xx(x0, y0)=6x(对x求偏导,再对x求偏导) B=f xy(x0, y0)=-3(对x求偏导,再对y求偏导) C=f yy(x0, y0)=6y(对y求偏导,再对y求偏导) 在点(0,0)处，A=0,B=-3，C=0,由B2-AC=9>0,故在此处 无极值。 在点(1,1)处，A=6,B=-3,C=0, B2-AC=-27<0,又因为 A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (1, 1) =x3+y3?3xy=?1 2.求函数f(x, y)=x2+(y?1)2的极值。 解：f x’=2x=0 F y’=2y-2=0 联立得驻点为(0,1) A=f xx(x0, y0) =2 B=f xy(x0, y0) =0 C=f yy(x0, y0) =2 在点(0,1)处A=2，B=0，C=2由B2-AC=-4<0,又因为A>0,故在此处为极小值点，极小值为 F (0, 1) = 0 3.制造一个容积为a的无盖长方体，使之用料最少，则长宽高为多少？ 解：另长宽高分别为x, y, z 故xyz=a, z=a xy S=xy+2(x a xy +y a xy )=xy+2(a y +a x ) S x’=y+2(?a x2 )=0 S y ’= x+2(?a y )=0 1 设函数2 2(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常 数a ，并确定极值的类型． 2 求函数2 2 z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小 值． 3（04研） 设(,)z z x y =是由2 226102180x xy y yz z -+--+=确定的函 数，求(,)z z x y =的极值点和极值． 4 求函数23 u xy z =在条件x y z a ++=（其中,,,a x y z R + ∈）下的条 件极值． 1 设函数22(,)22f x y x ax xy y =+++在(1,1)-处取得极值，试求常数a ，并确定极值的类型． 分析 这是二元函数求极值的反问题， 即知道(,)f x y 取得极值，只需要根据可导函数取得极值的必要条件和充分条件即可求解本题． 解 因为(,)f x y 在(,)x y 处的偏导数均存在，因此点(1,1)-必为驻点， 则有 2(1,1) (1,1) (1,1)(1,1) 40220f x a y x f xy y ----??=++=??????=+=???， 因此有410a ++=，即5a =-． 因为 22 (1,1) 4f A x -?==?，2(1,1) (1,1) 22f B y x y --?= ==-??， 22 (1,1)(1,1) 22f C x y --?===?， 2242(2)40AC B ?=-=?--=>，40A =>， 所以，函数(,)f x y 在(1,1)-处取得极小值． 2 求函数22z x xy y =-+在区域1x y +≤上的最大值和最小值． 分析 这是多元函数求最值的问题．只需要求出函数在区域内可能的极值点及在区域边界上的最大值和最小值点，比较其函数值即可． 解 由 20z x y x ?=-=?，20z y x y ?=-=?解得0x =，0y =，且(0,0)0z =． 在边界1,0,0x y x y +=≥≥上， 22()313(1)133z x y xy x x x x =+-=--=-+， 它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和 1 4 ； 同理，在边界1,0,0x y x y +=-≤≤上有相同的结果． 在边界1,0,0x y x y -=-≤≥上， 22()1(1)1z x y xy x x x x =-+=++=++， “探索求一元函数极值和最值方法”的学习报告 一、前言 函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数形态的重要特征。因此，通过学习、掌握确定极值点和最值点，并求出极值和最值的方法是十分重要的。 二、学习内容和过程 1.探索可能的极值点 (1)回顾相关定义、定理 a.极值定义：若函数f在点x0的领域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥(≤)f(x)，则称函数f在点x0确取得极大（小）值。称x0为极大(小)值点。 b.费马定理：设函数f在点x0的某领域内有定义，且在点x0可导。若点x0为f的极值点，则必有f’ (x0)=0。且称这样的点为稳定点。 (2)思考并回答下列问题。进一步分析可能的极值点类型。 a.可导点成为极值点一定是稳定点吗？（是。通过费马定理可证明） b.函数的不可导点也能称为极值点吗？（能。例如y=| x|在x=0处取极小值） c.函数的稳定点一定是极值点吗？（不一定。例如y=x3，x=0为稳定点，但非极值点） d.函数的不可导点一定是极值点吗？（不一定。例如y=1/x，在x=0处不可导，但不是极值点） e.函数在点x0处不可导，它包含了哪几种情况？（①连续不可导②不连续） f.除此之外，还有没有其他类型的点极值点？（没有） 稳定点，例如y=x2，x=0处 (3)由上面的问题得到极值点的范围 连续不可导，例如y=| x|，x=0处 不可导点2x≠0 不连续点，例如y= －1 x=0 2.探索确定极值点的方法 由极值点的范围可知极值点分为连续点和间断点。对于剪短点，只要满足在x0某领域内始终有f(x0)≥f(x)或者f(x0)≤f(x)，至于连续部分函数任意，这样间断点x0就为极大或极小值点，即判断间断点是否为极值点，只需要根据极值定义即可。下面主要讨论连续点能否成为极值点的判断。 (1)a.考察函数y=x2，y=x3，y=x1/3易知在x=0处连续，在U0(x)可导，且有 ①y=x2x<0时，f’ (x)<0，函数严格递减 x>0时，f’ (x)>0，函数严格递增 ②y=x3 f’ (x) ≥0函数单调递增 仅在x=0时，f’ (x)=0 ③y=x1/3 f’ (x)>0.函数严格递增且x=0处不可导 由y=x2在x=0处连续以及两边领域内的增减性可知y=x2在x=0处取得极小值，而y=x3以及y=x1/3由f(x)的增减性可知在x=0处不取极值。 b.启发得到定理：设f在点x0连续，在某领域U0(x0)内可导则 Ⅰ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≤0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≥0，则f在点x0处取得极大值Ⅱ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≥0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≤0，则f在点x0处取得极小值 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点，现对二元函数的极值与最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在驻点和不可导点取得。对于不可导点，难以判断是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的必要条件： 设),(y x f z =在点),(00y x 处可微分且在点),(00y x 处有极值，则0),('00=y x f x ，0),('00=y x f y ，即),(00y x 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的充分条件：设),(y x f z =在),(00y x 的某个领域内有连续上二阶偏导数，且=),('00y x f x 0),('00=y x f y ，令A y x f xx =),('00， B y x f xy =),('00，C y x f yy =),('00，则 当02<-AC B 且 A<0时，f ),(00y x 为极大值； 当02<-AC B 且A>0，f ),(00y x 为极小值； 02 >-AC B 时，),(00y x 不是极值点。 注意： 当B 2－AC = 0时，函数z = f (x , y )在点),(00y x 可能有极值，也可能没有极值，需另行讨论 例1 求函数z = x 3 + y 2 －2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点，先求出一阶偏导，再令其为零确定极值点即可，然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值，并求出相应的极值. 【解】先求函数的一、二阶偏导数： y x x z 232 -=??， x y y z 22-=??． x x z 62 2 =??, 22 -=???y x z , 2 2 2 =??y z ． 再求函数的驻点．令x z ??= 0，y z ??= 0，得方程组???=-=-. 022,0232x y y x 求得驻点(0，0)、），（3 2 32． 利用定理2对驻点进行讨论： 函数的极值问题在实际中的应用 一、函数求极值方法的介绍 利用函数求极值问题，是微积分学中基本且重要的内容之一，函数求极值的方法很多，但主要可分为初等方法和微积分中的导数方法等。用初等方法求最值问题，主要是利用二次函数的最值性质，二次函数非负的性质，算术平均数不小于几何平均数。正弦，余弦函数的最值性质讨论问题。一般而言，他需要较强技巧，在解决某些问题时，其解法让人赏心悦目，但这些方法通用性较差，利用高等数学的导数等工具求解极值问题，通用性较强，应用也较强，应用也较广泛，下面给出用导数求极值最值得一些定理和方法。 1、一元函数极值的判定及求法 定理1（必要条件）设函数在点处可导，且在处取得极值，那么。 使导数为零的点，即为函数的驻点，可导函数的极值点必定是它的驻点，但反过来，函数的驻点却不一定是极值点。当求出驻点后，还需进一步判定求得驻点是不是极值点，下面给出判断极值点的两个充分性条件。 定理2（极值的第一充分条件）设在连续，在某领域内可导。 （1）若当时，当时，则在点取得最小值。 （2）若当时，当时，则在点取得最大值。 定理3（极值的第二充分条件）设在连续，在某领域内可导，在 处二阶可导，在处二阶可导，且，。 （1）若，则在取得极大值。 （2）若，则在取得极小值。 由连续函数在上的性质，若函数在上一定有最大、最小值。这就为我们求连续函数的最大、最小值提供了理论保证，本段将讨论怎样求出最大（小）值。在一个区间上，一个函数的最值可能在不可导点取得，也可能在区间的端点取得，除去这两种情况之外，必然在区间内部的可导点取得，根据上面的必要条件， 在这些点的导数为0，即为驻点。因此，我们如果要求一个函数在一个区间的最值，只要列举出不可导的点，区间端点以及驻点，然后比较函数在这些点的最值，即可求出最值。 函数极值最值的求法及其应用 学习目标：会用导数求函数的极值与最值并利用其解决相关的数学问题. 学习重点：利用导数求函数单调区间和极值最值，并能利用他们解决相恒成立问题、方程的根和函数的零点问题. 学习难点：含参函数的分类讨论和数形结合的思想方法. 学习方法：指导学习法. 课前五分钟展示：求函数)0()(>+=a x a Inx x f 在区间[]1,e 上的最小值. 基础知识回顾： 1、 单调区间： 在某个区间(a,b)内,如果()0f x '> ,那么函数()y f x =在这个区间内单调 如果()0f x '<,那么函数()y f x =在这个区间内单调 注意：求参数范围时，若函数单调递增，则'()0f x ≥；若函数单调递减，则 '()0f x ≤”来求解，注意此时公式中的等号不能省略，否则漏解． 2、 函数的极值与最值： 极大值和极小值：一般地，设函数)(x f 在点0x 附近有定义，如果对0x 附近的所有的点都有)(x f ＜)(0x f 或)(x f ＞)(0x f ，就说)(0x f 是函数)(x f 的一个极大值或极小值，记作极大值y =)(0x f ，0x 是极大值点或记作极小值y =)(0x f ，0x 是极小值点. 在定义中，极大值与极小值统称为 取得极值的点称为 极值点是自变量的值，极值指的是 最大值和最小值：观察图中一个定义在闭区间[]b a ,上的 函数)(x f 的图象．图中)(1x f 与3()f x 是极小值，2()f x 是极大值．函数)(x f 在[]b a ,上的最大值是)(b f ，最小值是3()f x ．一般地，在闭区间[]b a ,上连续的函数)(x f 在 []b a ,上必有最大值与最小值． 请注意以下几点： （1； （2）函数的极值不是唯一的； （3）极大值与极小值之间无确定的大小关系 ； （4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点取得最大值.最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点. 思考探究： 在连续函数)(x f 中，0)('= x f 是函数)(x f 在 x x =处取到极值的什么条件（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件D 、既不充分也不必要条件 典型例题： 题型一：利用导数求函数的极值最值问题： 例1：求函数5224+-=x x y 在区间[]2,3-上的最大值与最小值. 多元函数的极值与应用 摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性 Extreme value of function and application Abstract ：This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular Keywords ：Function extreme: function extend application 一函数极值理论 定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12 (,,)n z f x x x =在点00012(,, ,)n x x x 的某个 邻域内有定义,如果对该邻域内任一异于00012(,,,)n x x x 的点12(,,)n x x x 都有 00012 12(,,)(,,,)n n f x x x f x x x <(或0001212(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在 点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极 值，使函数取得极值的点称为极值点. 定义 2.2.1 [3] 函数12(,,,)n z f x x x =在m 个约束条件12(,,,)0i n x x x ?= (1,2, ,;)i m m n =<下的极值称为条件极值. 3. 多元函数普通极值存在的条件 定理（必要条件）若n (2)n ≥元函数12(,,,)n z f x x x =在点00012(,, ,)n x x x 存 在偏导数，且在该点取得极值，则有00012(,, ,)0i x n f x x x = (1,2, ,)i n = 备注：使偏导数都为0的点称为驻点，但驻点不一定是极值点. 定理[3]（充分条件）设n (2)n >元函数12(,,,)n f x x x 在00012(,,,)n x x x 附近具 有二阶连续偏导数，且00012(,,,)n x x x 为12(,, ,)n z f x x x =的驻点.那么当二次型 00012,1 ()(,,,)i j n x x n i j i j g f x x x ζζζ== ∑ 正定时，00012(,,,)n f x x x 为极小值；当()g ζ负定时，00012(,, ,)n f x x x 为极大 值；当()g ζ不定时，00012(,, ,)n f x x x 不是极值. 记00012(,, ,)i j ij x x n a f x x x =，并记 11121321 22 2312 k k k kk a a a a a a A a a a ?? ????=??? ??? ， 它称为f 的k 阶Hesse 矩阵.对于二次型()g ζ正负定的判断有如下定理： 定理 [3] 若det 0k A > (1,2, ,)k n =，则二次型()g ζ是正定的，此时 00012(,, ,)n f x x x 为极小值；若(1)det 0k k A -> (1,2, ,)k n =，则二次型()g ζ是负 定的，此时00012(,, ,)n f x x x 为极大值. 特殊地，当2n =时，有如下推论： 函数极值与最值研究 摘要：在实际问题中, 往往会遇到一元函数.二元函数，以及二元以上的多元函数的最值问题和极值问题等诸多函数常见问题。求一元函数的极值，主要方法有:均值等式法，配方法，求导法等。求一元函数的最值，主要方法有:函数的单调性法，配方法，判别式法，复数法，导数法，换元法等。求二元函数极值，主要方法有：条件极值拉格朗日乘数法，偏导数法等。求二元函数最值，主要方法有:均值不等式法，换元法，偏导数法等。对于多元函数，由于自变量个数的增加, 从而使该问题更具复杂性，求多元函数极值方法主要有：条件极值拉格朗日法, 等，对于多元函数最值问题与一元函数类似可以用极值来求函数的最值问题.主要方法有：向量法，均值不等式法，换元法，消元法，柯西不等式法，数形结合法等， 关键词：函数，极值，最值，极值点,方法技巧． Abstract: in practical problems,often encounter a unary function. The function of two variables, and multiplefunctions of two yuan more than the most value questionand extremum problems and many other functions of common problems. Extremum seeking a binary function,the main methods are: inequality extremum method,distribution method, derivation etc.. The value for theelement function, the main methods are: monotone method, function method, the discriminant method,complex method, derivative method, substitution methodetc.. For two yuan value function, the main methods are:conditional extremum of Lagrange multiplier method etc..Ask two yuan to the value function, the main methods are:mean inequality method, substitution method, partial derivative method etc.. For multivariate function, due to the increased number of “图解法解二元函数的最值问题” 教学课例 昌平区第一中学 回春荣 “图解法解二元函数的最值问题”教学课例 一、设计意图： 在新课程背景下的教学中，课堂上我们应是以“问”的方式来启发学生深思，以“变”的方式诱导学生灵活善变，使整堂课有张有弛，真正突出了学生是教学活动的主体的原则。本节内容是在学习了不等式、直线的方程的基础上，利用不等式和直线的方程有关知识展开的，它是对二元函数的深化和再认识、再理解，是直线、圆和不等式的综合运用，同时它又对理解下一章“圆锥曲线”的相关内容有着很好的帮助作用，所以这一部分内容起到了一个巩固旧知识，熟练方法，理解新知识的承上启下的作用。图解法在解决函数求最值的问题上有着广泛的应用，这节课为学生提供了广阔的思维空间，对培养学生自主探索、合作研究、主动发现问题、分析问题，创造性地解决问题的能力有着丰富的素材。教学上通过设置问题情境、多媒体展示，学生动手操作，使学生在“做中学”，学生在实际操作中，既发展了学生的个性潜能，又培养了他们的合作精神。 二、本课教学目标 1、知识与技能:通过识图、画图，学会解决有约束条件的二元函数最值问题的处理方法——图解法。 2、过程与方法:经历约束条件为二元一次不等式组，目标函数为具有截距、斜率、距离等几何意义的二元函数的最值问题的探究过程，提炼出解决这类问题的方法——以图定位，以算定量。 3、情感态度与价值观:通过对有约束条件的二元函数的最值问题的探究，培养学生科学严谨的治学态度，勇于探索、敢于创新的学习精神，同时感受合作交流的快乐。 三、教学过程与教学资源设计 （一）、教学内容：图解法解二元函数的最值问题 （二）、教学设计流程图： 2012 年 5 月（上）科技创新与应用科教纵横多元函数的极值及其应用苏兴花（山东现代职业学院，山东济南 250104 ）多元函数的极值问题在近年来研究比较广泛，相关的理论逐渐地完善起来，多元函数极值问题的应用也越来越广泛．然而在数学分析的教材中，与一元函数比较起来，多元函数极值的理论及应用却比较少，没有详细的讨论，例如二元函数极值的讨论中，当判别式时，无法判别二元函数的极值是否存在．鉴于这种状况与实际需要的矛盾，总结出几种较为简便的判别多元函数极值的方法，使得多元函数的极值问题的解决方法简单多样化，运用起来更加灵活与方便。 1 多元函数极值 1.1 极值的定义、性质和判定定理二元函数的极值定义 1 设二元函数 f(x,y 在点 P(a,b 的邻域 G 有定义，在 P 处给自变量的增量△P=(h,k，相应有函数增量．若，则称 P(a,b是函数 f(x,y的极大点（极小点）．极大点（极小点）的函数值 f(a,b称为函数 f(x,y的极大值（极小值）．极大值与极小值统称为函数的极值．定义 2 方程组的解（xy 平面上的某些点）称为函数 f(x,y的稳定点．定理 1 若函数 f(x,y在点 P(a,b存在两个偏导数，且P(a,b是函数 f(x,y的极值点，则 . 定理 2 设函数 f(x,y有稳定点 P(a,b，且在 P(a,b的邻域 G 存在二阶连续偏导数．令 1）若△<0，则 P(a,b是函数 f(x,y的极值点，(iA>0(或 C>0，P(a,b是函数 f(x,y的极小点; (iiA<0(或 C<0，P(a,b是函数 f(x,y的极大点． 2）若△>0，P(a,b不是函数 f(x,y的极值点． 1.2 多元函数极值推广 1.2.1 多元函数极值在数学分析中的推广定理设 f(P是 R n 中的实函数，且 f(P在点 P 0 取到极值，则 f(P 在点 P 0 的任何方向导数均为零． 1.2.2 多元函数极值在线性代数中的推广定理 1 设 n 元函数 f(x=f(x 1 ,x 2 ,...,x n 在某区域上具有二阶连续偏导数，并且区域内一点 P(a 1 ,a 2 ,...,a n 是 f(x的稳定点．其中为实对称矩阵，其元素且不全为零 (i,j= 1,2,...,n即A≠0． 1 若 A 为正定矩阵，f(P为极小值; 2 若 A 为负定矩阵，f(P为极大值; 3 若 A 既不正定，也不负定，则 f(P不是极值．注意：若二次齐次多项式为零，即 A=0 时，此时不能用 A 的正定与负定来判断 f(P是否为极值，或判断 f(P是极大值或极小值，需根据二次齐次多项式后边的高次项去判定．定理 2 设二元函数 f(x,y在点 P 0 (x 0 ,y 0 的某邻域内具有三阶连续偏导数，且 P 0 是稳定点，又，即△=0 时，则当时， f 在点 P 0 无极值．例 2 判别函数是否存在极值．解 多元函数的极值及其应用 作者：程俊 指导老师：黄璇 学校：井冈山大学 专业：数学与应用数学 【摘要】 多元函数的极值是函数微分学中的重要组成部分，本文对几种特殊的多元函数进行了简单的介绍，对多元函数的极值常见的求法进行了研究，并引入其在生活中、生产中解决实际问题的广泛应用，突显这一学术课题在生活中的重大意义。如今构建经济型节约社会慢慢成为我们共同努力的方向，而最优化问题是达到这一目标的有效途径，其常常有与多元函数的极值息息相关。对函数极值的研究不仅把理论数学推上一个高度，给经济方面，生活方面带来的益处不容小觑，本人浅谈极值问题，为了抛砖引玉，希望这一课题能有更广大额发展空间 【关键词】：多元函数；极值；生活中的应用 目录 Ⅰ引言 (1) Ⅱ多元函数极值的介绍………………………………………… 2.1什么是多元函数………………………………………… 2.2函数的极值理论………………………………………… Ⅲ几种函数的极值的常见求法……………………………… 3.1高中极值求法的弊端………………………………… 3.2拉格朗日乘数法……………………………………… 3.3消元法…………………………………………………… 3.4均值不等式法…………………………………………… Ⅳ多元函数在生活中的应用…………………………………… 引言 历史表明，重要数学概念对数学发展的作用是不可估量的，函数概念对数学发展的影响，可以说是贯穿古今、旷日持久、作用非凡，回顾函数概念的历史发展，看一看函数概念不断被精炼、深化、丰富的历史过程，是一件十分有益的事情，它有助于我们提高对函数的认识。而函数的极值的作用已经蔓延到经济领域，在各种解决最优化中应用广泛，从而引发了本人对该课题的研究兴趣。 编者 2014年2月 函数的极值和最值及其应用 函数极值的定义 ??????是函，则设函数在附近有定义，如果对附近的所有的点，都有xxxf?ff xx)(xf0000??????????的一，则的一个极大值。如果附近所有的点，都有 是函数数xxfxffxfx?f00个极小值，极大值与极小值统称为极值。 极值点只能在函数不可导的点或导数为零的点中取得。 ???.的极值点，则这就是说可导函数在点取极若函数在点处可导，且为 0fx?xxff000????0xf. 值的必要条件是0函数最值的定义 ????xffx Xx?不小于其他所有的区间上有定义，如果存在一点，使得在设函数X00??????,xff?xxfxX?，，亦即0????????xfmaxxxff?是在上的最大值，又可记为；则称X00????????,x?f?xffxXfxx同样使得，亦即，不大于其他所有的o0????????xxfxf?fmin . 是在则称上的最小值，又可记为X00??xf在注意上未必一定有最大（小）值。：函数X最值和极值的联系与区别 （1）极值一定是函数在某个区间内的最值； （2）极值未必是最值； （3）如果函数的最值在某个区间内取得，那么该点一定是极值点。 函数极值、最值的求解方法 1、降元法 求多元函数极值的基本方法之一就是选择两个变量作为主元，而消去其他变量，化为二元函数求解。 1 22，求函数的极值。例1：已知x?z?y22y?x?22，代人得解：由题设得xy2?x?y?2 22????282?z??2?x?x??2x 2??22?2?22?x???2?0???x?28??即函数的定义域为：2?2?22,?2?2?? 高中数学人教版选修1-1（文科）第三章导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数（II） 卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共8题；共16分) 1. （2分）f′（x0）=0是函数f（x）在点x0处取极值的（） A . 充分不必要条件 B . 既不充分又不必要条件 C . 充要条件 D . 必要不充分条件 2. （2分）(2017·湖北模拟) 已知函数f（x）=（2x+1）er+1+mx，若有且仅有两个整数使得f（x）≤0．则实数m的取值范围是（） A . B . C . D . 3. （2分）已知非零向量，满足| |=2| |，若函数f（x）= x3+ | |x2+ x+1在R 上存在极值，则和夹角的取值范围是（） A . B . C . D . 4. （2分） (2019高二下·雅安期末) 已知函数在时取得极大值，则的取值范围是（） A . B . C . D . 5. （2分）已知f（x）=x2+sin，f′（x）为f（x）的导函数，则f′（x）的图象是（） A . B . C . D . 6. （2分） (2017高二上·邯郸期末) 设函数f（x）=ex（sinx﹣cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极大值之和为（） A . B . C . D . 7. （2分）函数的图象过原点且它的导函数的图象是如图所示的一条直线,则 的图象的顶点在（） A . 第一象限 B . 第二象限 C . 第三象限 D . 第四象限 （其中）， 8. （2分）(2018·绵阳模拟) 已知函数，有三个不同的零点， 则的值为（） A . B . C . -1 D . 1 二、填空题 (共3题；共3分) 9. （1分） (2017高二下·太仆寺旗期末) 函数若函数在上有3个零点，则的取值范围为________． 二元函数极值问题 2 3 4 5 0x >时， 1,z x ?=? 0x <时，1z x ?=-?. 因此在0x =时偏导数不存在. 由此可见，函数的极值点必为 f x ??及f y ??同时为零或至少有一个偏导数不存在的点. 3.2极值的充分条件 设函数),(y x f z =在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又 0),(00'=y x f x 且0),(00'=y x fy ,记二阶连续偏导数为 A y x f xx =),(00', B y x f xy =),(00', C y x f yy =),(00', AC B -=?2,则函数),(y x f z =在),(00y x 点处是否取得极值的条件如下: (1) 当0A 时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处取得极小值; (3) 当0>?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处不取得极值; (4) 当0=?时,函数),(y x f z =在点),(00y x 处可能取得极值,也可能不取得极值. 4. 求二元函数的极值的步骤 要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论f ?，若(,)f x y 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意到在极值点必须0x y f f ==，就有 222 000000200001(,)(,)((,)22(,)(,)) x xy y f f x x y y f x y f x x y y x f x x y y x y f x x y y y θθθθθθ?=+?+?-=+?+??++?+???++?+??. 由于(,)f x y 的一切二阶偏导数在00(,)x y 连续，记200(,)x A f x y =，00(,)xy B f x y =，200(,)y C f x y =，那就有 目录 摘要 (2) ABSTRACT (2) 第一章引言 (4) 第二章一元函数的极值 (5) 2.1极值的充分条件 (5) 2.2几种特殊函数的极值 (8) 第三章多元函数的极值 (12) 3.1无条件极值 (13) 3.2条件极值 (15) 第四章函数极值的应用 (19) 参考文献 (24) 致谢 (25) 函数极值的求法及其应用 曾浪 数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵 摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。 关键词：函数；极值；应用 The extreme of function of religion and its application Zeng Lang Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui Abstract:Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions. Key word: function; the extreme; application 第八节 多元函数的极值及其求法 要求：理解多元函数极值的概念，会用充分条件判定二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值。 重点：二元函数取得极值的必要条件与充分性判别法，拉格朗日乘数法求最值实际问题。 难点：求最值实际问题建立模型，充分性判别法的证明。 作业：习题8－8（71P ）3,5,8,9,10 问题提出：在实际问题中，往往会遇到多元函数的最大值，最小值问题，与一元函数相 类似，多元函数的最大值，最小值与极大值，极小值有密切的关系，因此以二元函数为例，先来讨论多元函数的极值问题． 一．多元函数的极值 定义 设函数),(y x f z =在点),(00y x 的某个邻域内有定义，对于该邻域内的所有 ),(),(00y x y x ≠，如果总有),(),(00y x f y x f <，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值；如果总有),(),(00y x f y x f >，则称函数),(y x f z =在点),(00y x 有极小值． 函数的极大值，极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点． 例1．函数xy z =在点)0,0(处不取得极值，因为在点)0,0(处的函数值为零，而在点 )0,0(的任一邻域内总有使函数值为正的点，也有使函数值为负的点． 例2．函数2 243y x z +=在点)0,0(处有极小值． 因为对任何),(y x 有0)0,0(),(=>f y x f ． 从几何上看，点)0,0,0(是开口朝上的椭圆抛物面2243y x z +=的顶点，曲面在点)0,0,0(处有切平面0=z ，从而得到函数取得极值的必要条件． 定理1（必要条件） 设函数),(y x f z =在点),(00y x 具有偏导数，且在点),(00y x 处有极值，则它在该点的 偏导数必然为零，即0),(00=y x f x ，0),(00=y x f y ． 证明 不妨设函数),(y x f z =在点),(00y x 处有极大值，依定义，在该点的邻域上均 有 ),(),(00y x f y x f <，),(),(00y x y x ≠ 成立． 特别地，取0y y =而0x x ≠的点，有000(,)(,)f x y f x y <也有成立． 学士学位论文 论文题目——多元函数极值及其应用 姓名：王一 指导教师：海明 系别：数学系 年级：08级一班 专业：数学与应用数学 目录 1函数极值理论 (1) 2 多元函数极值的应用 (13) 3多元函数极值的奇异性……………………………………………………… 参考文献……………………………………………………………………………致…………………………………………………………………………… 多元函数极值及应用 摘要：本文是有关函数极值问题的解决，它由一元函数极值问题的讲解不断深化到多元函数并且还讲解到函数极值的应用以及奇异性 关键词：函数极值:函数极值应用:函数极值奇异性 Extreme value of function and application Abstract ：This article is about the function extreme solution by a function extreme problem to explain the continuous deepening to a multi-function and explain the application of function extreme and singular Keywords ：Function extreme: function extend application 一函数极值理论 定义 2.1.1[3]设n (2)n ≥元函数12 (,,)n z f x x x =在点00012(,, ,)n x x x 的某个邻 域有定义,如果对该邻域任一异于00012(,, ,)n x x x 的点12 (,,)n x x x 都有 00012 12(,,)(,, ,)n n f x x x f x x x <(或00012 12(,,)(,,,)n n f x x x f x x x >)，则称函数在 点00012(,,,)n x x x 有极大值(或极小值)00012(,,,)n f x x x .极大值、极小值统称为极 函数极值的求法及其应 用 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】 目录 摘要 (2) ABSTRACT (2) 第一章引言 (4) 第二章一元函数的极值 (5) 极值的充分条件 (5) 几种特殊函数的极值 (8) 第三章多元函数的极值 (12) 无条件极值 (13) 条件极值 (15) 第四章函数极值的应用 (19) 参考文献 (24) 致谢 (25) 函数极值的求法及其应用 曾浪 数学与信息学院数学与应用数学专业 2013级指导教师:罗家贵 摘要：函数极值问题是我们在中学数学和高等数学中都能常常遇见的问题，自然学科、工程技术及生产活动、生活实践中很多需要解决的问题，都与求函数极值有关，而导数和微积分的重要应用之一，就是求函数极值。本文从参考书中的例子和生活中的实际问题入手，分别对一元函数和多元函数的极值的求法及其应用进行总结和分析。 关键词：函数；极值；应用 The extreme of function of religion and its application Zeng Lang Mathematics and applied mathematics professional，college of mathematics and information，Grade 2013 Instructor:Luo Jiagui Abstract: Extremum problems is that we can often meet in the middle school mathematics and higher mathematics problems need to solve many natural science, engineering technology and production activities and life practice problems are related with extremal function, and the important application of derivative and differential calculus, is extremal function. In this paper, we start from the examples in reference books and the practical problems in life, and sum up and analyze the methods and applications of the extremum of the function of one variable and multiple functions. Key word: function; the extreme; application 浅谈多元函数的极值问题 摘要：最优化问题是近代应用数学的一个新的分支，是一门应用相 当广泛的学科，多元函数极值问题是一种简单的最优化问题，一般说来多元函数的极值问题分为无约束极值和有约束极值两大类。 关键词：无约束极值、条件极值、汉森（Hessian ）矩阵。 引言：极值问题分为两类：无约束极值问题和条件极值问题，无约 束极值问题又称为无条件极值问题。 例如 求函数61065),(22++-+=y x y x y x f 的极值，就属于无条件极值的问题。但在实际中我们常会遇到这样的问题，如要设计一个容量为V 的开口长方体水箱，试问水箱的长、宽、高各等于多少时，用的材料最少？为此设水箱的长、宽、高分别为x 、y 、z ，则表面积为 S xy yz xz z y x ++=)(2),,( 依题意，上述表面积函数的自变量不仅要符合定义域的要求（0,0,0>>>z y x ），而且还必须满足条件 V xyz = 这类附有约束条件的极值问题称为条件极值问题（不带约束条件的极值问题不妨称为无条件极值问题） 一：无约束极值与条件极值的关系 一些简单的条件极值可以转化成无条件极值，如引言中的条件 V xyz =，将z 用V 、x 、y 表示出来即xy V z = ，并将其代入表面积公式得 xy x V y V z y x S ++=)(2),,( 这样就把条件极值转化成了条件极值了，一些条件极值带有多个条件，按上面方法进行可得到一个多元函数方程组，将其转化成无条件极值，我们可以通过解方程组得到解答，但有一些方程组我们不容易解出，甚至解不出来，这就要利用下面将要的拉格朗日乘数法。 二：无约束极值 定义：设n 元函数u=f(X)定义在开集Ω?n R 上，如果存在的某邻域 U(0X ,δ)?Ω，恒有 f(X)≤f(0X )，则称点0X 为f 的极大值点； f(X)≥f(0X )，则称点0X 为f 的极小值点。 极大值、极小值统称为极值。函数取得极值的点称为极值点。 定理1 （极值点的必要条件） 如果n 元函数u=f(X)在 U(0X ,δ) 有定义，在0X 处取极值，且f 在0X 存在偏导数，则'i x f （0X ）=0 （i=1，…,n ） 证明:若u=f(1x ,2x ,...,n x )在0X 取极值,则只随i x (i=1，...,n)而变 的函数f(01x ,...,0i x ,...,0 n x )在点0i x 有极值,于是由一元函数极值的 必要条件,可知有 i x f ??0 i x =0(i=1，...,n) 与一元函数类似,我们把u=f(1x ,2x ,…,n x )的一阶偏导数全为0的点称为f 的驻点（稳定点），定理1告诉我们多元函数的极值点必须在驻点处取得，但驻点并不一定能取得极值，有些函数在偏导数不存在处也可能取得极值。 下面引入汉森（Hessian ）矩阵多元函数的极值与最值例题极其解析
高等数学第九章多元函数极值典型问题
探索求一元函数极值和最值方法
二元函数的极值与最值
论文函数的极值问题在实际中的应用.
函数极值最值的求法及其应用
多元函数的极值与应用
函数极值与最值研究毕业论文
“图解法解二元函数的最值问题”
多元函数的极值及其应用(精)
多元函数的极值及其应用
2函数的极值和最值及其应用
高中数学人教版选修1-1(文科) 第三章 导数及其应用 3.3.2 函数的极值与导数(II)卷
二元函数极值问题
函数极值的求法及其应用
第八节多元函数的极值及其求法
多元函数极值及其应用
函数极值的求法及其应用
浅谈多元函数的极值问题