微积分答案详解
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、已知2
)(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? .
答案：)1ln(x - 王丽君
解：x e u f u -==1)(2
,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=.
2、已知a 为常数,1)12(
lim 2
=+-+∞
→ax x
x x ,则=a .
答案：1 孙仁斌
解：a x
b
a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11(1lim 1
lim 022
.
3、已知2)1(='f ,则=
+-+→x
x f x f x )
1()31(lim
.
答案：4 俞诗秋
解：4
)]
1()1([)]1()31([lim
=-+--+→x
f x f f x f x
4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋
解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ,
)(x f ''有
2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ,
))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点.
5、=?
x
x dx
2
2
cos sin
.
答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x
dx
x
dx
dx x
x x x x
x dx +-=+
=
+=
???
?
cot tan sin
cos
cos sin sin cos cos sin 2
2
2
2
2
2
2
2
.
二、选择题(每小题3分,共15分)
答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。
1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是
(A) 偶函数； (B) 奇函数；
(C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数.
答案：A 王丽君
2、0=x 是函数
??
???=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2
x x x
x
x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋
3、若函数)(x f 在0x 处不可导，则下列说法正确的是
(A) )(x f 在0x 处一定不连续； (B) )(x f 在0x 处一定不可微；
(C) )(x f 在0x 处的左极限与右极限必有一个不存在； (D) )(x f 在0x 处的左导数与右导数必有一个不存在.
答案：B 江美英
4、仅考虑收益与成本的情况下,获得最大利润的必要条件是：
(A) )()(Q C Q R ''>''； (B) )()(Q C Q R ''<'' (C) )()(Q C Q R ''=''； (D) )()(Q C Q R '='
答案：D 俞诗秋
5、若函数)(x f '存在原函数,下列错误的等式是：
(A)
)()(x f dx x f dx
d ?
=； (B)
)
()(x f dx x f ?
='；
(C) dx x f dx x f d )()(?=； (D) C x f x df +=?)()(.
答案：B 秋俞诗
三、计算题(每小题6分,共60分) 1、设x x f x x -=--42
2)2(,求)2(+x f .
答案：42)2(42
--=++x x f x
x 王丽君,俞诗秋
解：令2-=x t ,则
22
22)2(2
)(4
8
444)
2(4)2(2
2
2
--=+-=+-=---+++-+t t t t f t t t t t t , (3分)
于是
42
42
2)2(2
)2(44
444
)2(2
2
2
--=--=-+-=++-++-+x x x x f x
x x x x . (6分)
2、计算)1cos(lim n n n -+∞
→.
答案：1 俞诗秋
解：n
n n n n n +
+=-+∞
→∞
→11cos
lim )1cos(lim (3分)
1
1
010cos
1
111
cos
lim =++=++
=∞
→n n n . (6分)
3、求极限)2
1
(
lim 2
2
2
n
n n n n n n n ++
+++
+∞
→ .
答案：1 俞诗秋 解：由于
1
)2
1
(
2
2
2
2
2
2
2
+≤
++
+++
+≤+n n
n
n n n n n n n
n n
， (3分)
而1111
lim lim
2
2
=+=+∞
→∞
→n
n
n n
n n , 1111lim
1lim
2
2
2
=+
=+∞
→∞
→n
n n
n n ,
所以1)2
1
(
lim 2
2
2
=++
+++
+∞
→n
n n
n n
n n
n . (6分)
4、求极限x
x x x cos sec )
1ln(lim
2
-+→.
答案：1 俞诗秋
解：x
x x x
x
x x x x x x x x x cos sin 212lim sin )
1ln(lim cos lim cos sec )
1ln(lim
2
02
2
002
+=+=-+→→→→ (4分) 1sin lim cos )1(1lim 02
0=+=→→x
x
x x x x . (6分)
5、求函数x
x y 1sin
=的导数.
答案：)1sin
1ln 1cos
1(2
1sin
x
x
x x
x
x y x
+
-=' 俞诗秋
解：
)(ln 1sin
'='x
x
e
y (2分)
]1sin
1ln )1(1[cos
2
ln 1sin
x
x
x x
x
e
x
x
+-
=)
1sin
1ln 1cos
1(2
1sin
x
x
x x
x
x
x
+
-
=. (6分)
6、求曲线12ln =-+x y y x 在点)1,1(处的法线方程. 答案：02=-+y x 江美英,俞诗秋 解： 方程两边对x 求导得：0
2ln =-'+'+y y
y x
y ,
将)1,1(),(=y x 代入得法线斜率1)
1(1-='-=y k ,
(3分)
从而法线方程为：)1(11-?-=-x y , 即： 02=-+y x . (6分)
7、求曲线12
13
4
+-=
x x y 的凹凸区间和拐点.
答案：曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的．
拐点为)1,0(,)34
,1(． 俞诗秋
解：(1)),()(+∞-∞∈C x f ,
(2)2332)(x x x f -=', )1(666)(2-=-=''x x x x x f ,
(3)0)(=''x f ,得01=x ,12=x . 1)0(=f ,3
4)1(=f ． (3分)
(4)
(5) 曲线的拐点为)1,0(、)3
4
,1(． (6) 曲线在区间]0,(-∞和),1[+∞是凹的,在区间]1,0[是凸的． (6
分)
8、计算?
+
x
x dx )1(3
．
答案：C
x x +-6
6arctan 66 俞诗秋
解：??
?
+===+=+
==)
1(6 ]
)(1[)()1(2
3
5
2
6
3
6
3
66
t t dt t x x dx
x
x dx x
t t
x (3分)
??
?
+=-=+-+=2
2
21 6 611)1( 6t
dt dt dt t
t ．
C
x x C t t +-=+-=6
6arctan
66arctan 66． (6分)
9、计算?xdx e x 2sin ．
答案：
C
x x e x
+-)2cos 2sin 2
1(
10
4 俞诗秋
解：???+
-
=-
=xdx
e x e x d e xdx e x
x
x
x 2cos 2
12cos 2
12cos 2
12sin (3分)
?
?-
+-
=+
-
=xdx e x e x e x d e x e x
x
x
x
x
2sin 412sin 4
12cos 2
12sin 4
12cos 2
1,
∴
C
x x e xdx e x
x +-=
?)2cos 2sin 2
1(
1042cos ． (6分)
10、设某商品的需求函数为P Q 5100-=,其中Q P ,分别表示需求量和价格,试求当总收益达到最大时,此时的需求弹性,并解释其经济意义.
答案：1)10(=η,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1.俞诗秋 解：总收益函数为25100)5100()(P P P P PQ P R -=-==,
令010100)(=-='P P R ,得3=P ,而05)10(<-=''R ,
可见, 当10=P 时, 总收益达到最大. (3分) 此时需求弹性151005)10(10
10
=-=
-
===P P P
P dP
dQ Q P η, (5分)
说明,当总收益达到最大时,价格上涨%1,需求则相应减少%1. (6分)
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、证明方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根. 孙仁斌,俞诗秋 证明：显然]1,0[1)(C xe x f x ∈-=,由于01)0(<-=f ,
01)1(>-=e f ,
由零点定理知,)1,0(∈ξ..t s 0)(=ξf ,即1=ξξe ； (3分) 又因0)1()(>+='x e x x f ,)1,0(∈x ,知]1,0[)(↑x f ,
所以方程1=x xe 在区间)1,0(内有且只有一个实根ξ. (5分)
2、设)(x f 在闭区间]2,1[连续,在开区间)2,1(可导,且)1(8)2(f f =,证明在)2,1(内必存在一点ξ,使得)()(3ξξξf f '=. 俞诗秋 证明: 令3
)()(x
x f x F =
,6
2
3)
(3)()(x
x f x x f x x F -'=
',
显然]2,1[)(C x F ∈,)2,1()(D x F ∈,且)
2(8
)2()1()1(F f f F ==
=,
由罗尔定理知：)2,1(∈?ξ,..t s 0)(='ξF ,所以)()(3ξξξf f '=.
一、填空题(每小题3分,共15分)
1、设)(y x f y x z -++=，且当0=y 时，2
x z =，则=z 。 （2
2
22x xy y y -++）
2、计算广义积分
?
+∞1
3
x dx = 。（1
2） 3、设xy
e z =，则=
)
1,1(dz
。（)(dy dx e +）
4、微分方程
x
xe
y y y 265=+'-''具有
形式的特解.（x
e
bx ax 22)(+）
5、设1
4
n n u ∞
==∑
，则11122n n n u ∞
=??-=
???∑_________。（1）
二、选择题(每小题3分,共15分)
1、2
2
2
200
3sin()
lim
x y x y x y
→→++的值为 （ A ）
A.3
B.0
C.2
D.不存在
2、),(00y x f x 和),(00y x f y 存在是函数),(y x f 在点)
,(00y x 可微的 （ A ）。 A .必要非充分的条件； B.充分非必要的条件；
C.充分且必要的条件；
D.即非充分又非必要的条件。
3、由曲面z x y
=--422
和z =0及柱面x y
22
1
+=所围的体积是 （D ）。
A. d d θπr r r
42
2
02-??
；
B.
2
04d r
π
θ??
；
C
、
20
d r
πθ??
； D.
442
1
02d d θπ
r r r
-??
4、设二阶常系数非齐次线性方程
()
y py qy f x '''++=有三个特解
x
y =1，
x
e
y =2，
x
e
y 23=，则其通解为 （C ）。
A.x
x
e C e C x 221++； B.
x
x
e
C e C x C 2321++；
C.
)
()(221x
x
x
e x C e
e C x -+-+； D.
)
()(2221x e
C e
e C x
x
x
-+-
5、无穷级数∑
∞
=--11
)
1(n p
n n (p 为任意实数) （D ）
A 、收敛
B 、绝对收敛
C 、发散
D 、无法判断 三、计算题(每小题6分,共60分)
1
、求下列极限：0
0lim x y →→
解：0
lim
x y →→
00
lim
(1)1
x y xy →→=+- …（3分）
l i 1
1)11
2
x y →→==+= …（6分）
2、求由x y =
与直线1=x 、4=x 、0=y 所围图形绕x 轴旋转的旋转体的体积。
解：
4
2
1
d x V x
π=? …（4分）
7.5π= …（6分）
3、求由xyz e z
=所确定的隐函数)
,(y x z z =的偏导数,z z x y ????。 解：方程两边对x 求导得:
x z xy
yz x z e z ??+=??,有)1(-=-=??z x z xy
e yz x z z …（3分） 方程两边对y 求导得:
y z xy xz y z
e z ??+=??,有)1(-=-=??z y z xy e xz y z z …（6分） 4、求函数3
2
2
(,)42f x y x x xy y
=-+-的极值。
解：
3
2
2
(,)42f x y x x xy y =-+-，则
2
(,)382x f x y x x y
=-+，(,)22y f x y x y
=-，
(,)68
xx f x y x =-，
(,)2
xy f x y =，
(,)2yy f x y =-，
求驻点，解方程组23820220x x y x y ?-+=?
-=?，，
得)0,0(和(2,2). …（2分）
对)0,0(有(0,0)80
xx f =-<，(0,0)2xy f =，(0,0)2yy f =-， 于是2
120B AC -=-<，所以)0,0(是函数的极大值点，且(0,0)0f = …（4分） 对(2,2)有
(2,2)4
xx f =，
(2,2)2
xy f =，
(2,2)2
yy f =-，
于是2
120B AC -=>， (2,2)
不是函数的极值点。 …（6分）
5、某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告.根据统计资料,销售收入R (万元)与
电台广告费用
1
x (万元)的及报纸广告费用2x (万元)之间的关系有如下的经验公式:
2
22121211028321415x x x x x x R ---++=.若提供的广告费用为5.1万元,求相应的最优广告策略.
解：显然本题要求:在条件05.1),(2121=-+=x x x x ?下,求R 的最大值.
令)5.1(1028311315212
2212121-++---++=x x x x x x x x F λ, …（3分） 解方程组
?
??
??=-+='=+--='=+--='0,
5.1,020831,0481321211221x x F x x F x x F x x λλλ …（5分）
得:01=x ,5.12=x
所以,若提供的广告费用为5.1万元,应将
5.1万元全部用在报纸广告费用是最优的广告策略. …（6分）
6、计算积分??D d x y σ
,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域； 解：
2
21
x x
D
y y d dx dy
x
x
σ=
??
?
?
. …（4分）
2
1
39
2
4xdx =
=
?
…（6分）
7、已知连续函数)(x f 满足?+=x
x x xf dt t f 0)(2)(，且0)1(=f ，求)(x f 。 解：关系式两端关于x 求导得：
1)(2)(2)(+'+=x f x x f x f 即
x x f x
x f 21
)(21)(-
=+
' …（2分）
这是关于f )(x 的一阶线性微分方程，其通解为：
))21(()(22?+?-
?=-
c e
x
e
x f x dx
x
dx
=
1
)(1
-=
+-x
c c x x
…（5分）
又0)1(=f ，即01=-c ，故1=c ，所以1
1
)(-=x x f …（6分）
8、求解微分方程2
12y y y '
-+''=0 。
解：令y p '=，则dp y p dy ''=，于是原方程可化为：2
20
1dp p p dy y +=- …（3分） 即201dp p dy y +=-，其通解为2
2
111(1)dy y p c e c y --?==- …（5分）
2
1)
1(-=∴
y c dx dy
即dx c y dy
12
)1(=- 故原方程通解为：
211
1c x c y +-
= …（6分） 9
、求级数
1
n
n ∞
=∑
解：令2t x =-,
幂级数变形为1
n
n ∞
=∑
1
lim
lim
1
n t n n n a R a →∞
→∞
+===. …（3分）
当1-=t 时,
级数为0
(1)n
n ∞
=-∑
收敛；
当1=t 时,
级数为
1
n ∞
=∑
发散.
故
1
n
n ∞
=∑
的收敛区间是)1,1[-=t I , …（5分）
那么
1
n
n ∞
=-∑
[1,3)
x I =. …（6分）
10、 判定级数∑
∞
=?1
!
)
2sin(n n
n x 是否收敛，如果是收敛级数，指出其是绝对收敛还是条件收敛。
解：因为
sin(2)
1!
!
n
x n n ?≤
…（2分）
由比值判别法知11
!n n ∞
=∑
收敛(
1
(1)!
lim
01!
n n n →∞
+=)， …（4分）
从而由比较判别法知
1
sin(2)
!
n
n x n ∞
=?∑
收敛，所以级数1
sin(2)
!
n
n x n ∞
=?∑
绝对收敛. …（6分）
四、证明题(每小题5分,共10分)
1、设正项级数1
n
n u
∞
=∑收敛,
证明级数1
n ∞
=∑
证：
)(2
111+++≤
n n n n u u u u ， …（3分）
而由已知
∑++)
(21
1n n
u u
收敛，故由比较原则，∑
+1
n n u u 也收敛。 …（5分）
2、设
)(2
2
y x f y
z -=
,其中)(u f 为可导函数, 证明2
11y z
y z
y x z
x =
??+
??. 证明：因为22f f xy x z '-=??, …（2分）
2
2
2f f y f y z '
+=
?? …（4分）
所以2
2
2
2
12211y
z yf
yf
f y f f
f y y
z y x z
x =
=
'
++
'-=??+??. …（5分）
大一上学期微积分期末试卷及答案
1 1?设f(x) 2cosx,g(x) (l)sinx在区间(0, —)内( 2 2 A f (x)是增函数，g (x)是减函数 Bf (x)是减函数，g(x)是增函数 C二者都是增函数 D二者都是减函数2、x 0时，e2x cosx与sinx相比是() A高阶无穷小E低阶无穷小C等价无穷小 1 3、x = 0 是函数y = (1 -sinx)书勺() A连续点E可去间断点C跳跃间断点 4、下列数列有极限并且极限为1的选项为( ) n 1 n A X n ( 1) B X n sin - n 2 1 1 C X n n (a 1) D X n cos— a n 5、若f "(x)在X。处取得最大值，则必有() A f /(X。)o Bf /(X。)o Cf /(X。)0且f''( X o) 5、 若 则a,b 的值分别为： X 1 X + 2x-3 2 1 In x 1 ; 2 y x 3 2x 2; 3 y log^x 1 -,(0,1), R ; 4(0,0) x lim 5解：原式=x 1 (x 1)( x m ) ~~1)( x 7 b lim 3) x 7, a 1、 2、 、判断题 无穷多个无穷小的和是无穷小( lim 沁在区间(， X 0 X 是连续函数() 3、 f"(x 0)=0—定为f(x)的拐点 () 4、 若f(X)在X o 处取得极值，则必有 f(x)在X o 处连续不可导( 5、 f (x) 0,1 f '(x) 0令 A f'(0), f '(1),C f (1) f (0),则必有 A>B>C( 1~5 FFFFT 二、计算题 1用洛必达法则求极限 1 2 ~ lim x e x x 0 1 e 解：原式=lim x 0 1 x x 2 lim e x 2 ( 2x x 0 2x 3 3 4 k 2 若 f(x) (x 10),求f”(0) 3) 1 lim e x x 0 3 3 2 2 f '(x) 4(x 10) 3x 12x (x 3 3 2 3 2 2 f ''(x) 24x (x 10) 12x 3 (x 10) 3x 24x f ''(x) 0 10)3 3 .. .3 3 4 , 3 (x 10) 108 x (x 10)2 4 r t I 八］ 2 3 求极限 lim(cos x)x x 0 微积分试题及答案 一、填空题(每小题2分，共20分) 1. =∞→2 arctan lim x x x . 2. 设函数??? ??=<<-=0 , 10 )21()(1 x k x ,x x f x 在0=x 处连续，则=k 。 3. 若x x f 2e )(-=，则=')(ln x f 。 4. 设2sin x y =，则=)0() 7(y 。 5. 函数2 x y =在点0x 处的函数改变量与微分之差=-?y y d 。 6. 若)(x f 在[]b a ,上连续, 则=?x a x x f x d )(d d ; =? b x x x f x 2d )(d d . 7. 设函数)3)(2)(1()(---=x x x x f ，则方程0)(='x f 有 个实根。 8. 曲线x x y -=e 的拐点是 。 9. 曲线)1ln(+=x y 的铅垂渐近线是 。 10. 若 C x x x f x ++=? 2d )(，则=)(x f 。 二、单项选择（每小题2分，共10分） 1. 设x x f ln )(=，2)(+=x x g 则)]([x g f 的定义域是（ ） （A ）()+∞-,2 （B ）[)+∞-,2 （C ）()2,-∞- （D ）(]2,-∞- 2. 当0→x 时，下列变量中与x 相比为高阶无穷小的是（ ） （A ）x sin （B ）2 x x + （C ）3x （D ）x cos 1- 3. 函数)(x f 在],[b a 上连续是)(x f 在],[b a 上取得最大值和最小值的（ ） （A ）必要条件 （B ）充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）无关条件 4. 设函数)(x f 在]0[a ， 上二次可微，且0)()(>'-''x f x f x ，则x x f ) ('在区间)0(a ，内是（ ） （A ）不增的 （B ）不减的 （C ）单调增加的 （D ）单调减少的 5. 若 C x x x f +=?2d )(，则=-?x x xf d )1(2 。 （A ）C x +-2 2)1(2 （B ）C x +--2 2)1(2 微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2 ,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π→-=--== >、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小 ３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()0 6x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线 Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1d 12lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘ ｘ２ ２１ １、（ ）＝ ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝ 相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１４、ｙ拐点为：ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11 (1)() 1m lim lim 2 (1)(3) 3 4 77,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++== =-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0 sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函数ｆ(x)在 [] 0,1上二阶可导且 ' ()0A ' B ' (f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 3 3 2 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：3 3 2 2 3 3 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10) ''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim (cos )x x x →求极限 微积分试卷及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】 2009 — 2010 学年第 2 学期 课程名称 微积分B 试卷类型 期末A 考试形式 闭卷 考试时间 100 分钟 命 题 人 2010 年 6 月10日 使用班级 教研室主任 年 月 日 教学院长 年 月 日 姓 名 班 级 学 号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.2 ln()d x x x =? . 2.cos d d x x =? . 3. 31 2d x x --= ? . 4.函数2 2 x y z e +=的全微分d z = . 5.微分方程ln d ln d 0y x x x y y +=的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设()1x f e x '=+，则()f x = ( ). (A) 1ln x C ++ (B) ln x x C + (C) 2 2x x C ++ (D) ln x x x C -+ 2.设 2 d 11x k x +∞=+? ，则k = ( ). (A) 2π (B) 22π (C) 2 (D) 2 4π 3.设()z f ax by =+，其中f 可导，则（ ）. (A) z z a b x y ??=?? (B) z z x y ??= ?? (C) z z b a x y ??=?? (D) z z x y ??=- ?? 4.设点00(,)x y 使00(,)0x f x y '=且00(,)0 y f x y '=成立，则（ ） (A) 00(,)x y 是(,)f x y 的极值点 (B) 00(,)x y 是(,)f x y 的最小值点 (C) 00(,)x y 是(,)f x y 的最大值点 (D) 00(,)x y 可能是(,)f x y 的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（ ）． (A) 211(1)n n n ∞ =-∑ (B) 1 (1)n n ∞ =-∑ (C) 1 3(1)2n n n n ∞ =-∑ (D) 11(1)n n n ∞=-∑ 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1.2d x x e x ? 2.4 ? 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ）n 1 X cos n = 2 00000001 () 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 二、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是： ２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 三、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 4 (3y x =-求 5 3tan xdx ? 五、证明题。 1、 证明方程3 10x x +-=有且仅有一正实根。 2、arcsin arccos 1x 12 x x π +=-≤≤证明（） 六、应用题 1、 描绘下列函数的图形 21y x x =+ 微积分期末测试题及答 案 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0()(2)lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②,22ππ??-???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1()x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) sin lim sin x x x x x →∞-=+. 31lim(1)x x x +→∞+=. 3.()f x =那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.111lim()ln 1 x x x →-- 2.t t x e y te ?=?=? ,求22d y dx 3.ln(y x =,求dy 和22d y dx . 4.由方程0x y e xy +-=确定隐函数y =f (x ) ,求 dy dx . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞. 高等数学试题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208] 《 高等数学 》 一.选择题 1. 当0→x 时，)1ln(x y +=与下列那个函数不是等价的 （ ） A)、x y = B)、x y sin = C)、x y cos 1-= D)、1-=x e y 2. 函数f(x)在点x 0极限存在是函数在该点连续的（ ） A)、必要条件 B)、充分条件 C)、充要条件 D)、无关条件 3. 下列各组函数中，)(x f 和)(x g 不是同一函数的原函数的有（ ）. A)、()()() 222 1 ,21)(x x x x e e x g e e x f ---=-= B) 、(( )) ()ln ,ln f x x g x x ==- C)、()()x x g x x f --=-=1arcsin 23,12arcsin )( D)、()2 tan ,sec csc )(x x g x x x f =+= 4. 下列各式正确的是（ ） A ）、2ln 2x x x dx C =+? B ）、sin cos tdt t C =-+? C ）、2arctan 1dx dx x x =+? D ）、211 ()dx C x x -=-+? 5. 下列等式不正确的是（ ）. A ）、()()x f dx x f dx d b a =??????? B ）、()()()[]()x b x b f dt x f dx d x b a '=??????? C ）、()()x f dx x f dx d x a =??????? D ）、()()x F dt t F dx d x a '=????? ?'? 6. 0 ln(1)lim x x t dt x →+=?（ ） A ）、0 B ）、1 C ）、2 D ）、4 7. 设bx x f sin )(=，则=''?dx x f x )(（ ） A ）、C bx bx x +-sin cos B ）、C bx bx x +-cos cos 一、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知2 )(x e x f =,x x f -=1)]([?,且0)(≥x ?,则=)(x ? . 答案：)1ln(x - 王丽君 解：x e u f u -==1)(2 ,)1ln(2x u -=,)1ln(x u -=. 2、已知a 为常数,1)12 ( lim 2=+-+∞→ax x x x ,则=a . 答案：1 孙仁斌 解：a x b a x ax x x x x x x x -=+-+=+-+==∞→∞→∞→1)11(lim )11( 1lim 1lim 022. 3、已知2)1(='f ,则=+-+→x x f x f x ) 1()31(lim . 答案：4 俞诗秋 解：4)] 1()1([)]1()31([lim 0=-+--+→x f x f f x f x 4、函数)4)(3)(2)(1()(----=x x x x x f 的拐点数为 . 答案：2 俞诗秋 解：)(x f '有3个零点321,,ξξξ:4321321<<<<<<ξξξ, )(x f ''有2个零点21,ηη:4132211<<<<<<ξηξηξ, ))((12)(21ηη--=''x x x f ,显然)(x f ''符号是：＋,－,＋,故有2个拐点. 5、=? x x dx 22cos sin . 答案：C x x +-cot tan 张军好 解：C x x x dx x dx dx x x x x x x dx +-=+=+=????cot tan sin cos cos sin sin cos cos sin 22222222 . 二、选择题(每小题3分,共15分) 答案： 1、 2、 3、 4、 5、 。 1、设)(x f 为偶函数,)(x ?为奇函数,且)]([x f ?有意义,则)]([x f ?是 (A) 偶函数； (B) 奇函数； (C) 非奇非偶函数； (D) 可能奇函数也可能偶函数. 答案：A 王丽君 2、0=x 是函数??? ??=≠-=.0 ,0 ,0 ,cos 1)(2x x x x x f 的 (A) 跳跃间断点； (B) 连续点； (C) 振荡间断点； (D) 可去间断点. 答案：D 俞诗秋 一 单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设lim ()x a f x k →=,那么点x =a 是f (x )的( ). ①连续点 ②可去间断点 ③跳跃间断点 ④以上结论都不对 2.设f (x )在点x =a 处可导,那么0 ()(2) lim h f a h f a h h →+--=( ). ①3()f a ' ②2()f a ' ③()f a ' ④ 1()3f a ' 3.设函数f (x )的定义域为[-1,1],则复合函数f (sinx )的定义域为( ). ①(-1,1) ②, 2 2π π? ? - ???? ③(0,+∞) ④(-∞,+∞) 4.设2 ()()lim 1() x a f x f a x a →-=-,那么f (x )在a 处( ). ①导数存在,但()0f a '≠ ②取得极大值 ③取得极小值 ④导数不存在 5.已知0 lim ()0x x f x →=及( ),则0 lim ()()0x x f x g x →=. ①g (x )为任意函数时 ②当g (x )为有界函数时 ③仅当0 lim ()0x x g x →=时 ④仅当0 lim ()x x g x →存在时 二 填空题(每小题5分,共15分) 1.sin lim sin x x x x x →∞ -=+____________. 2.3 1lim (1) x x x +→∞ + =____________. 3.()f x = 那么左导数(0)f -'=____________,右导数(0)f +'=____________. 三 计算题(1-4题各5分,5-6题各10分,共40分) 1.1 11lim ( )ln 1 x x x →- - 2.t t x e y te ?=?=?,求2 2d y d x 3.ln (y x =+,求dy 和 2 2 d y d x . 4.由方程0x y e x y +-=确定隐函数y = f (x ) ,求d y d x . 5.设111 1,11n n n x x x x --==+ +,求lim n x x →∞ . 第五章 一元函数积分学 例1：求不定积分sin3xdx ? 解：被积函数sin3x 是一个复合函数，它是由()sin f u u =和()3u x x ?==复合而成，因此，为了利用第一换元积分公式，我们将sin3x 变形为'1 sin 3sin 3(3)3x x x = ，故有 ' 111 sin 3sin 3(3)sin 3(3)3(cos )333 xdx x x dx xd x x u u C ===-+??? 1 3cos33 u x x C =-+ 例2：求不定积分 (0)a > 解：为了消去根式，利用三解恒等式2 2 sin cos 1t t +=，可令sin ()2 2 x a t t π π =- << ，则 cos a t ==，cos dx a dt =，因此，由第二换元积分法，所以积分 化为 2221cos 2cos cos cos 2 t a t a tdt a tdt a dt +=?==??? 2222cos 2(2)sin 22424a a a a dt td t t t C =+=++?? 2 (sin cos )2 a t t t C =++ 由于sin ()2 2 x a t t π π =- << ，所以sin x t a = ，arcsin(/)t x a =，利用直角三角形直接写 出cos t a == 邻边斜边，于是21arcsin(/)22a x a C =+ 例3：求不定积分sin x xdx ? 分析：如果被积函数()sin f x x x =中没有x 或sinx ，那么这个积分很容易计算出来，所以可以考虑用分部积分求此不定积分，如果令u=x ，那么利用分部积分公式就可以消去x （因为' 1u =） 解令,sin u x dv xdx ==，则du dx =，cos v x =-. 于是sin (cos )(cos )cos sin x xdx udv uv vdu x x x dx x x x C ==-=---=-++???? 。熟悉分部积分公式以后，没有必要明确的引入符号,u v ，而可以像下面那样先凑微分，然后直接用分部积分公式计算： sin cos (cos cos )cos sin x xdx xd x x x xdx x x x C =-=--=-++??? 大一高等数学期末考试试卷 （一） 一、选择题（共12分） 1. （3分）若2,0, (),0 x e x f x a x x ?<=?+>?为连续函数,则a 的值为( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)-1 2. （3分）已知(3)2,f '=则0 (3)(3) lim 2h f h f h →--的值为（ ）. (A)1 (B)3 (C)-1 (D) 12 3. （3 分）定积分22 π π -?的值为（ ）. (A)0 (B)-2 (C)1 (D)2 4. （3分）若()f x 在0x x =处不连续,则()f x 在该点处( ). (A)必不可导 (B)一定可导(C)可能可导 (D)必无极限 二、填空题（共12分） 1．（3分） 平面上过点(0,1)，且在任意一点(,)x y 处的切线斜率为23x 的曲线方程为 . 2. （3分） 1 2 4 1(sin )x x x dx -+=? . 3. （3分） 2 1lim sin x x x →= . 4. （3分） 3 2 23y x x =-的极大值为 . 三、计算题（共42分） 1. （6分）求2 ln(15)lim .sin 3x x x x →+ 2. （6 分）设1 y x = +求.y ' 3. （6分）求不定积分2ln(1).x x dx +? 4. （6分）求3 (1),f x dx -? 其中,1,()1cos 1, 1.x x x f x x e x ? ≤? =+??+>? 5. （6分）设函数()y f x =由方程0 cos 0y x t e dt tdt + =?? 所确定,求.dy 6. （6分）设2()sin ,f x dx x C =+?求(23).f x dx +? 7. （6分）求极限3lim 1.2n n n →∞? ?+ ?? ? 四、解答题（共28分） 1. （7分）设(ln )1,f x x '=+且(0)1,f =求().f x 2. （7分）求由曲线cos 2 2y x x π π?? =- ≤≤ ?? ? 与x 轴所围成图形绕着x 轴旋转一周所得旋 转体的体积. 3. （7分）求曲线3232419y x x x =-+-在拐点处的切线方程. 4. （7 分）求函数y x =+[5,1]-上的最小值和最大值. 五、证明题(6分) 设()f x ''在区间[,]a b 上连续,证明 1()[()()]()()().2 2 b b a a b a f x dx f a f b x a x b f x dx -''= ++ --? ? （二） 一、 填空题（每小题3分，共18分） 1．设函数()2 312 2 +--= x x x x f ，则1=x 是()x f 的第 类间断点. 2．函数()2 1ln x y +=，则= 'y . 3． =? ? ? ??+∞→x x x x 21lim . 4．曲线x y 1 = 在点?? ? ??2,21处的切线方程为 . 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末A 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人 2010 年 6 月10日使用班级 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 3.设，其中可导，则（）. (A) (B) (C) (D) 4.设点使且成立，则（） (A) 是的极值点 (B) 是的最小值点 (C) 是的最大值点 (D)可能是的极值点 5.下列各级数绝对收敛的是（）． (A) (B) (C) (D) 三、计算（共2小题，每题5分，共计10分） 1. 2. 四、计算（共3小题，每题6分，共计18分） 1.设，求 2.设函数，而，求. 3.设方程确定隐函数，求 五、计算二重积分其中是由三条直线所围成的闭区域. (本题10分) 六、（共2小题，每题8分，共计16分） 1.判别正项级数的收敛性． 2. 求幂级数收敛区间（不考虑端点的收敛性）. 七、求抛物线与直线所围成的图形的面积（本题10分） 八、设，求.（本题6分） 徐州工程学院试卷 2009 — 2010 学年第 2 学期课程名称微积分B 试卷类型期末B 考试形式闭卷考试时间 100 分钟 命题人杨淑娥 2010 年 6 月10日使用班级 09财本、会本、信管等 教研室主任年月日教学院长年月日 姓名班级学号 一、填充题（共5小题，每题3分，共计15分） 1. . 2. . 3. . 4.函数的全微分 . 5.微分方程的通解为 . 二、选择题（共5小题，每题3分，共计15分） 1.设，则 ( ). (A) (B) (C) (D) 2.下列广义积分发散的是 ( ). (A) (B) 第一学期期末高等数学试卷 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限 lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限lim arctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2 021 6、(本小题5分) ??.d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求?ππ 2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ． 求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数 的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设 dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分) .d cos sin 12cos x x x x ? +求 二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 微积分试题 (A 卷) 一. 填空题 (每空2分,共20分) 1. 已知,)(lim 1A x f x =+ →则对于0>?ε，总存在δ>0，使得当 时，恒有│?(x )─A│< ε。 2. 已知22 35 lim 2=-++∞→n bn an n ，则a = ，b = 。 3. 若当0x x →时，与 是等价无穷小量，则=-→β β α0 lim x x 。 4. 若f (x )在点x = a 处连续，则=→)(lim x f a x 。 5. )ln(arcsin )(x x f =的连续区间是 。 6. 设函数y =?(x )在x 0点可导，则=-+→h x f h x f h ) ()3(lim 000 ______________。 7. 曲线y = x 2 ＋2x －5上点M 处的切线斜率为6，则点M 的坐标为 。 8. ='? ))((dx x f x d 。 9. 设总收益函数和总成本函数分别为2 224Q Q R -=，52 +=Q C ，则当利润最大时产 量Q 是 。 二. 单项选择题 (每小题2分,共18分) 1. 若数列{x n }在a 的 邻域（a -,a +）内有无穷多个点，则（ ）。 (A) 数列{x n }必有极限，但不一定等于a (B) 数列{x n }极限存在，且一定等于a (C) 数列{x n }的极限不一定存在 (D) 数列{x n }的极 限一定不存在 2. 设1 1 )(-=x arctg x f 则1=x 为函数)(x f 的（ ）。 (A) 可去间断点 (B) 跳跃间断点 (C) 无穷型间断点 (D) 连续点 3. =+ -∞ →1 3)11(lim x x x （ ） 。 (A) 1 (B) ∞ (C) 2e (D) 3e 4. 对需求函数5 p e Q -=，需求价格弹性5 p E d - =。当价格=p （ ）时，需求量减少的幅度小于价格提高的幅度。 (A) 3 (B) 5 (C) 6 (D) 10 5. 假设)(),(0)(lim , 0)(lim 0 x g x f x g x f x x x x ''==→→；在点0x 的某邻域内(0x 可以除外)存 在，又a 是常数，则下列结论正确的是（ ）。 (A) 若a x g x f x x =→) ()(lim 或，则a x g x f x x =''→)() (lim 0或 (B) 若a x g x f x x =''→)()(lim 或，则a x g x f x x =→)() (lim 0或 (C) 若) ()(lim x g x f x x ''→不存在，则)() (lim 0x g x f x x →不存在 (D) 以上都不对 6. 曲线2 2 3 )(a bx ax x x f +++=的拐点个数是（ ） 。 (A) 0 (B)1 (C) 2 (D) 3 7. 曲线2 )2(1 4--= x x y （ ）。 微积分期末试卷 一、选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001( ) 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 二、填空题 1d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 322y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 三、判断题 1、无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A '0B '(1),(1)(0),A>B>C( )f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 四、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 20lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 330002(2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若34()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 33232233432'()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos )x x x →求极限 安徽财经大学微积分（下）期末总复习 练习卷（1）及参考答案 二、填空题(每小题3分,共15分) 1、已知22 (,)y f x y x y x +=-,则=),(y x f _____________. 2、已知π =?∞ +∞--dx e x 2 ,则=?∞+--dx e x x 0 21 ___________. 3、函数 22 (,)1f x y x xy y y =++-+在__________点取得极值. 4、已知y y x x y x f arctan )arctan (),(++=,则=')0,1(x f ________. 5、以x e x C C y 321)(+=(21,C C 为任意常数)为通解的微分方程是_________________. 二、选择题(每小题3分,共15分) 6 知dx e x p ?∞ +- 0 )1(与?-e p x x dx 1 1ln 均收敛,则常数p 的取值范围是( ). (A) 1p > (B) 1p < (C) 12p << (D) 2p > 7 二元函数?? ?? ?=+≠++=0 ,0 0 ,4),(222 222y x y x y x x y x f 在原点间断,是因为该函数( ). (A) 在原点无定义 (B) 在原点二重极限不存在 (C) 在原点有二重极限,但无定义 (D) 在原点二重极限存在,但不等于函数值 8、若 22223 11 1x y I x y dxdy +≤= --?? , 22223 212 1x y I x y dxdy ≤+≤= --?? , 22223 324 1x y I x y dxdy ≤+≤= --?? , 则下列关系式成立的是( ). (A) 123I I I >> (B) 213I I I >> (C) 123I I I << (D) 213I I I << 9、方程x e x y y y 3)1(596+=+'-''具有特解( ). (A) b ax y += (B) x e b ax y 3)(+= (C) x e bx ax y 32)(+= (D) x e bx ax y 323)(+= 10、设∑∞ =12n n a 收敛，则∑∞ =-1) 1(n n n a ( ). (A) 绝对收敛 (B) 条件收敛 (C) 发散 (D) 不定 大一高等数学微积分期末试卷 选择题（6×２） cos sin 1.()2,()()22 ()()B ()()D x x f x g x f x g x f x g x C π ==1设在区间（0，）内（ ）。 Ａ是增函数，是减函数是减函数，是增函数二者都是增函数二者都是减函数 2x 1 n n n n 20cos sin 1n A X (1) B X sin 21C X (1) x n e x x n a D a π →-=--==>、x 时，与相比是（ ） Ａ高阶无穷小 Ｂ低阶无穷小 Ｃ等价无穷小 Ｄ同阶但不等价无价小３、ｘ=０是函数ｙ=（１-sinx)的（ ） Ａ连续点 Ｂ可去间断点 Ｃ跳跃间断点 Ｄ无穷型间断点４、下列数列有极限并且极限为１的选项为（ ） n 1 X cos n = 2 00000001() 5"()() ()()0''( )<0 D ''()'()06x f x X X o B X o C X X X X y xe =<===、若在处取得最大值，则必有（ ）Ａf ＇f ＇f ＇且f f 不存在或f 、曲线（ ） Ａ仅有水平渐近线 Ｂ仅有铅直渐近线Ｃ既有铅直又有水平渐近线 Ｄ既有铅直渐近线 1~6 DDBDBD 一、填空题 1 d 1 2lim 2,,x d x ax b a b →++=ｘｘ２ ２１１、（ ）＝ｘ+1 、求过点（２，０）的一条直线，使它与曲线ｙ＝相切。这条直线方程为： ｘ ２ ３、函数ｙ＝的反函数及其定义域与值域分别是：２＋１ ｘ５、若则的值分别为： ｘ＋2x-3 1 In 1x + ; 2 3 2 2y x x =-; 3 2 log ,(0,1),1x y R x =-; 4(0,0) 5解：原式=11(1)()1m lim lim 2 (1)(3)3477,6 x x x x m x m x x x m b a →→-+++===-++∴=∴=-= 二、判断题 1、 无穷多个无穷小的和是无穷小（ ） 2、 0sin lim x x x →-∞+∞在区间（，）是连续函数（） 3、 0f"(x ）=0一定为f(x)的拐点（） 4、 若f(X)在0x 处取得极值，则必有f(x)在0x 处连续不可导（ ） 5、 设 函 数 ｆ (x) 在 [] 0,1上二阶可导且 '()0A ' B '(f x f f C f f <===-令（），则必有 1~5 FFFFT 三、计算题 1用洛必达法则求极限2 1 2 lim x x x e → 解：原式=2 2 2 1 1 1 33 0002 (2)lim lim lim 12x x x x x x e e x e x x --→→→-===+∞- 2 若3 4 ()(10),''(0)f x x f =+求 解：332233 3 3 2 3 2 2 3 3 4 3 2 '()4(10)312(10)''()24(10)123(10)324(10)108(10)''()0 f x x x x x f x x x x x x x x x x f x =+?=+=?++??+?=?+++∴= 3 2 4 lim(cos ) x x x →求极限微积分试题及答案(5)
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