备战中考数学备考之相似压轴突破训练∶培优 易错 难题篇及答案解析
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx（a≠0）与x轴交于另一点A（，0），在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t）．
（1）求这条抛物线的表达式；
（2）在第四象限内的抛物线上有一点C，满足以B，O，C为顶点的三角形的面积为2，求点C的坐标；
（3）如图2，若点M在这条抛物线上，且∠MBO=∠ABO，在（2）的条件下，是否存在点P，使得△POC∽△MOB？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵B（2，t）在直线y=x上，
∴t=2，∴B（2，2），
把A、B两点坐标代入抛物线解析式可得，解得，
∴抛物线解析式为y=2x2﹣3x
（2）解：如图1，过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，
∵点C是抛物线上第四象限的点，
∴可设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），
∴OE=t，BF=2﹣t，CD=t﹣（2t2﹣3t）=﹣2t2+4t，
∴S△OBC=S△CDO+S△CDB= CD?OE+ CD?BF= （﹣2t2+4t）（t+2﹣t）=﹣2t2+4t，∵△OBC的面积为2，
∴﹣2t2+4t=2，解得t1=t2=1，
∴C（1，﹣1）
（3）解：存在．设MB交y轴于点N，如图2，
∵B（2，2），∴∠AOB=∠NOB=45°，
在△AOB和△NOB中
∴△AOB≌△NOB（ASA），
∴ON=OA= ，
∴N（0，），
∴可设直线BN解析式为y=kx+ ，把B点坐标代入可得2=2k+ ，解得k= ，
∴直线BN的解析式为y= x+ ，联立直线BN和抛物线解析式可得，解得
或，
∴M（﹣，），
∵C（1，﹣1），∴∠COA=∠AOB=45°，且B（2，2），
∴OB=2 ，OC= ，
∵△POC∽△MOB，
∴ = =2，∠POC=∠BOM，
当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x轴于点H，
∵∠COA=∠BOG=45°，
∴∠MOG=∠POH，且∠PHO=∠MGO，
∴△MOG∽△POH，∴ = = =2，
∵M（﹣，），
∴MG= ，OG= ，
∴PH= MG= ，OH= OG= ，
∴P（，）；
当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，
同理可求得PH= MG= ，OH= OG= ，
∴P（﹣，）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（，）或（﹣，）
【解析】【分析】（1）根据已知抛物线在第一象限内与直线y=x交于点B（2，t），可求出点B的坐标，再将点A、B的坐标分别代入y=ax2+bx，建立二元一次方程组，求出a、b 的值，即可求得答案。
（2）过C作CD∥y轴，交x轴于点E，交OB于点D，过B作BF⊥CD于点F，可知点C、D、E、F的横坐标相等，因此设设C（t，2t2﹣3t），则E（t，0），D（t，t），F（t，2）,再表示出OE、BF、CD的长，然后根据S△OBC=S△CDO+S△CDB=2，建立关于t的方程，求出t 的值，即可得出点C的坐标。
（3）根据已知条件易证△AOB≌△NOB，就可求出ON的长，得出点N的坐标，再根据点B、N的坐标求出直线BN的函数解析式，再将二次函数和直线BN联立方程组，求出点M
的坐标，求出OB、OC的长，再根据△POC∽△MOB，得出，∠POC=∠BOM，然后分情况讨论：当点P在第一象限时，如图3，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥x 轴于点H，证△MOG∽△POH，得出对应边成比例，即可求出点P的坐标；当点P在第三象限时，如图4，过M作MG⊥y轴于点G，过P作PH⊥y轴于点H，同理可得出点P的坐标，即可得出答案。
2．
（1）【探索发现】如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AC，AB上，且AD，BE，CF相交于同一点O.用”S”表示三角形的面积，有S△ABD：S△ACD＝BD：CD，这一结论可通过以下推理得到：过点B作BM⊥AD，交AD延长线于点M，过点C作CN⊥AD于点N，可得
S△ABD：S△ACD＝，又可证△BDM～△CDN，∴BM：CN＝BD：CD，∴S△ABD：S△ACD＝BD：CD.由此可得S△BAO：S△BCO＝________；S△CAO：S△CBO＝________；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝________.
（2）【灵活运用】如图2，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD，CD上，连接AF，BE 和CE，AF分别交BE，CE于点G，M.
若AE＝DF.判断AF与BE的位置关系与数量关系，并说明理由；
（3）若点E，F分别是边AD，CD的中点，且AB＝4.则四边形EMFD的面积是多少？（4）【拓展应用】如图3，正方形ABCD中，AB＝4，对角线AC，BD相交于点O.点F是边CD的中点.AF与BD相交于点P，BG⊥AF于点G，连接OG，请直接写出S△OGP的值.
【答案】（1）AE：EC；AF：BF；1：6
（2）解：结论：AF＝BE，AF⊥BE.
理由：如图2中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°，
∵AE＝DF，
∴△BAE≌△ADF（SAS），
∴BE＝AF，∠ABE＝∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB＝90°，
∴∠DAF+∠AEB＝90°，
∴∠AGE＝90°，
∴AF⊥BE.
（3）解：如图2﹣1中，连接DM.
根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，∴S△DME＝S△DMF，
∵AE＝DE，
∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF，
∵S△ADF＝ ×4×2＝4，
∴S△AEM＝S△DME＝S△DMF＝，
∴S四边形EMFD＝ .
故答案为 .
（4）拓展应用：如图3中，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AC＝BD＝4 ，OA＝OB＝OD＝OC＝2 ，
∵DF＝FC，
∴DF＝FC＝2，
∵DF∥AB，
∴，
∴OP：OB＝OP：OA＝1：3，
∵BG⊥PA，AO⊥OB，
∴∠AGB＝∠AOB＝90°，
∵∠OAP+∠APO＝90°，∠PBG+∠BPG＝90°，
∴∠PAO＝∠PBG，
∵∠APO＝∠BPG，
∴△AOP∽△BGP，
∴
∴，∵∠GPO＝∠BPA，
∴△GPO∽△BPA，
∴，
∴S△ABP＝ S△ABD＝，
∴S△GOP＝ .
【解析】【解答】（1）探索发现：由题意：S△BAO：S△BCO＝AE：EC；S△CAO：S△CBO＝AF：BF；若D，E，F分别是BC，AC，AB的中点，则S△BFO：S△ABC＝1：6，
故答案为：AE：EC，AF：BF，1：6.
【分析】【探索发现】利用等高模型，解决问题即可.【灵活运用】（1）结论：AF＝BE，AF⊥BE.证明△BAE≌△ADF（SAS）即可解决问题.（2）根据对称性可知△DME，△DMF，关于直线DM对称，推出S△DME＝S△DMF，由AE＝DE，推出S△AEM＝S△DME＝S△DMF，求出
△ADF的面积即可解决问题.【拓展应用】由△GPO∽△BPA，推出即可解决问题.
3．已知顶点为抛物线经过点，点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，直线AB与x轴相交于点M,y轴相交于点E，抛物线与y轴相交于点F，在直线AB上有一点P，若∠OPM=∠MAF,求△POE的面积；
（3）如图2，点Q是折线A-B-C上一点，过点Q作QN∥y轴，过点E作EN∥x轴，直线QN与直线EN相交于点N，连接QE，将△QEN沿QE翻折得到△QEN1，若点N1落在x轴上，请直接写出Q点的坐标.
【答案】（1）解：把点代入，
解得：a=1,
∴抛物线的解析式为：或 .
（2）解：设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得：
，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y=-2x-1,
∴E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），
∴OE=1，FE= ,
∵∠OPM=∠MAF,
∴当OP∥AF时，△OPE∽△FAE，
∴
∴OP= FA= ,
设点P（t,-2t-1）,
∴OP= ,
化简得：（15t+2）（3t+2）=0,
解得，，
∴S△OPE= ·OE· ,
当t=- 时，S△OPE= ×1× = ，
当t=- 时，S△OPE= ×1× = ，
综上，△POE的面积为或 .
（3）Q（- ，）.
【解析】【解答】（3）解：由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设Q（m，-2m-1）,N1（n，0），
∴N（m,-1）,
∵△QEN沿QE翻折得到△QEN1
∴NN1中点坐标为（，），EN=EN1，
∴NN1中点一定在直线AB上，
即 =-2× -1,
∴n=- -m,
∴N1（- -m，0），
∵EN2=EN12，
∴m2=（- -m）2+1，
解得：m=- ,
∴Q（- ，）.
【分析】（1）用待定系数法将点B点坐标代入二次函数解析式即可得出a值.
（2）设直线AB解析式为：y=kx+b,代入点A、B的坐标得一个关于k和b的二元一次方程组，解之即可得直线AB解析式，根据题意得E（0，-1），F（0，- ），M（- ，0），根
据相似三角形的判定和性质得OP= FA= ,设点P（t,-2t-1）,根据两点间的距离公式即可求得t值，再由三角形面积公式△POE的面积.
（3）由（2）知直线AB的解析式为：y=-2x-1,E（0，-1），设Q（m，-2m-1）,N1（n，0），从而得N（m,-1）,根据翻折的性质知NN1中点坐标为（，）且在直线AB上，将此中点坐标代入直线AB解析式可得n=- -m,即N1（- -m，0），再根据翻折的性质和两点间的距离公式得m2=（- -m）2+1，解之即可得Q点坐标.
4．如图，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB＞CD，AD=AB+CD．
（1）利用尺规作∠ADC的平分线DE，交BC于点E，连接AE（保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）的条件下，①证明：AE⊥DE；
②若CD=2，AB=4，点M，N分别是AE，AB上的动点，求BM+MN的最小值。
【答案】（1）
（2）①证明：在AD上取一点F使DF=DC，连接EF，
∵DE平分∠ADC，
∴∠FDE=∠CDE，
在△FED和△CDE中，
DF=DC，∠FDE=∠CDE，DE=DE
∴△FED≌△CDE（SAS），
∴∠DFE=∠DCE=90°，∠AFE=180°-∠DFE=90°
∴∠DEF=∠DEC，
∵AD=AB+CD，DF=DC，
∴AF=AB，
在Rt△AFE≌Rt△ABE（HL）
∴∠AEB=∠AEF，
∴∠AED=∠AEF+∠DEF= ∠CEF+ ∠BEF= （∠CEF+∠BEF）=90°。
∴AE⊥DE
②解：过点D作DP⊥AB于点P，
∵由①可知，B，F关于AE对称，BM=FM，
∴BM+MN=FM+MN，
当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，
∵DP⊥AB，AD=AB+CD=6，
∴∠DPB=∠ABC=∠C=90°，
∴四边形DPBC是矩形，
∴BP=DC=2，AP=AB-BP=2，
在Rt△APD中，DP= = ，
∵FN⊥AB，由①可知AF=AB=4，
∴FN∥DP，
∴△AFN∽△ADP
∴，
即，
解得FN= ，
∴BM+MN的最小值为
【解析】【分析】（1）根据角平分的做法即可画出图.（2）①在AD上取一点F使DF=DC，连接EF；角平分线定义得∠FDE=∠CDE；根据全等三角形判定SAS得△FED≌△CDE，再由全等三角形性质和补角定义得∠DFE=∠DCE=∠AFE=90°，
∠DEF=∠DEC；再由直角三角形全等的判定HL得Rt△AFE≌Rt△ABE，由全等三角形性质得∠AEB=∠AEF，再由补角定义可得AE⊥DE.
②过点D作DP⊥AB于点P；由①可知，B，F关于AE对称，根据对称性质知BM=FM，当F，M，N三点共线且FN⊥AB时，有最小值，即BM+MN=FM+MN=FN；在Rt△APD中，根据勾股定理得DP= = ；由相似三角形判定得△AFN∽△ADP，再由相似三
角形性质得，从而求得FN，即BM+MN的最小值.
5．如图，在平面直角坐标系中，A、B两点的坐标分别为（20，0）和（0，15），动点P 从点A出发在线段AO上以每秒2cm的速度向原点O运动，动直线EF从x轴开始以每秒1cm的速度向上平行移动（即EF∥x轴），分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=9时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t使得△PEF的面积等于40cm2？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由；
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．
【答案】（1）解：∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，
∴ = ，
当t=9时，OE=9，OA=20，OB=15，
∴EF= =8，
∴S△PEF= EF?OE= ×8×9=36（cm2）
（2）解：∵△BEF∽△BOA，
∴EF= = = （15-t），
∴ × （15-t）×t=40，
整理，得t2-15t+60=0，
∵△=152-4×1×60＜0，
∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于40cm2的t值
（3）解：当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA，
∴ = ，即 = ，
解得t=6；
当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB，
∴ = ，即 = ，
解得t= ．
∴当t=6或t= 时，△EOP与△BOA相似
【解析】【分析】（1）由于EF∥x轴，则S△PEF= ?EF?OE．t=9时，OE=9，关键是求
EF．易证△BEF∽△BOA，则 = ，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于40cm2，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．
6．两个全等的直角三角形ABC 和DEF 重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC 不动，将△DEF 进行如下操作：
（1）如图，△DEF 沿线段 AB 向右平移（即 D 点在线段 AB 内移动），连接 DC、CF、FB，四边形 CDBF 的形状在不断的变化，但它的面积不变化，请求出其面积．
（2）如图，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形CDBF 的形状，并说明理由．
（3）如图，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出sinα的值．
【答案】（1）解：）过点C作CG⊥AB于G 在Rt△ACG中∵∠A＝60°
∴sin60°＝∴
在Rt△ABC中∠ACB＝90°∠ABC＝30°
∴AB=2
∴
（2）解：菱形
∵D是AB的中点∴AD=DB=CF=1
在Rt△ABC中，CD是斜边中线∴CD=1
同理 BF=1 ∴CD=DB=BF=CF
∴四边形CDBF是菱形
（3）解：在Rt△ABE中
∴
过点D作DH⊥AE 垂足为H
则△ADH∽△AEB ∴
即∴ DH=
在Rt△DHE中
sinα= =…=
【解析】【分析】（1）根据平移的性质得到AD=BE，再结合两条平行线间的距离相等，则三角形ACD的面积等于三角形BEF的面积，所以要求的梯形的面积等于三角形ABC的面积．根据60度的直角三角形ABC中AC=1，即可求得BC的长，从而求得其面积；（2）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半和平移的性质，即可得到该四边形的四条边都相等，则它是一个菱形；（3）过D点作DH⊥AE于H，可以把要求的角构造到直角三角形中，根据三角形ADE的面积的不同计算方法，可以求得DH的长，进而求解．
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm.动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速
度向点B运动，运动时间为t秒，连接MN.
（1）若△BMN与△ABC相似，求t的值；
（2）连接AN，CM，若AN⊥CM，求t的值．
【答案】（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝6cm，BC＝8cm，∴BA＝＝10(cm)．
由题意得BM＝3tcm，CN＝2tcm，∴BN＝(8－2t)cm.
当△BMN∽△BAC时，，∴＝，解得t＝；
当△BMN∽△BCA时，＝，∴＝，解得t＝ .
综上所述，△BMN与△ABC相似时，t的值为或
（2）解：如图，过点M作MD⊥CB于点D，
∴∠BDM＝∠ACB＝90°，又∵∠B＝∠B，∴△BDM∽△BCA，
∴＝＝ . ∵AC＝6cm，BC＝8cm，BA＝10cm，BM＝3tcm，
∴DM＝ tcm，BD＝ tcm，∴CD＝ cm.
∵AN⊥CM，∠ACB＝90°，∴∠CAN＋∠ACM＝90°，∠MCD＋∠ACM＝90°，
∴∠CAN＝∠MCD. ∵MD⊥CB，∴∠MDC＝∠ACB＝90°，∴△CAN∽△DCM，
∴＝，∴＝，解得t＝．
【解析】【分析】（1）在直角三角形ABC中，由已知条件用勾股定理可求得AB的长，再根据路程=速度时间可将BM、CN用含t的代数式表示出来，则BN=BC-CN也可用含t 的代数式表示出来，因为△BMN与△ABC相似，由题意可分两种情况，①当
△BMN∽△BAC时，由相似三角形的性质可得比例式：，将已知的线段代入计算
即可求解；②当△BMN∽△BCA时，由相似三角形的性质可得比例式：，将已知的线段代入计算即可求解；
（2）过点M作MD⊥CB于点D，根据有两个角对应相等的两个三角形相似可得
△BDM∽△BCA，于是可得比例式，将已知的线段代入计算即可用含t的代数式表示DM、BD的长，则CD=CB-BD也可用含t的代数式表示出来，同理易证
△CAN∽△DCM，可得比例式，将已表示的线段代入计算即可求得t的值。
8．如图1，在四边形ABCD中，∠DAB被对角线AC平分，且AC2＝AB?AD，我们称该四边形为“可分四边形”，∠DAB称为“可分角”．
（1）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，求证：△DAC∽△CAB．（2）如图2，四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，如果∠DCB＝∠DAB，则∠DAB＝________°
（3）现有四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，且AC＝4，BC＝2，∠D＝90°，求AD的长.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，
∴AC2＝AB?AD，
∴，
∵∠DAB为“可分角”，
∴∠CAD＝∠BAC，
∴△DAC∽△CAB
（2）120
（3）解：∵四边形ABCD为“可分四边形”，∠DAB为“可分角”，
∴AC2＝AB?AD，∠DAC＝∠CAB，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D＝∠ACB＝90°，
∴AB＝，
∴AD＝ .
故答案为 .
【解析】【解答】（2）解：如图所示：
∵AC平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，
∵AC2＝AB?AD，
∴AD：AC＝AC：AB，
∴△ADC∽△ACB，
∴∠D＝∠4，
∵∠DCB＝∠DAB，
∴∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，
∵∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3＝180°，
∴∠1+2∠1＝180°，
解得：∠1＝60°，
∴∠DAB＝120°；
故答案为：120；
【分析】（1）根据“可分四边形”的定义，可得AC2＝AB?AD，从而可得，根据对应边成比例且夹角相等可证△DAC∽△CAB ;
（2）根据对应边成比例且夹角相等可证△ADC∽△ACB，可得∠D＝∠4，由∠DCB＝∠3+∠4＝2∠1，根据三角形内角和可得∠1+∠D+∠3＝∠1+∠4+∠3=∠1+2∠1＝180°，求出∠1=60°，从而求出∠DAB的度数；
（3）先证△ADC∽△ACB，可得∠D＝∠ACB＝90°，利用勾股定理求出AB=，由AC2＝AB?AD，即可求出AD的长.
历年全国中考数学试题及答案
班级 姓名 学号 成绩 一、精心选一选 1．下列运算正确的是（ ） Ａ．()11a a --=-- Ｂ．( ) 2 3624a a -= Ｃ．()2 22a b a b -=- Ｄ．3 2 5 2a a a += 2．如图，由几个小正方体组成的立体图形的左视图是（ ） 3．下列事件中确定事件是（ ） Ａ．掷一枚均匀的硬币，正面朝上 Ｂ．买一注福利彩票一定会中奖 Ｃ．把4个球放入三个抽屉中，其中一个抽屉中至少有2个球 Ｄ．掷一枚六个面分别标有1，2，3，4，5，6的均匀正方体骰子，骰子停止转动后奇数点朝上 4．如图，AB CD ∥，下列结论中正确的是（ ） Ａ．123180++=o ∠ ∠∠ Ｂ．123360++=o ∠ ∠∠ Ｃ．1322+=∠∠∠ Ｄ．132+=∠ ∠∠ 5．已知24221 x y k x y k +=??+=+?，且10x y -<-<，则k 的取值范围为（ ） Ａ．112 k -<<- Ｂ．102 k << Ｃ．01k << Ｄ． 1 12 k << 6．顺次连接矩形各边中点所得的四边形（ ） Ａ．是轴对称图形而不是中心对称图形 Ｂ．是中心对称图形而不是轴对称图形 Ｃ．既是轴对称图形又是中心对称图形 Ｄ．没有对称性 7．已知点()3A a -，，()1B b -，，()3C c ，都在反比例函数4 y x = 的图象上，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） Ａ．a b c >> Ｂ．c b a >> Ｃ．b c a >> Ｄ．c a b >> 8．某款手机连续两次降价，售价由原来的1185元降到580元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面列出的方程中正确的是（ ） Ａ．2 1185580x = Ｂ．()2 11851580x -= Ｃ．( )2 11851580x -= Ｄ．()2 58011185x += 9．如图，P 是Rt ABC △斜边AB 上任意一点（A ，B 两点除外），过P 点作一直线，使截得的三角形与Rt ABC △相似，这样的直线可以作（ ） Ａ．1条 Ｂ．2条 Ｃ．3条 Ｄ．4Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． A B D C 3 2 1 第4题图 P 第9题图
浙教版初中数学中考培优题(含答案)
1、在一张矩形的床单四周绣上宽度相等的花边，剩下部分面积是1.28 ㎡,已知床单的长是2 m ，宽是1.2 m ，求花边的宽度. 解：设花边的宽度是x m. ()()28.122.122=--x x 028.06.12=+-x x ()36.08.02 =-x 2.01=x ，4.12=x （舍去） 答：花边的宽度是0.2 m. 2、某商场将进货价为30元的台灯以 40 元售出，平均每月能售出600个。调查表明：这种台灯的售价每上涨1元，其销售量就将减少10个。 ⑴ 为了实现平均每月10000元的销售利润，这种台灯的售价应定为多少？这时应进台灯多少个？ ⑵ 台灯的售价应定为多少时销售利润最大？ 解：⑴ 设台灯的售价为x 元，(x ≥40)根据题意得 [(600－10×(x －40))](x －30)＝10000 解得：x 1＝80 x 2＝50 当x ＝80时 进台灯数为600－10×(x －40)＝200 当x ＝50时 600－10×(x －40)＝500 ⑵ 设台灯的售价定为x 元时，销售利润最大，利润为y y ＝［600－10（x －40）］·（x －30） 答：⑴ 台灯的售价为80元，进台灯数为200个，台灯的售价为50元时，进台灯数为500个。 ⑵ 3、学校有若干个房间分配给九年级（1）班的男生住宿，已知该班男生不足50人。若每间住4人，则余15人无住处；若每间住6人，则恰有一间不空也不满（其余均住满），那么该班男生人数是多少？ 解：设有x 间，每间住4人，4x 人，15人无处住 所以有4x +15人 每间住6人，则恰有一间不空也不满 所以x -1间住6(x -1)=6x -6人 还有4x +15-6x +6＝-2x ＋21人 不空也不满 所以0＜-2x +21＜6 -6＜2x -21＜0 15＜2x ＜21 7.5＜x ＜10.5 所以x =8, x =9, x =10 不到50人 一共4x +15＜50 所以x =8 所以应该是4×8+15=47人
中考数学压轴题破解策略专题9《费马点》
专题9《费马点》 破解策略 费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离． 若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点． 1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点 如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明： 如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP 则△APC≌△APC，PC＝PC 因为∠BAC≥120° 所以∠PAP＝∠CAC≤60 所以在等腰△PAP中，AP≥PP 所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC 所以点A为△ABC的费马点 2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点 证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC 将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC 所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO 所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D 则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小 此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O 如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
中考数学(相似提高练习题)压轴题训练附详细答案
一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图所示，△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AD⊥BC，DE⊥AC，△CDE沿直线BC翻折到△CDF，连结AF交BE、DE、DC分别于点G、H、I． （1）求证：AF⊥BE； （2）求证：AD=3DI． 【答案】（1）证明：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，D是BC的中点， ∴AD=BD=CD，∠ACB=45°， ∵在△ADC中，AD=DC，DE⊥AC， ∴AE=CE， ∵△CDE沿直线BC翻折到△CDF， ∴△CDE≌△CDF， ∴CF=CE，∠DCF=∠ACB=45°， ∴CF=AE，∠ACF=∠DCF+∠ACB=90°， 在△ABE与△ACF中，， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴∠ABE=∠FAC， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE （2）证明：作IC的中点M，连接EM，由（1）∠DEC=∠ECF=∠CFD=90°
∴四边形DECF是正方形， ∴EC∥DF，EC=DF， ∴∠EAH=∠HFD，AE=DF， 在△AEH与△FDH中， ∴△AEH≌△FDH（AAS）， ∴EH=DH， ∵∠BAG+∠CAF=90°， ∴∠BAG+∠ABE=90°， ∴∠AGB=90°， ∴AF⊥BE， ∵M是IC的中点，E是AC的中点， ∴EM∥AI， ∴， ∴DI=IM， ∴CD=DI+IM+MC=3DI， ∴AD=3DI 【解析】【分析】（1）根据翻折的性质和SAS证明△ABE≌△ACF，利用全等三角形的性质得出∠ABE=∠FAC，再证明∠AGB=90°，可证得结论。 （2）作IC的中点M，结合正方形的性质，可证得∠EAH=∠HFD，AE=DF，利用AAS证明△AEH与△FDH全等，再利用全等三角形的性质和中位线的性质解答即可。 2．如图，抛物线y= x2+bx+c 与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，点B坐标为（6，0），点C坐标为（0，6），点D是抛物线的顶点．
2020中考数学压轴题100题精选(附答案解析)
2020中考数学压轴题100题精选 （附答案解析） 【001 】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+（a ≠0）经过点 (2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线OM AD ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线OM 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结 BC ． （1）求该抛物线的解析式； （2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线OM 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形DAOP 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？ （3）若OC OB =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿OC 和BO 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．
【002】如图16，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P从点C出发沿CA以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A 出发沿AB以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动．伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E．点P、Q同时出发，当点Q到达点B 时停止运动，点P也随之停止．设点P、Q运动的时间是t 秒（t＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q到AC的距离是； （2）在点P从C向A运动的过程中，求△APQ的面积S 与 t的函数关系式；（不必写出t的取值范围）（3）在点E从B向C 成 为直角梯形？若能，求t （4）当DE经过点C 时，请直接 图16 【003】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（4，0）、C（8，0）、D（8，8）.抛物线y=ax2+bx过A、C两点. (1)直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
中考数学 专题 四边形培优试题
四边形 1、如图，在正方形ABCD中，点E是CD边上的一点，过C作AE的垂线交AE的延长线于点F，连结DE，过点D作DF的垂线交AF于点G。 （1）求证：AG=CF。 （2）连结BG，若BG⊥AE，取BC的中点H，试判断线段BD与线段EH的数量关系和位置关系，并给出证明。 2、（1）如图1，已知正方形ABCD，E是边CD上一点，延长CB到点F，使BF=DE，作∠EAF 的平分线交边BC于点G，求证：BG+DE=E G。 （2）如图2，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于点D，若BD=2，CD=1，求△ABC的面积。
3、如图1，摆放矩形AB CD与矩形ECGF，使B，C，G三点在一条直线上，CE在边CD上，连结AF，若M为AF的中点，连结DM、ME，猜想DM与ME的关系，并证明你的结论。 拓展与延伸： （1）若将图1中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，其他条件不变，则DM 和ME的关系为。 （2）如图2摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF，使点F在边CD上，点M仍为AF 的中点，试证明（1）中的结论仍然成立。
4、在正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，以相同速度在直线DC、CB上移动。 （1）如图1，当点E在线段CD上，点F在线段BC上时，连结AE和DF交于点P，请写出AE与DF的关系，并说明理由。 （2）如图2，点E、F分别移动到边DC、CB的延长线上时，连结AE和DF，（1）中的结论还成立吗？真接写出结论，无需证明。 （3）如图3，当点E、F分别在CD、BC的延长线上移动时，连结AE与D F，（1）的结论还成立吗？请说明理由。 （4）如图4，当点E、F分别在边DC、CB上移动时，连结AE和DF交于点P，由于点E、F 的移动，使得点P也随之移动，请画出点P的运动路径的草图，若AD=2，试求出线段CP的最小值。
备战中考数学平行四边形(大题培优 易错 难题)及答案
一、平行四边形真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形ABCD 中，∠BCD =∠D =90°，E 是边AB 的中点.已知AD =1，AB =2. （1）设BC =x ，CD =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出定义域； （2）当∠B =70°时，求∠AEC 的度数； （3）当△ACE 为直角三角形时，求边BC 的长. 【答案】（1）()223 03y x x x =-++<<；（2）∠AEC =105°；（3）边BC 的长为 2117 +. 【解析】 试题分析：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ，得到四边形ADCH 为矩形．在△BAH 中，由勾股定理即可得出结论． （2）取CD 中点T ，连接TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∠AET =∠B =70°． 又AD =AE =1，得到∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，即可得到结论． （3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 解△ABH 即可得到结论． ②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，由相似三角形对应边成比例即可得到结论． 试题解析：解：（1）过A 作AH ⊥BC 于H ．由∠D =∠BCD =90°，得四边形ADCH 为矩形． 在△BAH 中，AB =2，∠BHA =90°，AH =y ，HB =1x -，∴2 2221y x =+-， 则()223 03y x x x = -++<< （2）取CD 中点T ，联结TE ，则TE 是梯形中位线，得ET ∥AD ，ET ⊥CD ，∴∠AET =∠B =70°． 又AD =AE =1，∴∠AED =∠ADE =∠DET =35°．由ET 垂直平分CD ，得∠CET =∠DET =35°，∴∠AEC =70°＋35°=105°． （3）分两种情况讨论：①当∠AEC =90°时，易知△CBE ≌△CAE ≌△CAD ，得∠BCE =30°， 则在△ABH 中，∠B =60°，∠AHB =90°，AB =2，得BH =1，于是BC =2． ②当∠CAE =90°时，易知△CDA ∽△BCA ，又2224AC BC AB x = --
中考数学培优专题复习相似练习题及答案
中考数学培优专题复习相似练习题及答案 一、相似 1．如图，在Rt△ABC中，，角平分线交BC于O，以OB为半径作⊙O. （1）判定直线AC是否是⊙O的切线，并说明理由; （2）连接AO交⊙O于点E，其延长线交⊙O于点D，，求的值; （3）在（2）的条件下，设的半径为3，求AC的长. 【答案】（1）解：AC是⊙O的切线 理由：， ， 作于， 是的角平分线， ， AC是⊙O的切线 （2）解：连接， 是⊙O的直径， ,即 . . 又 (同角) ， ∽ ,
（3）解：设 在和中，由三角函数定义有： 得： 解之得： 即的长为 【解析】【分析】（1）利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等证得点O到AC的距离为半径长，即可证得AC与圆O相切；（2）先连接BE构造一个可以利用正切值的直角三角形，再证得∠1=∠D，从而证得两个三角形ABE与ABD相似，即可求得两个线段长的比值；（3）也可以应用三角形相似的判定与性质解题，其中AB的长度是利用勾股定理与（2）中AE与AB的比值求得的. 2．如图1，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，E、F分别是AB、BD的中点，连接EF，点P从点E出发，沿EF方向匀速运动，速度为1cm/s，同时，点Q从点D出发，沿DB方向匀速运动，速度为2cm/s，当点P停止运动时，点Q也停止运动．连接PQ，设运动时间为t（0＜t＜4）s，解答下列问题： （1）求证：△BEF∽△DCB； （2）当点Q在线段DF上运动时，若△PQF的面积为0.6cm2，求t的值； （3）当t为何值时，△PQF为等腰三角形？试说明理由． 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴ AD∥BC， 在中， ∵别是的中点， ∴EF∥AD， ∴ EF∥BC，
中考数学相似难题压轴题及答案
1、如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别是BC ，AC ，AB 上的点，DE AC ⊥，EF AB ⊥，FD BC ⊥，则DEF △的面积与ABC △的面积之比等于（ ） A ．1∶3 B ．2∶3 C ∶2 D ∶3 2、如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=° ，3BC =，4AC =，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为（ ） A ．32 B ．76 C ．25 6 D ．2 3.提出问题：如图，有一块分布均匀的等腰三角形蛋糕（BC AB =，且AC BC ≠），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，小明和小华决定只切一刀将这块蛋糕平分（要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）． 背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的“等分积周线”． 尝试解决： （1）小明很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出.请你帮小明在图1中画出这条“等分积周线”，从而平分蛋糕． （2） 小华觉得小明的方法很好，所以自己模仿着在图1中过点C 画了一条直线CD 交AB 于点D ．你觉得小华会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由． （3）通过上面的实践，你一定有了更深刻的认识．请你解决下面的问题：若AB ＝BC ＝5 cm ， AC ＝6 cm ，请你找出△ABC 的所有“等分积周线”，并简要的说明确定的方法． 4.如图，点P 是菱形ABCD 的对角线BD 上一点，连结CP 并延长，交AD 于E ，交BA 的延长线点F ．问： (1) 图中△APD 与哪个三角形全等？并说明理由． (2) 求证：△APE ∽△FPA ． (3) 猜想：线段PC 、PE 、PF 之间存在什么关系？并说明理由． A B A B B 图 1 C B 图 2 C
中考数学总复习 培优专题精选经典题
专项训练一 一元二次方程 一、选择题 1．(2016·新疆中考)一元二次方程x 2－6x －5＝0配方后可变形为( ) A ．(x －3)2＝14 B ．(x －3)2＝4 C ．(x ＋3)2＝14 ．(x ＋3)2＝4 2．(2016·攀枝花中考)若x ＝－2是关于x 的一元二次方程x 2＋3 2ax －a 2＝0的一个根，则a 的值为( ) A ．－1或4 B ．－1或－4 C ．1或－4 D ．1或4 3．(2016·凉山州中考)已知x 1、x 2是一元二次方程3x 2＝6－2x 的两根，则x 1－x 1x 2＋x 2的值是( ) A ．－43 B.83 C ．－83 D.43 4．(2016·随州中考)随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次， 2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x ，则下列方程中正确的是( ) A ．20(1＋2x )＝28.8 B ．28.8(1＋x )2＝20 C ．20(1＋x )2＝28.8 D ．20＋20(1＋x )＋20(1＋x )2＝28.8 5．(2016·潍坊中考)关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋sin α＝0有两个相等的实数根，则锐角α等于( ) A ．15° B ．30° C ．45° D ．60° 6．已知三角形两边的长是3和4，第三边长是方程x 2－12x ＋35＝0的根，则该三角形的周长是( ) A ．14 B ．12 C ．12或14 D ．以上都不对 7．(2016·深圳中考)给出一种运算：对于函数y ＝x n ，规定y ′＝nx n － 1.例如：若函数y ＝x 4，则有y ′＝4x 3.已知函数y ＝x 3，则方程y ′＝12的解是( ) A ．x 1＝4，x 2＝－4 B ．x 1＝2，x 2＝－2 C ．x 1＝x 2＝0 D ．x 1＝23，x 2＝－2 3 8．★关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2n ＝0有两个整数根且乘积为正，关于y 的一元二次方程y 2＋2ny ＋2m ＝0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都是负根；②(m －1)2＋(n －1)2≥2；③－1≤2m －2n ≤1，其中正确结论的个数是( ) A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题 9．(2016·菏泽中考)已知m 是关于x 的方程x 2－2x －3＝0的一个根，则2m 2－4m ＝________． 10．方程(2x ＋1)(x －1)＝8(9－x )－1的根为____________． 11．(2016·聊城中考)如果关于x 的一元二次方程kx 2－3x －1＝0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是______________． 12．(2016·黄石中考)关于x 的一元二次方程x 2＋2x －2m ＋1＝0的两实数根之积为负，则实数m 的取值范围是________． 13．关于x 的反比例函数y ＝ a ＋4 x 的图象如图所示，A 、P 为该图象上的点，且关于原点成中心对称．△P AB 中，PB ∥y 轴，AB ∥x 轴，PB 与AB 相交于点B .若△P AB 的面积大于12，则关于x 的方程(a －1)x 2－x ＋1 4 ＝0的根的情况是______________． 14．一个容器盛满纯药液40L ，第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这
中考数学压轴题破解策略专题中点模型
专题19《中点模型》 破解策略 1．倍长中线 在△ABC中．M为BC边的中点． 图1 图2 （1）如图1，连结AM并延长至点F，使得ME＝AM．连结CE．则△ABM≌△ECM． （2）如图2，点D在AB边上，连结DM并延长至点E．使得MF＝DM．连结CE，则△BDM ≌△CEM， 遇到线段的中点问题，常借助倍长中线的方法还原中心对称图形，利用“8”字形全等将题中条件集中，达到解题的目的，这种方法是最常用的也是最重要的方法． 2．构造中位线 在△ABC中．D为AB边的中点， 图1 图2 （1）如图1，取AC边的中点E，连结DE．则DE∥BC，且DF＝1 2 B C． （2）如图2．延长BC至点F．使得CF＝B C．连结CD，AF．则DC∥AF，且DC＝1 2 AE． 三角形的中位线从位置关系和数量关系两方面将将图形中分散的线段关系集中起来．通常需要再找一个中点来构造中位线，或者倍长某线段构造中位线， 3．等腰三角形“三线合一” 如图，在△ABC中，若AB＝A C．通常取底边BC的中点D．则AD⊥BC，且AD平分∠BA C．事实上，在△ABC中：①AB＝AC；②AD平分∠BAC；③BD＝CD，④AD⊥B C． 对于以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出另两条结论，即“知二得二”．4.直角三角形斜边中线 如图，在△ABC看，∠ABC＝900，取AC的中点D，连结BD，则有BD＝AD＝CD＝1 2 AC． 反过来，在△ABC中，点D在AC边上，若BD＝AD＝CD＝1 2 AC，则有∠ABC＝900
例题讲解 例1 如图，在四边形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、CD 的中点，过点E 作AB 的垂线，过点F 作CD 的垂线，两垂线交于点G ，连结AG 、BG 、CG 且∠AGD ＝∠BGC ，若AD 、BC 所在直线互相垂直，求AD EF 的值 解 由题意可得△AGB 和△DGC 为共顶点等顶角的两个等腰三角形， 所以△AGD ≌△BGC ，△AGD ∽△EGF ． 方法一：如图1，连结CE 并延长到H ，使EH ＝EC ，连EH 、AH ，则 AH ∥BC ，AH ＝BC ，而AD ＝BC ，AD ⊥BC 所以AD ＝AH ，AD ⊥AH ，连结DH ，则△ADH 为等腰直角三角形，又因为E 、F 分别为CH 、CD 的中点，所以=12 AD AD EF DH = 方法二：如图2，连结BD 并取中点H ，连结EH ，FH ．则EH ＝ 12AD ，且EH ∥AD ，FH ＝12BC ， 而AD ＝BC ，AD ⊥BC ，所以△EHF 为等腰直角三角形，所以2=AD EH EF EF = 例2 如图，在△ABC 中，BC ＝22，BD ⊥AC 于点D ，CE ⊥AB 于E ，F 、G 分别是BC 、DE 的中点，若ED ＝10，求FG 的长． 解：连结EF 、DF ，由题意可得EF 、DF 分别为RT △BEC ，RT △BDC 斜边的中线，所以DF ＝EF ＝ 12 BC ＝11，而G 为DE 的中点，所以DG ＝EG ＝5，FG ⊥DE ，所以RT △FGD 中，FG ＝ 例3 已知：在RT △ACB 和RT △AEF 中，∠ACB ＝∠AEF ＝900 ，若P 是BF 的中点，连结PC 、PE （1）如图1，若点E 、F 分别落在边AB 、AC 上，请直接写出此时PC 与PE 的数量关系． （2）如图2，把图1中的△AEF 绕着点A 顺时针旋转，当点E 落在边CA 的延长线上时，上述结论是否成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． （3）如图3，若点F 落在边AB 上，则上述结论是否仍然成立若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 解（1）易得PC ＝PE ＝12 BF ，即PC 与PE 相等． （2）结论成立．理由如下：
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如对你有帮助，请购买下载打赏，谢谢！ 20．（本小题满分8分） 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售价至少是多少元？（利润率100%=?利润成本 ） 22．（本小题满分10分） 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系式3368 y x =-+，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b c 、的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ 21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8 乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20请问： （1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？ （2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部分 工程用了y 天．若x 、y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 70天，那么两队实际各做了多少天？ 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为12)8(8 12+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？ 20．(本题满分8分)如图，在□ABCD 中，∠BAD 为钝角，且AE ⊥BC ，A F ⊥CD ． (1)求证：A 、E 、C 、F 四点共圆； (2)设线段BD 与(1)中的圆交于M 、N ．求证：BM =ND ． 第20题图 N M F E B D A C y 2
2020年中考数学培优 专题讲义 第17讲 二次函数与面积
第17讲 二次函数与面积 解这类问题一般用到以下与面积相关的知识：图形割补、等积转换、等比转化. 【例题讲解】 例题1 如图1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”（a ），中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高（h ）”．我们可得出一种计算三角形面积的新方法：ABC S △＝1 2 ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半． 解答问题： 如图2，顶点为C （1,4）的抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 交x 轴于点A （3,0），交y 轴于点B ． （1）求抛物线和直线AB 的解析式； （2）点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点，连接P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S △； ②是否存在抛物线上一点P ，使PAB S △＝CAB S △？若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由． C B 1把A （3,0）代入解析式求得a ＝－1， 所以1y ＝－（x －1）2＋4＝－x 2＋2x ＋3， 设直线AB 的解析式为：2y ＝kx ＋b 由1y ＝－x 2＋2x ＋3求得B 点的坐标为（0,3） 把A （3,0），B （0,3）代入2y ＝kx ＋b 中 解得：k ＝－1，b ＝3 所以2y ＝－x ＋3； （2）①因为C 点坐标为（1,4） 所以当x ＝1时，1y ＝4，2y ＝2 所以CD ＝4－2＝2 CAB S △＝ 1 2 ×3×2＝3（平方单位）；
②假设存在符合条件的点P ，设P 点的横坐标为x ，△P AB 的铅垂高为h ，则h ＝1y －2y ＝（－x 2＋2x ＋3）－（－x ＋3）＝－x 2＋3x 由PAB S △＝CAB S △ 得： 1 2 ×3×（－x 2＋3x ）＝3 化简得：x 2－3x ＋2＝0， 解得：1x ＝1，2x ＝2， 将1x ＝1代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（1，4）． 将2x ＝2代入1y ＝－x 2＋2x ＋3中， 解得P 点坐标为（2，3）． ∵点P 是抛物线（在第一象限内）上的一个动点， 综上所述，P 点的坐标为（1，4），（2，3）． 模型讲解 竖切 面积公式均为1 = 2 S dh C B h C B h C B 横切 面积公式均为1 = 2 S dh D 【总结】 这种“铅垂高×水平宽的一半”的求解方法可过三角形的任意一点，并且“横竖”均可.而在选择时，如何选用，取决于点D 的坐标哪种更易求得. 例题2 已知一次函数y ＝（k ＋3）x ＋（k －1）的图像与x 轴、y 轴分别相交于点A 、B ，P （－1，－4）.
(完整版)中考数学压轴题破解策略专题18《弦图模型》
专题18《弦图模型》 破解策略 1．内弦图 如图，在正方形ABCD中，BF⊥CG，CG⊥DH，DH⊥AE，AE⊥BF，则△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH．证明因为∠ABC＝∠BFC＝90° 所以∠ABE＋∠FBC＝∠FBC＋∠FCB－90°． 所以∠ABE＝∠FC B． 又因为AB＝B C．所以△ABE≌△BCF， 同理可得△ABE≌△BCF≌△CDG≌△DAH． D C 2．外弦圈 如图，在正方形ABCD中，点M，N，P，Q在正方形ABCD边上，且 四边形MUPQ为正方形，则△QBM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． 证明因为∠B＝∠QMN＝∠C＝90°， 所以∠BQM＋∠QMB＝∠QMB＋∠NMC＝90°， 所以∠BQM＝∠NM C． 又因为QM＝MN，所以△QBM≌△MCN． 同理可得△QHM≌△MCN≌△NDP≌△PAQ． N Q D A 3．括展 （1）如图，在Rt△ABH中．∠ABH＝90°，BE⊥AH于点E．所以 △A BE≌△BHE≌△AH B． （2）如图，在Rt △QBM和Rt△BLK中，QB＝BL，QM⊥BK，所以 △QBM≌△BLK．
证明因为∠BLK＝90°，QM⊥BK， 所以∠KBL＋∠QMB＝∠KBI十∠K＝90° 所以∠QMB＝∠K， 又因为QB＝BL． 所以△QBM≌△BLK． 例题讲解 例1四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在的直线上，连结CE，以CE 为边，作正方形CEFG（点D，F在直线CE的同侧），连结BF．当点E在线段AD上时，AE ＝1，求BF的长． G 解如图，过点F作FH⊥AD交AD的延长线于点H， 延长FH交BC的延长线于点K． 因为四边形ABCD和四边形CEFG是正方形， 根据“弦图模型”可得△ECD≌△FEH，所以FH＝ED＝AD－AE＝3，EH＝CD＝4．因为CDHK为矩形，所以HK＝CD＝4，CK＝DH＝EH－ED＝1． 所以FK＝FH十HK＝7，BK＝BC＋CK＝． 5． 所以BF
历年中考数学难题及答案
应用题 20．（本小题满分8分） 北京奥运会开幕前，某体育用品商场预测某品牌运动服能够畅销，就用32000元购进了一批这种运动服，上市后很快脱销，商场又用68000元购进第二批这种运动服，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每套进价多了10元． （1）该商场两次共购进这种运动服多少套？ （2）如果这两批运动服每套的售价相同，且全部售完后总利润率不低于20%，那么每套售 价至少是多少元？（利润率100%=?利润 成本 ） 22．（本小题满分10分） 某水产品养殖企业为指导该企业某种水产品的养殖和销售，对历年市场行情和水产品养殖情况进行了调查．调查发现这种水产品的每千克售价1y （元）与销售月份x （月）满足关系 式3 368 y x =- +，而其每千克成本2y （元）与销售月份x （月）满足的函数关系如图所示． （1）试确定b c 、的值； （2）求出这种水产品每千克的利润y （元）与销售月份x （月）之间的函数关系式； （3）“五·一”之前，几月份出售这种水产品每千克的利润最大？最大利润是多少？ y 2
21．(本题满分10分)星期天，小明和七名同学共8人去郊游，途中，他用20元钱去买饮料，商店只有可乐和奶茶，已知可乐2元一杯，奶茶3元一杯，如果20元钱刚好用完． (1)有几种购买方式？每种方式可乐和奶茶各多少杯？ (2)每人至少一杯饮料且奶茶至少二杯时，有几种购买方式？ 20.（9分）某项工程，甲工程队单独完成任务需要40天．若 乙队先做30天后，甲、乙两队一起合做20天就恰好完成任务． 请问： （1）（5分）乙队单独做需要多少天才能完成任务？ （2）（4分）现将该工程分成两部分，甲队做其中一部分工程用了x 天，乙队做另一部分 工程用了y 天．若x 、y 都是正整数，且甲队做的时间不到15天，乙队做的时间不到 70天，那么两队实际各做了多少天？ 3、（2009年重庆市江津区）某商场在销售旺季临近时 ，某品牌的童装销售价格呈上升趋势，假如这种童装开始时的售价为每件20元，并且每周（7天）涨价2元，从第6周开始，保持每件30元的稳定价格销售，直到11周结束，该童装不再销售。 （1）请建立销售价格y （元）与周次x 之间的函数关系； （2）若该品牌童装于进货当周售完，且这种童装每件进价z （元）与周次x 之间的关系为 12)8(8 1 2+--=x z ， 1≤ x ≤11，且x 为整数，那么该品牌童装在第几周售出后，每 件获得利润最大？并求最大利润为多少？ 5、（2009年滨州）某商品的进价为每件40元．当售价为每件60元时，每星期可卖出300件，现需降价处理，且经市场调查：每降价1元，每星期可多卖出20件．在确保盈利的前提下，解答下列问题： （1）若设每件降价x 元、每星期售出商品的利润为y 元，请写出y 与x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围； （2）当降价多少元时，每星期的利润最大？最大利润是多少？
中考数学总复习培优专题精选经典题
初三数学中考总复习培优资料一 一、选择题（本大题共有12小题，每小题2分，共24分.） 1．-2的绝对值是 A ．-2 B ．- 12 C ．2 D ．12 2．下列运算正确的是 A ．x 2+ x 3= x 5 B ．x 4·x 2= x 6 C ．x 6÷x 2 = x 3 D ．( x 2)3 = x 8 3．下面四个几何体中，俯视图为四边形的是 4．已知a -b =1，则代数式2a -2b -3的值是 A ．-1 B ．1 C ．-5 D ．5 5．若⊙O 1、⊙O 2的半径分别为4和6，圆心距O 1O 2=8，则⊙O 1与⊙O 2的位置关系是 A ．内切 B ．相交 C ．外切 D ．外离 6．对于反比例函数y =1 x ，下列说法正确的是 A ．图象经过点（1，-1） B ．图象位于第二、四象限 C ．图象是中心对称图形 D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而增大 7．某市6月上旬前5天的最高气温如下（单位：℃）：28，29，31，29，32．对这组数据，下列说法正确的是 A ．平均数为30 B ．众数为29 C ．中位数为31 D ．极差为5 8．小亮从家步行到公交车站台，等公交车去学校. 折线表示小亮的行程s (km)与所花时间t (min)之间的函数关系. 下列说法错误．．的是 A ．他离家8km 共用了30min B ．他等公交车时间为6min C ．他步行的速度是100m/min D ．公交车的速度是350m/min 9．一元二次方程x x 22 =的根是（ ） A ．2=x B ．0=x C ．2,021==x x D ．2,021-==x x 10．如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（ ） A ．1 B ． 21 C ．31 D ．4 1 A B C D （第8题图）
2017年挑战中考数学压轴题(全套)
第一部分函数图象中点的存在性问题 §1．1 因动点产生的相似三角形问题§1．2 因动点产生的等腰三角形问题§1．3 因动点产生的直角三角形问题§1．4 因动点产生的平行四边形问题§1．5 因动点产生的面积问题§1．6因动点产生的相切问题§1．7因动点产生的线段和差问题 第二部分图形运动中的函数关系问题 §2．1 由比例线段产生的函数关系问题 第三部分图形运动中的计算说理问题 §3．1 代数计算及通过代数计算进行说理问题 §3．2 几何证明及通过几何计算进行说理问题 第四部分图形的平移、翻折与旋转 §4．1 图形的平移§4．2 图形的翻折§4．3 图形的旋转§4．4三角形§4．5 四边形§4．6 圆§4．7函数的图象及性质§1．1 因动点产生的相似三角形问题 课前导学相似三角形的判定定理有3个，其中判定定理1和判定定理2都有对应角相等的条件，因此探求两个三角形相似的动态问题，一般情况下首先寻找一组对应角相等．判定定理2是最常用的解题依据，一般分三步：寻找一组等角，分两种情况列比例方程，解方程并检验．如果已知∠A＝∠D，探求△ABC与△DEF相似，只要把夹∠A和∠D的两 边表示出来，按照对应边成比例，分AB DE AC DF =和 AB DF AC DE =两种情况列方程． 应用判定定理1解题，先寻找一组等角，再分两种情况讨论另外两组对应角相等． 应用判定定理3解题不多见，根据三边对应成比例列连比式解方程（组）． 还有一种情况，讨论两个直角三角形相似，如果一组锐角相等，其中一个直角三角形的锐角三角比是确定的，那么就转化为讨论另一个三角形是直角三角形的问题．求线段的长，要用到两点间的距离公式，而这个公式容易记错．理解记忆比较好． 如图1，如果已知A、B两点的坐标，怎样求A、B两点间的距离呢？ 我们以AB为斜边构造直角三角形，直角边与坐标轴平行，这样用勾股定理就可以求斜边AB的长了．水平距离BC的长就是A、B两点间的水平距离，等于A、B两点的横坐标相减；竖直距离AC就是A、B两点间的竖直距离，等于A、B两点的纵坐标相减． 图1 图1 图2 例 1 湖南省衡阳市中考第28题 二次函数y＝a x2＋b x＋c（a≠0）的图象与x轴交于A(－3, 0)、B(1, 0)两点，与y轴交于点C(0,－3m)（m＞0），顶点为D．（1）求该二次函数的解析式（系数用含m的代数式表示）； （2）如图1，当m＝2时，点P为第三象限内抛物线上的一个动点，设△APC的面积为S，试求出S与点P的横坐标x之间的函数关系式及S的最大值； （3）如图2，当m取何值时，以A、D、C三点为顶点的三角形与△OBC相似？
中考数学试题与参考答案
20XX 年广东省初中毕业生学业考试 数 学 说明：1.全卷共6页，满分为120 分，考试用时为100分钟。 2.答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号。用2B 铅笔把对应该号码的标号涂黑。 3.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试题上。 4.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再这写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 5.考生务必保持答题卡的整洁。考试结束时，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题（本大题10小题，每小题3分，共30分）在每小题列出的四个选项中，只有一个是正确的，请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑. 1. 5的相反数是( ) A.15 B.5 C.-1 5 D.-5 2.“一带一路”倡议提出三年以来，广东企业到“一带一路”国家投资越来越活跃.据商务部门发布的数据显示。20XX 年广东省对沿线国家的实际投资额超过4 000 000 000美元.将4 000 000 000用科学记数法表示为( ) A.0.4×910 B.0.4×1010 C.4×910 D.4×1010 3.已知70A ∠=?,则A ∠的补角为( ) A.110? B.70? C.30? D.20? 4.如果2是方程230x x k -+=的一个根，则常数k 的值为( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 5.在学校举行“阳光少年，励志青春”的演讲比赛中，五位评委给选手小明的评分分别为：90，85，90，80，95，则这组的数据的众数是( ) A.95 B.90 C.85 D.80 6.下列所述图形中， 既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A.等边三角形 B.平行四边形 C.正五边形 D.圆 7.如题7图，在同一平面直角坐标系中，直线11(0)y k x k =≠与双曲 线2 2(0)k y k x = ≠ 相交于A 、B 两点，已知点A 的坐标为（1，2）， 则点B 的坐标为( )