上海市高中数学竞赛试题及答案
上海市高中数学竞赛试题及答案
一、填空题（本题满分60分,前4小题每小题7分,后4小题每小题8分） 1.如图,正六边形111111A B C D E F 的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形222222A B C D E F ,如此继续下去,则所有这些六边形的面积和是 .
2.已知正整数1210,,
,a a a 满足: 3
,1102
>≤<≤j
i a i j a ,则10a 的
最小可能值是 .
3.若17tan tan tan 6αβγ++=
,4
cot cot cot 5αβγ++=-,cot cot αβ 17
cot cot cot cot 5
βγγα++=-,则()tan αβγ++= .
4．已知关于x 的方程()()lg 2lg 1=+kx x 仅有一个实数解,则实数k 的取值范围是 . 5．如图,?AEF 是边长为x 的正方形ABCD 的内接三角形,已知
90∠=?AEF ,,,==>AE a EF b a b ,则=x .
6．方程1233213+?-+=m n n m 的非负整数解(),=m n . 7．一个口袋里有5个大小一样的小球,其中两个是红色的,两个是白色的,一个是黑色的,依次从中摸出5个小球,相邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字作答） 8．数列{}n a 定义如下：()1221211,2,,1,2,22
+++===-=++n n n n n
a a a a a n n n .若2011
22012
>+
m a ,则正整数m 的最小值为 .
二、解答题
E1
C D 1
A
9．（本题满分14分）如图,在平行四边形ABCD中,AB x
=,1
BC=,对角线AC与BD的夹角45
BOC
∠=?,记直线AB与CD的距离为()
h x．
求()
h x的表达式,并写出x的取值范围．
10．（本题满分14分）给定实数1
a>,求函数
(sin)(4sin)
()
1sin
a x x
f x
x
++
=
+
的最小值．
11．（本题满分16分）正实数,,
x y z满足94
xyz xy yz zx
+++=,求证：
（1）
4
3 xy yz zx
++≥；
（2）2
x y z
++≥．
O
D C
B
A
12．（本题满分16分）给定整数(3)n ≥,记()f n 为集合{}1,2,,21n -的满足如下两个条件
的子集A 的元素个数的最小值：
（a ） 1,21n A A ∈-∈；
（b ） A 中的元素（除1外）均为A 中的另两个（可以相同）元素的和． （1）求(3)f 的值； （2）求证：(100)108f ≤．
参考答案：
1、
4
2、92
3、11
4、(){},04-∞
52
6、()()3,0,2,2
7、
2
5
8、4025 9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
2222211
()(1)22OB OC AB BC x +=+=+． ①
…………………（2分）
在△OBC 中,由余弦定理
2222cos BC OB OC OB OC BOC =+-?∠,
所以 221OB OC OC +?=, ②
由①,②得 2
OB OC ?=． ③
…………………（5分）
所以 1
44sin 2
ABCD OBC S S OB OC BOC ?==??∠
OC =?21
2
x -=,
故 ()AB h x ?21
2
x -=,
所以 21
()2x h x x
-=． …………………（10分）
由③可得,210x ->,故1x >．
因为222OB OC OB OC +≥?,结合②,③可得
221(1)2
2x +≥
解得（结合1x >）
11x <≤．
综上所述,21
()2x h x x
-=
,11x <≤． …………………（14分）
10．解 (sin )(4sin )3(1)
()1sin 21sin 1sin a x x a f x x a x x
++-==++++++．
当7
13
a <≤
时
,02<≤,此时
3(1)
()1sin 221sin a f x x a a x
-=++++≥++,
且当(]()sin 11,1x =∈-时不等式等号成立,
故min ()2f x a =+． …………………（6分） 当73a >
时
2>,此时“耐克”函数3(1)a y t t
-=+
在(
0,内是递减,故此时 min 3(1)5(1)
()(1)2222
a a f x f a -+==+++=
． 综上所述
,min 72,1;3()5(1)7,.
2
3a a f x a a ?
+<≤??=?+?>?? …………………（14分）
11．证 （1
）记t =
由平均不等式
3
32
2
3xy yz zx xyz ++??=
≤ ???
．
…………………（4分） 于是 324993xyz xy yz zx t t =+++≤+, 所以 ()()2323320t t t -++≥, 而23320t t ++>,所以320t -≥,即2
3
t ≥
,从而 4
3
xy yz zx ++≥
． …………………（10分） （2）又因为
2()3()x y z xy yz zx ++≥++,
所以 2()4x y z ++≥,
故 2x y z ++≥． …………………（16分） 12．解 （1）设集合{}31,2,
,21A ?-,且A 满足（a ）,（b ）
．则1,7A A ∈∈．由于{}()1,,72,3,,6m m =不满足（b ）,故3A >．
又 {}{}{}{}{}{}{}1,2,3,7,1,2,4,7,1,2,5,7,1,2,6,7,1,3,4,7,1,3,5,7,1,3,6,7,
{}{}{}1,4,5,7,1,4,6,7,1,5,6,7都不满足 （b ）,故4A >．
而集合{}1,2,4,6,7满足（a ）,（b ）,所以(3)5f =．
…………………（6分） （2）首先证明
(1)()2,3,4,
f n f n n +≤+=． ①
事实上,若{}1,2,,21n A ?-,满足（a ）,（b ）,且A 的元素个数为()f n ．
令{}1
12
2,21n n B A
++=--,由于12221n n +->-,故()2B f n =+．
又111222(21),211(22)n n n n +++-=--=+-,所以,集合{}11,2,,21n B +?-,且B 满足（a ）,
（b ）．从而
(1)()2f n B f n +≤=+． …………………（10分） 其次证明：
(2)()1,3,4,
f n f n n n ≤++=． ②
事实上,设{}1,2,,21n A ?-满足（a ）,（b ）,且A 的元素个数为()f n ．令
{}222(2
1),2(21),
,2(21),21n
n n n n B A
=----,
由于 222(21)2(21)2(21)21n n n n n -<-<<-<-,
所以{}21,2,
,21n B ?-,且()1B f n n =++．而
12(21)2(21)2(21),0,1,
,1k n k n k n k n +-=-+-=-,
2212(21)(21)n n n n -=-+-,
从而B 满足（a ）,（b ）,于是
(2)()1f n B f n n ≤=++． …………………（14分） 由①,②得 (21)()3f n f n n +≤++． ③ 反复利用②,③可得
(100)(50)501(25)25151f f f ≤++≤+++
(12)12377(6)6192f f ≤+++≤+++
(3)3199108f ≤+++=． …………………（16分）