高等数学偏导数

授课单元7教案

课题1 偏导数

一、复习

x处的导数，y=f(x)的导数

一元函数y=f(x)在

二、偏导数的概念、

我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。

例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RT

P (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T V

RT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为

V R

dP V =

=常数)(

. 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数（1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数

设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量

f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0).

如果极限

y x f y x x f x ?-?+→?)

,(),(lim

00000

存在,

则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作

),(00y x x z ??,

)

,(00y x x

??, )

,(00y x x

z '

, 或),(00y x f x '.

即 x

y x f y x x f y x f x x ?-?+='

→?)

,(),(lim

),(00000

（2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数

)

,(00y x y

z ??=

)

,(00y x y

f ??=)

,(00y x y

z '

=),(00y x f y '=y

y x f y y x f y ?-?+→?)

,(),(lim

00000

2、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数

如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作

x z ??= x f ??= 'x z =),(y x f x

y x f y x x f x ?-?+=→?),(),(lim 0.

(2) z =f (x , y )对y 的偏导函数

y z ??=y f

??= 'y z =),(y x f y '=y

y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 0

说明

（1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求

z ??时，把y 视为常数

而对x 求导；求

??时，把x 视为常数而对y 导，这仍然是一元函数求导问题（2）偏导数的概念还可推广到二元以上的函数. 例如三元函数u =f (x , y , z )在点(x , y , z )处对x 的偏导数定义为 x

z y x f z y x x f z y x f x x ?-?+=→?)

,,(),,(lim

),,(0

例求z =x 2sin 2y 的偏导数. 解

y x x

z 2sin 2=??, y x y z 2cos 22=??

例求z =x 2+3xy +y 2在点(1, 2)处的偏导数. 解

y x x

z 32+=??, y x y z 23+=??. 823122

1=?+?=??==y x x z , 722132

1=?+?=??==y x y

z 例设f(x,y)= ,求)0,1(x f '

解如果先求偏导数),(y x f x '是比较复杂的，但是若先把函数中的y 固定在y = 0，则有 f (x ，0) = 2ln x ，从而x

x f x 2

)0,(=

'，)0,1(x f '=2 说明求z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数方法

（1）0

0),(),(00y y x x x x y x f y x f =='='

, 0

0),(),(00y y x x y y y x f y x f =='

（2）0

]),([

),(000x x x y x f dx d y x f =='

, 0]),([),(000y y y y x f dy

d y x f =='

例设)1,0(≠>=x x x z y , 求证: z

z x x z y x 2ln 1=??+??

证

1-=??y yx x

z , x x y z y ln =?? ，z x x x x x yx y x y z x x z y x y y y y 2ln ln 1ln 11=+=+=??+??-. 例求222z y x r ++=的偏导数. 解

r x z y x x x r =++=??222; r

y z y x y y r =++=??222.

例已知理想气体的状态方程为pV =RT (R 为常数),求证:

1-=????????p

T V V p . 证因为V RT p =

, 2V RT V p -=??; p RT V =, p R T V =??; R

pV T =, R V p T =??;

所以

12-=-=??-=????????pV RT R

V p R V RT p T T V V p .

)ln(2

arctan

y x e x

y +

说明偏导数的记号是一个整体记号, 不能看作分子分母之商. 练习求下列函数的偏导数

)ln(222y x x z +=，xy e u =，x y z arctan

=，y x xy z +=，22y

x xy z += 例并联可变电阻总电阻的调节问题

由n 个可变电阻并联成为一个总的可变电阻器，其中各个可变电阻的电阻值之间的大小关系为?<<

21n

R R R R +++=

它关于各个自变量的变化率(偏导数)为

.,...,2,1,)()1.()111(122221n k R R

R R R R R R k k n

k ==-+++-=?? 根据题意条件

,21n R R R <<<

可以得到

.021>??>>??>??n

R R R R R R 容易明白，调节1R 可望对总电阻R 值产生的影响最大，然后依次调节n R R R ,,,32 会对总电阻值的影响越来越小．所以应该通过先调节,1R 再调节,,2 R 最后调节n R 的次序，来对各个电阻进行逐个调节，可以从粗调到微调达到将总电阻值调节到较精确的目标３、偏导数存在与连续的关系

一元函数中在某点可导?连续，二元函数中在某点偏导数存在?连续，例如???

??=+≠++=0

),(222222y x y x y x xy y x f

在点(0, 0)有,0)0,0(='

x f , 0)0,0(='

y f 但函数在点(0, 0)并不连续. 偏导数存在

连续.

4、偏导数的几何意义

()

υ+

=2ln u z y

x e u +=x +

=2υx

??y

z ??v

),(00y x f x [f (x , y 0)]x '是曲线???==0

),(y y y x f z =f (x , y 0)在点M 0),(,,(0000y x f y x 处切线T x 对

x 轴的斜率.

),(00y x f y '

=[f (x 0, y )]y '是曲线?

??==0),(x x y x f z z =f (x 0, y )在点M 0处切线T y 对y 轴的斜率.

二、高阶偏导数

设函数 z = f (x , y )在区域 D 内偏导数存在，则这两个偏导数的偏导数称为函数 z = f (x , y )的二阶偏导数．即

同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 例求z =x 3y 2-3xy 3-xy +1偏导数解

y y y x x

z --=??32233, x xy y x y z --=??2392;

2226xy x z =??, 196222--=???y y x y x z , xy

x y z 1823

2-=??196222--=???y y x x y z . 观察得

x z x y z ???=???2

2 定理如果函数z =f (x , y )的两个二阶混合偏导数x y z ???2及

x z ???2在区域D 内连续, 那么在该区

域内这两个二阶混合偏导数必相等. 三、小结

偏导数高阶偏导数作业下册p26 1,3

().;)(22x x xx

xx z x

z z y x f ''

=??="

，().

;)(2'

'=???="

="y x xy xy z y

x z z y x f

，().;)(2x y yx

yx z x y z z y x f ''=???="

，().

;)(22

y y yy yy z y

z z y x f ''=??="="，称为混合偏导数．其中),(),,(y x f y x f yx xy "

课题2 全微分

一、复习一元函数的微分二、全微分的定义

1、定义设函数z =f (x , y )在点(x , y 的一个邻域有定义，如果函数在点(x , y )的全增量 ?z = f (x +?x , y +?y )-f (x , y ) =) )()(( ),(22y x o y B x A ?+?=

+?+?ρρ

其中A 、B 不依赖于?x 、?y 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微分, 而称A ?x +B ?y 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即 dz =A ?x +B ?y .

如果函数在区域D 内各点处都可微分, 那么称这函数在D 内可微分. 2、可微的必要条件

定理1 若 z = f ( x ，y ) 在点 ( x ，y ) 处可微，则它在该点连续．

定理2 若 z = f ( x ，y ) 在点 ( x ，y ) 处可微，则它在该点处的两个偏导数存在，且

函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分为 y y

z x x z dz ???+???=

一般地，记△x = dx , △y = dy , 则函数的全微分可写成

一元函数在某点的导数存在

微分存在

多元函数的各偏导数存在全微分存在．

例如函数??

???=+≠++=0 00 ),(2222

2y x y x y x xy y x f 在点(0, 0)处虽然有0)0,0(='y f 及

0)0,0(='x f , 但函数在(0, 0)不可微分,因为f(x,y)在(0,0)处不连续

3、可微的充分条件

定理3 如果函数z =f (x , y )的偏导数

x z ??、y

z ??在点(x , y )连续, 则函数在该点可微分.

说明全微分的概念可推广到三元及以上的多元函数．例如，若函数 u = f (x , y , z )有连续偏

导数，则

总结多元函数连续、可导、可微的关系

.dy y

z dx x z dz ??+??=.

dz z u dy y u dx x u du ??+??+??=

三、全微分的计算

例求二元函数 z = x (x + y ) 在点 (-1,1) 处，当△x = 0.1, △y = 0.2 时的全增量与全微分．解

例解

例计算函数yz e y

x u ++=2

sin 的全微分.

解因为

1=??x

u , yz ze y y u +=??2cos 21, yz ye z u =??,

所以 dz ye dy ze y dx du yz yz +++=)2

cos 2

1(.

例一圆柱形的铁罐，内半径为5cm ，内高为12cm ，壁厚均为0.2cm ，估计制作这个铁罐所需材料的体积大约是多少（包括上、下底）？

解圆柱体体积这个铁罐所需材料的体积为

即，这个铁罐所需材料的体积约为 106.8 3

四总结

１、多元函数全微分的概念；2、多元函数全微分的求法；３、多元函数连续、可导、可微的关系．作业下册 p26 2

27.0)11)(1()]2.01()1.01)[(1.01(),(-=+---+++-+-=?+?+=?y y x x f z .3.02.01.0)2()1,1()1,1()1,1()1,1()1,1(-=--=?+?+=??+??=-----y x x y x dy y z dx x z dz .)sin(的全微分

求y x e z x

+=),cos(),cos()sin(y x e y z y x e y x e x z x x x +=??+++=??.

)cos()]cos()[sin(dy y x e dx y x y x e dy y

dx x

z dz x x +++++=??+??=,2

h r V π=,)()(22h r h h r r V ππ-?+?+=?所以都比较小因为,4.0,2.0=?=?h r ,)2(22rdh hdr r dh r rhdr dh

h V dr r V dV V +=+=??+??=≈?πππ,8.10634)4.152.024(5≈=?+?≈?ππV

课题3 复合函数的求导法则

一、复习一元复合函数的微分法则

如果函数)(u f y =)(x u ?=可导，则复合函数[])(x f y ?=在 x 处的导数为

du du dy dx dy ?= 前面我们讲过多元函数（包括多元复合函数）偏导数的求法，即直接求导法。对于多元复合函数（或其它的复杂函数）有没有其它的微分法？

这一节我们将一元复合函数的微分法则推广到多元函数的情形。二、复合函数微分法

1、中间变量为两个的二元复合函数的微分法则（链式法则）

如果函数u =?(x , y ), v =ψ(x , y )都在点(x , y )具有对x 及y 的偏导数, 函数z =f (u , v )在对应点(u , v )具有连续偏导数, 则复合函数z =f [?(x , y ), ψ(x , y )]在点(x , y )的两个偏导数存在, 且有

x v v z x u u z x z ?????+?????=??, y

v v z y u u z y z ?????+?????=??.

多元复合函数的求导法则，可以叙述为：多元复合函数对某一自变量的偏导数，等于函数对各个中间变量的偏导数与这个中间变量对该自变量的偏导数的乘积和。这一法则也称为锁链法则或链法则。

例设，，，求，解

法一（链式法则）

，，，，，

法二（带入直接法）

)l n (

2222

y x e z y x ++=+

u ??y

“连线相乘，分线相加”

()

υ+=2ln u z 2y

x e u +=y x +=2υx z ??y z ??υ+=??22u u u z υυ+=??21u z 2y x e x u +=??2

2y x ye y u +=??x x 2=??υ1=??y υx z x u u z x z ?????+?????=??υυx u e u u y x 212222?++?+=+υυ

)(22

22222x e y x e y x y x +++++y z y u u z y z ?????+?????=??υυ1122222?++?+=+υυu ye u u y x )14(12

22222+++++y x y x ye y

x e

x e x e y x e y x e x z y x y x x y x y x +++='++?++=??++++2

22222

2222222

222)(1 y

x e ye y x e y x e y z y x y x y y x y x +++='++?++=??++++2

22222

222222

2214)(1 注意用那一种方法因题而定，灵活运用

有些复杂的或不易直接求解的多元函数求偏导问题，我们可以引进中间变量。

例求

的偏导数解令

2、中间变量为两个的一元复合函数的微分法则

设),,(v u f z =),(x u φ=)(x v ?=，则复合函数)](),([x x f z ?φ=的导数（也称全导数）

为

例设22,sin ,x v x u e z v

u ===-，求

dz 解：

也可用直接代入法

3、中间变量两个自变量三个的复合函数的微分法则

若),,(),,,(z y x v z y x u ?φ==，则复合函数的偏导数

，，

4、特殊复合函数的微分法则

若z = f (u ，x ，y )，u = φ(x ，y )，则复合函数 z = f [(x ，y ) ，x ，y ]可看作是v = x ，t = y

z u

u ?xy

y x z )(22+=2

2y x u +=xy =υυu z =x z x u u z x z ?????+?????=??υυ()

y u u x u ln 21υυυ+?=-??????++++=)ln(2)(2222222y x y y x y x y x xy ??

????++++=)ln(2)(2222222y x x y x xy y x xy y z ??dx

d z dx du u z dx dz υυ??+??=)],,(),

,,([),(z y x z y x f u f ψ?υω==x x u u x ????+????=??υυωωωy y u u y ????+????=??υυωωωx x u u x ????+????=??υυωωωdx d z dx du u z dx

dz υυ??+??=

x e x e u u 2)2(cos 22?-+=--υυ)4(cos 2

2sin x x e x x -=-

的特殊情形，此时x ，y 既是自变量，同时又与u 一起形成中间变量u ，x ，y 。因此

例：

解：

5、抽象复合函数的偏导数例：设z=f(x,xcosy),求

x z ??，y

z ?? z

图7-22

x f x u u f x z ??+????=??y f y u u f y z ??+????=??在式中

x z ??（或y

z ??）是表示复合函数 z = f [ (x ，y ) ，x ，y ]对自变量x （或y ）的偏导数（此时把自变量y （或x ）看成常数）；而

x f ??（或 y

??）是表示函数z = f (u ，x ，y )对中间变量x （或y ）的偏导数，此时u ，x ，y 皆为中间变量。求

x f ??（或 y

f ??）时，把中间变量u ，y （或x ）看成常数，所以x z ??（或y

??）与x f ??（或y f

??）的意义是不同的，不可混淆。

y z x z y x u e z u y x ????==++,,sin ,2222求设x u

u f x f x z ?????+??=??)sin 2()2.(2222222y x u e x e

u y x u y x ?+?=++++y x y x e y x x 2

422sin 22)sin 21(2+++=y u u f y f y z ?????+??=??

)cos ()2.(222

y x u e y e u y x

u y x

?+?=++++

x y x e

y y x y 2422sin 4

)cos sin (2+++=

解：设u = x cos y ，则z = f (x ，u )，其关系图如图7-23所示。

练习求下列函数的全导数或偏导数

1、z =e u sin v , u =xy , v =x +y , 2 、 3、2

),,(z y x

e z y x

f u ++==, 而y x z sin 2=，4、 5、z =uv +sin t , 而u =e t , v =cos t . . 三、小结

多元复合函数函数的偏导数作业下册 p27 5

f ?图7-23

u ??x

f u f y x f x u u f x z ??+???=??+????=??cos u

y x y u u f y z ??-=????=??sin ,sin ,cos ,2x v x u v u z ===.

),,(2

2xy y x f z -=

课题4 隐函数的微分法

一、复习

x v v z x u u z x z ?????+?????=??, y

v v z y u u z y z ?????+?????=??. 二、隐函数的微分法

1、一元隐函数的微分法则

在一元函数微积分中，已经讨论过求由方程 F (x , y ) =0 所确定的隐函数y = f (x ) 的导数

dx dy 还可以用多元复合函数的微分法求dx

dy 。下面给出其公式。 y

F x F

dx dy ????-= 即y x F F dx dy

''-

= 证设方程F (x ，y ) = 0确定了隐函数y = f (x )，将其代入方程得F [x ，f (x )] = 0 两端对x 求导，得若则有

2、二元隐函数的微分法则

若方程F (x ，y ，z ) = 0确定了隐函数z = f (x ，y )，则

F x F

x z ????-

=?? ，z F y F y z ????-=??，即z x F F x z ''-=??，z y F F y z ''-=?? 证将z = f (x ，y )代入方程，得F [x ，y ，f (x ，y )] = 0

两端对x ，y 求偏导数，得

若，则有例求隐函数0sin =+x

ye y x 的导数

解设),(y x F =x ye y x +sin ， x x ye y F +='sin ，x

e y x F +='cos dx dy =x x

y x ye y ++-cos sin

0=?'+'dx

dy F F y

x 0≠'y F ''-=y

F F dx dy

0=??'+'x z F F z x 0=??'+'y

z F F z

y 0≠'z F ''-=??z x F F x z ''-=??z y F F y z

例

解法一

解法二

说明用公式求隐函数的导数或偏导数的步骤：

（1）将原式化为F (x ，y ) = 0或F (x ，y ，z ) = 0 （2）正确设F

（3）求x F '，y F '（或x F '，y F '，z F '）（注意：x F '，y F '，z F '都是只对指定一个变量求偏导，而将另外两个变量视为常数）

（4）套公式（注意＂－＂分母应是Ｆ对函数的偏导数）练习求下列隐函数的导数或偏导数１、y y x sin 2

= 2、z x y z = 三、说作业、做练习四、小结隐函数的微分法作业下册p27 6—9

,),(0y

z x z y x f z xyz e z

????==-，求确定二元隐函数设方程,),,(xyz e z y x F z

-=,,,xy e F xz F yz F z

z y x -='-='-='.,xy e xz

F F y z xy e yz F F x z z z y z z x -=''-=??-=''-=??所以得求导两边对方程,0x xyz e z =-,0=??--??x z xy yz x z e

z ,xy e yz x z z -=??所以

.xy

e xz y z z -=??同理