考研数学线代知识框架

考研数学线代知识框架

考研数学线代知识框架

[摘要]不仅专业课需要知识框架，数学也是如此。一个优秀而全面的知识框架有助于厘清整体的解题思路。下面分享的是凯程考研老师精心整理的线代知识点框架。

线性代数的学习切入点：线性方程组。换言之，可以把线性代数看作是在研究线性方程组这一对象的过程中建立起来的学科。

线性方程组的特点：方程是未知数的一次齐次式，方程组的数目s和未知数的个数n可以相同，也可以不同。

关于线性方程组的解，有三个问题值得讨论：(1)、方程组是否有解，即解的存在性问题;(2)、方程组如何求解，有多少个解;(3)、方程组有不止一个解时，这些不同的解之间有无内在联系，即解的结构问题。

高斯消元法，最基础和最直接的求解线性方程组的方法，其中涉及到三种对方程的同解变换：(1)、把某个方程的k倍加到另外一个方程上去;(2)、交换某两个方程的位置;(3)、用某个

每一行的第一个不为零的元素称为该行的主元。

对不同的线性方程组的具体求解结果进行归纳总结(有唯一解、无解、有无穷多解)，再经过严格证明，可得到关于线性方程组解的判别定理：首先是通过初等变换将方程组化为阶梯形，若得到的阶梯形方程组中出现0=d这一项，则方程组无解，若未出现0=d一项，则方程组有解;在方程组有解的情况下，若阶梯形的非零行数目r等于未知量数目n，方程组有唯一解，若r 在利用初等变换得到阶梯型后，还可进一步得到最简形，使用最简形，最简形的特点是主元上方的元素也全为零，这对于求解未知量的值更加方便，但代价是之前需要经过更多的初等变换。在求解过程中，选择阶梯形还是最简形，取决于个人习惯。

常数项全为零的线性方程称为齐次方程组，齐次方程组必有零解。

齐次方程组的方程组个数若小于未知量个数，则方程组一定有非零解。

利用高斯消元法和解的判别定理，以及能够回答前述的基本问题(1)解的存在性问题和(2)

如何求解的问题，这是以线性方程组为出发点建立起来的最基本理论。

对于n个方程n个未知数的特殊情形，我们发现可以利用系数的某种组合来表示其解，这种按特定规则表示的系数组合称为一个线性方程组(或矩阵)的行列式。行列式的特点：有n!项，每项的符号由角标排列的逆序数决定，是一个数。

通过对行列式进行研究，得到了行列式具有的一些性质(如交换某两行其值反号、有两行对应成比例其值为零、可按行展开等等)，这些性质都有助于我们更方便的计算行列式。

用系数行列式可以判断n个方程的n元线性方程组的解的情况，这就是克莱姆法则。

总而言之，可把行列式看作是为了研究方程数目与未知量数目相等的特殊情形时引出的一部分内容。

[摘要]以下是凯程考研辅导名师特为大家整理总结的一些有趣的数学小题目，供大家参考！祝愿各位考生都能在强化复习阶段顺利，考研成功！

微积分如果用心去学你会发现很多乐趣，然

后在解题的过程享受这些小小的成就感，何乐而不为呢。快来看看这位朋友分享的一些小乐趣吧。

?被积函数是连续函数f(x)的积分上限函数F(x)可导，且导数就是f(x)。

逆向思维，这就用“构造法”证明了：连续函数一定有原函数。

把“作上限函数”视为一种变换方式，从条件角度看，相当于通过变换将连续函数提升为可导函数。《广义函数》理论中，在不光滑点(连续不可导点)微局部地实施这样的变换，就好象是用“沙轮”把曲线“尖点”给磨光了。故称之为“磨光变换”。

当年武汉X中有个学生入选中国中学生奥数代表队。在清华北大的集训中，他将这套技术学得很精。正式参加世界大赛时，决赛卷上最后的坡度题恰好用“磨光变换”最简单。这个小子设计了“磨光变换”逼近列，很快地完成了解答。自信无误之际，竟在草稿上画卜克游戏玩。新华社电讯稿报道中学生奥数代表队夺金时，记者把“磨光变换”写成了“魔光变换”，好不吓人哦。

这里有一个有趣的联想。如果f(x)仅有第

一类间断，那么相应的上限函数是否一定连续呢?

结论是，“相应的上限函数一定连续。”

(画外音：考研题中出现过一次。)

在《概率统计》中，连续型随机变量X的分布函数就是密度函数的上限函数。它一定连续。由于密度函数非负，证明这个结论，用连续的增量定义最简明。

要注意的是，设f(x)有跳跃间断点a，相应的上限函数在点a虽然连续，却一定不可导。即改善是有一定限度的。

要证明这个结论正好用上我的“有意思(4)右导数与导函数的右极限”。

实际上，设点a左側，f(x)=初等函数φ(x)，右侧f(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)形成跳跃间断。记f(x)相应的上限函数为F(x)，则F(x)在点a连续，但是

左側求导F′(x)=φ(x)，右側求导F′(x)=ψ(x)，φ(x-0)≠ψ(x+0)

F(x)在点a不可导。

在点a的邻域内，F(x)不是f(x)的原函数。

相当一些“模拟卷”上有这样的题目。可以

算是“擦边球”。

?《概率统计》不是第一层次基础课程。学习《概率》需要你有较好的《高等数学》基础。

比如，计算D(卡方(1))就是个大综合练习。

(潜台词：D(卡方(n))=2n)

预备1——我们知道，exp(x2)是四个“典型不可积”中最为露脸的一个。正态分布的密度函数与它同为一家，但是密度函数在全直线积分为1。在历史上，人们曾利用这个特点及定积分技巧来计算一些无穷积分。

计算D(卡方(1))，最尾端就要用到它。

预备2——我在“讲座”中逐讲给大家建立一个“材料库”。最早在(5)中有一条

“x趋于+∞时，指数函数exp(x)是比任意高次方的幂函数都还要高阶的无穷大。”

或者说，“x趋于+∞时，函数exp(-x)是任意高阶的无穷小。”

预备3——分部积分的要点是“变化”

∫甲·乙dx=(甲的一个原函数)·(乙)-∫(甲的这个原函数)·(乙的导数)dx

设X服从标准正态分布，我们计算D(X2)，即证明D(卡方(1))=2

鉴于输入问题，我写出步骤，大家在纸上划一下

(1)用平方关系来算D(X2)，得先算均值E(X 四次方)

设f(x)是N(0,1)的密度函数，求E(X四次方)，被积函数x四次方f(x)在全直线积分分x四次方f(x)=x3·xf(x)，注意xf(x)的原函数恰是-f(x)

分部积分一次，求极限知第一部分答案为0，(运用预备2)

第二部分是3x2f(x)在全直线积分

再分x2f(x)=x·xf(x),又分部积分，同样求极限知第一部分答案为0，

第二部分已是3倍密度函数f(x)在全直线积分，当然为3

(2)用平方关系来算

我常常开玩笑把平方关系E(X2)=μ2+σ2称为“概率勾股定理”。

D(X2)=E(X四次方)-(E(X2))2=3-1=2

怎么样，有点意思吧。

?如果你作了一个假设，你就建立了逻辑推理的一个基本点。如果你还要作第二个假设，那

得小心思考，新的假设是否与第一个假设独立。

一个同学在论坛上发贴，先设“对任意x，总有f(x)>x”，推出“f(f(x))>f(x)”，突然又假设“f(x)单减”，然后就不明白，“为什么会矛盾”。这就是没考虑逻辑，随意作第二个假设造成的。

数学历史上，正当人们陶醉于“集合理论”与“勒贝格积分”等成果的完美之际，“悖论”的出现给大家当头一棒，砸得人晕头转向。仿佛有世界末日来临的感觉。以至于对很多成功的“公理化假设”也提出怀疑：“是否在筑好篱笆之时，已经圈进了狼?”

思考“第二假设是否与第一个假设独立”，有时的确较为困难。

看一个线性代数问题。

(讲座(40))例15设n维行向量组a1，a2，---，ak线性无关，k

向量组a1，a2，---，ak，β线性无关。

例15是原数学四的考题。它可以深化为，

*例“设向量组β1，β2，---，βr线性无关，向量组ξ1，ξ2，---，ξk线性无关。若前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各

向量正交。则两向量组的合并组线性无关。(暂时不写一个条件)

证明设有一组数C1，……，Cr，Cr+1，……，Cr+k，使得

C1β1+……+Crβr+Cr+1ξ1+……+C(r+k)ξk=0

用β1对等式两边作内积，得β1ˊβ1C1+……+β1ˊβrCr=0

用β2对等式两边作内积，得β2ˊβ1C1+……+β2ˊβrCr=0

…………

用βr对等式两边作内积，得βrˊβ1C1+……+βrˊβrCr=0

现在，问题归结为，证明这个齐次方程组仅有零解。

问题延伸1，若记A=(β1，β2，---，βr)，则系数矩阵恰为AˊA

(潜台词：矩阵乘法，“左行右列作内积”)

问题延伸2，秩R(A)=秩R(A′A)

证明作齐次线性方程组AX=0和A′AX=0，AX=0的解显然都是A′AX=0的解。

如果列向量β是A′AX=0的解，则

内积(Aβ)′(Aβ)=β′A′Aβ=β′(A′A β)=0

这说明Aβ=0(向量),即A′AX=0的解也都是AX=0的解。两方程组同解。

解集秩n-R(A)=n-R(A′A)故秩R(A)=秩R(A′A)

前述关于C1，……，Cr的齐次方程组仅有零解。带回假设式，由后一向量组的线性无关性知,其余系数也全为零。故两向量组的合并组线性无关。

(画外音：这是一个可以记住的结论。请体会证明的特色。)

好象什么问题都没有?!?!?!联想“n+1个n 维向量线性相关”,这里还有向量个数问题。在没有限定向量个数时，第二个假设，“前一向量组的每一个向量都与后一向量组的各向量正交”，不一定成立。必须先说“k+r≤n”这个条件不影响证明。

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