(完整版)高等数学(上)期末测试卷A

2

t

dt dy =??

????+++??

?

??+=x x x x x x

11)1ln(14

arctan 2x x -=()()C x f x xf +-'

0=高等数学（上）期末测试卷A

（100分钟，试卷满分100分）

一、填空题（30分）

1.函数()x f 在[]b a ,上连续是()x f 在[]b a ,上可积的 充分 条件；（充分、充要、必要）

2.就奇偶性而言，函数()2

1

121+-=x x f 是 奇 函数；其导函数是 偶 函数； 3.如果x

e

-是函数()x f 的一个原函数，则()?=dx x f C e x

+- ；

4.已知曲线4

222y x y b ax x y +-=--=和在点()1-1

，处相切，则a= 8/5 ，b= 2/5 ； 5.如果()x f 在[-1,1]上连续且平均值为2，则()=?-dx x f 1

1 4 ；

6.设函数()x f 在点0x 处可导，则=?-?+→?x x f x x f x )

()2(lim

000

()

'

x f

；

7.设()()dt e t x f t

x

?-=01，则f(x)的极小值为 e -2 ；

()=-?+→x

dt

t x

x cos 11ln lim 2sin 0

4 ；

9.经过点(1,2),且其切线的斜率为2x 的曲线方程为 12+=x y ；

10.设0)(),4)(3)(2)(1()(=----=x f x x x x x f ，方程有 3 个根，它们分别在区间 ； 二.计算下列各题（15分）

1.x x x

x x cos cos lim +-→∞

2.()dx x xf ?'

' 3.dx

x x ?

π

2cos

解：（过程略...）

=1 =

三、求下列函数的导数（15分）

?=122

arctan x dt

t y x

x x y ??

? ??+=1 ()??

?-=+=t

t y t x arctan 1ln 2

解：（过程略...）

8. 1. 2. 3. 2 ()()()4,3,3,2,2,1

x e y ='x <<ξ0()x e x f =0

e e >ξ()x

e x e e x =->-0001

+>x e x ()()()1cos /cos 12'+????

?????-+=y x xy y xy x y y 四、综合题（每题10分，共40分）

1.求平面曲线11

ln )sin(=+-y

x xy 在0=x 处的切线方程和法线方程。 解：

把x=0代入原式得：e y = 所以2'e e y -= 切线方程：()e x e e y +-=2

法线方程：()

e x e e y +--

=2

1

2.一物体由静止开始运动，经过t 秒后的速度是23t 。问：（1）在3秒后物体离开出发点的距离是多少？（2）物体走完360米需要多少时间？ 解：设位移方程为()t f y =，由速度和位移的关系可导：

()[]23t t f dx

d

= ()C t t f +=3

又因为物体由静止开始运动，()00=f C=0 即：()3t t f = （1）()m f 27333== （2）令3603=t 3360=t s 3.曲线x y sin =（2

0π≤≤x ）与直线2

π

=

x ，0=y 围成一平面图形。求（1）此平面图形的面积

S ；（2）该平面绕x 轴旋转体的体积V ； （1）[]1cos sin 2

02

0=?-==π

πx xdx S

（2）[]4

221sin 22

2

0πππππ

=??=?=dx x V

4.证明不等式x e x

+>1（0≠x ）。（注：Lagrange 中值定理）

证明：设 当x>0时，f （x ）在闭区间[0，x]上满足Lagrange 中值定理的条件； 且：因此，根据定理，应有

()ξ

e x e e x 00-=-

其中， 由于，因此，从上式可得： 于是