基本不等式的应用教学设计说明
教学设计与反思
课题：3.4.3 基本不等式
2b
a a
b +
≤的应用（二）
科目：数学教学对象：高二(290)学生课时：1课时提供者：和安单位：安一中
一、教学容分析
本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.
根据本节课的教学容，应用观察、阅读、归纳、逻辑分析、思考、合作交流、探究，对基本不等式展开实际应用，进行启发、探究式教学并使用投影仪辅助.
二、教学目标
（一）知识目标：构建基本不等式解决函数的值域、最值问题；
（二）能力目标：让学生探究用基本不等式解决实际问题
（三）情感、态度和价值观目标：
通过具体问题的解决，让学生去感受、体验现实世界和日常生活中存在着大量的不等量关系并需要从理性的角度去思考，鼓励学生用数学观点进行类比、归纳、抽象，使学生感受数学、走进数学、培养学生严谨的数学学习习惯和良好的思维习惯；
三、学习者特征分析
1.采用探究法，按照观察、阅读、归纳、思考、交流、逻辑分析、抽象应用的方法进行启发式教学；
2.教师提供问题、素材，并及时点拨，发挥老师的主导作用和学生的主体作用；
3.设计较典型的具有挑战性的问题，激发学生去积极思考，从而培养他们的数学学习兴趣.
教学重点：1.构建基本不等式解决函数的值域、最值问题.
2.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
教学难点：1.让学生探究用基本不等式解决实际问题；
2.基本不等式应用时等号成立条件的考查；
教师活动
学生活动 设计意图 （一）导入新课
（二）推进新课
已知ab b a ≥+2，若ab 为常数k ，那么a +b 的值如何变化？
若a ＋b 为常数s ，那么ab 的值如何变化？ 老师用投影仪给出本节课的第一组问题
(１)求函数y ＝2x 2＋x 3
（x ＞0）的最小值. (２)求函数y ＝x 2＋41x （x ＞0）的最小值.
(３)求函数y ＝3x 2－2x 3（0＜x ＜23
）的最大值. (４)求函数y ＝x （1－x 2）（0＜x ＜1）的最大值. (５)设a ＞0，b ＞0，且a 2＋2
2b ＝1，求21b a +的最大值.
（三）合作探究 我们来考虑运用正数的算术平均数与几何平均数之间
当且仅当a ＝b 时，a ＋b 就有最小值为2k. 当且仅当a ＝b 时，ab 就有最大值s 2
1
（或ab 有最大值241s ）. 学生完成 留五分钟的时间让学生思考，合作交流 （根据学生完成的典型情况，找五位学生到黑板板演，然后老师根据 复习巩固
训练配凑
法
和积互化
和定积最
大，积定
和最小。
的关系来解答这些问题.根据函数最值的含义，我们不难发现若平均值不等式的某一端为常数，则当等号能够取到时，这个常数即为另一端的一个最值.
（四）例题精析
【例】某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4 800 m3，深为 3 m.如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？学生到黑板板演的
完成情况再一次作
点评）
学生思考、回答，
分析：水池呈长方
体形，池底长、宽
没有确定.
设池底长、宽分别
为x m、y m.水池
总造价为z元.
根据题意有
z=150×
3
4800
+120(
2×３x+2×3y)
=240000+720(x+y)
如何从实
际问题中
抽象出数
学问题
（五）达标检测——反馈矫正及时总结
1.用篱笆围一个面积为100 m2的矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
2.一段长为36 m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多巩固
提高
举一反三
少？
(六)、小结:基本不等式不但可以用于本函数的值域、最
值，更重要的是可以解决与最值有关的实际问题.
(七)、作业布置：课本第114页，习题3.4,Ａ组第2、
４题.
七、教学评价设计
本节课的教学，较好的完成了三个教学目标。课堂教学始终以学生为中心，值得注意的是用均值不等式求函数的最值，是值得重视的一种方法，但在具体求解时，应注意考察下列三个条件：(1)函数的解析式中，各项均为正数；(２)函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值；(３)函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值，即用均值不等式求某些函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等.若不满足这些条件，则不能直接运用这种方法
八、板书设计
基本不等式
2b
a a
b +
≤的应用（二）
复习引入课堂练习方法归纳
基本不等式例
2b
a a
b +
≤方法引导小结
实例剖析（知识方法应用）
九．教学反思
在本节课的教学过程中，仍应强调不等式的现实背景和实际应用，真正地把不等式作为刻画现实世界中不等关系的工具.通过实际问题的分析解决，让学生去体会基本不等式所具有的广泛的实用价值，同时，也让学生去感受数学的应用价值，从而激发学生去热爱数学、研究数学.而不是觉得数学只是一门枯燥无味的推理学科.在解决实际问题的过程中，既要求学生能用数学的眼光、观点去看待现实生活中的许多问题，又会涉及与函数、方程、三角等许多数学本身的知识与方法的处理.从这个角度来说，本节课的研究是起到了对学生以前所学知识与方法的复习、应用，进而构建他们更完善的知识网络.数学建模能力的培养与锻炼是数学教学的一项长期而艰苦的任务，这一点，在本节课是真正得到了体现和落实.
新版人教初二不等式教案
不等式及其解集 [教学目标] 1、了解不等式和一元一次不等式的概念； 2、理解不等式的解和解集，能正确表示不等式的解集。 [重点难点] 不等式、一元一次不等式、不等式的解、解集的概念是重点；不等式解集的 理解与表示是难点 一、课前预习： （1）如图，小明与小聪玩跷跷板，大家都不用力时，跷跷板左低右高。小明的身体质量 为 p(kg),小聪的身体质量为q(kg)，书包的质量为2kg ，怎样表示p 、q 之间的关系? （2）如图，天平左盘放三个乒乓球，右盘放5g 砝码，天平倾斜。设每个乒乓球的质量为 x （g ），则根据图形可列出怎样的关系式？ （3）公路上常有这样的标志：限速100km/h ，速度记作a ，则可以写出不等式是 （4）（x+1）0=1，x 必须满足的条件是 二、不等式的概念 1、不等式 “>”、“<”、 “ ≠”叫做不等号，不等号也可以写成“≤”、“≥” 的 形式。 总之，用不等号连接起来的式子叫做不等式。 2、一元一次不等式 类似于一元一次方程，含有一个未知数，并且未知数的次数是1的不等式，叫做一元 一次不等式。 注意：分母含有未知数的不等式不是一元一次不等式，这一点与一元一次方程类似。 三、典型例题 1、用不等式表示： （1）x 的一半小于－1 ； （2）y 与4的和大于0.5； （3）a 是负数； （4）b 是非负数； 模仿练习：用不等式表示 （1）a 是正数； （2）a 是非负数； （3）a 与6的和小于5； （4）x 与2的差大于－1； （5）x 的4倍不大于7； （6）y 的一半不小于3. （7）x 2与1的和是非负数 （8）3与x 的差的一半是非正数 2、一辆48座的旅游车载有游客x 人，到一个站上又上来2个人，车上仍有空位，有数学 式子表示上述数量关系 3、某一天的最低气温是-2℃，最高气温 是6℃，该市这一天某一时刻的气温t ℃。
一元一次不等式的应用教案
华东师大版七年级下册第八章 “8.2.3一元一次不等式的应用”第一课时 教学感想： 实际问题与一元一次不等式是初中学数学中的一个难点，那么如何能突破这个难点，顺利完成这节课的教学任务呢？老师们在一起探讨后，都认为不好教学。于是今天把我的教学课堂实例和大家一起来分享探讨。 教学目标： （1）知识与技能： 列一元一次不等式解决具有不等关系的实际问题。 （2）过程与方法： 经历由实际问题转化为数学问题的过程，掌握利用一元一次不等式解决问题的基本过程。 （3）情感态度与价值观： 通过运用一元一次不等式解决实际问题，进一步强化运用数学的意识，从而使学生乐于接触社会环境中的数学信息，愿意谈论某些数学话题，能够在数学活动中发挥积极作用。 教学重点： 由实际问题中的不等关系列出不等式． 教学难点： 列一元一次不等式描述实际问题中的不等关系。 教学方法： 以探究式教学为主，以活动教学、启发式教学等教学方法为辅。 教学过程 （一）创设情境，激发情意 1、简阳市中小学生篮球比赛将于5月28号在简阳市举行，下面老师带来了一组云龙学区篮球运动选拔赛的图片。 2、涌泉初中女子篮球队代表云龙学区租车去参赛，从涌泉初中到简阳市路程是50千米，他们打算2小时到达，请你他们算一算，司机的车速至少是多少？ （设计理念：兴趣是最好的老师。情境的创设针对学生的年龄特点，利用篮球运动会这一具特定情境的设置，不仅充分激起了学生的关注和兴趣，还顺其自然引出了蕴含的数学信息，真正起到了“敲门砖”的作用） （二）师生互动，探究新知
1、大胆尝试，上面问题中不超过2小时，则速度应满足什么？ 50/x≤2 50/2≤x 2x≥50 及时分析三种方法，并表扬学生 （设计理念：复习不等式的几种情况，为下面学习新知打下基础） 2、学生参赛完后要回来时，老师想给家人买点礼物。比赛场地有甲、乙两家超市正在搞活动，请帮老师选择。 甲商场的优惠措施是：累计购买100元商品后，再买的商品按原价的90％收费； 乙商场的优惠措施是：累计购买50元商品后，再买的商品按原价的95％收费． 问题1：从这个活动中，你能发现什么信息？ 问题2：如果老师打算购买40元的一件礼物，去哪家超市好呢？80元呢？大于100元呢？（设计理念：通过购物这个学生非常熟悉的生活实例，引起学生浓厚的学习兴趣，感受到数学来源于生活，生活中更需要数学.） （这里学生有可能得出两种结果，那就让学生探究到底哪家商店便宜；如果学生们只有一种答案，那么教师可举例说120元呢？180元呢？让学生知道两种结果都有，那么怎么界定这两种结果呢？进入探究） ①分组活动． 先独立思考，理解题意．再组内交流，发表自己的观点．最后小组汇报，派代表论述理由． ②在学生充分发表意见的基础上，师生共同归纳出以下三种采购方案： (1)什么情况下，到甲商场购买更优惠？ (2)什么情况下，到乙商场购买更优惠？ (3)什么情况下，两个商场收费相同？ （设计理念：鼓励学生大胆猜想，对研究的问题发表见解，进行探索、合作与交流，涌现出多样化的解题思路．教师及时予以引导、归纳和总结，让学生感知不等式的建模.） ③我们先来考虑方案： 设累计购物x（x>100）元时，如果到甲商场购买更优惠． 问题1：如何列不等式？ 问题2：如何解这个不等式？ 在学生充分讨论的基础上，小组派代表板书，并解释这样列不等式的根据是什么？其他同学帮忙补充，最后老师进行点评。 （设计理念：完整的解题过程的展现，有利于培养学生有条理地思考和表达的习惯） ④让学生自己完成方案(2)与方案(3)，并汇报完成情况． （设计理念：这是上面问题的重现，让学生独立完成，不仅可以培养学生自己解决问题的能力，还可以巩固上面所学的内容，可以说一举两得） ⑤最后师生共同总结分析： （1）如果累计购物不超过50元，则在两家商场购物花费是一样的； （2）如果累计购物超过50元但不超过100元，则在乙商场购物花费小． （3）如果累计购物超过100元，又有三种情况： A、什么情况下，在甲商场购物花费小？ B、什么情况下，在乙商场购物花费小？ C、什么情况下，在两家商场购物花费相同？ （设计理念：过程的重现就是解题过程的重现，可以帮助学生更好的理清思路，培养学生开放型思维的能力） 3、总结一元一次不等式的解法和解决实际问题的步骤 去分母---去括号---移项---合并同类项---系数化为1
《基本不等式》教案
《基本不等式》教案 教学三维目标： 1、知识与能力目标：掌握基本不等式及会应用基本不等式求最值. 2、过程与方法目标：体会基本不等式应用的条件：一正二定三相等；体会应用基本不等式求最值问题解题策略的构建过程；体会习题的改编过程. 3、情感态度与价值观目标：通过解题后的反思，逐步培养学生养成解题反思的习惯；通过变式练习，逐步培养学生的探索研究精神. 教学重点、难点： 重点：基本不等式在解决最值问题中的应用. 难点：利用基本不等式失效（等号取不到）的情况下采用函数的单调性求解最值. 学情分析与学法指导： 基本不等式是求最值问题中的一种很重要的方法，但学生在运用过程中“一正、二定、三相等”的应用条件一方面容易被忽视，另一方面某些问题看似不符合前面的三个条件，但经过适当的变形又可以转化成运用基本不等式的类型学生解决起来有一定的困难。在本节高三复习课中，结合学生的实际编制了教学案，力求在学生的“最近发展区”设计问题，逐步启发、引导学生课前自主预习、小组合作学习. 教学过程： 一、基础梳理 基本不等式：如果a,b 是正数，那么2a b + （当且仅当a b 时取""=号 ） 代数背景：如果22a b + 2ab （,,a b R ∈当且仅当a b 时取""=号 ）（用代换思 想得到基本不等式） 几何背景：半径不小于半弦。 常见变形： （1）ab 22 2a b + （2）222a b + 2 2a b +?? ??? （3）b a a b + 2（a ，b 同号且不为0） 3、算术平均数与几何平均数
如果a 、b 是正数，我们称 为a 、b 的算术平均数，称 的a 、b 几何平均数. 4、利用基本不等式求最值问题（建构策略） 问题： （1）把4写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ （2）把4写成两个正数的和，当这两个正数取什么值时，它们的积最大？ 请根据问题归纳出基本不等式求解最值问题的两种模式： 已知x ，y 都大于0则 （1）“积定和最小”：如果积xy 是定值P ,那么当 时，和x +y 有最小值 ； （2）“和定积最大”：如果和x +y 是定值S ,那么当 时，积xy 有最大值 . 二、课前热身 1、已知,(0,1)a b a b ∈≠且，下列各式最大的是（ ） A. 22a b + B. C. 2ab D. a b + 2、已知,,a b c 是实数，求证222a b c ab bc ac ++≥++ 3、.1,0)1(的最小值求若x x x +> .)1(,10)2(的最大值求若x x x -<< 4、大家来挑错 （1）2121=?≥+ x x x x 21的最小值是x x +∴ （2）2121,2=?≥+ ≥x x x x x 则 21,2的最小值是时x x x +≥∴ 5、的最小值求若31,3-+ >a a a 三、课堂探究 1、答疑解惑 方法：小组提交预习中存在的疑问，由其他组学生或教师有针对性地答疑。 2、典例分析 例1、设02,x <<求函数y =. 例2、41,3lg lg x y x x >=++ 设求函数的最值. 变式1：将条件改为01x << 变式2：去掉条件1x > 变式3：将条件改为1000≥x 例3、若正数,3,a b ab a b ab =++满足则的取值范围是 . 变式：求a b +的取值范围.
高中数学基本不等式及其应用教案设计
实用标准 文档大全基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0} ．． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 实用标准 文档大全二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥∴a2＋b2≥2ab ．． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)．
学习资料不等式及其解集教学设计.doc
《9.1.1不等式及其解集》教学设计 课程名称《 9.1.1不等式及其解集》 授课人教学对象七年级科目数学课时安排1课时 一、教材分析 1教材的地位和作用 本章是新人教版七年级下册第九章的教学内容，此部分内容是在学生继一元一次方程和二元一次方程组的学习之后，又一次数学建模思想的教学，是进一步探究现实生活中的数量关系、培养学生分析问题和解决问题能力的重要内容，也是今后学习一元二次方程、函数、以及进一步学习不等式知识的基础。通过实际问题中一元一次不等式的应用，进一步增强学生学数学、用数学的意识，体会学数学的价值和意义；相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式表示不等的关系，是代数基础知识的一个重要组成部份，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用 1.2本节课的教材内容 本节课的内容主要介绍不等式及不等式的解的概念及解集的表示方法，是研究不等式的导入课，通过实例引入，使学生充分认识到学习不等式的重要性和必然性，激发他们的求知欲望；经历、感受概念形成的过程，使学生正确抓住不等式的本质特征，为进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用. 1.3 学情分析 (1) 学生对实际生活中的不等量关系、数量大小的比较等知识，在小学阶段已有所了解。 (2) 学生已初步具备了“从实际问题中抽象出数学模型，并回到实际问题解释和检验”的数学建模能。 (3) 学生已初步具备探究和比较的能力 二、教学目标及难重点（知识与技能，方法和过程，情感态度与价值观） 教学目标： 2.1知识与技能：了解不等式概念，并理解不等式的解、解集，能够正确表示不等式的解集；经历把实际问题抽象为不等式的过程，能够列出不等关系式。使学生进一步理解归纳和类比的数学方法，以及从具体到抽象获取知识的思维方式；初步体会不等式是刻画现实世界中不等关系的一种有效数学模型。 2.2数学思考：感受生活中的数学问题，发展学生的观察、归纳、猜测、验证能力，领悟数学与现实世界的必然联系。 2.3解决问题：通过经历不等式的得出过程，积累数学活动经验。通过分组活动探索不等式的解与解集，体会在解决问题过程中与他人合作的重要性。 2.4情感态度与价值观：认识通过观察、实验、类比可以获得数学结论,体验数学活动充满着探索性和创造性。在独立思考的基础上,积极参与对数学问题的讨论,敢于发表自己的观点，学会分享别人的想法和结果,并重新审视自己的想法,能从交流中获益。 教学重点：不等式相关概念的理解和不等式的解集的表示。 教学难点：正确理解不等式解集的意义。 三．教学策略选择与设计 教法：根据本节课教学内容和七年级学生的年龄、心理特点及目标教学的要求，本节课采用引导探究法；让学生以观察实例为基础，用归纳的方法形成概念，把教学过程转化为学生观察、发现、探究的过程，再现知识的“发生”和“发现”及“形成”的过程，揭示事物发展从“特殊”到“一般”再到“特殊”的辩证规律；既提高了学生的学习兴趣，增强了信心，
不等式的实际应用教案
不等式的实际应用教案-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
3.4 不等式的实际应用 1．解有关不等式的应用题，首先要选用合适的字母表示题中的未知数，再由题中给出的不等量关系，列出关于未知数的不等式(组)，然后解列出的不等式(组)，最后结合问题的实际意义写出答案． 2．在实际应用问题中，若应用均值不等式求最值同样必须确保“一正、二定、三相等”的原则．“一正”即必须满足“各项为正数”；“二定”即求和的最小值必须拼凑成其积为“定值”，求积的最大值必须使其和为“定值”；“三相等 ”就是必须验证等号是否成立． 3．对于形如y ＝x ＋k x (k >0)的函数，如果利用均值不等式求最值，等号条件不存在，那么这时就可以考虑利用函数的单调性进行求解． (1)当x >0时，f (x )＝x ＋k x ≥2k (k >0)，当x ＝k 时取“＝”．另外， 我们还可以证明f (x )在区间(0，k ]上为减函数，在区间[k ，＋∞)上为增函数，据此单调性来求函数的值域． (2)当x <0时，∵f (x )＝x ＋k x (k >0)(x ≠0)为奇函数． ∴f (x )在(－∞，－k ]上为增函数，在[－k ，0)上为减函数． 一、构建一元二次不等式模型解决 实际问题 方法链接：二次函数、一元二次不等式在实际生活中有着广泛的应用，构建一元二次不等式模型时应注意自变量的实际含义． 例1 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x (辆)与创造的价值y (元)之间有如下的关系：y ＝－2x 2＋220x .若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收 6 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车
基本不等式教学设计与反思
“基本不等式”教学设计与教学反思 一、教材背景分析 1.教材的地位和作用 本节内容是在系统的复习了不等关系和不等式性质，掌握了不等式性质的基础上展开的。教材通过赵爽弦图回顾基本不等式，在代数证明的基础上，通过“探究”引导学生回顾基本不等式的几何意义，并给出在解决函数最值和实际问题中应用，在知识体系中起着承上启下的作用；从知识的应用价值上看，基本不等式是从大量数学问题和现实问题中抽象出来的一个模型，在公式推导中所蕴涵的数学思想方法（如数形结合、抽象归纳、演绎推理、分析法证明等）在各种不等式的研究中均有着广泛的应用；从内容的人文价值上看，基本不等式的探究、推导和应用需要学生观察、分析、猜想、归纳和概括等，有助于培养学生思维能力和探索精神，是培养学生数形结合意识和提高数学能力的良好载体. 本节是复习课，不仅应让学生进一步理解概念，还要掌握应用基本不等式求最值，体会基本不等式在实际生活中的指导作用。 2.学情分析 在认知上，学生已经掌握了不等式的基本性质，并能够根据不等式的性质进行数、式的大小比较，也具备了一定的平面几何的基本知识. 如何让学生再认识“基本”二字，是本节学习的前提. 事实上，该不等式反映了实数的两种基本运算（即加法和乘法）所引出的大小变化，这一本质不仅反映在其代数结构上，而且也有几何意义，由此而生发出的问题在训练学生的代数推理能力和几何直观能力上都发挥了良好的作用. 因此，必须从基本不等式的代数结构和几何意义两方面入手，才能让学生深刻理解它的本质. 另外，在用基本不等式解决最值时，学生往往容易忽视基本不等式使用的前提条件和等号成立的条件，因此，在教学过程中，应借助辨误的方式让学生充分领会基本不等式成立的三个限制条件（一正二定三相等）在解决最值问题中的作用. 3、教学重难点： 教学重点：用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度回顾和探索基本不等式的证明过程；用基本不等式解决一些简单的最值问题. 教学难点：回顾在几何背景下抽象出基本不等式的过程；基本不等式中等号成立的条件；应用基本不等式解决实际问题. 二、教学目标 1、利用“赵爽弦图”回顾重要不等式、基本不等式，再利用教材中的“探究”回顾基本不等式的几何意义，通过基本不等式的回顾，进一步让学生体会和感悟形数统一的思想方法；
基本不等式及其应用-沪教版必修1教案
基本不等式是每年的高考热点，主要考察命题的判定，不等式的证明以及求 最值问题。特别是求最值问题往往在基本不等式的使用条件上设置一些问题。 考 察学生恒等变形的能力，运用基本不等式的和与积转化作用的能力。 教学目标 1. 知识与技能 理解基本不等式，了解变式结构；理解基本不等式的“和”、“积”放缩作用。 会运用基本不等式解决相关的问题。 2. 过程与方法 通过师生互动、学生主动的探究过程，让学生体会研究数学问题的基本思想 方法，学会学习，学会探究。 3. 情感态度与价值观 鼓励学生大胆探索，增强学生的信心，获得探索问题的成功情感体验。逐步 养成学生严谨的科学态度及良好的思维习惯。 重点：运用基本不等式求最值 难点：恰当变形转化，构建出满足运用基本不等式的条件 教学过程： 一、 要点梳理 1、基本不等式 若a 、b € R,则a 2+b 2> 2ab,当且仅当a=b 时取“=” b 2（a 、b 同号） a 3、求最大值、最小值问题 (1) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且xy=p(定值)，那么当x=y 时，x+y 有 _______________ (2) __________________________________________________________ 如果x 、y € (0,+ g ),且x+y=s(定值)，那么当x=y 时，xy 有 _______________ 例题精讲 例1、若正数a 、b 满足ab=a+b+3，求ab 的取值范围, 1 9 例2、已知x>0、y>0,且一 一 1，求x+y 的最小值 x y 2、 若 a 、b € R',则 常用变形形式： 宁,ab ，当且仅当a=b 时取 ■- ab 2 b 2 ——b a 0,b 0 ④ 2 b 2 2ab ab 2 a 2 b 2 2 概括为:
9.1.1 不等式及其解集教案
9.1.1 不等式及其解集教案1 【教学目标】： 1、了解不等式概念；理解不等式的解集。 2、能用数轴表示不等式的解集。 【教学重点】： 正确理解不等式及不等式解与解集的意义，把不等式的解集正确地表示到数轴上。 【教学难点】： 正确理解不等式解集的意义. 【教学过程】： 一、情境导入，初步认识 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11:20距离A地50km，要在12:00之前驶过A地，车速满足什么条件？ 解：设车速是x千米/时，本题可从两个方面来表示这个关系： （1）汽车行驶50千米的时间＜_______. （2）汽车2/3小时（即40分钟）走过的路程______50.从而得到两个表示大小关系的式子： ①_______________，②_______________. 不等式的定义是：___________________. 问题2 在2 50 3 x＞中，当x＝76，x=75，x＝72，x＝70时，不等式是否成立？76，75，72，70哪些是 不等式的解，哪些不是?不等式2 50 3 x＞的解有多少？它的所有解组成解的集合，怎样表示它的解集？ 【教学说明】 同学们可以分组讨论，然后交流成果.最后解决问题，形成新知.对问题2教师要时时点拨，要参与学生之间去讨论，在用数轴表示x＞75时，要使用空心圆圈，务必要强调这一点. 二、思考探究，获取新知 思考1 什么叫不等式？什么叫不等式的解、解集？什么叫解不等式？什么叫一元一次不等式？ 思考2 怎样在数轴上表示不等式的解集？ 【归纳结论】 1.定义：用“＜”或“＞”或“≠”表示大小关系的式子，叫做不等式. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集. 解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式. 一元一次不等式：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式.
不等式教学设计
9.1 不等式 教材分析：本课由实际问题中的不等关系引出不等式的概念；类比方程的解，明确不等式解和解集的概念，以及不等式解集的两种表示方法。 教学目标：了解不等式概念，理解不等式的解和解集。 教学重难点：不等式及解集概念的理解。 教学过程： 一：引出新知。 现实世界中存在大量的数量关系，包括相等关系和不等关系。用等式（包括方程），我们可以研究相等关系，而研究不等关系需要用本章的不等式，如引言中选择购物商场问题. 二：探索新知。 问题1 一辆匀速行驶的汽车在11：20距离A地50 km，要在12：00之前驶过A地.你能用式子表示出车速应满足的条件吗？ 1、汽车在12:00之前驶过A地的意思是什么？ 从时间上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶50 km所用的时间不到。 从路程上看，汽车要在12：00之前驶过A地，则以这个速度行驶的路程要超过50 km。 2、如何用式子表示以上不等关系？ 设：车速为x km/h． 从时间上看：
从路程上看： （1）对于不等式而言，车速可以是80 km/h吗？78 km/h呢？ 75 km/h呢？72 km/h呢？ （2）类比方程的解，什么叫不等式的解？ 使不等式成立的未知数的值. （3）不等式还有其他解吗？如果有，这些解应满足什么条件？ 一般地，一个含有未知数的不等式的所有的解，组成这个不等式的解集．求不等式的解集的过程叫做解不等式． （4）除了用不等式表示取值范围，还有其他表示方法吗？ 数轴 三、运用新知。 例1 请用不等式表示： （1）是负数； （2）与5的和小于-7； （3）的一半大于3. 例2 直接说出不等式的解集，并在数轴上表 示出来. 四、归纳总结 （1）什么叫不等式？ （2）什么叫不等式的解？不等式的解和方程的解的区别？（3）什么叫不等式的解集？不等式的解和不等式的解集的区别？
【新教材】 新人教A版必修一 基本不等式 教案
基本不等式 1．了解基本不等式的证明过程，理解基本不等式及等号成立的条件． 2．会用基本不等式证明简单的不等式及解决简单的最大（小)值问题． 知识梳理 1．基本不等式错误!≥错误! （1）基本不等式成立的条件：a〉0,b〉0 . (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时不等式取等号． 2．几个重要不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)； (2）错误!＋错误!≥ 2 （a,b同号）； (3）ab≤（错误!）2(a,b∈R）； （4)错误!≥（错误!）2。 3．基本不等式求最值 （1）两个正数的和为定值，当且仅当它们相等时，其积最大． （2）两个正数的积为定值，当且仅当它们相等时，其和最小． 利用这两个结论可以求某些函数的最值,求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的条件． 热身练习 1．若a，b∈R，且ab〉0,则下列不等式中,恒成立的是(D） A．a2＋b2>2ab B．a＋b≥2错误! C。错误!＋错误!〉错误! D。错误!＋错误!≥2 A、C中，a＝b时不成立，B中，当a与b均为负数时不成立，而对于D,利用基本不等式x＋y≥2错误!(x>0，y〉0）成立，故选D. 2．已知a,b为正数，则下列不等式中不成立的是(D) A．ab≤错误! B．ab≤（错误!）2 C。错误!≥错误! D。错误!≥错误! 易知A,B成立，
对于C ，因为a 2＋b 2≥2ab ,所以2（a 2＋b 2)≥(a ＋b )2, 所以错误!≥(错误!）2，所以错误!≥错误!，故C 成立． 对于D,取a ＝4，b ＝1，代入可知，不等式不成立，故D 不成立． 由以上分析可知，应选D. 3．周长为60的矩形面积的最大值为（A) A ．225 B ．450 C ．500 D ．900 设矩形的长为x ,宽为y ， 则2（x ＋y )＝60，所以x ＋y ＝30, 所以S ＝xy ≤(x ＋y 2)2 ＝225，即S max ＝225. 当且仅当x ＝y ＝15时取“＝",故选A 。 4．设函数f (x )＝2x ＋错误!－1（x <0)，则f (x ）（A) A ．有最大值 B ．有最小值 C ．是增函数 D ．是减函数 f (x ）＝－[(－2x ）＋（－错误!）］－1≤－2错误!－1， 当且仅当x ＝－错误!时，等号成立， 所以函数f （x )有最大值，所以选A 。 5．（2017·山东卷)若直线x a ＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点（1，2）,则2a ＋b 的最小值为 8 。 因为直线错误!＋错误!＝1(a >0，b 〉0)过点(1,2）， 所以1a ＋错误!＝1， 所以2a ＋b ＝（2a ＋b ）(错误!＋错误!)＝4＋错误!＋错误!≥4＋2错误!＝8， 当且仅当b a ＝4a b ，即a ＝2,b ＝4时,等号成立． 故2a ＋b 的最小值为8. 利用基本不等式判断大小关系 下列不等式一定成立的是
初一下册一元一次不等式应用题()讲课教案
一元一次不等式（组） 一、知识导航图 一元一次不等式(组)的应用 一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念 不等式的性质 一元一次不等式和一元一次不等式组 二、课标要求 三、知识梳理 1.判断不等式是否成立 判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时, 要认真观察不等式的形式与不等号方向. 2.解一元一次不等式(组) 解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质,不等式组解集的确定方法:若a (4)00a b ? 的解集是空集,即“大大小小取不了”. 一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。 3.求不等式(组)的特殊解 不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集, 然后再找到相应的答案.注意应用数形结合思想. 4.列不等式(组)解应用题 注意分析题目中的不等量关系,考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题. 四、题型例析 1．判断不等式是否成立例1 2．在数轴上表示不等式的解集例2 3．求字母的取值范围例3 4．解不等式组例4 5．列不等式(组)解应用题例5 一元一次不等式(组) 【课前热身】 【知识点链接】 1．不等式的有关概念：用 连接起来的式子叫不等式；使不等式成立的 的值叫做不等式的解；一个含有 的不等式的解的 叫做不等式的解集.求一个不等式的 的过程或证明不等式无解的过程叫做解不等式. 2．不等式的基本性质： （1）若a ＜b ，则a +c c b +； （2）若a ＞b ，c ＞0则ac bc （或 c a c b ）； （3）若a ＞b ，c ＜0则ac bc （或c a c b ）. 3．一元一次不等式：只含有 未知数，且未知数的次数是 且系数 的不等式，称为一元一次不等式；一元一次不等式的一般形式为 或ax b <；解一元一次不等式的一般步骤：去分母、 、移项、 、系数化为1. 4．一元一次不等式组：几个 合在一起就组成一个一元一次不等式组. 一般地，几个不等式的解集的 ，叫做由它们组成的不等式组的解集. 5．由两个一元一次不等式组成的不等式组的解集有四种情况：（已知a b <） x a x b ??>? 的解集是x b >，即“大大取大”； x a x b >?? 课题: 9.2.1一元一次不等式 课型:新授课主备人:徐宝永审核人: 段海涛二次审核人:七年级数学组 补偿应用补偿提高 ②不大于 3 1 2- x 的值; 小结:⑴什么叫一元一次不等式？解一元一次不等式的一般步骤是：①________ （根据不等式的基本性质2或3）；②________（根据等式的运算法则）；③_________ （根据不等式的基本性质1）；?④_____________（根据整式的运算法则）；⑤ _________（根据不等式的基本性质2或3）．⑵解一元一次不等式的注意点:①移 项要变号(同方程解法) ②当不等式两边都乘以或除以一个负数时,不等号方向改 变. 三补偿应用 1. 下列选项中，是不等式的是_____,是一元一次不等式的是____ (1) 3>2 (2) 3 2 50 < x (3)3x2+2x(4)x<3x+1 (5)x=2x+5 (6)a+b≠c (7)x-2<2x-1 (8)a-1 ≤3 (9)x2+4x<3x+1 2．在解不等式 221 35 x x +- >的下列过程中，错误的一步是（） A．去分母得5（2+x）>3（2x-1） B．去括号得10+5x>6x-3 C．移项得5x-6x>-3-10 D．系数化为1得x>13 3.（2011.重庆）解不等式2x-3< 3 1 + x ，并把解集在数轴上表示出来 4．（2012?嘉兴）解不等式2（x-1）-3＜1并把解集在数轴上表示出来 ． 四补偿提高 1、解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： ()()5 2 5 2 3 3+ > -x x()()3 2 2 14- < - - -x x； 2 2 5 3 1 - - > + x x 2.解不等式 532 1 23 x x ++ -<，小兵的解答过程是这样的． 解：去分母，得x+5-1<3x+2 ① 移项得x-3x<2-5+1 ② 合并同类项，得-2x<-2 ③ 在教学中， 仍要让学 生注意每 一步骤变 形的依据， 从而灵活 运用。 基本不等式及其应用教案 教学目的 (1)使学生掌握基本不等式a2＋b2≥2ab(a、b∈R，当且仅当a=b时取“=”号)和a3＋b3＋c3≥3abc(a、b、c∈R+，当且仅当a=b=c时取“=”号)及其推论，并能应用它们证明一些不等式． (2)通过对定理及其推论的证明与应用，培养学生运用综合法进行推理的能力． 教学过程 一、引入新课 师：上节课我们学过证明不等式的哪一种方法？它的理论依据是什么？ 生：求差比较法，即 师：由于不等式复杂多样，仅有比较法是不够的．我们还需要学习一些有关不等式的定理及证明不等式的方法． 如果a、b∈R，那么(a－b)2属于什么数集？为什么？ 生：当a≠b时，(a－b)2＞0，当a=b时，(a－b)2=0，所以(a－b)2≥0．即(a－b)2∈ R+∪{0}． 师：下面我们根据(a－b)2∈R+∪{0}这一性质，来推导一些重要的不等式，同时学习一些证明不等式的方法． 二、推导公式 1．奠基 师：如果a、b∈R，那么有 (a－b)2≥0． ① 把①左边展开，得 a2－2ab＋b2≥0， ∴a2＋b2≥2ab． ② ②式表明两个实数的平方和不小于它们的积的2倍．这就是课本中介绍的定理1，它是一个很重要的绝对不等式，对任何两实数a、b都成立．由于取“=”号这种特殊情况，在以后有广泛的应用，因此通常要指出“=”号成立的充要条件．②式中取等号的充要条件是什么呢？ 师：充要条件通常用“当且仅当”来表达．“当”表示条件是充分的，“仅当”表示条件是必要的．所以②式可表述为：如果a、b∈R，那么a2＋b2≥2ab(当且仅当a=b时取“=”号)． 以公式①为基础，运用不等式的性质推导公式②，这种由已知推出未知(或要求证的不等式)的证明方法通常叫做综合法．以公式②为基础，用综合法可以推出更多的不等式．现在让我们共同来探索． 2．探索 师：公式②反映了两个实数平方和的性质，下面我们研究两个以上的实数的平方和，探索可能得到的结果．先考查三个实数．设a、b、c∈R，依次对其中的两个运用公式②，有 a2＋b2≥2ab； b2＋c2≥2bc； 初中数学《不等式的解集》教案 第一章一元一次不等式和一元一次不等式组 3．不等式的解集 一、学生知识状况分析 学生在初一时已经学过数轴，对数轴有一定的了解,掌握了数轴的画法，知道实数与数轴上的点成一一对应关系，并且建立了一定的数形结合思想.以前学生所学的方程的解具有唯一性,而不等式的解的个数有无数个,这对学生来说是全新的开始;在前一课时，学习了不等式的基本性质，学生可利用性质解一些简单的不等式,为本节内容打下了基础。但对不等式解集的含义及表示方法还全然不知,因而在教学中要作更进一步的探索和学习. 二、教学任务分析 1、教材分析： 通过前面的学习, 学生已初步体会到生活中量与量之间的关系,不仅有相等而且有大小之分,为了弄清这种大小关系,教材在此创设了丰富的实际问题情境,引出不等式的解的问题，进一步探索出不等式的解集，同时还要求在数轴上把不等式的解集表示出来,从而渗透了“数----形”结合的思想,发展了学生符号表达的能力以及分析问题、解决问题的能力。教材中设置的“议一议”意在引导学生回忆实数与数轴上的点的对应关系,认识数轴上的点是有序的,实数是可以比较大小的,体现了新教材循序渐进,螺旋上升的特点. 2、教学目标： （1）知识与技能目标： ①能够根据具体情境中的大小关系了解不等式的意义 ②能够在数轴上表示不等式的解集 （2）过程与方法目标: ①培养学生从现实情况中探索、发现并提出简单的数学问题的能力。 ②经历求不等式的解集的过程，并试着把不等式的解集在数轴上表示出来，发展学生的创新意识。 （3）情感态度与价值观目标： 从实际问题中抽象出数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索与创造。 3、教学重点： （1）理解不等式中的相关概念 （2）探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 4、教学难点： 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来 三、教学过程分析 本节课设计了七个环节，第一环节复习旧知识；第二环节情境引入；第三环节课堂探究；第四环节例题讲解；第五环节随堂练习；第六环节课堂小结；第七环节布置作业。 第一环节：复习旧知识 活动内容：师：上节课，对照等式的性质类比地学习了不等式的基本性质，并且也探索出了它们的异同点，下面我们来回顾一下不等式的基本性质。（多媒体呈现） 七年级数学导学稿 一、课题一元一次不等式组的应用姓名：所属小组： 二、本课学习目标与任务：1、熟练掌握一元一次不等式组的解法，会用一元一次不等式组解决有关的实际问题； 2、理解一元一次不等式组应用题的一般解题步骤，逐步形成分析问题和解决问题的能力； 3、体验数学学习的乐趣，感受一元一次不等式组在解决实际问题中的价值。 三、复习旧知，铺垫新知1、写出下列不等式组的解集。 ?? ? ? ? > > 2 1 2 x x ?? ? ? ? > - < 3 1 2 x x ? ? ? - < - < 3 1 x x ? ? ? < > 5 2 x x 记忆口诀： 四、自学任务与方法指导：探究1： 3个小组计划在10天内生产500件产品（每天生产量相同），按原先的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原先多生产1件产品，就能提前完成任务.每个小组原先每天生产多少件产品？ 回答问题： （1）“不能完成任务”是什么意思？ 按原先的生产速度,10天的产品数量＿ 500 （2）“提前完成任务”是什么意思？ 提高生产速度后,10天的产品数量____500 (3)根据以上不等关系，设未知数列不等式组并解不等式组： （4）根据实际意义确定问题的解，并回答问题： 2、解一元一次不等式组的应用题的步骤： （1）审题；（2）设未知数；（3）列不等式组；（4）解不等式组； （5）检验，确定实际问题的答案；（6）答 解一元一次不等式组的应用题的关键是找不等关系。（关键词有“不大于，至少，不超过”等） 3、你觉得列一元一次不等式组解应用题与列二元一次方程组解应用题的步骤一样吗？ 步法一致（设、列、解、答）；本质有区别．（见下表）一元一次不等式组应用题与二元一次方程组应用题解题步骤异同表 设列解（结果）答 一元一次不等式组 个 未知数 找关系一个范围 根据题意写 出答案 二元一次不等式组 个未 知数 找关系一组数 五、小组合作探究问题与拓展：1、有若干男学生参加夏令营活动，晚上在一宾馆住宿时，如果每间住4人，那么还有20人住不下;相同的房间，如果每间住8人，那么还有一间住不满也不空，请问:这群男学生有多少人？有多少间房供他们住？ 2、奖游戏规则：两小组比赛，各小组的小组长先确定一个糖果数量的数字（100以内）和小组的人数(10以内），然后与本小组成员讨论出一个要用到一元一次不等式组来解决的数学问题题目，并做出标准的解答，然后题目交给pk小组来解答，最快解答出对方小组的题目的小组就为胜方，胜方小组的每位成员就能从对方的糖果包中多得1颗的糖果奖励。 题目模板：把一些糖果分给某小组的成员，如果每人分（）颗，那么余（）颗；如果前面的每个人分（）颗，那么最后1人能分到糖但分不到（）颗糖果，问这些糖果有多少颗？这个小组有多少人？ 当堂检测题 某校七年级（1）班计划把全班同学分成若干组开展数学探究活动。如果每个组3个人，则还剩10，如果每个组5人，则有一个组的学生数最多只有1个人，求该班在数学探究活动中计划分的组数和该班的学生数。 《基本不等式》教学设计 一、教学内容解析： 1、本节内容选自《普通高中课程标准实验教科书》（人教A版教材）高中数学必修5第三章第4节基本不等式，是在学习了不等式的性质、一元二次不等式的解法、线性规划的基础上对不等式的进一步的研究，本节是教学的重点，学生学习的难点，内容具有条件约束性、变通灵活性、应用广泛性等的特点； 2、本节主要学习基本不等式的代数、几何背景及基本不等式的证明和应用，为选修4-5进一步学习基本不等式和证明不等式的基本方法打下基础，也是体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养的良好素材； 3、在学习了导数之后，可用导数解决函数的最值问题，但是，借助基本不等式解决某些特殊类型的最值问题简明易懂，仍有其独到之处； 4、在高中数学中，不等式的地位不仅特殊，而且重要，它与高中数学很多章节都有联系，尤其与函数、方程联系紧密，因此，不等式才自然而然地成为高考中经久不衰的热点、重点，有时也是难点． 二、学情分析： 1、学生已经掌握的不等式的性质和作差比较法证明不等式对本节课的学习有很大帮助； 2、学生逻辑推理能力有待提高，没有系统学习过证明不等式的基本方法，尤其对于分析法证明不等式的思路以前接触较少； 3、对于最值问题，学生习惯转化为一元函数，根据函数的图像和性质求解，对于根据已知不等式求最值接触较少，尤其会忽略取等号的条件。 三、教学目标： 1、知识与技能：会从不同角度探索基本不等式，会用基本不等式解决简单的最值问题； 2、过程与方法：经历基本不等式的推导过程，体会数形结合、分类讨论等数学思想，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养； 3、情感态度价值观：培养学生主动探索、勇于发现的科学精神，并在探究的过 《§9.1.1不等式及其解集》教案 一、教学内容 《义务教育课程标准实验教科书·数学》(人教版)七年级下册9.1.1不等式及其解集第121-123页本课为一课时 二、教学目标 【知识与技能】 1.能够从现实问题中抽象出不等式，理解不等式的意义，会根据给定条件列不等式. 2.正确理解“非负数”、“不小于”、“不大于”等数学术语. 3.理解不等式的解、解集和一元一次不等式的意义，能举出一个不等式的几个解并且会 检验一个数是否是某个不等式的解. 4.能用数轴表示不等式的解集. 【过程与方法】 经历由具体实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化的能力，体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性. 【情感、态度与价值观】 使学生能独立克服困难,运用知识解决问题，树立学好数学的自信心；在独立思考的基础上，积极参与讨论，在合作交流中有一定收获. 三、教学重点 理解不等式、不等式的解和解集,一元一次不等式的意义,能正确列出不等式. 四、教学难点 准确应用不等号,理解不等式的解和解集的意义. 五、教学准备 圆规、三角尺。 六、教学方法 教法： 为了突出教学重点，突破教学难点，遵循新课标要求，在教学过程中，我选用了以下的教学方法： （1）、采用小组合作方式，让学生经历动手实验——观察——思考——归纳——发现的学习 过程，培养学生的合作意识。 （2）、为了提高本节课的教学效率和教学效果，我采用分层教学分类指导法，使学生能够在 课堂上有实实在在的收获，让每个学生都能在就近发展区得到最大收获。 学法： “教法为学法导航，学法是教法的缩影”在本节课的学习过程中，我主要指导学生掌握以下的学习方法：一元一次不等式教案
(word完整版)高中数学基本不等式及其应用教案
初中数学《不等式的解集》教案
不等式组的实际应用
高中数学《基本不等式》优质课教学设计
不等式及其解集教学设计